Bài giảng Giải tích 2 - Chương 2: Tích phân bội

Bài giảng Giải tích 2 - Chương 2: Tích phân bội cung cấp cho người học các kiến thức: Một số mặt bậc hai thường gặp, tích phân kép, đổi biến trong tích phân kép, ứng dụng của tích phân kép, tích phân bội ba. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

CHƯƠNG II: TÍCH PHÂN BỘI §0: MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP §1: TÍCH PHÂN KÉP I Định nghĩa Cách tính II Đổi biến tích phân kép III Ứng dụng tích phân kép §2: TÍCH PHÂN BỘI BA I Định nghĩa Cách tính II Đổi biến tích phân bội ba III Ứng dụng tích phân bội ba §0 Một số mặt bậc hai thường gặp I Mặt Ellipsoid: Phương trình: Cách gọi tên mặt: x y z2   1 a b c Với phương trình trên, ta cho x = 0, y = 0, z = ta nhận giao tuyến mặt với mặt tọa độ đường Ellipse Nếu giao tuyến mặt cong S với mặt tọa độ mặt song song với mặt tọa độ ellipse ta gọi mặt S mặt Ellipsoid Cách vẽ hình Vẽ giao tuyến S với mặt tọa độ §0 Một số mặt bậc hai thường gặp Vẽ đường ellipse x2 a  y2 b 1 mặt phẳng z=0 Vẽ đường ellipse y2  z2 1 b c mặt phẳng x=0 Vẽ mặt ellipsoid x2 a  y2 b  z2 c 1 §0 Một số mặt bậc hai thường gặp x2+z2=1, y=0 y2+z2=1,x=0 x2+y2=1,z=0 Trong MatLab, để vẽ ellipsoid trên, ta dùng lệnh ellipsoid(a,b,c) §0 Một số mặt bậc hai thường gặp II Mặt Paraboloid Elliptic: x2 Phương trình : a2 Cách gọi tên mặt: y2 b2 z Với phương trình trên, ta cho x = 0, y = giao tuyến với mặt tọa độ đường Parabol cho z=c, c>0 ta đường lại đường Ellipse Nếu giao tuyến với mặt tọa độ mặt song song với mặt tọa độ Parabol, giao tuyến lại Ellipse ta gọi mặt S Paraboloid Elliptic §0 MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP Vẽ hình Vẽ đường parabol y2 = z mặt phẳng x=0 Vẽ đường ellipse x2+y2 = mặt phẳng z = Vẽ mặt parabolid z = x2+y2 §0 MỘT SỐ MẶT BẬC HAI THƯỜNG GẶP z=x2, y=0 z=y2, x=0 x2+y2=1,z=1 Vẽ thêm đường parabol x2 = z mặt phẳng y = §0 Một số mặt bậc hai thường gặp III Mặt Paraboloid Hyperbolic (Mặt Yên ngựa): 2 x y Phương trình : z 2 a b Cách gọi tên mặt: Với phương trình trên, ta cho x = 0, y = giao tuyến với mặt tọa độ đường Parabol cho z=c ta đường lại đường Hyperbol Nếu giao tuyến với mặt tọa độ mặt song song với mặt tọa độ Parabol, giao tuyến cịn lại Hyperbol ta gọi mặt S Paraboloid Hyperbolic §0 Một số mặt bậc hai thường gặp x Vẽ parabol mp y=0 a z Vẽ parabol mp x=0 y2 b2 z §0 Một số mặt bậc hai thường gặp IV Mặt Hyperbolic Elliptic: x2 y Phương trình : 2 a b Cách gọi tên mặt: z2 c Với phương trình trên, ta cho x = 0, y = giao tuyến với mặt tọa độ đường Hyperbol Khi cho z=0: có trường hợp TH1: Nếu vế phải +1 giao tuyến ellipse TH 2: Nếu vế phải -1 | z | c có giao tuyến ellipse §1: Tích phân kép – Ứng dụng y+x=-1 z2=x2+y2, z≥0 -y+x=1 y+x=1 y-x=1 §1: Tích phân kép – Ứng dụng Ví dụ 13 : Cho vật thể Ω giới hạn y=x2, x=y2, z=0, z=y2 Tính Diện tích phần mặt phẳng z=0 nằm Ω Thể tích Ω Diện tích phần mặt trụ z = y2 nằm Ω Trong mặt tạo thành Ω, có mặt song song với trục Oz y=x2 x=y2 Từ ta hình chiếu