Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 26 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
26
Dung lượng
507,13 KB
Nội dung
ThS Nguyễn Cơng Trí - Tối ưu hóa * Chương BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH CHƯƠNG 1 THIẾT LẬP MÔ HÌNH BÀI TOÁN (Xem) CÁC DẠNG CỦA BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH (Xem) Ths Nguyễn Công Trí CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ BÀI TOÁN (Xem) QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Copyright 2001 CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN (Xem) QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Ths Nguyễn Công Trí BÀI TẬP (Xem) Copyright 2001 MỘT VÀI VÍ DỤ VỀ BÀI TOÁN QHTT Gọi x1, x2, x3 thời gian sản xuất sản phẩm theo phương pháp PP1, PP2, PP3 Tổng sản phẩm sản xuất (cần làm cực đại) f(x) = 10x1 + 12x2 + 9x3 max Do xí nghiệp có 250 nguyên liệu N1 nên x1, x2, x3 phải thỏa mãn 4x1 + 5x2 + 3x3 ≤ 250 Tương tự cho nguyên liệu N2, N3 ta có 2x1 + 4x2 + x3 ≤ 350 vaø 3x1 + 6x2 + 4x3 ≤ 450 Dó nhiên ta phải có x1, x2, x3 không âm Vậy mô hình toán phát biểu sau: Tìm biến x1, x2, x3 cho f(x)= 10x1 + 12x2 + 9x3 max, thỏa điều kiện 4x1 + 5x2 + 3x3 ≤ 250 2x1 + 4x2 + x3 ≤ 350 3x1 + 6x2 + 4x3 ≤ 450 x1 x2 x3 MỘT VÀI VÍ DỤ VỀ BÀI TOÁN QHTT Ví dụ 1.1 BÀI TOÁN LẬP KẾ HOẠCH SẢN XUẤT Một xí nghiệp dùng loại nguyên liệu: N1; N2; N3 để sản xuất loại sản phẩm theo phương pháp khác nhau: PP1; PP2; PP3 Đònh mức nguyên liệu số lượng sản phẩm sản xuất cho bảng sau: Nguyên Số lượng Đònh mức nguyên liệu Liệu có (đv) PP1 PP2 PP3 N1 250 N2 350 N3 450 Số sản phẩm (sp/giờ) 10 12 Hãy lập mô hình toán cho xí nghiệp sản xuất nhiều sản phẩm nhất? MỘT VÀI VÍ DỤ VỀ BÀI TOÁN QHTT Ví dụ 1.2 BÀI TOÁN PHA CẮT VẬT LIỆU Một xí nghiệp may mặc cần sản xuất 2.000 quần 1.000 áo Mỗi vải có cách cắt sau: Cách cắt Quần Áo 90 35 80 55 70 70 60 90 120 100 Hãy tìm phương án cắt quần áo cho tổng số vải nhất? ThS Nguyễn Cơng Trí - Tối ưu hóa * Chương MỘT VÀI VÍ DỤ VỀ BÀI TOÁN QHTT MỘT VÀI VÍ DỤ VỀ BÀI TOÁN QHTT Gọi xj (j = 1, 2, , 6) số vải cắt theo cách thứ j Tổng số vải dùng để sản xuất (cần làm cực tiểu) f(x) = x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 Do xí nghiệp cần sản xuất 2.000 quần nên xj phải thỏa mãn 90x1 + 80x2 + 70x3 + 60x4 + 120x5 = 2000 Tương tự cho điều kiện sản xuất áo, ta có 35x1 + 55x2 + 70x3 + 90x4 + 100x6 1000 Dó nhiên ta phải có xj (j = 1, 2, , 6) không âm Vậy mô hình toán phát biểu sau: Tìm biến xj (j = 1, 2, , 6) cho f(x)= xj min, thỏa điều kiện 90x1 + 80x2 + 70x3 + 60x4 + 120x5 = 2000 35x1 + 55x2 + 70x3 + 90x4 + 100x6 1000 xj 0, (j = 1, 2, , 6) Ví dụ 1.3 BÀI TOÁN XÁC ĐỊNH KHẨU PHẦN Để nuôi loại gia súc có hiệu quả, ngày cần phải có khối lượng tối thiểu chất protit, glucit, khoáng tương ứng 90 gram, 130 gram, 10 gram Tỷ lệ (%) theo khối lượng chất có loại thức ăn A, B, C sau: Thức ăn Chất dinh dưỡng (%) Protit Glucit Khoaùng A 10 30 B 20 40 C 30 20 Giá kg thức ăn A, B, C tương ứng 3.000 đồng, 4.000 đồng, 5.000 đồng Hãy lập mô hình toán xác đònh khối lượng thức ăn cần thiết cho chi phí nuôi gia súc thấp nhất? MỘT VÀI VÍ DỤ VỀ BÀI TOÁN QHTT MỘT VÀI VÍ DỤ VỀ BÀI TOÁN QHTT Gọi xj (j = 1, 2, 3) số gram thức ăn A, B, C cần mua ngày Tổng chi phí dùng để mua thức ăn (cần làm cực tiểu) f(x) = 3x1 + 4x2 + 5x3 (đồng) Do tỷ lệ chất protit, glucit khoáng có thức ăn A nên xj phải thỏa mãn 0,1x1 + 0,2x2 + 0,3x3 90 Tương tự cho điều kiện thức ăn B C, ta có 0,3x1+0,4x2+0,2x3 