Đang tải... (xem toàn văn)
tài liệu uy tín được biên soạn bởi giảng viên đại học Bách Khoa TPHCM, thuận lợi cho qua trình tự học, nghiên cứu bổ sung kiến thức môn toán cao cấp 1, toán cao cấp hai, tích phân vi phân ôn thi học sinh giỏi, luyện thi đại học, ôn thi vào lớp 10, ôn thi trường chuyên môn toán, sắc xuất thống kê, các môn học tài chính, kế toán, ngân hàng, toán cao cấp, Tài liệu được kiểm duyệt bởi giảng viên, phòng đào tạo trường đại học bách khoa, lưu hành nội bộ
TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ BÀI GIẢNG ĐIỆN TỬ TS Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, mơn Tốn ứng dụng Email: ytkadai@hcmut.edu.vn TP HCM — 2016 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ TP HCM — 2016 / 41 NỘI DUNG ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ TP HCM — 2016 / 41 NỘI DUNG ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ TÍCH PHÂN SUY RỘNG PHỤ THUỘC THAM SỐ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ TP HCM — 2016 / 41 NỘI DUNG ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ TÍCH PHÂN SUY RỘNG PHỤ THUỘC THAM SỐ CÁC TÍCH PHÂN EULER TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ TP HCM — 2016 / 41 Định nghĩa tích phân phụ thuộc tham số Tích phân phụ thuộc tham số với cận ĐỊNH NGHĨA 1.1 Cho hàm số f (x, y) khả tích đoạn [a, b] với giá trị tham số y ∈ [c, d] Khi tồn tích phân xác định b I(y) = f (x, y)dx, a I(y) gọi tích phân xác định phụ thuộc tham số y TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ TP HCM — 2016 / 41 Định nghĩa tích phân phụ thuộc tham số Tích phân phụ thuộc tham số với cận ĐỊNH LÝ 1.1 Nếu hàm biến f (x, y) liên tục miền D = {(x, y) : x ∈ [a, b], y ∈ [c, d]}, tích phân phụ thuộc tham số y b I(y) = f (x, y)dx, a hàm liên tục theo biến y [c, d] TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ TP HCM — 2016 / 41 Định nghĩa tích phân phụ thuộc tham số Tích phân phụ thuộc tham số với cận I(y0 ) = lim I(y) = y→y0 b b lim f (x, y) dx = = f (x, y0 )dx y→y0 a TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) a TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ TP HCM — 2016 / 41 Định nghĩa tích phân phụ thuộc tham số Tích phân phụ thuộc tham số với cận VÍ DỤ 1.1 π Tìm giới hạn I = lim y→0 −π TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) [x + cos(yx)]ex sin y dx TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ TP HCM — 2016 / 41 Định nghĩa tích phân phụ thuộc tham số Tích phân phụ thuộc tham số với cận VÍ DỤ 1.1 π Tìm giới hạn I = lim y→0 −π [x + cos(yx)]ex sin y dx Vì f (x, y) = [x + cos(yx)]ex sin y liên tục miền D = {(x, y) : x ∈ [−π, π], y ∈ [−1, 1]}, ∈ [−1, 1] nên π I= π lim[x + cos(yx)]ex sin y dx = y→0 −π (x + 1)dx −π = 2π TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ TP HCM — 2016 / 41 Định nghĩa tích phân phụ thuộc tham số Tích phân phụ thuộc tham số với cận VÍ DỤ 1.2 Tìm giới hạn I = lim y→0 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) x −(x/y)2 e dx y2 TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ TP HCM — 2016 / 41 Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số Sự hội tụ tích phân suy rộng loại Cho hàm số f (x, y) xác định miền D = {(x, y) : x ∈ [a, b), y ∈ Y ⊂ R}, cho với y ∈ Y lim− f (x, y) = ∞ x→b tồn tích phân suy rộng b I(y) = f (x, y)dx a Tích phân suy rộng gọi tích phân suy rộng loại phụ thuộc tham số y ∈Y TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ TP HCM — 2016 28 / 41 Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số Sự hội tụ tích phân suy rộng loại Nếu với giá trị y ∈ Y tích phân b suy rộng I(y) = f (x, y)dx hội tụ, có nghĩa a tồn giới hạn hữu hạn b−δ lim δ→0+ a f (x, y)dx, tích phân suy rộng I(y) gọi hội tụ tập Y TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ TP HCM — 2016 29 / 41 Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số Sự hội tụ tích phân suy rộng loại ĐỊNH NGHĨA 2.2 Nếu với ε > tồn số ∆(ε) > 0, không phụ thuộc y , cho với δ : < δ < ∆(ε), bất đẳng thức b b−δ f (x, y)dx < ε lúc với giá trị y ∈ Y , b tích phân suy rộng I(y) = f (x, y)dx gọi a