Ω xuống mặt z = miền D D §1: Tích phân kép – Ứng dụng Diện tích miền D S (D ) dxdy D x dx dy x2 Thể tích Ω : Hiển nhiên y2 ≥ nên f(x,y)=y2 V( ) f ( x, y )dxdy x y 2dy dx D x2 Diện tích mặt cong có phương trình z=y2 zx zy 2y zx zy 4y §1: Tích phân kép – Ứng dụng Vậy diện tích mặt cong cần tính S x y dy dx x2 z=y2 y=x2 x=y2 §1: Tích phân kép – Ứng dụng z2=x2+y2 y=x2 x=y2 §1: Tích phân kép – Ứng dụng Ví dụ : Tính diện tích miền nằm ngồi đường r = 2cosφ phía đường r = 2(1+cosφ) D2  S (D )   d  2(1 cos  )  2cos  D1 3 rdr   d  2(1cos  )  rdr §1: Tích phân kép – Ứng dụng Ứng dụng học Mảnh phẳng D mặt phẳng Oxy có khối lượng riêng điểm (x,y) f(x,y) a Khối lượng mảnh phẳng M   f ( x, y )dxdy D b Moment quán tính mảnh phẳng Với trục Ox I x   y 2f ( x, y )dxdy Với trục Oy I y   x 2f ( x, y )dxdy Với gốc tọa độ O IO   ( x  y )f ( x, y )dxdy Với đt L, r(x,y) khỏang cách từ điểm (x,y) đến L IL   r ( x, y )f ( x, y )dxdy D D D D §1: Tích phân kép – Ứng dụng c Moment tĩnh mảnh phẳng Với trục Ox M x   yf ( x, y )dxdy D Với trục Oy M y   xf ( x, y )dxdy D d Trọng tâm (x0,y0) mảnh phẳng x0  My M   xf ( x, y )dxdy D  f ( x, y )dxdy D  yf ( x, y )dxdy Mx D y0   M  f ( x, y )dxdy D §1: Tích phân kép – Ứng dụng Ví dụ: Cho mảnh phẳng D giới hạn y=x2, y=2-x khối luợng riêng f(x,y)=2x-y Tính khối lượng, moment quán tính, moment tĩnh trọng tâm Ta có : x2 = 2-x  x2+x-2=0  x=1, x=-2 Suy D giới hạn bởi:  x  1, x2  y   x Vậy: 2 x 63 M   dx  (2 x  y )dy  Khối lượng D 2 10 x2 Moment tĩnh 2 x 2 x2 M x   dx  y (2 x  y )dy 2 x 2 x2 M y   dx  x (2x  y )dy §1: Tích phân kép – Ứng dụng Trọng tâm (x0,y0) : Moment quán tính : My Mx x0  , y0  M M 2 x 2 x2 2 x 2 x2 I x   dx  y (2 x  y )dy I y   dx  x (2x  y )dy §1: Tích phân kép – Bài tập I Tính tích phân hàm f(x,y) miền D f ( x, y )  x  y , D : y  x  x  1, y  x  f ( x, y )  y , D : y  e x 1, y  e3 , x  1 f ( x, y )  y  x, D : x  y  x, x  y  y 2 f ( x, y )  , D : y  x  y  y ,0  x  y x2  y2 f ( x, y )    x  y ln x  y , D : x  y  e2 ,  x  y  x §1: Tích phân kép – Bài tập f ( x, y )  e x2  y2 , D : x  y  4, x  f ( x, y )  x2  y2 , D : x  y  12 x, x  2 f ( x, y )  x  3, D : y  0, y  x, x  y  2 II Đổi thứ tự lấy tích phân: 1 1 y I1   dy  x x2 2 I   dx  x f ( x, y )dx f ( x, y )dy §1: Tích phân kép – Bài tập III Tính diện tích miền D: 1.D1 : x  y  x, x  y  y 2.D2 : y  x  1, y  x  3.D3 : xy  4, x  y  §1: Tích phân kép – Bài tập IV Tính thể tích vật thể: V1 : z  x  y , z  x V2 : z  0, z  x  y , x  y  V3 : x  y  1, x  y  z  V4 : z  0, y  x , z  y  V5 : x  y  z  2, y  0, z  0,2 x  y  §1: Tích phân kép – Bài tập V Tính diện tích mặt cong S ...  x   0  y  2  D  V=  16-x -2 y dxdy Tính thể tích vật thể 2? ?? ? ?2 0 2  =  dx  16-x -2 y dy y  16  =  (16-x )y -2  dx =   3 2- 2x - dx =48 3   0  §1: Tích phân kép – Định nghĩa... =meshgrid(linspace(1,1 ,20 ),linspace (-4 ,2, 20)); >> z1=sqrt(y1. ^2+ 2*y1); -1 -2 -3 >> mesh(x,y1,z1) -1 >> hold on -4 -3 -2 -1 >> mesh(x,y1,-z1) Tương tự, ta vẽ nửa lại ứng với 0