130 0,02x1+0,01x2+0,03x310 Vậy mô hình toán phát biểu sau: Tìm biến xj (j = 1, 2, 3) cho f(x) = 3x1 + 4x2 + 5x3 min, thỏa điều kieän 0,1x1 + 0,2x2 + 0,3x3 90 0,3x1 + 0,4x2 + 0,2x3 130 0,02x1 + 0,01x2 + 0,03x3 10 xj 0, (j = 1, 2, 3) Ví dụ 1.4 BÀI TOÁN VẬN TẢI Cần vận chuyển xi măng từ kho K1, K2, K3 đến công trường xây dựng T1, T2, T3, T4 Cho biết lượng xi măng có kho, lượng xi măng cần công trường cước phí vận chuyển (ngàn đồng/ tấn) từ kho đến công trường sau: Công trường T1: 130 t T2: 160 t T3: 120 t T4: 140 t Kho K1: 170 taán 20 18 22 25 K2: 200 taán 15 25 30 15 K3: 180 45 30 40 35 Lập mô hình toán vận chuyển cho kho phát hết xi măng có, công trường nhận đủ xi măng cần chi phí vận chuyển thấp nhất? ThS Nguyễn Cơng Trí - Tối ưu hóa * Chương MỘT VÀI VÍ DỤ VỀ BÀI TOÁN QHTT Gọi xij (i = 1, 2, 3, j = 1, 2, 3, 4) lượng xi măng cần vận chuyển từ kho Ki đến công trường Tj Tổng chi phí vận chuyển (cần làm cực tiểu) f(x) = 20x11 + 18x12 + 22x13 + 25x14 15x21 + 25x22 + 30x23 + 15x24 45x31 + 30x32 + 40x33 + 35x34 Điều kiện kho x11 + x12 + x13 + x14 = 170 x21 + x22 + x23 + x24 = 200 x31 + x32 + x33 + x34 = 180 Điều kiện công trường x11 + x21 + x31 = 130 x12 + x22 + x32 = 160 x13 + x23 + x33 = 120 x14 + x24 + x34 = 140 xij 0, i = 1, 2, 3, j = 1, 2, 3, CAÙC DẠNG CỦA BÀI TOÁN QHTT Một vectơ x = (x1, x2, , xn) thỏa mãn điều kiện (2) (3) gọi phương án (P.A) toán quy hoạch tuyến tính (QHTT) Tập P.A toán gọi miền ràng buộc hay miền xác đònh Ký hiệu D Phương án tối ưu (P.A.T.Ư) hay nghiệm toán, ký hiệu Xopt (optimality), vectơ X P.A hàm mục tiêu (2.1) bò chặn Bài toán gọi giải hay có lời giải hay có nghiệm có P.A.T.Ư Bài toán không giải hay vô nghiệm D = hay có P.A PA.T.Ư CÁC DẠNG CỦA BÀI TOÁN QHTT 2.1 DẠNG TỔNG QUÁT Tìm x = (x1, x2, , xn) cho: n f ( x ) c j x j ( hay max) (2.1) j 1 n aij x j bi i 1, m 2.2 j 1 x j 0, xk 0, j k n 2.3 (2.1) gọi hàm mục tiêu (2.2) gọi hệ ràng buộc (2.3) gọi ràng buộc dấu ẩn số Ví dụ 1.1, Ví dụ 1.2 Ví dụ 1.3 toán QHTT có dạng tổng quát CÁC DẠNG CỦA BÀI TOÁN QHTT 2.2 DẠNG CHÍNH TẮC Tìm x = (x1, x2, , xn) cho: n f ( x) c j x j ( hay max) j 1 n aij x j bi i 1, m j 1 x 0, j 1, n j Nhận xét: Hệ ràng buộc toán dạng tắc đẳng thức biến toán không âm Ví dụ 1.4 BÀI TOÁN VẬN TẢI có dạng tắc ThS Nguyễn Cơng Trí - Tối ưu hóa * Chương CÁC DẠNG CỦA BÀI TOÁN QHTT 2.3 DẠNG CHUẨN Tìm x = (x1, x2, , xn) cho: CÁC DẠNG CỦA BÀI TOÁN QHTT n m xi ,mk xm k bi , i 1, m k 1 x j 1, n b i j Nhận xét: Bài toán dạng chuẩn toán dạng tắc với hệ ràng buộc chứa ma trận Im ma trận đơn vò cấp m Trong xi (i = 1, 2, , m) gọi ẩn (A.C.B), ẩn xi,m+k, (k = 0, 1, , n – m) gọi ẩn không 2.4 CHUYỂN ĐỔI DẠNG BÀI TOÁN QHTT Khi xét toán QHTT, người ta thường sử dụng dạng tắc, đưa toán dạng tổng quát dạng tắc biến đổi sau: 1) Nếu ràng buộc thứ i có dạng aijxj ≤ bi thêm vào ẩn phụ xn+1 0, cho aijxj + xn+1 = bi 2) Nếu ràng buộc thứ i có dạng aijxj bi thêm vào ẩn phụ xn+1 0, cho aijxj – xn+1 = bi 3) Nếu ẩn xj ≤ thay x/j = – xj 4) Nếu ẩn xj không ràng buộc dấu thay xj hai ẩn phụ x/j x//j cho xj = x/j – x//j, với x/j 0, x//j CÁC DẠNG CỦA BÀI TOÁN QHTT CÁC DẠNG CỦA BÀI TOÁN QHTT Để toán gọn hơn, dùng ký hiệu Ví dụ 1.5 Đưa toán QHTT sau dạng tắc viết toán tắc dạng ma traän n f ( x) c j x j ( hay max) j 1 a11 a12 a a22 A 21 am1 am a1 j a1n b1 c1 x1 0 a 0 b c x a2 n , Aj j ,b ,c , x ,0 amn 0 bm cn xn amj Trong A ma trận mn gồm hệ số vế trái hệ ràng buộc; Aj vectơ cột thứ j ma trận A; b vectơ hệ số vế phải hệ ràng