Phần 2 bài giảng Giải tích 2 - Chương 3: Tích phân đường cung cấp cho người học các kiến thức về cách tính tích phân đường loại 2, tích phân đường loại 2 – CT Green, tích phân đường loại 2 không phụ thuộc đường đi,... Mời các bạn cùng tham khảo.
§2: Tích phân đường loại 2- Cách tính Định nghĩa: Cho hàm P(x,y), Q(x,y) xác định cung AB mp Oxy Chia cung AB thành n phần tùy ý điểm chia A=A0, A1, A2, … An=B, Ak(xk,yk) Trên cung nhỏ AkAk+1 lấy điểm Mk bất kỳ, đặt Δxk=xk+1-xk, Δyk=yk+1-yk , Δlk độ dài cung n Lập tổng Sn P (M k ) x k k An Δyk A1 Mk Ak Ak+1 A0 A Δxk B Q(Mk ) y k §2: Tích phân đường loại 2- Cách tính Cho max Δlk → 0, Sn có giới hạn hữu hạn khơng phụ thuộc cách chia cung AB cách lấy điểm Mk giới hạn gọi đường loại hàm P(x,y) Q(x,y) dọc cung AB kí hiệu P ( x, y )dx AB Q( x, y )dy lim Sn max lk Điều kiện tồn tại: Nếu hàm P, Q liên tục miền mở chứa cung AB trơn khúc tồn tích phân đường loại P, Q dọc cung AB §2: Tích phân đường loại – Cách tính Tính chất : Tích phân đường loại đổi dấu hướng cung AB thay đổi Pdx Qdy Pdx Qdy AB BA Trường hợp đường lấy đường cong kín C, ta quy ước hướng dương C hướng mà dọc C miền giới hạn C nằm bên trái Hướng âm hướng ngược với hướng dương §2: Tích phân đường loại 2– Cách tính Cách tính tích phân đường loại Nếu cung AB có phương trình y=y(x), từ A(x1,y(x1)) đến B(x2,y(x2)) x2 Pdx Qdy P ( x, y ( x )) AB Q( x, y ( x ))y ( x ) dx x1 Nếu cung AB có phương trình tham số x=x(t), y=y(t) từ A(x(t1), y(t1)) đến B(x(t2), y(t2)) t2 Pdx AB Qdy P ( x(t ), y (t ))x (t ) Q( x (t ), y (t ))y (t ) dt t1 Nếu AB đường cong khơng gian, ta có cách tính tương tự có pt tham số đường cong §2: Tích phân đường loại – Cách tính Ví dụ 1: Tính tích phân I1 từ A(0,0) đến B(1,1) hàm P=x2 Q=xy theo đường Đường thẳng Parabol y=x2 Đường tròn x2+y2=2x lấy chiều kim đồng hồ AB đoạn thẳng y=x, x từ đến 1 x 2dx I1 AB (x2 xydy x )dx §2: Tích phân đường loại – Cách tính AB phần parabol y=x2 với x từ đến 1, y’=2x 1 (x2 I1 x.x 2.2 x )dx AB phần đường tròn x2+y2=2x Ta viết pt tham số đường tròn (x-1)2+y2=1: x=1+cost, y=sint với t từ π đến π/2 I1 (1 cos t ) ( sin t ) (1 cos t )(sin t )cos t dt §2: Tích phân đường loại – Cách tính Ví dụ 2: Tính đường loại hàm P=x2+2y Q=y2 đường cong C : y=1-|1-x| với x từ đến Ta viết lại pt đường cong C: x, x y x,1 x Vậy : I2 Qdy C (x2 I2 Pdx 2x ) x dx (x2 2(2 x )) (2 x )2 ( 1) dx §2: Tích phân đường loại – Cách tính Ví dụ 3: Tính I3 xdx zdy ydz với C giao tuyến C mặt y=x2 x=z từ O(0,0,0) đến A(1,1,1) Ta viết pt tham số C cách đặt x=t ta : x t x z y t , t từ đến y x z t Vậy : I3 t t 2t t dt §2: Tích phân đường loại – CT Green CƠNG