Đang tải... (xem toàn văn)
Bài giảng Chương 5: Tích phân phục thuộc tham số trình bày các kiến thức về tích phân phục thuộc tham số; tích phân suy rộng phụ thuộc tham số; một số tích phân đặc biệt.
Chương Tích phân phụ thuộc tham số 5.1 Tích phân phụ thuộc tham số 183 5.1.1 Khái niệm 183 5.1.2 Tính liên tục 184 5.1.3 Tính khả vi 186 5.1.4 Tính khả tích 187 5.2 Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số 188 5.2.1 Khái niệm 188 5.2.2 Hội tụ tiêu chuẩn hội tụ 189 5.2.3 Tính liên tục 194 5.2.4 Tính khả vi 196 5.2.5 Tính khả tích 196 5.3 Một số tích phân đặc biệt 197 5.3.1 Tích phân Dirichlet 198 5.3.2 Tích phân Euler (loại I) 199 5.3.3 Tích phân Euler (loại II) 201 5.1 Tích phân phụ thuộc tham số 5.1.1 Khái niệm Giả sử hàm f xác định hình chữ nhật [a, b]×[α, β] ⊆ R2 với điểm y ∈ [α, β] cố định, f khả tích theo x [a,b] Khi ấy, tích phân: b ∫ f ( x, y )dx (*) a hàm số theo biến y Ta nói tích phân (*) tích phân phụ thuộc tham số với tham số y Ký hiệu b I ( y ) = ∫ f ( x, y )dx a 184 Giải tích hàm nhiều biến Lưu ý thay y ∈ [α, β] xét y ∈ U ⊆ Rn I ( y ) hàm nhiều biến Tuy nhiên phần lớn tính chất tích phân phụ thuộc tham số với y ∈ Rn tương tự y ∈ R, giáo trình xét tích phân phụ thuộc tham số Ngồi ra, tích phân (*) hai cận a b cố định nên người ta cịn nói (*) tích phân phụ thuộc tham số với miền lấy tích phân không đổi Nếu (*), b = ψ( y ) a = ϕ( y ) hàm phụ thuộc y, ta nói ψ( y) ∫ f ( x, y )dx tích phân phụ thuộc tham số với miền lấy tích phân thay đổi ϕ( y ) Thí dụ Tính số tích phân phụ thuộc tham số sau đây: 1) I ( y ) = ∫ sin( y x)dx tích phân phụ thuộc tham số y với y ∈ R Ta tính nÕu y = I ( y) = (1 − cos y ) nÕu y ≠ y 2) I ( y1 , y2 ) = ∫ y1e−( y2 x ) dx tích phân phụ thuộc tham số y1, y2 xác định với ( y1 , y2 ) ∈ R2 Hàm không biểu diễn dạng hàm sơ cấp 5.1.2 Tính liên tục Chúng ta dùng ký hiệu I ( y ) cho tích phân phụ thuộc tham số với miền lấy tích phân thay đổi giả thiết f xác định hình chữ nhật [a, b]×[α, β] ⊆ R2 a ≤ ψ ( y ) ≤ b, a ≤ ϕ( y ) ≤ b với y ∈ [α, β] Định lý Giả thiết f liên tục miền [a, b]×[α, β] , ψ ϕ liên tục [α, β] Khi ấy: ψ( y) I ( y) = ∫ f ( x, y )dx ϕ( y ) hàm liên tục [α, β] Chứng minh Cố định y0 ∈ [α, β] Ta chứng minh với ε > , tồn δ cho I ( y ) − I ( y0 ) < ε , với y ∈ [α, β], y − y0 < δ Từ định nghĩa ta có 185 Chương Tích phân phụ thuộc tham số ψ ( y0 ) ψ( y) I ( y ) − I ( y0 ) = ∫ f ( x, y )dx − ϕ( y ) ϕ( y0 ) = ∫ ∫ f ( x, y0 )dx ϕ( y0 ) ψ ( y0 ) ψ( y) ∫ f ( x, y )dx + ϕ( y ) f ( x, y )dx + ψ ( y0 ) ∫ [ f ( x, y ) − f ( x, y0 )]dx ϕ( y0 ) Để đánh giá hiệu trên, nhận xét f liên tục tập compact nên giới nội liên tục đều, tức tồn M > 0, δ1 > để: f ( x, y ) < M , f ( x ', y ') − f ( x, y ) < ε (3(b − a )) , với ( x, y ) , ( x’, y’ ) ∈ [a,b]×[α, β], x '− x < δ1 , y '− y < δ1 Ngoài ϕ ψ liên tục nên tồn δ2 để: ϕ( y ) − ϕ( y0 ) < ε 3M , ψ ( y ) − ψ ( y0 ) < ε 3M , với y ∈ [α, β], y − y0 < δ2 Chọn δ = min{δ1 , δ2 } áp dụng bất đẳng thức thu để đánh giá số hạng hiệu I ( y ) − I ( y0 ) , ta có: ϕ( y0 ) I ( y ) − I ( y0 ) = ∫ ψ ( y0 ) ψ( y) f ( x, y )dx + ∫ f ( x, y )dx + ψ ( y0 ) ϕ( y ) ∫ [ f ( x, y ) − f ( x, y0 )]dx < ϕ( y0 ) < M ε + M ε + ψ ( y0 ) + ϕ( y0 ) ε < ε + ε + ε = ε, 3M 3M 3(b − a ) 3 với y ∈ [α, β], y − y0 < δ Chứng tỏ I liên tục định lý chứng minh xong Hệ Nếu f liên tục miền [a, b]×[α, β] tích phân b I ( y ) = ∫ f ( x, y )dx a liên tục [α, β] với y0 ∈ [α, β] ta có b lim y→ y0 ∫ a b b f ( x, y )dx = ∫ lim f ( x, y )dx =∫ f ( x, y0 )dx a y→ y0 a Chứng minh Phần đầu hệ trường hợp riêng định lý, phần sau suy từ phần đầu 186 Giải tích hàm nhiều biến 5.1.3 Tính khả vi Định lý Giả sử hàm f liên tục có đạo hàm riêng f’y liên tục miền [a, b]×[α, β] hàm ϕ, ψ khả vi [α, β] Khi hàm I ( y ) khả vi [α, β] và: ψ( y) I '( y ) = ∫ f ' y ( x, y )dx + f (ψ ( y ), y )ψ '( y ) − f (ϕ( y ), y )ϕ '( y ) ϕ( y ) Chứng minh Trước hết xét hàm ba biến v F ( y, u , v) = ∫ f ( x, y ) dx, ( y, u , v) ∈ [α, β]×[α, β]×[α, β] u chứng minh hàm khả vi liên tục Muốn ta cần F có đạo hàm riêng liên tục Cố định u,v xét số gia: v ∆ y F ( y, u , v) = F ( y + ∆y , u , v) − F ( y,u,v) = ∫ [ f ( x, y + ∆y ) − f ( x, y )]dx u Vì f y′ liên tục nên theo định lý giá trị trung bình f ( x, y∆y ) − f ( x, y ) = f '( x, y + λ∆y )∆y , λ ∈ [0,1] phụ thuộc ( x, y ) Khi ∆ y F ( y, u , v) v − ∫ f ' y ( x, y )dx = ∆y u v ∫ [ f y '( x, y + λ∆y) − f ' y ( x, y)]dx u Để ý f’y hàm liên tục [a, b]×[α, β] nên liên tục đó, với ε > , tìm δ > để ∆y < δ thì: f ' y ( x, y + λ∆y ) − f y '( x, y ) < ε (b − a) với x,y Do vậy, với ∆y < δ , ta có đánh giá: ∆ y F ( y, u , v) v − ∫ f ' y ( x, y ) dx < ε v − u ≤ ε (b − a ) ∆y u Vì ε bất kỳ, ta kết luận: v ∆ y F ( y, u , v) = ∫ f ' y ( x, y )dx ∆y ∆y→0 lim u Chứng tỏ Fy' ( y, u , v) Ngoài ta cịn có tồn liên tục 187 Chương Tích phân phụ thuộc tham số Fu' ( y, u , v) = − f (u , y ) Fv' ( y, u , v) = f (v, y ) hàm liên tục, F hàm khả vi liên tục Nếu ϕ ψ hàm khả vi thì, theo định lý hàm hợp, I ( y ) = F ( y , ϕ( y ), ψ ( y )) hàm khả vi I '( y ) = F ' y + F 'u du + F 'v dv = dy dy ϕ( y ) ∫ f ' y ( x, y )dx + f (ψ ( y ), y )ψ '( y ) − f (ϕ( y ), y )ϕ '( y ) ϕ( y ) Định lý chứng minh xong cos y Thí dụ Với I ( y ) = ∫ e yx dx Theo định lý, hàm I ( y ) khả vi y cos y I '( y ) = y ∫ e yx dx − e y cos y sin y − e y y 5.1.4 Tính khả tích Định lý Giả thiết f hàm liên tục miền [a, b]×[α, β] Khi tích phân β b ∫ f ( x, y ) dx , ∫ f ( x, y ) dy khả tích đoạn [α, β] , [a, b] (tương ứng) ta α a có cơng thức Fubini: β b ∫ dy ∫ α β b f ( x, y )dx = ∫ dx ∫ f ( x, y ) dy a α y Chứng minh Ở cuối Mục 4.3.1 có cơng thức Fubini từ định lý tổng quát Sau cách chứng minh khác Vì f liên tục hàm b I ( y ) = ∫ f ( x, y )dx liên tục, suy khả tích [α, β] Tương tự vậy, hàm a β ∫ f ( x, y ) dy khả tích đoạn [a,b] Đặt α t b b t g (t ) = ∫ dy ∫ f ( x, y )dx , h(t ) = ∫ dx ∫ f ( x, y )dy, α a a α α ≤t ≤β 188 Giải tích hàm nhiều biến Ta chứng minh g (t ) = h(t ) với t ∈ [α, β] có cơng thức định lý chọn t = β Chú ý với t = α , ta có g (α) = h(α) = , ta phải chứng minh g '(t ) = h '(t ) Nhận xét hàm b I ( y ) = ∫ f ( x, y ) dx a liên tục [α, β] , b g '(t ) = I (t ) = ∫ f ( x, t ) dx với t ∈ [α, β] a Hơn hàm hai biến t J ( x, t ) = ∫ f ( x, y )dx , ( x, t ) ∈ [a, b]×[α, β] , α liên tục có đạo hàm theo biến t liên tục (vì J t' ( x, t ) = f ( x, t ) ), ta áp dụng định lý đạo hàm tích phân phụ thuộc tham số b h '(t ) = d ( ∫ J ( x, t )dx) = dt b ∫ a b J 't ( x, t )dx = ∫ a f ( x, t )dx a Suy g '(t ) = h '(t ) định lý chứng minh đầy đủ Chú ý Trong định lý f khơng liên tục cơng thức đổi thứ tự tích phân khơng cịn Ví dụ, hàm x2 − y2 ( x, y ) ≠ (0,0) f ( x, y ) = ( x + y )2 ( x, y ) = (0,0) không liên tục điểm (x ,y)= (0,0) miền [0,1]×[0,1], ta có: 1 ∫ dy ∫ f ( x, y )dx = ∫ 0 −dy =−π , 1+ y 1 ∫ dx ∫ f ( x, y ) dy = ∫ 0 dx = π + x2 5.2 Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số 5.2.1 Khái niệm Giả sử f hàm số xác định miền [ a, ∞) ×U , U ⊆ R cho với y ∈ U cố định, hàm f (., y ) khả tích theo x [a, b] với b > a Tích phân: ∞ ∫ a f ( x, y ) dx Chương Tích phân phụ thuộc tham số 189 gọi tích phân suy rộng phụ thuộc tham số (với cận +∞ ) Tích phân ∞ hội tụ y0 ∈ U tích phân ∫ f ( x, y0 ) dx hội tụ Ta nói tích phân suy rộng a phụ thuộc tham số hội tụ U hội tụ điểm U tức với ∞ y ∈ U , J ( y ) = ∫ f ( x, y ) dx tồn (hữu hạn) a Tương tự ta định nghĩa tích phân suy rộng phụ thuộc tham số với cận −∞ , cận −∞ +∞ Đối với hàm f khơng giới nội, việc khảo sát tích phân suy rộng phụ thuộc tham số thực hoàn toàn tương tự kể từ định nghĩa khái niệm tới định lý Vì vậy, phần này, xét tích phân suy rộng phụ thuộc tham số với cận +∞ làm đại diện Thí dụ ∞ 1) I ( y ) = ∫ sin( yx)dx hội tụ y = phân kỳ y ≠ ∞ 2) I ( y ) = ∫ e− yx dx hội tụ y > phân kỳ y ≤ 3) I ( y ) = ∫ x ∞ −y dx = ∫t y−2 dt hội tụ y < phân kỳ y ≥ 5.2.2 Hội tụ tiêu chuẩn hội tụ Khi nghiên cứu chuỗi hàm gặp khái niệm hội tụ chuỗi nhằm thiết lập tính chất liên tục, khả vi hàm tổng Khái niệm mở rộng cho tích phân suy rộng phụ thuộc tham số với cận +∞ Giả thiết tích phân suy rộng phụ thuộc tham số ∞ I ( y ) = ∫ f ( x, y )dx , a hội tụ miền U ⊆ R Ta nói tích phân hội tụ U với ε > tìm số b0 cho ∞ ∫ f ( x, y ) dx < ε , với b > b0 y ∈ U b Nhận xét định nghĩa tương đương với điều kiện: ∞ lim sup b→∞ y∈U ∫ b f ( x, y ) dx = 190 Giải tích hàm nhiều biến Thí dụ Khảo sát tính hội tụ tích phân ∞ I ( y ) = ∫ e−( x− y ) dx Nhận xét với y ∈ R, tích phân I ( y ) hội tụ Dùng phép đổi biến ta có với b: ∞ −( x− y )2 ∫e ∞ dx = e− x dx ∫ b− y b Từ ta thấy với y < l0 thì: ∞ ∫ lim sup b→∞ y≤l − x2 e ∞ dx = lim b→∞ b− y ∫ e− x dx = b−l0 Chứng tỏ I ( y ) hội tụ (−∞, l0 ] Trên tập U = (−∞, +∞) ta có ∞ sup y∈U ∞ −( x− y ) e b→∞ y∈U ∫ lim sup ∫ −x2 e b− y ∞ dx ≥ ∫ e− x dx = π > , 2 dx > I ( y ) không hội tụ b ∞ Định lý (Tiêu chuẩn Cauchy) Tích phân I ( y ) = ∫ f ( x, y )dx hội tụ tập U với ε > , tồn số b0 để b2 ∫ f ( x, y )dx ≤ ε , với b1 , b2 ≥ b0 , y ∈ U b1 ∞ Chứng minh Điều kiện cần suy từ định nghĩa ∫ b f ( x, y )dx < ε với b ≥ b0 , y ∈ U b2 ∫ ∞ f ( x, y )dx ≤ b1 với b1 , b2 ≥ b0 , y ∈ U ∫ b1 ∞ f ( x, y )dx + ∫ b2 f ( x, y )dx ≤ ε + ε = ε 2 191 Chương Tích phân phụ thuộc tham số Điều kiện đủ Với y cố định, điều kiện định lý suy I ( y ) hội tụ Hơn ∞ cho b2 → ∞ điều kiện nói ∫ f ( x, y )dx ≤ ε với b1 ≥ b2 , y ∈ U b1 Theo định nghĩa, tích phân hội tụ U Định lý (Tiêu chuẩn Weierstrass) Giả thiết tồn hàm F ( x) ≥ khả tích f ( x, y ) ≤ F ( x) với y ∈ U , x ≥ b , tích phân số b ≥ a cho ∞ ∞ ∫ F ( x)dx ∫ hội tụ Khi a f ( x, y ) dx hội tụ M a Chứng minh Theo tiêu chuẩn Cauchy tích phân hội tụ, với ε > tồn b0 cho b2 ∫ F ( x)dx < ε với b1 , b2 ≥ b0 b1 Chọn b0 ≥ max{b, b0 } , ta có b2 ∫ b2 f ( x, y )dx ≤ b1 ∫ b2 f ( x, y ) dx ≤ b1 ∫ F ( x)dx < ε , b1 với b1 , b2 ≥ b0 , y ∈ U Áp dụng định lý Cauchy ta kết luận tích phân I ( y ) hội tụ U ∞ Thí dụ Chứng minh − yx ∫e dx hội tụ tập U = [t0 , ∞) với t0 > 0 2 Giải Nhận xét e− yx ≤ e−t0 x với y ∈ U , x ≥ Hơn tích phân ∞ ∫ e−t0 x dx hội tụ Theo định lý Weierstrass, tích phân ∞ − yx ∫e dx hội tụ U Để trình bày số tiêu chuẩn hội tụ tích phân tích cần bổ đề sau, cịn có tên gọi định lý Bonnet dạng định lý giá trị trung bình Bổ đề (Định lý Bonnet) Nếu hàm số α( x) đơn điệu hàm số g ( x) khả tích [ a, b ] tồn điểm c ∈ [ a, b ] cho 192 Giải tích hàm nhiều biến b c b ∫ g ( x) α( x) dx = α(a)∫ g ( x) dx + α(b)∫ g ( x) dx a a c Chứng minh Xét trường hợp α( x) không tăng α( x) ≥ (Trường hợp α( x) không giảm tương tự) Giả sử P phân hoạch [ a, b ] cho dãy điểm a = x1 < x2 < < xn = b Khi b ∫ xi n g ( x) α ( x) dx = ∑ ∫ g ( x) α( x) dx = i =2 x i −1 a n xi i=2 xi −1 n = ∑ α( xi−1 ) ∫ g ( x) dx + ∑ xi ∫ [α( x) − α( xi−1 )] g ( x) dx (*) i =2 x i −1 Nhận xét α( x) đơn điệu g ( x) khả tích nên bị chặn, tức g ( x) < δ với x ∈ [ a, b ] với δ > Khi thành phần thứ hai vế phải (*) đánh sau n xi n xi ∑ ∫ (α( x) − α( xi−1 )) g ( x) dx ≤ δ∑ ∫ (α( xi−1 ) − α( x)) dx i=2 x i−1 i=2 x i−1 b n a i=2 ≤ δ ∫ α( x) dx − ∑ α( xi−1 )( xi − xi−1 ) Do α( x) khả tích nên số trừ biểu thức tiến