Chương 5: Phương pháp tích phân kinh điển. Sau khi học xong chương này, người học có thể hiểu được một số kiến thức cơ bản về: Phương pháp tích phân kinh điển, đáp ứng mạch RC và RL bậc nhất, đáp ứng ‘natural’ mạch RC, Đáp ứng mạch RLC bậc hai.
Chương 5:Phương pháp tích phân kinh điển ➢ 5.1.Phương pháp tích phân kinh điển ➢ 5.2 Đáp ứng mạch RC RL bậc ➢ 1.Đáp ứng ‘natural’ mạch RC ➢ 2.Đáp ứng ‘natural’ mạch RL ➢ 3.Đáp ứng ‘step’ mạch RC ➢ 4.Đáp ứng ‘step’ mạch RL ➢ 5.Nghiệm tổng quát đáp ứng mạch RC RL ➢ 5.3 Đáp ứng mạch RLC bậc hai ➢ 1.Đáp ứng ‘natural’ mach RLC song song ➢ 2.Đáp ứng ‘step’ mach RLC song song ➢ 3.Đáp ứng ‘natural’ mach RLC nối tiếp ➢ 4.Đáp ứng ‘step’ mach RLC nối tiếp 5.1.phương pháp tích phân kinh điển Chúng ta phân tích mạch LTI (tuyến tính bất biến) nguồn độc lập Quan hệ giá trị tức thời dòng điện điện áp phần tử ta xét chương trước Mạch bao gồm phần tử RLCM mơ tả phương trình vi tích phân thành lập dựa định luật Kirchhoff Ohm Để tiện việc giải hệ phương trình , người ta thường đưa phương trình vi phân cấp n (m): *Trong y(t)(hoặc x(t)) nghiệm cần tìm, x(t)(hoặc y(t)) hàm cho, số ak; bk biểu diễn thông số mạch Ví dụ i(t) e(t) C L2 I i2 i1 L1 II R ➢ Áp dụng KVL để thành lập phương trình áp theo vịng: ➢ Khử i1 từ phương trình lấy đạo hàm vế ta được: 1.Nghiệm phương trình vi phân hệ số *Từ ví dụ ta thấy dịng điện i(t) hay điện áp e(t) mạch nghiệm phương trình vi phân tuyến tính hệ số Giả sử vế phải phương trình xác định nguồn e(t) cho trước, ta ký hiệu f(t) vế trái nghiệm cần tìm (là điện áp hay dịng điện) ta có: Nghiệm phương trình vi phân có dạng: Y(t) = yxl (t) + yqđ (t) *yqđ (t): gọi thành phần q độ (tự do) khơng phụ thuộc vào hàm f(t) * yxl (t): gọi thành phần cưỡng (xác lập) a.Nghiệm phương trình Thành phần yqđ nghiệm phương trình Xét phương trình đặc tính: an pn + an-1 pn -1 +…+ a1 p + a0 = Có trường hợp: 1.Nếu tất nghiệm p1; p2;…pn thực đơn thì: yqđ = k1 ep1t + k2 ep2t + +kn epnt 2.Nếu nghiệm đơn phức ln ln cặp nghiệm phức liên hiệp Ví dư: p1 = -α +jβ p2 = p1* = -α -jβ Thì: yqđ = y1 + y2 = e-αt (k1 ejβt + k2 e-jβt ) = ke-αt cos(βt + Φ) với k = 2|k1| Φ = arg k1 3.Nếu p1 nghiệm bội h (có h nghiệm trùng nhau) số cịn lại đơn, thì: yqđ = (k1 + k2 t+… +kh th-1)ep1t +…+ kn epnt Ví dụ tìm thành phần độ i(t) C L R + u(t) - ➢ Hãy tính thành phần độ điện áp u(t) hình ➢ Giải: Ta có: ➢ Với giả thuyết i(t) = Lấy đạo hàm vế ta được: ➢ ➢ Với: ω02 = 1/LC; α =1/2RC Ví dụ tìm thành phần q độ Phương trình đặc tính mạch: p2 +2αp + ω02 = Có nghiệm: *Nếu α2 > ω02 (2 nghiệm thực đơn), thành phần độ là: *Nếu α2 = ω02 ( nghiệm thực kép = -α), thành phần độ là: uqđ (t)= (k1 + k2 t)e-αt *Nếu α2 < ω02 (cặp nghiệm thực liên hiêp),thành phần độ là: uqđ (t)= ke-αt cos(βt +Φ) ; với: b)Nghiệm phương trình khơng i(t) ➢ ➢ ➢ ➢ C R + u(t) - Để tìm thành phần yxl ta dùng phương pháp hệ số không xác định Vấn đề phải đoán trước dạng nghiệm ph.trình (5.2) Ta xét ví dụ: Hãy xác định điện áp u(t) mạch hình.Nếu i(t)=1 A; i(t) = cosωt A; i(t) = e-t cost A; C =1F; R =1/3 Ω i(t) = e-2t A; C =1F; R =1/2 Ω ➢ Giải: ➢ Điện áp u(t) nghiệm phương trình vi phân: ➢ Cdu/dt + u/R = i(t) ➢ Bao gồm thành phần: uqđ nghiệm phương trình vi phân uxl nghiệm phương trình khơng b)Nghiệm phương trình khơng Thành phần q độ khơng phụ thuộc vào kích thích: uqđ (t) = ke-t/RC Thành phần cưỡng phụ thuộc vào nguồn kích thích nên cần xét trường hợp cụ thể: i(t) = A Ta đoán nghiệm riêng phương trình khơng có dạng uxl = B thay vào phương trình vi phân ta thấy thỏa mãn với B = Ri(t) = R Do điện áp u(t) là: u(t) = uxl(t) + uqđ(t) = R.1+ ke-t/RC V i(t) = cosωt Ta giả sử uxl = Acosωt + Bsinωt thay vào phương trình mạch: C(-Aωsinωt + Bωcosωt) + (Acosωt + Bsinωt)/R = cosωt Hay (A + ωRCB)cosωt + (B - ωRCA)sinωt = Rcosωt →A = R/[1+(ωRC)2] ; B = ωR2C/[1+(ωRC)2] Ta lại có: Acosωt + Bsinωt = cos(ωt-φ) ; Với : Vậy thành phần xác lập có dạng: *Từ hai trường hợp ta thấy để tính thành phần xác lập ta tính theo phương pháp biết chương khác (khi tính khơng để ý đến việc phân tích q trình q độ) thu kết nhanh chóng Với mạch có nguồn kích thích chiều (tụ hở mạch) điện áp u = R.1 V Với nguồn điều hòa , trạng thái xác lập ta dùng phương pháp biên độ phức Dẩn nạp tương đương: Y = 1/R + jωC Vậy biên độ phức là: Vậy: u(t) = uxl(t) + uqđ(t) = ke-t/RC + cos(ωt-φ) Ví dụ nghiệm phương trình đặc tính S S = - 8000 + j6000 (rad/s) = - 8000 - j6000 (rad/s) Trường hợp ta có đệm yếu α2 < ω02 d) Để có đệm tới hạn: α2 = ω02 , vậy: Đáp ứng trường hợp đệm mức Để tìm đáp ứng v(t) trường hợp đệm mức ta thực bước sau: 1.Tìm nghiệm s1, s2 phương trình đặc tính 2.Phân tích mạch tìm v(0+) dv(0+)/dt 3.Giải hệ phương trình (2), (3) tìm A1, A2 4.Thế trị giá s1, s2 , A1, A2 vào (1) Ví dụ đáp ứng có đệm q mức iR iC 0,2µF + 200Ω v0 - ➢ ➢ ➢ iL 50mH i0 + v - Tìm đáp ứng v(t) ? Biết v(0+) = 12V; iL (0+) = 30 mA ➢ Giải: Ta có: iL(0-) = iL(0+) = 30 mA; iR (0+) = v(0+)/R = 12/200 = 60 mA; iC (0+) = - iL(0+) - iR(0+) = -30 mA – 60 mA = -90 mA Ví dụ đáp ứng có đệm mức ➢ ➢ ➢ Đa thức đặc trưng có nghiệm thực riêng biệt nên đáp ứng đệm mức Ta có: 12 = A1 + A2 ; -450 x 103 = -5000A1 - 20000A2 → A1 = -14 (V); A2 = 26 (V) Vậy: ➢ v(t) = (-14e-5000t + 26e-20000t ) (V) , t ≥ Đáp ứng trường hợp đệm yếu ωd : tần số đệm; α: Hệ số đệm Trong trường hợp điện áp v dao động với tần số ωd Nếu khơng có đệm, α = tần số dao động ω0 Biên độ dao động giảm theo hàm mủ xác định α Các hệ số B1, B2 xác định hệ phương trình: v(0+ ) = V0 = B1 (1) Ví dụ đáp ứng có đệm yếu iR iC 0,125µF + 20kΩ v0 - ➢ ➢ ➢ iL 8H i0 + v - Tìm đáp ứng v(t) ? Biết v(0+) = 0V; iL (0+) = - 12,25 mA ➢ Giải: Ta có: iL(0-) = iL(0+) = -12,25 mA; iR (0+) = v(0+)/R = 0; iC (0+) = - iL(0+) - iR(0+) = -(-12,25) mA – = 12,25 mA Ví dụ đáp ứng có đệm yếu ➢ ω02 > α2 :Ta có đệm yếu ➢ Ta có: B1 = v(0+ ) = 0; B2 = 98000/ωd = 100 V Vậy: ➢ v(t) = (100e-200t sin 979,80t ) (V) , t ≥ Đáp ứng trường hợp đệm tới hạn Trong trường hợp này: α2 = ω02 Đáp ứng có dạng: V = D1 te-αt + D2 e-αt Các hệ số D1, D2 xác định hệ phương trình: v(0+ ) = V0 = D2 (1) Ví dụ đáp ứng có đệm tới hạn iC + 0,125µF v0 - ➢ a) iL iR R 8H i0 + v - Tìm R để có đệm tới hạn? b)Tìm đáp ứng v(t) ? Biết v(0+) = 0V; iL (0+) = - 12,25 mA ➢ Giải: ➢ a) Theo ví dụ trước ta có: ω02 = 106 Để có đệm tới hạn: ➢ α = 103 = 1/2RC Ví dụ đáp ứng có đệm tới hạn iC + 0,125µF v0 - ➢ b) iL iR R 8H i0 + v - Theo ví dụ trước ta có: v(0+ ) = và: ➢ Vậy: D2 = v(0+ ) = ; → D1 = dv(0+ ) /dt = 98000 ➢ Nên; v(t) = 98000te-1000t (V) , t ≥ 2.Đáp ứng ‘step’ mạch RLC song song iC I t=0 25nF iR R iL + 25 mH v - ➢ ➢ ➢ ➢ Đáp ứng ‘step’ có dạng: i = if + in ; (if : Thành phần cưỡng bức; in: Thành phần tự do) v = vf + Ví dụ: Năng lượng trử ban đầu tụ cuộn dây hình.Tại t = 0, dịng IDC = 24 mA nối vào mạch (khóa mở) a)Tính iL với t ≥ 0? b) Tính v(t) với t ≥ ? Biết R = 400 Ω Giải: 2.Đáp ứng ‘step’ mạch RLC song song a)Năng lượng trử ban đầu không: iL = 0; v(0) = Ta có: v = L(diL /dt) →diL(0+ )/dt = Vì α2 > ω02 : Đệm mức Ta có nghiệm thực riêng biệt: s1 = -5 x 104 + x 104 = - 20000 s2 = -5 x 104 - x 104 = - 80000 Đáp ứng iL có dạng: iL (0) = If + A1 + A2 = (1); diL(0 )/dt = s1 A1 + s1 A1 = (2); Từ (1) (2) → A1 = -32 mA; A2 = mA Vậy: 2.Đáp ứng ‘step’ mạch RLC song song iL(t) = (24 – 32e-20000t + 8e-80000t ) mA b)Tính v(t): *Cách 1: v(t) = L(diL /dt) v(t) = (16e-20000t -16e-80000t ) V v (0+) = A1 + A2 = (1); *Cách 2: ic (0+)/C = dv(0+ )/dt = s1 A1 + s1 A1 (1) Và (2) → A1 = 16; A2 = -16 Vậy: v(t) = (16e-20000t -16e-80000t ) V 3.Đáp ứng ‘natural’ mạch RLC nối tiếp i R L I0 C ➢ Đáp ứng ‘natural’ mạch RLC nối tiếp tương tự đáp ứng ‘natural’ mạch RLC song song: ➢ ➢ + V0 - i(t) = D1 te-αt + D2 e-αt (critically damped) Từ ta tính áp đầu thành phần mạch dể dàng 4.Đáp ứng ‘step’ mạch RLC nối tiếp i R + vR - L + vL - V C + vC - t=0 ➢ Đáp ứng ‘step’ mạch RLC nối tiếp tương tự đáp ứng ‘step’ mạch RLC song song: ➢ vC (t) = vf + D1 te-αt + D2 e-αt (critically damped) vf : Trị giá sau vC (theo hình vf = V) ...5.1 .phương pháp tích phân kinh điển Chúng ta phân tích mạch LTI (tuyến tính bất biến) nguồn độc lập Quan hệ giá trị tức thời dòng điện điện áp phần tử ta xét chương trước Mạch bao gồm... + 2Ae-2t = e-2t →khơng tìm A nên nghiệm Trường hợp ta đặt: uxl = Ate-2t thay vào phương trình: Ae-2t - 2Ate-2t + 2Ate-2t = e-2t →A = Nghiệm đầy đủ: u(t) = uxl(t) + uqđ(t) = ke-1/RC + te-2t 2.Điều... điện hay cuộn dây •Ta phân tích mạch dùng KCL KVL •Ta có phương trình vi phân bậc ? ?Giải phương trình vi phân để tìm đáp ứng •Cuối ta bàn đến cách dể để tìm đáp ứng •Nếu mạch khơng có nguồn gọi