Bài giảng tối ưu hóa chương 3 PHƯƠNG PHÁP đơn HÌNH

PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH CÁC VÍ DỤ V PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH  Xét toán f (X) = CX → AX = B  X ≥  Trong ma trận A cấp m × n, rankA = m  Ta có vectơ cột A j ∈ ¡ m Trường hợp X phương án cực biên, ta có { A j / j ∈ J(X)} độc lập tuyến tính  Khi | J(X) |≤ m  Nếu |J(X)| < m ta nói X phương án cực biên suy biến  Nếu |J(X)| = m ta nói X phương án cực biên không suy biến PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH  Ta xét toán dạng tắc với giả thiết nêu trên, Xo phương án cực biên không suy biến toán  Ta có {A / j ∈ J(X)} độc lập tuyến tính có m vectơ m m ¡ ¡ nên sở m A ∈ ¡  Các vectơ cột k j A k = ∑ z ik A j  Đặt j∈J ∆ k = ∑ C j z jk − Ck j∈J (J o = J(X o )) PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH  X = (x1, x2, …, xn) phương án  Ta có f (X) = f (X ) − ∆K x K ∑ K∉J VÍ DỤ f (x) = 2x1 + 2x + x − 6x →  x1 + 3x + x =  x4 =  x1 + x +   x j ≥ 0, j = 1, VÍ DỤ f (x) = 2x1 + x − 8x → −3x1 + x =   − x1 + x =  x ≥ 0, j = 1, 2,3  j VÍ DỤ f (x) = x1 + 4x − x − x + x + 3x → =1 2x1 − x + 5x + x  =2 2x1 + 4x − 2x + x  x + 2x + x + x6 =   x ≥ 0, j = 1,  j VÍ DỤ f (x) = 2x1 + 2x + x − 6x →  x1 + 3x + x =  x4 =  x1 + x +   x j ≥ 0, j = 1, VÍ DỤ f (x) = 2x1 + x − 8x → −3x1 + x =   − x1 + x =  x ≥ 0, j = 1, 2,3  j VÍ DỤ f (x) = 2x1 + x − 3x + x − x − 2x → + x6 =  x + 2x + 5x  + 2x =  x1 − 2x + x  4x + x + x − 4x =   x ≥ 0, j = 1,  j CHƯƠNG BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU BÀI TOÁN f (X ) = n ∑c x j =1 j  a x = b ∑ ij j i   j =1 x ≥  j n j → (i = 1, m ) (j = 1, n ) BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU g (Y ) = m ∑b y i =1 i i → max m ∑ aij yi ≤ c j (j = 1, n )  i =1 ( y ∈ R i = 1, m )  i ► BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU TRƯỜNG HỢP TỔNG QUÁT ► CÁC ĐỊNH LÝ ► CÁC VÍ DỤ CHƯƠNG BÀI TOÁN VẬN TẢI BÀI TOÁN MỞ ĐẦU  Giả sử có m địa điểm A1 , A2 , , Am cung cấp loại hàng hóa với lượng hàng có tương ứng a1 , a2 , , am (đơn vị), có n địa điểm nhận hàng hóa B1 , B2 , , Bn với yêu cầu b1 , b2 , , bm (đơn vị)  Chi phí chuyên chở đơn vị hàng từ Ai đến Bj cij đồng BÀI TOÁN MỞ ĐẦU m  n ∑ a = ∑b i =1 i j =1 j ► BÀI TOÁN  Các dịa điểm A1 , A2 , , Am phát hết hàng địa điểm B1 , B2 , , Bn nhận đủ yêu cầu  Đồng thời tổng chi