buộc; c vectơ hệ số hàm mục tiêu; x vectơ ẩn số; vectơ không Khi toán QHTT dạng tắc có dạng f(x) = cTx (hay max) Ax = b, x f ( x ) x1 x2 x3 x2 x3 x1 2 x x x3 12 4 x1 x2 x3 10 x1 x3 Thêm ẩn phụ x4, x5 vào ràng buộc thứ ràng buộc thứ ba Thay x/3 = –x3 Thay x2 = x/2 –x//2 0, với x/2, x//2 ThS Nguyễn Cơng Trí - Tối ưu hóa * Chương CÁC DẠNG CỦA BÀI TOÁN QHTT Bài toán QHTT có dạng tắc sau f ( x) x1 3x2 3x2 x3 x2 3x1 x x x x x1 0, x2 0, x2 x2 3x2 x2 0, x3 x4 x3 12 x3 x5 10 x3 0, x4 0, x5 Bài toán QHTT dạng ma trận sau f(x) = (1, 3, – 2, 0, 0, 0)T(x1, x/2, x//2, x/3, x4, x5) (x1, x/2, x1 x 1 3 4 1 0 x2 12 3 1 x3 10 x x5 x// , x/ , x , x ) (0, 0, 0, 0, CÁC DẠNG CỦA BÀI TOÁN QHTT Ví dụ 1.6 Cho toán QHTT: f ( x ) x2 x5 x1 x2 x2 x3 2 x2 x4 xj 2 x5 x5 x5 j 1,5 Ta có ma trận hệ số hệ ràng buộc: 1 0 2 A 0 1 0 1 0, 0) ĐỊNH NGHĨA PHƯƠNG ÁN CỰC BIÊN Một phương án x* = (x1*, x2*, , xn*) toán QHTT dạng tổng quát phương án cực biên (P.A.C.B) x* = (x1*, x2*, , xn*) thỏa mãn chặt n ràng buộc độc lập tuyến tính Tức là: n * aijx j = bi , i=1,k, k m X * la P.A.C.B * j=1 k +l n,det A x* =0, j=1,l, l n j Trong A ma trận cấp n hpt (*) Một P.A.C.B không suy biến P.A.C.B thỏa mãn n ràng buộc chặt Một P.A.C.B suy biến P.A.C.B thỏa mãn n ràng buộc chặt P.A.C.B gọi phương án chứa I3 nên toán quy hoạch tuyến tính có dạng chuẩn ĐỊNH NGHĨA PHƯƠNG ÁN CỰC BIÊN Ví dụ 1.7 Cho toán QHTT f ( x ) 50 x1 16 x2 23 x3 x2 x3 5 x1 x x2 3x3 x1 6 x x2 x3 x3 x2 Các vectơ sau X 0, 1, 3 Y 3, 0, 23 Z 2, , 5 phương án cực biên? ThS Nguyễn Cơng Trí - Tối ưu hóa * Chương ĐỊNH NGHĨA PHƯƠNG ÁN CỰC BIÊN CÁC TÍNH CHẤT CỦA BÀI TOÁN QHTT º Dễ dàng kiểm tra X phương án Y, Z phương án toán ĐỊNH LÝ (TÍNH ĐẶC TRƯNG CỦA P.A.C.B) Một phương án X* = (x1*, x2*,…, xn*) toán QHTT dạng tắc phương án cực biên hệ vectơ cột Aj ứng với thành phần xj* > độc lập tuyến tính Ví dụ 1.8 Cho toán QHTT f ( x) x1 x2 x3 º Y thỏa ràng buộc chặt (2 ràng buộc dấu) nên Y P.A º Z thỏa ràng buộc chặt (ràng buộc 2, ràng buộc 3, ràng buộc 4) 1 0 det 1 5 6 1 Vậy Z phương án cực biên toán CÁC TÍNH CHẤT CỦA BÀI TOÁN QHTT X, Y, Z thỏa ràng buộc nên chúng P.A Mặt khác ta có 1 1 1 A1 A2 A3 1 1 0 1 Với X = (2, 2, 0), det 2 nên X P.A.C.B 1 Với Y = (0, 0, 4), hệ gồm vectơ A3 nên Y P.A.C.B Với Z=(1, 1, 2), ta thấy hệ {A1, A2, A3} phụ thuộc tuyến tính A1+A2–2A3=0 nên Z không P.A.C.B HỆ QUẢ (tính hữu hạn P.A.C.B) Sốù phương án cực biên toán QHTT dạng tắc hữu hạn x1 x2 x3 x2 x1 x j 0, j 1,3 Các vectơ sau X = (2, 2, 0), Y = (0, 0, 4), Z = (1, 1, 2), P.A.C.B toán CÁC TÍNH CHẤT CỦA BÀI TOÁN QHTT HỆ QUẢ Sốù thành phần dương phương án cực biên toán quy hoạch tuyến tính dạng tắc tối đa m (m số dòng ma tận A) ĐỊNH LÝ (SỰ TỒN TẠI CỦA PHƯƠNG ÁN TỐI ƯU) Nếu toán quy hoạch tuyến tính có phương án hàm mục tiêu bò chặn (đối với f(x) min) hàm mục tiêu bò chặn (đối với f(x) max) tập phương án toán có phương án tối ưu ĐỊNH LÝ (SỰ TỒN TẠI CỦA P.A.C.B TỐI ƯU) Nếu toán QHTT dạng tắc có P.A.T.Ư toán có P.A.C.B tối ưu (P.A.C.B.T.Ư) ThS Nguyễn Cơng Trí - Tối ưu hóa * Chương CÁC TÍNH CHẤT CỦA BÀI TOÁN QHTT ĐỊNH LÝ (SỰ TỒN TẠI NHIỀU P.A.C.B.T.Ư) Nếu toán có P.A.T.Ư Xopt X(1), X(2) phương án khác toán thoaû Xopt = X(1) + (1–)X(2), X(1), X(2) P.A.T.Ư NHẬN XÉT Ta tìm P.A.T.