tới số bị trừ bề rộng phân hoạch dần tới Đối với thành phần đầu vế phải (*) lưu ý x G ( x) = ∫ g ( x) dx liên tục [ a, b ] đạt cực đại M cực tiểu a m đoạn Hơn ta có biến đổi sau n xi n i=2 xi−1 i =2 σT = ∑ α( xi−1 ) ∫ g ( x) dx = ∑ α( xi−1 ) (G ( xi ) − G ( xi−1 )) n−1 = ∑ (α( xi−1 ) − α( xi ))G ( xi ) + α( xn−1 )G (b) i =2 Vì α( xi−1 ) − α( xi ) ≥ α( xn ) ≥ đại lượng σT bị kẹp, cụ thể mα(a ) ≤ σT ≤ M α( a) Qua giới hạn bề rộng phân hoạch dần tới ta có b mα(a ) ≤ ∫ g ( x) α( x) dx ≤ M α(a ) a Vì G(x) hàm liên tục, tồn c ∈ [ a, b ] cho 193 Chương Tích phân phụ thuộc tham số b c ∫ g ( x) α( x) dx = α(a)∫ g ( x) dx a (**) a Bây α( x) không thiết dương, với α( x) − α(b) ≥ , ta xét tích phân b ∫ g ( x)(α( x) − α(b)) dx Theo chứng minh trên, tìm c ∈ [a, b] để a b c ∫ g ( x)(α( x) − α(b)) dx = (α(a) − α(b)) ∫ g ( x) dx a a b Suy c b ∫ g ( x) α( x) dx = α(a)∫ g ( x) dx + α(b)∫ g ( x) dx , cơng thức cần a a c tìm Định lý (Tiêu chuẩn Dirichlet) Giả thiết rằng: b i) Tích phân ∫ f ( x, y ) dx bị chặn theo b y tức tồn c > để a b ∫ f ( x, y )dx < c với b > a, y ∈ U ; a ii) ϕ( x, y ) hội tụ theo y ∈ U đến x → ∞ ϕ( x, y ) đơn điệu theo x với y ∈ U cố định ∞ Khi tích phân ∫ f ( x, y )ϕ( x, y ) dx hội tụ U a Chứng minh Lấy ε > Từ ii) ta tìm b0 để: ϕ(b, y ) < ε (4c) , với b > b0 , y ∈ U Khi với b2 ≥ b1 ≥ b0 , kết hợp với định lý Bonnet ta có: ξ b2 ∫ f ( x, y )ϕ( x, y )dx b2 = ϕ(b1 , y ) ∫ f ( x, y ) dx + ϕ(b2 , y ) ∫ f ( x, y ) dx ≤ b1 ξ b1 ξ ≤ ϕ(b1 , y ) ∫ b2 f ( x, y ) dx + ϕ(b2 , y ) ξ ≤ ε ∫ fdx + 4c a ∫ f ( x, y ) dx ≤ ξ b1 b1 ∫ a ξ fdx + ε ∫ fdx + 4c a b2 ∫ a fdx < ε (2c + 2c) = ε , 4c 194 Giải tích hàm nhiều biến ξ điểm đoạn [b1 , b2 ] Theo định lý Cauchy, tích phân ∞ ∫ f ( x, y )ϕ( x, y ) dx hội tụ a Định lý (Tiêu chuẩn Abel) Giả thiết ∞ i) ∫ Tích phân f ( x, y )dx hội tụ U; a ii) ϕ( x, y ) bị chặn đều, tức tồn c > để ϕ( x, y ) ≤ c với x ≥ a, y ∈ U , với y ∈ U cố định hàm ϕ(., y ) đơn điệu theo x ∞ Khi tích phân ∫ f ( x, y )ϕ( x, y ) dx hội tụ U a Chứng minh Tương tự định lý trên, áp dụng định lý Bonnet định lý Cauchy ∞ Thí dụ Khảo sát tính hội tụ tích phân ∫ sin( yx) dx tập U = [t0 ,∞) , x với t0 > Lấy ϕ( x, y ) = f ( x, y ) = sin( yx) ta thấy điều kiện x tiêu chuẩn Dirichlet thỏa mãn Vì tích phân hội tụ U 5.2.3 Tính liên tục Để khảo sát tính chất tích phân hội tụ với cận vơ hạn thiết lập mối liên hệ tích phân với dãy hội tụ ∞ Bổ đề Giả thiết tích phân I ( y ) = ∫ f ( x, y )dx hội tụ tập U a {an } dãy số dần tới +∞ với an > a Khi dãy hàm: an ϕn ( y ) = ∫ f ( x, y )dx a hội tụ tới hàm số I ( y ) U ∞ Chứng minh Với y∈U cố định, tích phân ∫ f ( x, y ) dx hội tụ a dãy hàm {ϕn ( y )} hội tụ tới I ( y ) Ta chứng minh dãy hội tụ Cho ε > Vì I ( y ) hội tụ ta tìm b0 cho: ∞ ∫ b f ( x, y )dx < ε , với b > b0 , y ∈ U 195 Chương Tích phân phụ thuộc tham số Khi tồn n0 > cho với n ≥ n0 , ta có an ≥ b (vì {an } tiến tới ∞) Như an ϕn ( y ) − I ( y ) = ∞ ∞ ∫ f ( x, y )dx − ∫ f ( x, y )dx = ∫ a a an f ( x, y )dx < ε , với n ≥ n0 , y ∈ U Chứng tỏ {ϕn ( y )} hội tụ tới I ( y ) U Định lý Giả thiết hàm f xác định liên tục miền [a, ∞) ×[α, β] ∞ tích phân I ( y ) = ∫ f ( x, y ) dx hội tụ [α, β] Khi hàm I ( y ) liên tục a [α, β] Chứng minh Lấy dãy {an } tiến dần +∞ , an > a , xét dãy hàm an ϕn ( y ) = ∫ f ( x, y )dx, y ∈ [ α , β] a Với n cố định, theo định lý tính liên tục tích phân phụ thuộc tham số với cận hữu hạn, hàm ϕn ( y ) liên tục [α, β] Áp dụng bổ để, {ϕn ( y )} hội tụ tới I ( y ) Theo định lý tính liên tục dãy hàm hội tụ đều, ta kết luận hàm giới hạn I ( y ) = lim ϕn ( y ) liên tục [α, β] Định lý chứng minh xong n→∞ Chú ý Đối với trường hợp hàm dương ( f ( x, y ) ≥ 0) , phần đảo định lý (như định lý Dini dãy hàm) Cụ thể là, f liên tục dương ∞ miền [a, ∞) ×[α, β] , tích phân ∫ f ( x, y ) dx hội tụ tới hàm liên tục I ( y ) a [α, β] , tích phân hội tụ Để chứng minh điều này, xét dãy a+n đơn điệu hàm liên tục ϕn ( y ) = ∫ f ( x, y )dx hội tụ tới hàm liên tục I ( y ) a [α, β] Theo định lý Dini, dãy hàm hội tụ đều, tức với ε > , tồn n0 để: ∞ ϕn ( y ) − I ( y ) = ∫ f ( x, y )dx < ε , với n ≥ n0 , y ∈ [α, β] a +n Khi với b ≥ n0 + a , ∞ ∫ ∞ f ( x, y ) dx ≤ ∫ f ( x, y )dx < ε , với a +n0 b ∞ Chứng tỏ tích phân ∫ a f ( x, y ) dx hội tụ [α, β] y ∈ [α, β] 196 Giải tích hàm nhiều biến 5.2.4 Tính khả vi Định lý Giả thiết Hàm f liên tục có đạo hàm riêng f y′ liên tục miền [a, ∞) ×[α, β] ; i) ∞ ii) Tích phân I ( y ) = ∫ f ( x, y )dx hội tụ [α, β] ; a ∞ iii) Tích phân ∫ f y′ ( x, y )dx hội tụ [α, β] a Khi hàm I ( y ) khả vi [α, β] đaọ hàm tính theo cơng thức: ∞ I '( y ) = ∫ f y′ ( x, y ) dx a Chứng minh Xét dãy hàm a+n ∫ ϕn ( y ) = f ( x, y )dx , y ∈ [α, β] a Với n cố định, theo định lý tính khả vi tích phân phụ thuộc tham số với cận hữu hạn, hàm ϕn ( y ) khả vi [α, β] a+n ∫ ϕn′ ( y ) = f y′ ( x, y )dx , y ∈ [α, β] a Ta có I ( y ) = lim ϕn ( y ) n→∞ ∞ lim ϕ′n ( y ) = ∫ f y′ ( x, y )dx n→∞ a Theo bổ đề mục trước, dãy {ϕ′n ( y )} hội tụ tập [α, β] Áp dụng định lý tính khả vi dãy hàm ta thu tính khả vi hàm I ( y ) ∞ I ′( y ) = [ lim ϕn ( y )]′ = lim ϕ′n ( y ) = ∫ f y′ ( x, y )dx n→∞ n→∞ Định lý chứng minh xong 5.2.5 Tính khả tích Định lý Giả thiết i) Hàm f liên tục miền [a, ∞) ×[α, β] ; a 197 Chương Tích phân phụ thuộc tham số ∞ ii) Tích phân I ( y ) = ∫ f ( x, y )dx hội tụ [α, β] a Khi I ( y ) khả tích [α, β] β ∫ α ∞ β ∞ dy ∫ f ( x, y )dx = a ∫ dx ∫ f ( x, y )dy α a Chứng minh Từ điều kiện định lý suy I ( y ) hàm liên tục [α, β] , khả tích Để chứng mính cơng thức cần xét dãy hàm a +n ϕn ( y ) = ∫ f ( x, y ) dx a áp dụng định lý tính khả tích dãy hàm hội tụ ta thu β β β a +n ∫ I ( y)dy = nlim ∫ ϕn dy = nlim ∫ dy ∫ →∞ →∞ α α α a+n = lim n→∞ f ( x, y )dx = a β ∞ β ∫ dx ∫ f ( x, y )dy =∫ dx ∫ f ( x, y )dy , a a α α điều phải chứng minh Chú ý Kết mở rộng cho trường hợp miền lấy tích phân I ( y ) vơ hạn (thí dụ [α, ∞) ) Cụ thể là: Giả thiết hàm f liên tục dương miền [α, ∞) ×[α, ∞) tích phân β ∞ J ( y ) = ∫ f ( x, y ) dy , I ( y ) = ∫ f ( x, y )dx , α a ∞ hội tụ tới hàm liên tục Khi tích phân ∫ a ∞ α ∞ ∫ dx ∫ α ∞ dx ∫ fdy , fdx tồn tích phân cịn lại tồn chúng a 5.3 Một số tích phân đặc biệt Trong mục sử dụng kết mục trước để khảo sát số tích phân dạng đặc biệt thường gặp số lĩnh vực toán học ứng dụng 198 Giải tích hàm nhiều biến 5.3.1 Tích phân Dirichlet Tích phân Dirichlet tích phân phụ thuộc tham số có dạng ∞ I ( y) = ∫ Hàm f ( x, y ) = sin( yx) dx , y∈R x sin( yx) xác định tồn R×R ta cho x sin( yx) = y , y∈R x Sau số tính chất đơn giản tích phân Dirichlet f (0, y ) = lim x→ • Tính hội tụ I ( y ) : Nếu y = , ta có I ( y ) = Nếu y ≠ , áp dụng tiêu chuẩn Dirichlet cho f ϕ( x, y ) = 1/ x miền [a, ∞) ×[α, β] với a > , ∞ β ≥ α > (hoặc β ≤ α < ) ta thấy tích phân ∫ a sin( yx) dx hội tụ x a → hội tụ tới I ( y ) Hơn nữa, tích phân I ( y ) hội tụ miền [α, β] với β ≥ α > (hoặc β ≤ α < ) Ngoài ra, từ bất đẳng thức sin( yx) sin ( yx) cos(2 yx) ≥ = − x x 2x 2x ∞ thấy ∫ • sin( yx) dx phân kỳ (vì x ∞ ∫ cos(2 yx) dx hội tụ) 2x Cơng thức tính: I ( y ) = π sgn y ∞ Thật vậy, cách đổi biến yx = z , ta thấy I ( y ) = sgn( y ).∫ sin z dz Để chứng z minh I (1) = π , xét tích phân phụ trợ ∞ J ( y ) = ∫ e− yx sin x dx , x Ta (1) J ( y ) liên tục [0,∞) ; (2) J ( y ) khả vi J '( y ) = − ; 1+ y2 y∈[0,∞) 199 Chương Tích phân phụ thuộc tham số (3) J ( y ) = − arctan( y ) + π ; (4) I (1) = J (0) = lim J ( y ) = π y →0 Thật vậy, để chứng minh (1) cần áp dụng định lý Dirichlet cho hàm đơn điệu ϕ( x, y ) = nhận xét tích phân x b − yx ∫e sin x dx bị chặn Như vậy, a tích phân ∞ − yx ∫e a sin x dx , x ∞ − yx ∫e sin x dx x hội tụ [0, β], β > Theo kết tính liên tục tích phân hội tụ suy J ( y ) liên tục [0, β] với β > Muốn chứng minh (2) ta lưu ý miền [0, ∞) ×[α, β] , với β ≥ α > bất kỳ, hàm f liên tục với đạo hàm riêng f y' = −e− yx sin x Hơn ∞ ∫ f ' y dx hội tụ (dùng tiêu chuẩn Weierstrass lưu ý e− yx sin x ≤ e−αx với y ∈ [α, β] ) Vậy J ( y ) khả vi ∞ J '( y ) = −∫ e− yx sin xdx = − 1+ y2 Từ tính chất (2) suy J ( y ) = −∫ dy + c = − arctan y + c, 1+ y2 y>0, ∞ số c xác định từ lim J ( y ) = , J ( y ) ≤ ∫ e− yx dx = Từ y y→∞ c = π suy công thức (3) chứng minh Cuối cùng, J ( y ) liên tục ta có I (1) = J (0) = lim J ( y ) = π y →0 (4) chứng minh 5.3.2 Tích phân Euler (loại I) Tích phân Euler