Bài tập giải tích - Tập 3 Tích phân phụ thuộc tham số - tích phân bội tích phân đường và tích phân mặt

Tính chất của tích phân suy rộng phụ thuộc tham số a.. Chứng minh sự hội tụ đều của tích phân trong miền... Tích phân thứ nhất là tích phân xác định phụ thuộc tham số, vì hàm dưối dấu tí

TRẦN ĐỨC LONG - NGUYÊN ĐÌNH SANG - HOÀNG QUỐC TOÀN

Tập MI

TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM số - TÍCH PHÂN BỘI

TÍCH P H Â N Đ Ư Ờ N G VÀ TÍCH P H Â N M Ặ T

(In lần thứ tư có sửa chữa và bổ sung)

ĐẠI HỌCTHAI NGUYÊN TRUNG TÂM HÓC LIỆU

N H À X U Ấ T B Ả N Đ Ạ I H Ọ C Q U Ố C G I A HÀ N Ộ I

M Ụ C L Ụ C

Trang Chương lo T Í C H P H Â N P H Ụ T H U Ộ C T H A M s ố 5

c c a á c

3 Tích phân phụ thuộc tham số với cận tích phân thay dổi

Cho h ì n h c h ữ n h ậ t a> = [a,b] X [c,d] v à d , C2 l à h a i đ ư ờ n g

đ ổ i

a Tính tiên tục: G i ả sử f(x,y) l à h à m l i ê n t ụ c t r o n g h ì n h c h ữ

n h ậ t D, a ( y ) , p ( y ) l à c á c h à m l i ê n t ụ c t r ê n đ o ạ n [c,d] K h i đ ó t í c h

p h â n I(y) l à h à m l i ê n t ụ c t r ê n [c, d ]

T a x é t t ạ i đ i ể m y = 0 R õ r à n g F(0) = 0

K í h i ệ u m = i n f f ( x ) V ì f ( x ) l i ê n t ụ c v à d ư ơ n g t r o n * đ o a n

»30,1]

[0,1] n ê n m > 0

t a có l i m í I n Ì — - 5 - s i n" r í Ì ^

2 X dx = 0

v à l i m I n í - = l n 2 , a + y á2- ì ;

a-++°0 a Vậy: c = - 7tln2

Thay c = - 7tln2 vào biểu thức của I(a), ta có

I ( a ) - « l n f a + V a2- l ) - « l n 2 = Trln

1 0 4 1 B ằ n g c á c h l ấ y t í c h p h â n d ư ố i d ấ u t í c h p h â n h ã y t í n h tích phân sau đây:

D ù n g p h é p t h ế b i ế n X = y t / t a đ ư a t í c h p h â n đ ã cho v ề d ạ n g

1046 C h ứ n g m i n h r ă n g t í c h p h â n

F(y)=}f(x,y)dx

0 của hàm gián đoạn f(x, y) = sgn(x - y) là hàm liên tục

1047 Giả sử f(x) là hàm liến tục trên đoạn [a, b]

Chứng minh rằng!

ì X

l i m - J [ f ( t + h ) - f ( t ) ] d t = f ( x ) - f ( a ) , a < X < b h->õ h

b ) I ( y ) = Ị Ỉ H S d x ,

X a+y

1050 Có thể tính đạo hàm theo qui tắc Leibniz của hàm

Số

F ( y ) = | l n V x2+ y2d x ,

t ạ i đ i ể m y = 0 được k h ô n g ?

s i n (p (0 < k < 1) và biểu diễn chúng qua các hàm E(k) và F(k)

Chứng minh rằng hàm E(k) thỏa mãn phương trình vi

1054 Hãy xấp xỉ hàm f(x) = X2 trên đoạn [Ì, 3] bằng hàm

tuyến tính a + bx sao cho tích phân

3

I(a,b) = J(a + bx-x2)2dx

1

có giá trị bé nhất

1060 B ằ n g c á c h l ấ y t í c h p h â n d ư ố i d ấ u t í c h p h â n , t í n h c á c

t í c h p h â n s a u đ â y :