Ư toán QHTT số P.A.C.B toán xác đònh P.A.C.B toán dạng chuẩn cách cho ẩn không không (xem Ví dụ 1.9) Trong toán QHTT dạng tắc Nếu hạng ma trận hệ số A m P.A.C.B gọi không suy biến có m thành phần dương Nếu P.A.C.B có m thành phần dương gọi P.A.C.B suy biến (xem Ví dụ 1.10) CÁC TÍNH CHẤT CỦA BÀI TOÁN QHTT Ví dụ 1.10 Với toán quy hoạch tuyến tính f ( x) x1 x2 x3 x4 x1 x1 2 x2 5 x2 x1 2 x2 3 x3 x4 2 x4 28 26 2 x3 x4 16 x j j 1, Kiểm tra vectơ X = (11, 3, 0, 0) có phải P.A.C.B? Kiểm tra trực tiếp, ta có X P.A toán CÁC TÍNH CHẤT CỦA BÀI TOÁN QHTT Ví dụ 1.9 Với toán quy hoạch tuyến tính f ( x) x x5 x1 x2 3x x2 x j j 1,5 x3 x4 x5 x5 x5 Ta có phương án X = (1, 0, 3, 2, 0) phương án cực biên toán ẩn x1, x3, x4 ẩn toán dạng chuẩn CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 4.1 PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC (Xem) Ths Nguyễ nHÌNH Công Trí 4.2 PHƯƠNG PHÁP ĐƠN (Xem) 4.3 PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH MỞ RỘNG (Xem) (BÀI TOÁN M) Copyright 2001 Hạng ma trận hệ số hệ ràng buộc tuyến tính X có thành phần dương x1 =11, x2 = nên X P.A.C.B suy biến ThS Nguyễn Cơng Trí - Tối ưu hóa * Chương PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC Xét toán QHTT có biến ax+by=c =m (đường mức) tăng ax+byc giảm O b a N(a,b) Ví dụ 1.11 Một công ty có phân xưởng: PX1 PX2 sản xuất loại sản phẩm A B Năng suất chi phí sản xuất PX giờ: Phân xưởng Năng suất Sản phẩm A Sản phẩm B Chi phí (triệu đồng/ giờ) Ta có mô hình toán f x 0,6 x1 x2 250 x1 250 x2 5000 100 x1 200 x2 3000 x x2 Duøng phương pháp hình học để giải toán sau PX2 250 100 0,6 250 200 Đơn đặt hàng: 5.000 SpA, 3.000 SpB Hãy phân phối thời gian hoạt động phân xưởng cho thoả yêu cầu đơn đặt hàng chi phí sản xuất thấp PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC Gọi x1, x2 số hoạt động phân xưởng thứ phân xưởng thứ hai PX1 0,6x1+x2=m 100x1+200x2=3000 20 A1(0,20) Miền ràng buộc D 15 10 A3 (10,10) A2(30,0) 10 20 taêng 30 250x1+250x2=5000 giảm Vậy P.A.T.Ư: xopt(10,10) f(xopt)=16 triệu đồng ThS Nguyễn Cơng Trí - Tối ưu hóa * Chương PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC -2x1+x2= m Ví dụ 1.12 Giải toán quy hoạch tuyến tính x1-x2= -2 Miền ràng buộc D -x1+2x2= -2 f x 2 x1 x2 x1 x2 2 x2 2 x1 x x2 -2 taêng -1 O A1(0,2) giảm -1 2A 2(2,0) phương pháp hình học Hàm mục tiêu không bò chặn Bài toán phương án tối ưu CƠ SỞ PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH CƠ SỞ PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH Ví dụ 13: giải toaùn f ( x) 3x1 x2 x3 x1 4 x2 3 x3 3x x 4 x3 x 2 x2 2 x3 x j j 1,3 Đưa toán dạng taéc f ( x) 3 x1 x2 x3 2 x1 4 x2 3x3 w1 3 x x 4 x3 w2 x 2 x2 2 x3 w3 x j 0, j 1,3, wi 0, i 1,3 10 10 Ta coù P.A.C.B laø x = (0, 0, 0, 10, 5, 8) Bài toán tương đương f ( x) 3x1 x2 x3 w1 10 2 x1 4 x2 3 x3 w 3 x x 4 x3 w x 2 x2 2 x3 x j j 1,3, wi 0, i 1,3 có P.A.C.B x = (0, 0, 0, 10, 5, 8) vaø f(x) = Nhận xét: đổi P.A cách tăng x1 giá trò dương giử x2 = x3 = thỏa điều kiện wi ≥ ThS Nguyễn Cơng Trí - Tối ưu hóa * Chương CƠ SỞ PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH Ta có w1 w2 w x1 10 2 x1 5 3x1 x1 x1 3 x1 (Chọn dòng 2) x1 CƠ SỞ PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH Ta có kết f ( x) 5 w2 x2 x3 Chọn x1 = 5/3, ta P.A x1 = 5/3, x2 = x3 = w2 = 0, w1 = 20/3, w3 = 19/3 Vaø f(x) = - Bài toán tương đương: ràng buộc thứ hai tính x1 theo biến lại, giá trò x1 vừa tính vào ràng buộc hàm mục tiêu 20 10 w1 w2 x2 x3 1 x w2 x2 x3 3 3 19 w2 x2 x3 w3 3 3 x j 1,3, wi 0, i 1,3 Nhận xét: j đổi P.A cách tăng x2 giá trò dương giử x3 = w2 = thỏa điều kiện wi ≥ CƠ SỞ PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH CƠ SỞ PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH Ta có 20 10 w1 x1 x2 x2 x2 x2 x1 3 19 (Chọn dòng 1) 19 x2 w x 3 Choïn x2 = 2, ta P.A x1 = 1, x3 = w1 = w2 = 0, w3 = vaø f(x) = - Bài toán tương đương: ràng buộc thứ tính x2 theo biến lại, giá trò x2 vừa tính vào ràng buộc hàm mục tiêu Ta có kết 31 f ( x) 7 w1 w2 x3 10 10 1 x2 10 w1 w2 10 x3 x w w 39 x 10 15 30 x3 w3 w1 x j j 1,3, wi 0, i 1,3 Bài toán có P.A.T.U laø xopt = (1, 2, 0) vaø f(xopt) = - 10 ThS Nguyễn Cơng Trí - Tối ưu hóa * Chương BẢNG ĐƠN HÌNH Hệ n PA C1 C2 … Ci …… Cm Cm+1 soá C.B CB x1 x2 xi … … xm xm+1 THUAÄT GIẢI ĐƠN HÌNH … … Cj Cn … … xj xn C1 x1 b1 a1,m+1 … … a1j a1n C2 x2 b2 … a2,m+1 …… a2j a2n Ci xi bi 0 … … … … Cm xm bm 0 … … f(x) f(x0) 0 … … ai,m+1 aij … ain am,m+1 … amj … amn m+1 … j … n LẬP BẢNG ĐƠN HÌNH j ≤ 0,j? Đúng Sai aij ≤ 0,i? Đúng Sai XÁC ĐỊNH PHƯƠNG ÁN MỚI n vào: Max j x j j 0 Aån ra: Min aij 0 Thuật giải gồm bước: Bước 1: Lập bảng đơn hình Bài toán phải dạng chuẩn, đưa số liệu vào bảng đơn hình Bước 2: Kiểm tra tính tối ưu toán Tính j = ∑aijci – cj Nếu j ≤ 0: toán có P.A.T.U Nếu j > 0: chuyển sang bước Bước 3: Kiểm tra tính giải toán Nếu aij ≤ 0, i: toán P.A.T.U Nếu aij > 0: chuyển sang bước KẾT THÚC THUẬT GIẢI BÀI TOÁN KHÔNG CÓ P.A.T.Ư bi xi aij BIẾN ĐỔI BẢNG ĐƠN HÌNH THUẬT GIẢI ĐƠN HÌNH P.A.T.Ư SỐ BƯỚC LẶP LÀ HỮU HẠN THUẬT GIẢI ĐƠN HÌNH Bước 4: Tìm P.A.C.B toán Chọn ẩn vào: Chọn Maxj (j > 0), ẩn xj chọn đưa vào hệ ẩn ứng với j chọn Chọn aån ra: Choïn = Min{bi/aij} (aij > 0), aån xi chọn đưa khỏi hệ ẩn ứng với nhỏ Phần tử aij (ứng với ẩn vào xi ẩn xj) gọi phần tử trục Dùng phương pháp biến đổi sơ cấp dòng ma trận hệ số để biến đổi ẩn đưa vào trở thành ẩn Sau quay bước 12 ThS Nguyễn Cơng Trí - Tối ưu hóa * Chương THUẬT GIẢI ĐƠN HÌNH NHẬN XÉT Dấu hiệu toán có nhiều P.A.T.Ư Với P.A.C.B.T.Ư Xopt tìm được, j = 0, mà xj không P.A.C.B toán có P.A.C.B.T.Ư khác X/opt (xem Ví dụ 1.15) Tập phương án tối ưu: Trường hợp có hai P.A.C.B.T.Ư Xopt X/opt Topt = {Xopt + (1 – )X/opt, [0, 1]} Trường hợp có P.A.C.B.T.Ư X(1)opt, X(2)opt, X(3)opt THUẬT GIẢI ĐƠN HÌNH Ví dụ 1.14 Giải toán quy hoạch tuyến tính f ( x ) x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x1 x2 2 x1 x1 xj x3 x4 x6 x7 3 4 x4 2 x4 2 x6 3 x6 x7 9 2 x5 j 1,7 Topt = { X(1)opt + X(2)opt + X(3)opt, }, với , , + + = THUẬT GIẢI ĐƠN HÌNH HỆ ẨN SỐ C.B 1 7 1 x2 x3 x5 f x x6 x3 x5 f x P.A 14 3 11 7 x1 x2 1 2 5 1 2 7 x3 0 0 x4 1 4 6 1 2 1 1 7 x5 x6 x7 1 1 3 0 6 1 0 3 0 13 BT P.A.T.Ư 4= > mà ai4 < 0, i THUẬT GIẢI ĐƠN HÌNH Ví dụ 1.15 Giải toán quy hoạch tuyến tính f (x) 5x1 4x2 5x3 2x4 x5 3x6 min 2x1 4x2 3x3 x4 4x1 3x1 2x2 3x3 x3 152 x5 60 x6 36 xj j 1,6 Bài toán có phương án tối ưu khác hay không? Nếu có tìm tập phương án tối ưu phương án tối ưu 13 ThS Nguyễn Cơng Trí - Tối ưu hóa * Chương THUẬT GIẢI ĐƠN HÌNH HỆ ẨN SOÁ C.B P.A x4 x5 x6 f x x4 x5 x1 f x 152 60 36 472 128 12 12 328 x1 12 0 x2 x3 x4 3 0 73 53 0 13 THUAÄT GIẢI ĐƠN HÌNH x5 x6 0 0 0 2 4 13 4 THUẬT GIẢI ĐƠN HÌNH HỆ AÅN SOÁ C.B x4 x2 x6 f x P.A 32 30 36 292 x1 6 x2 0 x3 x4 x5 3 2 12 0 2 3 Topt={xopt + (1 - )x/opt, 0, 1} SOÁ 5 x1 C.B x4 104 x2 x1 12 f x 292 AÅN P.A x2 0 x3 x4 x5 1 2 12 0 2 3 x6 2 3 Bài toán có P.A.T.Ư xopt=(12, 6, 0, 104, 0, 0) f(xopt)= 292 Bài toán P.A.C.B.T.Ư khác 6 = 0, x6 A.C.B Ta có P.A.C.B.T.Ư thứ hai cách chọn ẩn x6 ẩn đưa vào THUẬT GIẢI ĐƠN HÌNH x6 0 Bài toán có phương án cực biên tối ưu khác x/opt = (0, 30, 0, 32, 0, 36) f(x/opt) = 292 Tập phương án tối ưu HỆ Với tập phương án tối ưu, ta coù : xopt + (1 - )x/opt = (12, 6, 0, 104, 0, 0) + (1-)(0, 30, 0, 32, 0, 36) = (12 , 30–24, 0, 32 + 72, 0, 36 - 36) phương án tối ưu Với = 0, ta có P.A.T.