loại hay hàm Beta tích phân phụ thuộc tham số có dạng: 200 Giải tích hàm nhiều biến B ( p, q) = ∫ x p−1 (1 − x) q−1 dx, p > 0, q > Một số tính chất hàm Beta: 1) Tính hội tụ Với p ≥ 1, q ≥ hàm f ( x, p, q ) = x p−1 (1 − x) q−1 liên tục [0,1] nên tích phân xác định bình thường Với p ∈ (0,1), f ( x, p, q ) tương đương với x → 0+ tích phân hội tụ Với q ∈ (0,1), f ( x, p, q) tương đương x1− p với 11−q x → 1− nên tích phân hội tụ Như vậy, hàm Beta xác định với x p > 0, q > Hàm Beta có đồ thị Hình vẽ 5.1 40 30 20 10 p q 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0.8 0.6 0.4 0.2 Hình 5.1 2) Tính hội tụ Với p1 > p0 > 0, q1 > q0 > cố định, tích phân hội tụ miền [ p0 , p1 ]×[q0 , q1 ] x → 0+ x → 1− ta có đánh giá: x p−1 (1 − x) q−1 ≤ x p0 −1 (1 − x) q0 −1 3) Tính liên tục Hàm Beta liên tục điểm miền xác định p > 0, q > ta chọn p0 = p 2, q0 = q 2, p1 = p, q1 = 2q tích phân hội tụ miền [ p0 , p1 ]×[q0 , q1 ] , liên tục miền 4) Tính đối xứng: B ( p, q ) = B (q, p ) suy trực tiếp từ định nghĩa với phép đổi biến x − x 5) Công thức truy hồi (bằng cách kiểm tra trực tiếp) B ( p + 1, q + 1) = Trường hợp riêng: q q B( p + 1, q ) = B( p, q + 1) ( p + q + 1) ( p + q + 1) 201 Chương Tích phân phụ thuộc tham số ; p +1 n! n! B ( p + 1, n) = B ( p + 1,1) = ; ( p + n)( p + n −1) ( p + 2) ( p + n)( p + n −1) ( p + 1) B (1,1) = ; B ( p + 1,1) = B (m, n) = (n −1)!(m −1)! (n −1)!(m −1)! B (1,1) = (m + n −1)! (m + n − 1)! 5.3.3 Tích phân Euler (loại II) Tích phân Euler loại II hay hàm Gamma tích phân phụ thuộc tham số có dạng: ∞ Γ( p ) = ∫ x p−1e− x dx, p>0 Một số tính chất hàm Gamma: 1) Tính hội tụ Dễ thấy, tích phân hội tụ với p > , hội tụ miền [ p0 , p1 ] với p1 > p0 > 2) Tính liên tục miền xác định p > Suy từ tính hội tụ 3) Cơng thức truy hồi (lấy tích phân theo phần) Γ(n + p ) = ( n + p −1)( n + p − 2) pΓ( p ) Trường hợp riêng: Γ(1) = , Γ(n + 1) = n! , ∞ Γ(1 2) = ∫ ∞ e− x dx = e− z dz = π ∫ x 202 Giải tích hàm nhiều biến Hàm Gamma có đồ thị Hình vẽ 5.2 40 30 20 10 0.2 0.4 0.6 0.8 p Hình 5.2 Bằng số phép biến đổi khơng phức tạp, ta có cơng thức liên hệ hàm Beta hàm Gamma: B ( p, q ) = Γ ( p )Γ ( q ) Γ( p + q ) ... ( x, y )dx tích phân phụ thuộc tham số với miền lấy tích phân thay đổi ϕ( y ) Thí dụ Tính số tích phân phụ thuộc tham số sau đây: 1) I ( y ) = ∫ sin( y x)dx tích phân phụ thuộc tham số y với y... dx Chương Tích phân phụ thuộc tham số 189 gọi tích phân suy rộng phụ thuộc tham số (với cận +∞ ) Tích phân ∞ hội tụ y0 ∈ U tích phân ∫ f ( x, y0 ) dx hội tụ Ta nói tích phân suy rộng a phụ thuộc. .. Tích phân Euler (loại I) Tích phân Euler loại hay hàm Beta tích phân phụ thuộc tham số có dạng: 200 Giải tích hàm nhiều biến B ( p, q) = ∫ x p−1 (1 − x) q−1 dx, p > 0, q > Một số tính chất hàm