I a) ì , (a, b) = Ị s i n

ố

Ì b) I2( a , b ) = ị cos

V A > A > : í

f x »y 2 ? < E V y e Y

17

ị ỉ(x, y ) dx h ộ i t ụ đ ề u t r ê n t ậ p Y

a

4 Các dấu hiệu hội tụ đểu khác

• • • Xét tích phân phụ thuộc tham số

-MO

I ( y ) = j f ( x , y ) g ( x ) d x , y e Y

a trong đó f(x, y) và g(x) là các hàm liên tục vói X e [a, +oo), y 6 Y

Ị f ( x , y ) g ( x ) d x h ộ i t ụ đ ề u t r ê n Y

a

b ) N ế u h à m f(x» y ) đ ơ n đ i ệ u t h e o X v à b ị c h ặ n đ ể u t ứ c l à :

3 L = c o n s t sao cho: | f ( x , y ) | < L V x > a, V y e Y , c ò n t í c h p h â n + 00 +°°

j g ( x ) d x h ộ i t ụ t h ì t í c h p h â n ị f ( x , y ) g ( x ) d x h ộ i t ụ đ ề u t r ê n Y

a ã

5 Tính chất của tích phân suy rộng phụ thuộc tham số

a Tính liên tạc: Giả sử hàm f(x, y) xác định và liên tục trên

iii) Tích phân í Ẽ^ỉH dx hôi tu đều trên đoạn [c, d]

J rhr ây

+00

Khi đó hàm: I(y) = ị f(x,y)dx khả vi trên đoạn [c, d] và:

a +00

X X sinx Ì

v x cos2x

Giải: V ì l i m s m a x = a n ê n đ i ể m X = 0 k h ô n g p h ả i l à đ i ể m

x->0 X

kỳ dị của tích phân suy rộng

Ta xét sự hội tụ đều trên đoạn [a, b] của tích phân vói cận

đoạn [a, b] không chứa điểm (X = 0

2) Giả sử đoạn [a, b] chứa điểm a = 0

đoạn [a, b] chứa a = 0, ta phải chỉ ra rằng:

3e rí > 0 V A > 0 3 AQ > A và 3a0 e [a, b] sao cho:

1064 Chứng minh sự hội tụ đều của tích phân trong miền

Tích phân thứ nhất là tích phân xác định phụ thuộc tham

số, vì hàm dưối dấu tích phân f(x,a) = ——— là hàm liên túc

trong miền X > Ì, a > ã Vì thế F2(a) là hàm liên tục vối a > a Vì

a0 > a nên F2(a) liên tục tại aQ, từ đó-suy ra F2(a) liên tục trong

miền a > 2

Vậy F(a) = Fx(a) + F2(a) là hàm liên tục vối a > 2

1067 Bằng cách đạo hàm theo tham số, tính tích phân:

27

Vì t í c h p h â n ị e_ k x d x , k > 0, h ộ i t ụ n ê n theo d ấ u h i ệ u

Ố Weierstrass t í c h p h â n

1070 X é t t í c h p h â n p h ụ t h u ộ c t h a m số:

+ 00

I ( y ) = í y e "yd x , y > 0

ố a) C h ứ n g m i n h b ằ n g đ ị n h nghĩa t í c h p h â n I ( y ) h ộ i t ụ đ ề u

t r ê n m ọ i đ o ạ n [c, d] , 0 < c < d

b) C h ứ n g m i n h r ằ n g t í c h p h â n I(y) h ộ i t ụ k h ô n g đ ề u t r ê n

đ o ạ n [0, d]

Xét sự hội tụ đều của các tích phân sau đây trong các miền

đã cho tương ứng của tham số:

hội tụ đều theo tham số p trong miền p > po > 0

Khảo sát sự hội tụ đều trong các khoảng đã cho của các tích phân sau:

< +00

1082 | V ỹ e y x d x , 0 < y

Ố + X-

1083 ị e ( y") 2d x ,

- co b) -QO<y<+ao

là một hàm liên tục theo tham số y

1090 Tìm điểm gián đoạn của hàm

F(a) = 7 sin(1:a2)x

J Y

d x

Xét tính liên tục của các hàm sau đây trong các miền đã cho tương ứng:

F ( ỵ ) = 1 : , r ĩ d x

ị l + ( x + y ) '

liên tục và khả vi trong miền -oe < y < +00

T ổ n g ơT(f, ĩ,) được g ọ i l à t ổ n g t í c h p h â n của h à m f ứ n g vói

b) T ậ p B được g ọ i l à đo được theo nghĩa J o r d a n n ế u h à m

đ ặ c t r ư n g XB(X) k h ả t í c h t r ê n m ộ t h ì n h h ộ p V n à o đó c h ứ a B v à

s ố :

v ( B ) = j xB( x ) d x

V được g ọ i l à t h ể t í c h của B

1 Đưa tích phân bội về tích phân lặp

a G i ả sử B l à t ậ p đo được t r o n g m ặ t p h a n g R2, được giói

í ị | f ( x , y , z ) d x d y d z = j j d x d y I f ( x , y , z ) d z = j d x Ị dy J f d z

B D z,(x,y) ấ y,(x) z,(>,yì

2 Phép đổi biến trong tích phân bội

ứ Phép đổi biến trong tích phản hai lớp

D ( u , v ) f(x, y) l à h à m k h ả t í c h t r ê n B K h i đó:

X = x ( u , v , w ) , y = y ( u , v , w ) , z = z(u,v,w), (u,v,w) € B '

t r o n g đ ó x ( u , v , w ) , y ( u , v , w ) , z(u,v,w) là các h à m k h ả v i l i ê n t ụ c

t r o n g B ' sao cho J a k o b i e n c ủ a p h é p b i ế n đ ổ i k h á c k h ô n g :

J = D(x'y'z) *0

D ( r , v , w ) Khi đó:

jjj f (x, y, z) dxdydz = jjjf (x(u, V, w),y(u, V, w), z(u, V, w))|'J|dudvdw

Ta xác định D là miền được giới hạn bởi 2 đường cong đã

cho: y = X2 và y = Vx Hai đường cong này cắt nhau tại hai điểm

ị ( l + x + y + zỵ

I = j j d x d y í

I ó _ j j ( l + x + y + z )

- 2

ỉ * ỉ

-z=l-x-y z=0

2 l i 4 4 1 + x

y=l-x

dx = 3=0

dx =

)

d x = Ỉ l n 2 - A

2 16

Đưa tích phân dạng l i f ( x , y ) d x d y về tích phân lặp trong

ấ các trường hợp sau đây:

1117 Q là tam giác với các đỉnh 0(0, 0), A(l, 0) và B(l, 1)

Tính các tích phân hai lớp sau đây:

X = a(t - sint), y = a ( l - cost), 0 < t < 2it

phân hai lớp dạng: J j f ( x , y ) d x d y , hãy xác định cận tích phân

Q trong các trường hợp sau đây:

y = 0 Hãy thực hiện phép đổi biến X = ucos4v, y = usin4v

1146 Cho tích phân ì = Jj f(x, y) dxdy , trong đó D là tam

ố

g i á c 0 < X < Ì , 0 < y < Ì - X H ã y c h ọ n p h é p t h ế b i ế n t h í c h h ợ p

đ ể đ ư a t í c h p h â n đ ã cho v ề t í c h p h â n t r ê n h ì n h v u ô n g đ ơ n v ị

