Bài tập môn tối ưu hóa (chương 3)

BÀI TẬP MÔN TỐI ƯU HÓA CHƯƠNG III Bài 1. Chứng tỏ rằng bài toán sau luôn có phương án cực biên tối ưu f(x) = - x 1 + x 2 - x 3 => min          −≥+ ≤− ≤+ ≥−+− −≥+− 12xx 18xx3 20x2x 20x2x5x3 20xx4x2 21 32 31 321 321 Bài 2. Chứng tỏ rằng bài toán sau giải được f(x) = x 1 + x 2 + 2x 3 + x 4 => max          =+−+ −≥−+− ≤+− −≥+−− ≤−+− 0xx2x2x3 5x5xx2 8x3xx4 13xx2x 10x5x4xx2 4321 431 421 431 4321 ( ) 4,1j3x j =≤ Bài 3. Cho bài toán f(x) = 3x 1 + x 2 + 2x 4 + 5x 6 => min      =+−+ −≤−+− ≥++− 5x2x3xx2 18x4x3x2x 14x3x5x2x4 6421 6541 6431 x 1 , x 2 , x 4 , x 6 ≥ 0 a. Chứng minh bài toán trên giải được. b. Chỉ ra một phương án cực biên và tính chất của nó. Bài 4. Cho bài toán f(x) = - 8x 1 + 3x 2 + 2x 3 - 11x 4 => max          ≤+ ≥− ≥+ ≤−++− −≥++− 10x7x4 3x5x3 5x6x 4xx4xx3 2x2xxx2 21 32 41 4321 4321 Chứng tỏ x = (- 1, 2, 0, 1) là PACB tối ưu. Bài 5. Cho bài toán ∑ = ⇒= n 1j j maxx)x(f ( ) n,1j1x0 j =≤≤ a. Chứng minh bài toán trên giải được và chỉ ra một phương án cực biên tối ưu. b. Nếu thay f(x) => max bằng f(x) => min; chứng minh bài toán vẫn giải được. c. Bài toán trên có bao nhiêu PACB? Bài 6. Không dùng thuật toán hãy giải bài toán sau f(x) = nx 1 + (n-1)x 2 + + 2x n-1 + x n => min ( ) ( )      =≥ =≥+++ n,1j0x n,1iix xx j i21 Bài 7. Cho bài toán (A) dạng f(x) = 2x 1 + x 2 + 4x 3 + 5x 4 + 2x 5 + 4x 6 => min      ≤+−+++− ≤+++− −≤+−−+ 7x5x2xx4x2x 14xx3x2xx2 1x3x2xx2x 654321 65431 65432 x j ≥ 0 ( 6,1j = ) a. Giải bài toán (A) bằng thuật toán đơn hình. b. Dựa vào kết quả câu a. xác định phương án tối ưu có x 4 > 0 khi ta có thêm điều kiện f(x) ≥ 5. Bài 8. Giải bài toán sau bằng thuật toán đơn hình f(x) = - 2x 1 + 6x 2 + 3x 3 - 3x 4 + x 5 => min ( ) 5,1j0x 40xx2x 0x4x2xx4 51xx2x3x3 8xxx2x2 j 431 4321 5432 4321 =≥        =++− ≤+−+ =+++ =++− Bài 9. Cho bài toán QHTT dạng: f(x) = 2x 1 + 5x 2 + 3x 3 + c 4 x 4 + 2x 5 => min ( ) 5,1j0x )I( 33x3x 2 3 xx2x 24x2xxx4x 6x2xx j 54321 54321 321 =≥        ≤+−−−− −=−+++− ≥−− a. Giải bài toán (I) khi c 4 = - 1; b. Tìm tập phương án tối ưu và chỉ ra một phương án tối ưu không cực biên. Bài 10. Cho bài toán (I) dạng f(x) = 2x 1 + 4x 2 + 3x 3 + x 4 => min      ≥++− −≥−+− ≤++− 33xx3xx2 6xx2x 31xx3x3x4 4321 321 4321 ( ) 4,1j0x j =≥ a. Giải bài toán bằng thuật toán đơn hình; xác định phương án tối ưu có x 4 = 28. b. Cho c = (2, 4, 3, c 4 ); chỉ ra điều kiện của c 4 để x 0 = (0, 1, 8, 10) là PACB tối ưu. Bài 11. Cho bài toán (I) dạng f(x) = 2x 1 - 2x 2 + 3x 3 + x 4 - 3x 5 => max        =−+++ =++− −≥−+ =−+− 14x2xxxx 15x3xx6 20xx2x 8x4xx2x4 54321 543 541 5431 ( ) 5,1j0x j =≥ a. Giải bài toán bằng thuật toán đơn hình. b. Tìm một PA có x 3 > 0 và f(x) = - 27. Bài 12. Cho bài toán: f(x) = x 1 + x 2 + c 3 x 3 + 2x 4 + 2x 5 => min      ≤++− ≥−++ =++++ 14x3x2x2 42x3x5x2x6 18x3x2xxx3 543 5431 54321 ( ) 5,1j0x j =≥ a. Với c 3 = 2; giải bài toán bằng phương pháp đơn hình. b. Xác định giá trị của c 3 để bài toán có PACB x mà f(x) = 10; xác định x. . BÀI TẬP MÔN TỐI ƯU HÓA CHƯƠNG III Bài 1. Chứng tỏ rằng bài toán sau luôn có phương án cực biên tối ưu f(x) = - x 1 + x 2 - x 3 => min          −≥+ ≤− ≤+ ≥−+− −≥+− 12xx 18xx3 20x2x 20x2x5x3 20xx4x2 21 32 31 321 321 Bài. ) 5,1j0x )I( 33x3x 2 3 xx2x 24x2xxx4x 6x2xx j 54321 54321 321 =≥        ≤+−−−− −=−+++− ≥−− a. Giải bài toán (I) khi c 4 = - 1; b. Tìm tập phương án tối ưu và chỉ ra một phương án tối ưu không cực biên. Bài 10. Cho bài toán (I) dạng f(x) = 2x 1 + 4x 2 . (- 1, 2, 0, 1) là PACB tối ưu. Bài 5. Cho bài toán ∑ = ⇒= n 1j j maxx)x(f ( ) n,1j1x0 j =≤≤ a. Chứng minh bài toán trên giải được và chỉ ra một phương án cực biên tối ưu. b. Nếu thay f(x)