THỨC GREEN: Mối liên hệ tích phân kép tích phân đường loại Định lý Green : Cho D miền đóng, bị chặn mp Oxy với biên C trơn khúc Các hàm P(x,y) Q(x,y) liên tục miền mở chứa D Khi ta có cơng thức Green Pdx C Qdy (Qx Py )dxdy D Trong đó, kép lấy dấu “+” hướng đường cong kín C hướng dương dấu “-” ngược lại §2: Tích phân đường loại – CT Green Ví dụ 4: Cho I4 (4 x 2y )dx (2 x y )dy C với C chu tuyến dương hình tròn (x-1)2+(y+1)2=4 Tính cách: trực tiếp dùng cơng thức Green Tính trực tiếp:Viết pt tham số đường tròn theo hướng dương: x = 1+2cost, y = -1+2sint, t từ đến 2π Suy : I4 4(1 cos t ) 2( sin t ( sin tdt ) 2(1 cos t ) 3( sin t cos tdt §2: Tích phân đường loại khơng phụ thuộc đường Khi : yB Pdx Qdy AB Hoặc xB Q( x A , y )dy P ( x, y B )dx yA xA xB yB P ( x, y A )dx xA Q( xB , y )dy yA Cách 2: Kiểm tra điều kiện Tồn hàm U(x,y) cho dU=Pdx+Qdy Giải hệ: Pdx AB Ux P Uy Q Qdy Để tìm hàm U(x,y), thay vào dU AB U (B ) U ( A ) §2: Tích phân đường loại khơng phụ thuộc đường Ví dụ 8: Tính I8 (4,2) xdy ydx (2,1) Cách 1: Tìm hàm U cho U’x=y, U’y=x Ta U(x,y)=xy Nên I8 = 4.2-2.1 = Cách 2: Kiểm tra điều kiện Q’x=P’y = 1, P=y, Q=x I8 dx 4dy 4.1 §2: Tích phân đường loại khơng phụ thuộc đường Ví dụ 9: Tính tích phân (1,2) I9 xdy x2 (2,1) ydx theo đường cong không cắt trục Oy (1,2,3) I10 xydx (x2 z )dy 2yzdz (0,0,0) Tìm hàm U cho : U x y U Ta x (1,2) I9 dU (2,1) U (1,2) U (2,1) y x ,U y x x2 x §2: Tích phân đường loại khơng phụ thuộc đường 10 Ta tìm hàm U(x,y,z) cho dU=Pdx+Qdy+Rdz Suy U’x=2xy, U’y=x2-z2, U’z=-2yz Đạo hàm theo x U 2xy nguyên hàm chắn có số hạng x2y Đạo hàm theo y U có x2-z2 chắn ngun hàm có số hạng x2y-yz2 Đạo hàm theo z U -2yz chắn ngun hàm có số hạng –yz2 Tổng hợp từ kết ta hàm U(x,y,z)=x2y-yz2+C Vậy I10 = U(1,2,3)-U(0,0,0) = (1.2-2.9+C)-(C) = -16 §2: Tích phân đường loại khơng phụ thuộc đường Ví dụ 11: Tìm hàm h(y) thỏa h(1)=1 cho B I11 (2 xy 3)h( y )dy y h( y )dx A không phụ thuộc đường Sau tính với A(1,1), B(3,2) Để I11 không phụ thuộc đường ta phải có Q’x=P’y ↔ [(2xy+3).h(y)]’x=[-y2.h(y)]’y ↔ 2y.h = - 2y.h – y2.h’ ↔ 4y.h = -y2.h’ Như vậy, ta pt vi phân cấp với hàm h, biến y §2: Tích phân đường loại khơng phụ thuộc đường Ta viết lại pt thành pt tách biến 4dy dh dy dh C ↔ -4lny+lnC=lnh y h y h C h( y ) y Thay điều kiện h(1)=1 vào, ta C=1 Khi đó, ta có khơng phụ thuộc đường (3,2) I11 (2 xy (1,1) 3) dy y dx y Tìm hàm U(x,y) cho U’y=Q, U’x=P §2: Tích phân đường loại khơng phụ thuộc đường Ux Uy y2 xy y4 y4 Từ đh U theo x, suy U có chứa Thay vào pt dưới, ta suy U ( x, y ) Vậy I11 U (2,3) U (1,1) 47 27 x y2 x y2 y3 §2: Tích phân đường loại khơng phụ thuộc đường Ví