Ư: x/opt = (0, 30, 0, 32, 0, 36) vaø f(x/opt) = 292 Với = 1, ta có P.A.T.Ư: xopt = (12, 6, 0, 104, 0, 0) vaø f(x/opt) = 292 Với = ½, ta có P.A.T.Ư: Zopt = (6, 18, 0, 68, 0, 18) vaø f(zopt) = 292 14 ThS Nguyễn Cơng Trí - Tối ưu hóa * Chương THUẬT GIẢI ĐƠN HÌNH THUẬT GIẢI ĐƠN HÌNH NHẬN XÉT Nếu toán có hàm mục tiêu n f ( x) c j x j Max j 1 Có hai cách giải: Ví dụ 1.16 Giải toán quy hoạch tuyến tính f ( x) 2x1 x2 x3 x4 max x1 Giải trực tiếp toán (xem Ví dụ 1.16), với: x2 x2 Tiêu chuẩn tối ưu j 0, j • Ẩn vaøo laø Min j 3x3 2x4 j 0 b Ẩn Min i aij 0 a ij • Chuyển hàm mục tiêu toán xj j 1,4 g ( x) f ( x ) Min Bài toán có phương án tối ưu khác hay không? Nếu có, phương án tối ưu khác THUẬT GIẢI ĐƠN HÌNH THUẬT GIẢI ĐƠN HÌNH Đưa toán dạng tắc cách thêm ẩn phụ x5 ≥ vào ràng buộc thứ hai ẩn phụ x6 ≥ vào ràng buộc thứ ba Ta có toán dạng chuẩn f ( x) 2x1 x2 x3 x4 max x1 2x3 x4 7 x3 3x4 x2 x2 2x3 x4 7x3 3x4 x5 3x3 2x4 x6 x j j 1,6 Lập bảng đơn hình HỆ ẨN SOÁ C.B 2 0 x1 x5 x6 f x x3 x5 x6 f x 0 P.A 2 4 2 1 1 x1 x2 x3 x4 1 1 1 7 0 3 1 5 1 1 1 2 1 2 3 12 2 3 2 x5 0 0 x6 0 0 15 ThS Nguyễn Cơng Trí - Tối ưu hóa * Chương THUẬT GIẢI ĐƠN HÌNH HỆ SỐ 1 AÅN P.A C.B x3 x5 x4 f x 17 16 25 2 1 1 x1 x2 x3 x4 2 0 3 0 CƠ SỞ THUẬT GIẢI ĐƠN HÌNH MỞ RỘNG x5 0 x6 1 Xuất phát từ toán dạng tắc n f ( x) c j x j Min j 1 n aij x j bi , i 1, m I j 1 x j 1, n b i j Vì j 0, j nên toán có P.A.T.Ư Xopt = (0, 0, 9, 16) f(Xopt) = 25 Bài toán không phương án tối ưu khác j = với xj ẩn không Không làm tính tổng quát toán, ta giả sử bi ma trận hệ số hệ ràng buộc không chứa vectơ (cột) đơn vò Cộng vào ràng buộc với ẩn giả tương ứng xi(g) ≥ ta toán có dạng: CƠ SỞ THUẬT GIẢI ĐƠN HÌNH MỞ RỘNG BẢNG ĐƠN HÌNH MỞ RỘNG n m f ( x) c j x j M xig Min j 1 i 1 n g II aij x j xi bi , i 1, m j 1 x 0, j 1, n; x g 0, i 1, m, M vôcùng lớn i j Bài toán (I) gọi toán gốc, toán (II) gọi toán mở rộng hay toán M Một phương án toán M có dạng x x j , xig xj gồm n ẩn thật xi(g) gồm m ẩn giả PA C1 C2 … Cm Cm+1 Soá C.B CB x1 x2 … xm xm+1 M xn+1 b1 a11 a12 … a1m a1,m+1 M x n+2 b2 a21 a22 … a2m a2,m+1 Hệ Ẩn … … … … … Cj … Cn … xj … xn … a1j … a1,n … a2j … … … aij … a2,n … … … ai,n … … … … … M x n+i bi ai1 ai2 aim ai,m+1 … … … … … … … … … … … … … M xn+m bm am1 am2 amm am,m+1 … amj … am,n f(x) f(x0) 1 2 … m m+1 … j … n Trong xn+i (i = 1, 2, , m) ẩn giả 16 ThS Nguyễn Cơng Trí - Tối ưu hóa * Chương CƠ SỞ THUẬT GIẢI ĐƠN HÌNH MỞ RỘNG NHẬN XÉT Khi thuật giải toán M kết thúc có hai trường hợp sau xảy ra: [1] Nếu toán M (Bài toán II) phương án tối ưu toán gốc (Bài toán I) phương án tối ưu CƠ SỞ THUẬT GIẢI ĐƠN HÌNH MỞ RỘNG b) Nếu hệ ẩn toán M có chứa ẩn giả giá trò chúng không P.A.T.Ư toán gốc P.A.T.Ư toán M loại bỏ ẩn giả không (xem Ví dụ 1.18) [2] Nếu toán M (Bài toán II) có phương án tối ưu có trường hợp xảy sau đây: c) Nếu hệ ẩn toán M có ẩn giả mà giá trò chúng khác không toán gốc P.A.T.Ư a) Trong hệ A.C.B không chứa ẩn giả P.A.T.Ư toán M P.A.T.Ư toán gốc (xem Ví dụ 1.17) Chú ý Nếu hàm mục tiêu f(x) Max hệ số ẩn giả hàm mục tiêu toán M (– M), với M > vô lớn (xem Ví dụ 1.19) THUẬT GIẢI ĐƠN HÌNH MỞ RỘNG ĐƯA BÀI TOÁN VỀ DẠNG CHUẨN Ví dụ 1.17 (trường hợp a) Giải toán QHTT f ( x) 8 x1 x2 x3 LẬP BẢNG ĐƠN HÌNH j ≤ 0? Đúng CÓ P.A.T.Ư xig ? Có xig 0? Đúng Sai Không Đúng KHÔNG aij ≤ 0? CÓ CÓ P.A.T.Ư Sai P.A.T.