1147 Cho t í c h p h â n ì = j j f ( x , y ) d x d y , t r o n g đ ó D l à m i ề n

D

được giói hạn bồi các đường cong : xy = Ì, xy = 2, X — y + Ì = 0 và

X - y - Ì = 0 (x > 0, y > 0) Hãy chọn phép thế biến thích hợp để

đưa tích phân đã cho về tích phân trên hình chữ nhật

1148 Cho tích phân ì =JỊf(x,y)dxdy, trong đó D là miền

D

được giói hạn bồi các đưòng cong xy = l, xy = 2, y^xvày = 4if

(x > 0, y > 0) Hãy chọn phép thế biến thích hợp để đúa tích

phân đã cho về tích phân trong hình chữ nhật

Chọn phép đổi biên thích hợp, tính các tích phân sau:

^1149 jj(x + y)dxdy, trong đó D là miền được giói hạn bối

D ,2 „2 _

1155 JJ ^ | y - x2| d x d y

|X|<1 Oáy<2

1166 T í n h d i ệ n t í c h của m i ề n được giói h ạ n b ở i đ ư ờ n g cong:

Á p dụng tích phân ba lớp, tính thể tích của các vật thể được giới hạn bời các mặt cong sau :

T r o n g t r ư ờ n g hợp c là đ ư ò n g cong t r o n g k h ô n g g i a n được cho b ở i p h ư ơ n g t r ì n h t h a m số:

Ý nghĩa cơ học: N ế u A B l à " đ ư ờ n g cong v ậ t c h ấ t " v à p(x,y,z)

là m ậ t độ k h ố i l ư ợ n g t h ì k h ố i l ư ợ n g m của đ ư ờ n g cong A B l à :

m = j p ( x , y , z ) d s

AB

2 Tích phân đường loại li

a Cho A B l à đ ư ờ n g cong t r ơ n (hay t r ơ n t ừ n g k h ú c ) trong

m ặ t p h a n g O x y có p h ư ơ n g t r ì n h t h a m s ố l à :

X = x(t) , y = y(t) , t e [a, b ]

N ế u t a c h ọ n m ộ t h ư ố n g , c h ẳ n g h ạ n h ư ó n g t ừ A đ ế n B v à gọi

là h ư ổ n g d ư ơ n g của đ ư ờ n g cong A B , t h ì h ư ố n g t ừ B đ ế n A sẽ được g ọ i l à h ư ố n g â m

j[p(x(t), y(t), z(t))x' (t) + Q(x(t), y(t), z(t))y' (t) + R(x(t), y(t), z(t))z'(t)]dt

OB

T r ê n A B t h ì y = Ì - X, v à V l + y '2 ( x ) d x = &dx

Do đó:

V ậ y :

Ì J(x + y)ds = |[x + (l-x)].V2dx = Vã

Giải: Gọi o, A và B là các đỉnh của hình quạt: O(0, 0),

, thì c bao gồm các đoạn thẳng OA, OB

X = acost, y = a sin t, z = bí, 0<t<27i

Giải: Trên đường cong c ta có:

b) c l à đ ư ờ n g t r ò n t â m ( Ì , 1), b á n k í n h R = Ì l ấ y theo chiều ngược c h i ề u k i m đ ồ n g h ồ

Giải: A , B v à c l à ba đ i ể m có c á c t ọ a độ:

A U , 0, 0), B(0, Ì , 0), C(0, 0,1)

K h i đó đ ư ờ n g cong c bao g ồ m ba c u n g t r ò n

c = A B u B C u C A được đ ị n h h u ố n g d ư ơ n g t ừ A đ ế n B , t ừ B đ ế n c v à t ừ c đ ế n A

1205 j z d s , t r o n g đó c là cung của đường cong X2 + y2 = z*,

1210 T ì m k h ố i lượng của cung parabol y2 = 2px,

, b i ế t m ậ t độ k h ố i lượng của d â y l à p(x, y) = I y I

r Ồ < X < Ẹ

V

1211 Xác đ ị n h tọa độ t r ọ n g t â m của d â y cycloide đồng chất:

X = a(t - sint), y = a ( l - cost), 0 < t < TI

a) O A là đ o ạ n t h ẳ n g n ố i h a i đ i ể m o v à A

b) O A là cung của p a r a b o l n h ậ n t r ụ c Oy là t r ụ c đ ố i x ứ n g c) O A là đ ư ờ n g g ấ p k h ú c O B A , t r o n g đó O B là đ o ạ n t h ẳ n g

t r ê n t r ụ c Ox, B A l à đ o ạ n t h ẳ n g song song v ớ i t r ụ c Oy

Tính các tích phân đường loại li sau đây:

X = t , y = t2, z = t3, 0 < t < Ì ,

l ấ y theo h ư ớ n g t ă n g của t h a m số

1 2 2 1 ì = | ( y - z ) d x + ( z - x ) d y + ( x - y ) đ z , t r o n g đ ó c là

ế

đ ư ờ n g t r ò n X2 + y2 + z2 = a2, y = x.tga, (0 < a < lì), l ấ y theo chiều

ngược k i m đ ồ n g h ồ n ế u n h ì n t ừ p h í a d ư ờ n g của t r ụ c Ox

m ặ t l o ạ i ì của h à m f(x, y, z) t r ê n m ặ t s được x á c đ ị n h theo công

G = Ịõx^

2 +

T a chọn m ộ t p h í a n à o đó của s l à m h ư ố n g d ư ơ n g c ủ a m ặ t

K h i đó m ặ t s được g ọ i l à m ặ t d i n h h ư ố n g v à k ý h i ệ u l à s+ v à l ấ y vectơ p h á p t u y ế n :

n = (cosa,cosp,cosy) của m ặ t s h ư ó n g v ề p h í a được chọn l à m h ư ớ n g d ư ơ n g , l à m vectó

A _ D(y,z) E _ D(z,x) c =D ( x , y )

D ( u , v ) D ( u , v ) D ( u , v )

Do đ ó n ế u n = (cosa,cosP,cosy) l à vectd đ ị n h h ư ớ n g của

m ặ t s+ v à Y ( U , V ) = (x(u,v),y(u,v),z(u,v)), (u,v) e D l à p h é p t h a m

SỐ h ó a p h ù hợp v ớ i đ ị n h h ư ớ n g của s+ t h ì

A B c cosa = — = = = = = , cosP = -7z= cosy =

1= jd(p|(R3 sin3 e.cos2 cp+R3 sin^Gsin2 (p-R3 cos2 e.sine)de

là phía ngoài của mặt nón X2 + y2 = z2, 0 < z < h

1237 íí âổỉ + — + trong đó s+ là phía ngoài của

1239 j | f ( x ) d y d z + g(y)dzdx + h(z)dxdy) , trong đó s* là

phía ngoài của mặt biên của hình hộp:

0 < X < a , 0 < y < b , 0 < z < c , f(x), g(y), h(z) là các hàm liên tục

§3 Sự LIÊN HỆ GIỮA TÍCH PHÂN ĐƯỜNG, TÍCH

h ư ớ n g dương theo h ư ố n g ngược

t r o n g đó c được đ ị n h h ư ố n g theo c h i ề u ngược k i m đ ồ n g h ồ

c Sự không phụ thuộc của tích phân đường vào đường lấy tích phân

h i ể u h ư ố n g dường của một đường cong đ ó n g c là h ư ớ n g m à nếu

đi theo đó t h ì m i ề n bị c h ặ n được giói h ạ n b ồ i đường cong c luôn

Giãi: Trong công thức Green ta đ ặ t p = -x2y v à Q = x y2 K h i đó:

P ( x , y ) = —5—^2"' Q (x» y ) = ~~2~J k h ô g x á c đ ị n h- m v ậ y '

k h ô n g t h ể á p d ụ n g được c ô n g t h ứ c Green

T a x é t đ ư ờ n g t r ò n CR t â m 0 ( 0 , 0), b á n k í n h R đ ủ b é đ ể sao cho CR được bao ỏ b ê n t r o n g c , K ý h i ệ u DR l à m i ề n được giói h ạ n

h ồ , tức l à c ; = c+ u C R (ký h i ệ u C £ : sẽ l à l ấ y c h i ề u n g ư ợ c k i m đồng hồ!)