phí chuyên chở BÀI TOÁN CHO DƯỚI DẠNG BẢNG Thu Bj Phát Ai b1 b2 a1 c11 c12 a2 c21 c22 c2n cm2 cmn am bn c1n cm1 ĐỊNH NGHĨA Ta gọi tập hợp ô có dạng { (i1,j1), (i1,j2), (i2,j2),…, (ik,jk), (ik,j1)} vòng ô liên tiếp nằm dòng nằm cột ô không nằm dòng không nằm cột ĐỊNH NGHĨA Cho X = ( Xij)mxn phương án toán vận tải - Nếu Xij > ta nói ô (i,j) ô chọn - Nếu Xij = ta nói ô (i,j) ô loại Cho X = ( Xij)mxn phương án cực biên toán vận tải ( tập hợp ô chọn tương ứng với X không chứa vòng ) ĐỊNH NGHĨA - Nếu số ô chọn ( tương ứng với X, X PACB) m+n-1 ta nói X PACB suy biến - Nếu số ô chọn ( tương ứng với X, X PACB) m+n-1 ta nói X PACB không suy biến ĐỊNH LÝ (1) Cho H tập hợp ô Nếu H không chứa vòng tổng số ô H hay m+n-1 (2) Cho X = ( Xij)mxn phương án cực biên không suy biến S tập hợp ô chọn tươngSứng ∪ (i,với j) X, ô (i,j) không thuộc S Khi tập hợp ô có chứa vòng ô (i,j) thuộc vòng ĐỊNH LÝ Bài toán vận tải thỏa mãn điều kiện cân m thu phát n ∑a = ∑b i =1 i j=1 j luôn có phương án tối ưu TIÊU CHUẨN TỐI ƯU Cho X = ( Xij)mxn phương án toán vận tải Nếu tồn số u i , v j (i = 1, m, j = 1, n) u i + v j ≤ cij ∀i.j x ij > ⇒ u i + v j = cij X phương án tối ưu ► TRƯỜNG HỢP KHÔNG CÂN BẰNG THU PHÁT ► BÀI TOÁN MAX ► BÀI TOÁN CÓ Ô CẤM ỨNG DỤNG MÔ HÌNH BÀI TOÁN VẬN TẢI TRONG THỰC TẾ [...]...VÍ DỤ 3 f (x) = − x1 + 4x 2 + 2x 3 − x 4 → max 2x1 − x 2 + x 3 =4  + x4 = 7 3x1 + x 2   x j ≥ 0, j = 1, 4 VÍ DỤ 4 f (x) = 3x1 + 4x 2 + 2x 3 → min  − x1 + 2x 2 ≤5   2x1 + 4x 2 + x 3 = 2  x ≥ 0, j = 1, 2 ,3  j VÍ DỤ 5 f (x) = 4x1 + 8x 2 + x 3 + 2x 4 → min 5x1 − x 2 + x 3 =2  + x4 ≥ 3  x1 + 4x 2   x j ≥ 0, j = 1, 4 VÍ DỤ 6 f (x) = 2x1 + x 2 − x 3 − x 4 → min =1 6x1 + 2x 2 + x 3  +...  1 2 3 VÍ DỤ 7 f (x) = x1 + 4x 2 − 2x 3 + 2x 4 → min =4 2x1 + x 2 + x 3  + x4 = 6 − x1 + 4x 2 x , x , x ≥ 0 ; x ∈ ¡ 1  2 3 4 VÍ DỤ 8 f (x) = x1 − 2x 2 − 3x 3 + x 4 → min 4x + x + 2x + 2x = 1 1 2 3 4   x1 + 2x 2 + 5x 3 − 4x 4 = 6   x j ≥ 0, j = 1, 4 CHƯƠNG 2 BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU BÀI TOÁN f (X ) = n ∑c x j =1 j  a x = b ∑ ij j i   j =1 x ≥ 0  j n j → min (i = 1, m ) (j = 1, n ) BÀI TOÁN... R i = 1, m )  i ► BÀI TOÁN ĐỐI NGẪU TRƯỜNG HỢP TỔNG QUÁT ► CÁC ĐỊNH LÝ ► CÁC VÍ DỤ CHƯƠNG 3 BÀI TOÁN VẬN TẢI BÀI TOÁN MỞ ĐẦU  Giả sử có m địa điểm A1 , A2 , , Am cung cấp một loại hàng hóa với lượng hàng có tương ứng là a1 , a2 , , am (đơn vị), và có n địa điểm nhận hàng hóa đó là B1 , B2 , , Bn với yêu cầu lần lượt là b1 , b2 , , bm (đơn vị)  Chi phí chuyên chở một đơn vị hàng từ Ai đến... (2) Cho X = ( Xij)mxn là phương án cực biên không suy biến và S là tập hợp các ô chọn tươngSứng ∪ (i,với j) X, ô (i,j) không thuộc S Khi đó tập hợp các ô có chứa một vòng duy nhất và ô (i,j) thuộc vòng này ĐỊNH LÝ Bài toán vận tải thỏa mãn điều kiện cân bằng m thu phát n ∑a = ∑b i =1 i j=1 j luôn luôn có phương án tối ưu TIÊU CHUẨN TỐI ƯU Cho X = ( Xij)mxn là phương án của bài toán vận tải Nếu tồn... Xij)mxn là phương án của bài toán vận tải Nếu tồn tại các số u i , v j (i = 1, m, j = 1, n) u i + v j ≤ cij ∀i.j x ij > 0 ⇒ u i + v j = cij thì X là phương án tối ưu ► TRƯỜNG HỢP KHÔNG CÂN BẰNG THU PHÁT ► BÀI TOÁN MAX ► BÀI TOÁN CÓ Ô CẤM ỨNG DỤNG MÔ HÌNH BÀI TOÁN VẬN TẢI TRONG THỰC TẾ ... nếu 2 ô liên tiếp thì cùng nằm trên một dòng hoặc cùng nằm trên một cột 3 ô bất kỳ thì không cùng nằm trên một dòng và không cùng nằm trên một cột ĐỊNH NGHĨA Cho X = ( Xij)mxn là phương án của bài toán vận tải - Nếu Xij > 0 ta nói ô (i,j) là ô chọn - Nếu Xij = 0 ta nói ô (i,j) là ô loại Cho X = ( Xij)mxn là phương án cực biên của bài toán vận tải ( khi đó tập hợp các ô chọn tương ứng với X không chứa... lượt là b1 , b2 , , bm (đơn vị)  Chi phí chuyên chở một đơn vị hàng từ Ai đến Bj là cij đồng BÀI TOÁN MỞ ĐẦU m  n ∑ a = ∑b i =1 i j =1 j ► BÀI TOÁN  Các dịa điểm A1 , A2 , , Am được phát hết hàng và các địa điểm B1 , B2 , , Bn được nhận đủ yêu cầu  Đồng thời tổng chi phí chuyên chở là ít nhất BÀI TOÁN CHO DƯỚI DẠNG BẢNG Thu Bj Phát Ai b1 b2 a1 c11 c12 a2 c21 c22 c2n cm2 cmn am bn c1n ... luôn có phương án tối ưu TIÊU CHUẨN TỐI ƯU Cho X = ( Xij)mxn phương án toán vận tải Nếu tồn số u i , v j (i = 1, m, j = 1, n) u i + v j ≤ cij ∀i.j x ij > ⇒ u i + v j = cij X phương án tối ưu ► TRƯỜNG... |J(X)| < m ta nói X phương án cực biên suy biến  Nếu |J(X)| = m ta nói X phương án cực biên không suy biến PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH  Ta xét toán dạng tắc với giả thiết nêu trên, Xo phương án cực biên... z jk − Ck j∈J (J o = J(X o )) PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH  X = (x1, x2, …, xn) phương án  Ta có f (X) = f (X ) − ∆K x K ∑ K∉J VÍ DỤ f (x) = 2x1 + 2x + x − 6x →  x1 + 3x + x =  x4 =  x1 + x + 