Ư Xác đònh phương án n vào: n ra: Max j j 0 b Min i aij a ij BIẾN ĐỔI BẢNG ĐƠN HÌNH THUẬT GIẢI ĐƠN HÌNH MỞ RỘNG Sai KHÔNG CÓ P.A.T.Ư KẾT THÚC THUẬT GIẢI SỐ BƯỚC LẶP LÀ HỮU HẠN 4 x1 4 x2 3 x3 18 x1 3 x2 4 x3 16 x j j 1,3 Nhân (– 1) vào ràng buộc thứ nhất, toán có dạng tắc sau f ( x) 8 x1 x2 x3 x1 x1 4 x2 3 x2 xj j 1,3 3 x3 4 x3 18 16 17 ThS Nguyễn Cơng Trí - Tối ưu hóa * Chương THUẬT GIẢI ĐƠN HÌNH MỞ RỘNG THUẬT GIẢI ĐƠN HÌNH MỞ RỘNG HỆ SỐ M M Đưa toán dạng chuẩn: Thêm hai ẩn giả x4 ≥ x5 ≥ vào vào ràng buộc thứ thứ hai toán Bài toán có dạng chuẩn sau: f (x) 8x1 6x2 2x3 M (x4 x5 ) Min 4x1 4x1 4x2 3x2 3x3 4x3 x4 18 x5 16 M 8 8 18 16 f x 34M x4 x1 x2 x1 f x 8 2 8 x1 4 x2 x3 3 8M M M 7 1 M 10 M 12 7 25 94 Bài toán có P.A.T.Ư Xopt=(5/2, 2, 0), f(Xopt)= –8 THUẬT GIẢI ĐƠN HÌNH MỞ RỘNG Ví dụ 1.18 (trường hợp b) Giải toán QHTT f ( x ) x1 3x2 x3 5 x2 x3 10 x1 4x 3 x2 2 x3 16 2x 4 x2 x3 x j j 1,3 Thêm ẩn phụ x4 vào ràng buộc thứ f ( x) x1 x2 x3 x j x4 x5 P.A f x 2M 32 x j j 1,5 M vô lớn Ta có bảng đơn hình mở rộng ẨN C.B x1 5 x2 x3 x1 x1 3 x2 4 x2 2 x3 x3 0 j 1, x4 10 16 THUẬT GIẢI ĐƠN HÌNH MỞ RỘNG Thêm hai ẩn giả x5 ≥ 0, x6 ≥ vào ràng buộc thứ hai ràng buộc thứ ba Ta có toán dạng chuẩn sau f (x) 6x1 3x2 x3 M (x5 x6 ) 2x1 5x2 x3 x4 4x1 3x2 2x3 2x1 4x2 x3 10 x5 x6 16 xj j 1, M Ta có bảng đơn hình mở rộng 18 ThS Nguyễn Cơng Trí - Tối ưu hóa * Chương THUẬT GIẢI ĐƠN HÌNH MỞ RỘNG THUẬT GIẢI ĐƠN HÌNH MỞ RỘNG HỆ ẨN SỐ C.B M x4 x5 x6 M P.A 10 16 f x 24M M x4 x5 x1 f x 24 x1 x2 3 x4 0 M M 3M 0 1 11 0 1 2 0 11M x3 HỆ ẨN SỐ C.B M x4 x5 x3 f x 4 x1 2 x x1 x j Thêm ẩn phụ x4, x5 x2 2 x2 2 x3 x3 12 10 2 x2 1 x3 10 j 1,3 ≥ vào ràng buộc (1) & (2) x2 2 x2 2 x3 x3 2 x2 1 x3 j 1,5 x4 x5 x1 x2 x3 x4 0 1 11 0 4 11M x 0, 0, 8, 2, 0, với ẩn giả x5 = P.A.T.Ư BT gốc xopt = (0, 0, 8) f(xopt) = THUẬT GIẢI ĐƠN HÌNH MỞ RỘNG Thêm ẩn giả vào x6, x7 vào ràng buộc (1) & (3) Ta có toán dạng chuẩn sau f ( x) 2x1 x2 x3 M x6 x7 max f ( x) 2 x1 x2 x3 max 4 x1 2 x x1 xj P.A.T.Ư BTM THUẬT GIẢI ĐƠN HÌNH MỞ RỘNG Ví dụ 1.19 (trường hợp c) Giải toán QHTT f ( x) 2 x1 x2 x3 max P.A 12 10 10 4x1 2x1 x2 2x2 2x3 x4 x6 12 x3 x5 10 x1 2x2 x3 x7 10 x j j 1,7 M Ta coù bảng đơn hình mở rộng 19 ThS Nguyễn Cơng Trí - Tối ưu hóa * Chương THUẬT GIẢI ĐƠN HÌNH MỞ RỘNG HỆ SỐ x5 x6 12 x5 10 x7 10 f x 22M 3M 3M M M x3 2 2 x5 16 4 2 x7 13 0 4 1 f x 13M M 4M AÅN C.B M M M BÀI TẬP CHƯƠNG P.A 2 x1 4 2 1 x2 1 2 x3 1 x4 1 0 P.A.T.Ö Xopt = (0, 0, 6, 0, 16, 0, 13), với x7 = 13 nên toán gốc P.A.T.Ư LẬP MÔ HÌNH BÀI TOÁN [1] [2] [3] [4] BÀI TOÁN QHTT DẠNG CHÍNH TẮC [5a] [5b] XÁC ĐỊNH P.A – P.A.C.B VÀ P.A.T.Ư [6] [7a] [7b] [7c] GIẢI BÀI TOÁN QHTT BẰNG PP HÌNH HỌC [8a] [8b] [8c] GIẢI BÀI TOÁN QHTT BẰNG PP ĐƠN HÌNH [9] [10] [11] [12] [13] [14] [15] [16] [17] BÀI TẬP CHƯƠNG BÀI TẬP CHƯƠNG 1 Một xí nghiệp chế biến đồ gỗ có 3.000 đơn vò gỗ nguyên liệu nhóm I, 5.000 đơn vò gỗ nguyên liệu nhóm II 2.000 đơn vò gỗ nguyên liệu nhóm III Theo kế hoạch xí nghiệp phải sản xuất bốn loại hàng hoá với đònh mức nguyên liệu lợi nhuận thể bảng sau 1.Gọi xj (j=1, 2, 3, 4) số lượng tủ, cửa, sa–lông giường ngủ xí nghiệp sản xuất Sản phẩm Đònh mức Bộ tủ Bộ cửa Bộ sa-lông Bộ giường ngủ Gỗ nhóm I 30 40 10 Gỗ nhóm II 10 20 50 60 Mô hình toán f(x) = 0,5x1 + 0,8x2 + 0,4x3 + 0,6x4 Max Với ràng buộc nguyên liệu 30x1 + 40x2 + Nguyên liệu Gỗ nhóm III 10 50 80 20 Lợi nhuận (triệu đồng) 0,5 0,8 0,4 0,6 Hãy lập mô hình toán cho xí nghiệp đạt lợi nhuận nhiều nhất? +10x4 ≤ 3000, 10x1 + 20x2 + 50x3 + 60x4 ≤ 