dụ 12: Cho hàm P ( x, y ) x2 y x ,Q( x, y ) y x Tìm hàm h h thoả h(0)=1 cho biểu thức y P.h.dx Q.h.dy vi phân toàn phần hàm U(x,y) 2.Tính tích phân I12 P.h.dx Q.h.dy C với C nửa đường tròn x2 ngược chiều kim đồng hồ y2 2y , y §2: Tích phân đường loại khơng phụ thuộc đường P.h.dx + Q.h.dy vi phân toàn phần hàm U(x,y) (P.h)y Đặt t (Q.h)y x y Py h P.hy Qx h Q.hx Thì h=h(t) hàm biến với t hàm theo biến x, y x hx t x h h h hy t y h y y Thay vào đẳng thức x h y x y x h y 2x h y x2 h y y §2: Tích phân đường loại không phụ thuộc đường x h y x h y x y x h y h x h y 2x h y x2 h y y h Đây pt vi phân tách biến với hàm h, biến t dh dt h t C dh h dt ln | h | dt h et C dh h C Đến đây, ta thay điều kiện h(0)=1 vào để tính C Ce0 C §2: Tích phân đường loại không phụ thuộc đường Vậy h x e y Tính tích phân I P.hdx Q.hdy C C ( 1,1) x d xe y (1,1) 1e 1 1.e e e x xy e dx y x2 x y e dy y §2: Tích phân đường loại Ứng dụng Diện tích miền phẳng D, có biên C xdy 2C S D ydx Công sinh trường lực F P x, y , z i Q x, y , z j dọc theo đường cong : W Pdx Fdr C r t Qdy R x, y , z k x t i y t j z t k Rdz C Trong C có pt tham số là: x=x(t), y=y(t), z=z(t) §2: Tích phân đường loại – Bài tập Bài tập: Tính sau I1 (2y 1)dx (y x )dy ,C : y 2x x 2, y C lấy ngược chiều kim đồng hồ xy 2dx I2 yz 2dy zx 2dz,C đoạn thẳng từ C A(1,1,2) đến B(2,4,-3) x ydx I3 x 2dy ,C : biên dương miền D giới C hạn y2=x, y=x2 §2: Tích phân đường loại – Bài tập Bài tập: Tính sau I4 xydx yzdy C x2 I5 y cos( xy ) dx C C:x (3,2) I6 (1,1) y y zxdz,C : x (x 4, y y )dy x2 (x y2 qua O(0,0) x3 xy x2 z từ (0,0,0) đến (1,1,1) x x cos( xy ) dy , lấy ngược chiều kim đồng hồ y )dx Theo đường cong khơng §2: Tích phân đường loại – Bài tập Bài tập: (ax by )( xdy ydx ) Cho I7 với a, b số n 2 x y C Tìm n để I7 không phụ thuộc đường với C đường cong trơn không qua gốc toạ độ Cho hàm P(x,y)=x2y3, Q(x,y)=x(1+y2) Tìm m, n biểu thức P.xmyn+Q.xmyn vi phân tồn phần hàm U(x,y) Sau đó, tính n I8 m P.x y dx n m Q.x y dy ,C : y C từ A 1, đến B(0,1) arcsin x x ... ) (6 2t )2 (1 2t )2 ( 2dt ) (4 2t )2 (3 2t )2 ( 2dt ) (7 72. 2dt 4t )2 ( 2dt ) 2: Tích phân đường loại – CT Green Dùng CT Green: Miền lấy kép D: ΔABC, dấu kép: +, hàm dấu kép : Q’x-P’y=2x-2y y... (1 ,2) I9 dU (2, 1) U (1 ,2) U (2, 1) y x ,U y x x2 x 2: Tích phân đường loại không phụ thuộc đường 10 Ta tìm hàm U(x,y,z) cho dU=Pdx+Qdy+Rdz Suy U’x=2xy, U’y=x2-z2, U’z =-2 yz Đạo hàm theo x U 2xy... A (2, 1) vecto phương AB (4,0) x =2+ 4t, y=1, t từ đến C pt BC: x= 6-2 t, y=1+2t, t từ đến pt CA: x= 4-2 t, y= 3-2 t, t từ đến A B 2: Tích phân đường loại – CT Green Vậy: I5 AB BC CA I5 I5 1 52 (2 4t )2