hội tụ tập Y TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ TP HCM — 2016 30 / 41 Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số Dấu hiệu hội tụ tích phân suy rộng TIÊU CHUẨN CAUCHY Để tích phân suy rộng +∞ I(y) = f (x, y)dx a hội tụ tập Y ⊂ R điều kiện cần đủ với ε > tồn ∆(ε) a, cho với b , b > ∆(ε) với y ∈ Y , ln có b b TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) f (x, y)dx < ε TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ TP HCM — 2016 31 / 41 Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số Dấu hiệu hội tụ tích phân suy rộng DẤU HIỆU WEIERSTRASS Nếu với y ∈ Y hàm số f (x, y) khả tích khoảng [a, b] ⊂ [a, +∞) |f (x, y)| g(x), ∀x ∈ [a, +∞), +∞ tích phân suy rộng g(x)dx hội tụ tích a phân suy rộng +∞ I(y) = f (x, y)dx a hội tụ tuyệt đối hội tụ tập Y TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ TP HCM — 2016 32 / 41 Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số Tính liên tục tích phân suy rộng phụ thuộc tham số ĐỊNH LÝ 2.1 Nếu hàm số f (x, y) liên tục miền D∞ = {(x, y) : x a, y ∈ Y ⊂ R} tích phân suy rộng +∞ I(y) = f (x, y)dx a hội tụ tập Y hàm I(y) liên tục tập Y TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ TP HCM — 2016 33 / 41 Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số Tính liên tục tích phân suy rộng phụ thuộc tham số I(y0 ) = lim I(y) = y→y0 +∞ +∞ f (x, y0 )dx lim f (x, y) dx = = y→y0 a TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) a TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ TP HCM — 2016 34 / 41 Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số Tính khả vi tích phân suy rộng ĐỊNH LÝ 2.2 Nếu hàm số f (x, y) đạo hàm riêng fy (x, y) liên tục miền D∞ = {(x, y) : x a, y ∈ Y ⊂ R} +∞ I(y) = +∞ a f (x, y)dx hội tụ, tích phân a fy (x, y)dx hội tụ với y ∈ Y hàm I(y) khả vi liên tục tập Y +∞ I (y) = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) a fy (x, y)dx TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ TP HCM — 2016 35 / 41 Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số Phép tính tích phân tích phân phụ thuộc tham số ĐỊNH LÝ 2.3 Nếu hàm số f (x, y) liên tục miền D = {(x, y) : x a, y ∈ [c, d]} tích phân suy rộng +∞ I(y) = f (x, y)dx a hội tụ trên đoạn [c, d] d +∞ dy c a TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) d +∞ f (x, y)dx = dx a TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ f (x, y)dy c TP HCM — 2016 36 / 41 Các tích phân Euler Tích phân Euler loại ĐỊNH NGHĨA 3.1 Tích phân Euler loại tích phân có dạng B(a, b) = xa−1 (1 − x)b−1 dx, phụ thuộc vào tham số a, b, (a > 0, b > 0) Tích phân B(a, b) hội tụ a > 0, b > hàm liên tục theo biến a, b Hàm gọi hàm beta TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ TP HCM — 2016 37 / 41 Các tích phân Euler Tích phân Euler loại MỘT SỐ CÔNG THỨC CƠ BẢN B(a, b) = B(b, a) b−1 B(a, b − 1), (a > 0, b > 1) B(a, b) = a+b−1 a−1 B(a, b) = B(a − 1, b), (a > 1, b > 0) a+b−1 (n − 1)! B(a, n) = B(n, a) = , a(a + 1) (a + n − 1) (a > 0, n ∈ N) (m − 1)!(n − 1)! B(m, n) = B(n, m) = , (m, n ∈ N) (m + n − 1)! TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ TP HCM — 2016 38 / 41 Các tích phân Euler Tích phân Euler loại ĐỊNH NGHĨA 3.2 Tích phân Euler loại tích phân có dạng +∞ Γ(a) = xa−1 e−x dx, phụ thuộc vào tham số a, (a > 0) Tích phân Γ(a) hội tụ a > hàm liên tục theo biến a Hàm gọi hàm gamma TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ TP HCM — 2016 39 / 41 Các tích phân Euler Tích phân Euler loại MỘT SỐ CÔNG THỨC CƠ BẢN Γ(a + 1) = aΓ(a) Γ(n) = (n − 1)!, (n ∈ N) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ TP HCM — 2016 40 / 41 Các tích phân Euler Tích phân Euler loại MỘT SỐ CÔNG THỨC CƠ BẢN Γ(a + 1) = aΓ(a) Γ(n) = (n − 1)!, (n ∈ N) CÔNG THỨC EULER B(a, b) = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) Γ(a)Γ(b) Γ(a + b) TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ TP HCM — 2016 40 / 41 Các tích phân Euler Tích phân Euler loại CÁM ƠN CÁC EM ĐÃ CHÚ Ý LẮNG NGHE TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ TP HCM — 2016 41 / 41