Đ ể t h a m số h ó a đường òEtog G tia đ ặ t : y = t x

1 2 4 4 T í n h J e * ( c o s y d x - s i n y d y ) , t r o n g đổ A B l à đ ư ờ n g

AB cong b ấ t k ỳ n ố i h a i đ i ể m A ( 0 , 0) v à B(a, b)

Giải: Đ ặ t P(x, y ) = excosy v à Q(x, y) = -exsiny

Áp dụng công thức Green tính tích phân đường sau đây:

trong đó AmB là đoạn thẳng nối hai điểm A(l, 1) và B(2, 6) còn

A n B l à p a r a b o l có t r ụ c song song v ớ i t r ụ c Oy, đ i qua h a i đ i ể m A,

B v à gốc t ọ a đ ộ

1250 T í n h t í c h p h â n :

1 = J ( ex s i n y - m y ) d x + ( ex c o s y - m ) d y AnO

t r o n g đó A n O l à đ ư ờ n g t r ò n X2 + y2 = ax, (y > 0), l ấ y theo h ư ớ n g

t ừ đ i ể m A ( a , 0) đ ế n đ i ể m 0 ( 0 , 0)

1 2 5 1 T í n h t í c h p h â n :

1 = j [ < p ( y ) ex- m y ] d x + [ ( p ' ( y ) ex- m ] dy AmB

t r o n g đó q>(y) v à cp'(y) l à c á c h à m l i ê n tục, A m B l à đ ư ò n g cong

t ù y ý n ố i h a i đ i ể m A(x u yO v à B ( x2, y2) sao cho m i ề n được giói

-Tính các tích phân sau đây :

!257 í xdy~ydx , trong đó AB là đưòng cong nối hai điểm

I — - — |COSY + I — - — - lcosa + ]-—=-— cosp

l ấ y t r ê n đ ư ờ n g cong n ố i h a i đ i ể m M v à N , n ằ m h o à n t o à n t r o n g

B, k h ô n g p h ụ t h u ộ c v à o đường l ấ y t í c h p h â n l à :

ổx õy õy õz ói Ô3L

K h i đó t ồ n t ạ i m ộ t h à m u(x, y, z) sao cho:

trong đó t í c h p h â n l ấ y theo h ư ố n g d ư ỡ n g của c

Áp dụng công thức Stokes tính các tích phân sau:

1267 f ( y2 + z2) d x + ( x2+ z2) ( ỉ y ,+ ( x2+ y2) d z , t r o n g đ ó c

c

là đường cong X2 + y2 + z2 = 2Rx; X2 '+ y2 = 2rx, (0 < r < R), z > 0

lấy theo chiều dương sao cho phần có diện tích bé nhất của phía

ngoài hình cầu X2 + y2 + z2 = 2Rx được giói hạn bồi đường cong

c, luôn luôn nằm về phía bên trái

1268 ị (y2 -z2) dx + (z2 -X2) dy + (x2 - y2)dz, trong đó c là

ế

2 giao t u y ế n củ a m á t p h a n g x + y + z = —a v ó i m ặ t c ủ a h ì n h hóp

2 0<x<a,0<y<a,0<z<a, lấy theo chiều ngược kim đồng

hồ nếu nhìn từ phía dương của trục Ox

3 Công thức Ostrogradski

Giả sử B là miền bị chặn, đo được trong R3, được giới hạn

bồi mặt s trớn hay trơn từng phần: P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)

là các hàm liên tục cùng với các đạo hàm riêng cấp Ì của nổ

trong miền đóng B = B u s Khi đó ta cổ công thức

Ostrogradski:

ff(Pcosa+ Qcosp+Rcosy)ds = íffí ^+^+^ìdxdydz

trong đó cosa, cosp, COSỴ là các cosin đỊnh huống của vectd

pháp tuyến ngoài của hiệt s

Nếu ta chọn mặt ngoài của s là hướng dương và ký Mếu là