5000, 10x1 + 50x2 + 80x3 + 20x4 ≤ 2000, Ràng buộc ẩn số xj ≥ , j = 1, 2, 3, 20 ThS Nguyễn Cơng Trí - Tối ưu hóa * Chương BÀI TẬP CHƯƠNG BÀI TẬP CHƯƠNG Một công ty có kế hoạch quảng cáo loại sản phẩm công ty sản xuất thời gian tháng với tổng chi phí 100 triệu đồng Các phương tiện chọn để quảng cáo sản phẩm với số liệu dự kiến sau: Công ty yêu cầu phải có 30 lần quảng cáo truyền hình tháng Hãy lập mô hình toán cho phương án quảng cáo sản phẩm công ty tối ưu Một xí nghiệp sử dụng tối đa 510 máy cán, 360 máy tiện 150 máy mài để chế tạo sản phẩm A, B C Để chế tạo sản phẩm A cần máy cán, máy tiện máy mài; sản phẩm B cần máy cán, máy tiện; sản phẩm C cần máy cán, máy tiện máy mài Mỗi sản phẩm A trò giá 48 ngàn đồng, sản phẩm B trò giá 16 ngàn đồng sản phẩm C trò giá 27 ngàn đồng Hãy lập mô hình toán xí nghiệp cần chế tạo loại sản phẩm để có tổng giá trò sản phẩm lớn BÀI TẬP CHƯƠNG BÀI TẬP CHƯƠNG Một xí nghiệp vận tải cần chuyển loại hàng hóa từ ba kho hàng A1, A2 A3 đến bốn cửa hàng B1, B2, B3 B4 Chi phí vận chuyển đơn vò hàng hóa từ kho Ai (i = 1, 2, 3) đến cửa hàng Bj (j = 1, 2, 3, 4) cho bảng sau a) Đưa toán quy hoạch tuyến tính sau dạng tắc f ( x) x1 x2 x3 Phương tiện quảng cáo Chi phí lần Số lần quảng cáo Dự đoán số người quảng cáo (triệu Đ) tối đa tháng xem quảng cáo Truyền hình (1 phút) 1,5 0,5 Báo (1/2 trang) Phát (1 phút) 60 26 90 15.000 30.000 9.000 Cửa hàng Chi phí vận chuyển Lượng hàng B1 B2 B3 B4 có (tấn) Kho A1 40 A2 30 A3 30 Nhu cầu cửa hàng (tấn) 20 25 30 15 Hãy lập mô hình toán vận tải hàng hóa cho tổng chi phí vận tải bé nhất? x2 4 x3 x1 2x x2 3 x3 Thêm ẩn phụ x4, x5 0 vào ràng buộc thứ hai, x1 4 x2 2 x3 thứ ba vaø x3 = x/3 – x//3, x1 0, x2 với x/3 0, x//3 0, ta có toán dạng tắc f ( x) x1 3x2 x3 x3 x2 4 x3 4 x3 x1 2x x x x x 3 2 x3 2 x3 x5 3x1 4 x2 x1 0, x2 x3 0, x3 0, x4 0, x5 21 ThS Nguyễn Cơng Trí - Tối ưu hóa * Chương BÀI TẬP CHƯƠNG BÀI TẬP CHƯƠNG b) Đưa toán quy hoạch tuyến tính sau dạng tắc f ( x) x1 x2 x3 max x1 2 x2 x3 15 Thêm ẩn phụ x4, x5 x1 2 x2 x3 10 vaøo raøng buộc thứ nhất, 3 x1 6 x2 2 x3 25 thứ ba x2 = x/2 – x//2, x1 0, x3 với x/2 0, x//2 0, ta có toán dạng tắc f ( x) x1 3x2 x2 x3 2 x2 x3 x4 15 x1 2 x2 5x 2 x2 2 x2 x3 10 x x x x x 25 2 x1 0, x2 x2 0, x3 0, x4 0, x5 BÀI TẬP CHƯƠNG (a) Các vectơ X, Y, Z T P.A toán chúng thỏa hệ ràng buộc Với X = (0, 0, 0, 8) thỏa ràng buộc chặt, ta có 2 3 0 det 0 0 4 1 0 0 4 det 4 0 0 1 0 Vậy X P.A.C.B không suy biến Tương tự, Y = (14, 0, 0, 1) P.A.C.B không suy biến Z T P.A.C.B (b) Với Y P.A.T.Ư, ta coù f(Y) = 40, ta coù f(X) = – 16 f(Y), f(Z) = 12 f(Y) vaø f(T) = 40 = f(Y) Vậy T P.A.T.Ư Cho toán QHTT sau f(x) 3x1 x2 x3 x4 max 2x1 x2 x3 x4 30 2x1 x2 x3 60 2x1 x2 x3 + x4 32 x j (j 1,4) Xét véctơ X = (0, 0, 0, 8), Y = (14, 0, 0, 1), Z = (7, 0, 0, 9/2) vaø T = (16, 1, 0, ½) (a) Vectơ P.A; vectơ P.A.C.B? (b) Cho biết Y P.A.T.Ư Trong vectơ lại, vectơ P.A.T.Ư toán trên? BÀI TẬP CHƯƠNG a) Tìm P.A.C.B không suy biến toán f ( x) x1 x2 x3 x1 x1 x 0, j x2 x2 x3 x3 j 1, 2, cho x1 = 0, ta có hệ phương trình vô nghiệm cho x2 = 0, giải hpt, ta có x1 = 2, x3 = Kiểm tra trực tiếp phương án X = (2, 0, 1) P.A.C.B không suy biến cho x3 = 0, ta có Y = (2, 1, 0) Kiểm tra trực tiếp phương án Y P.A.C.B không suy biến 22 ThS Nguyễn Cơng Trí - Tối ưu hóa * Chương BÀI TẬP CHƯƠNG b) Tìm P.A.C.B không suy biến toán f ( x) x1 x2 x3 x1 x1 x 0, j x2 10 x2 3 x3 j 1, 2,3 14 BÀI TẬP CHƯƠNG a) Giải toán phương pháp hình học f ( x ) x1 x2 max x2 2 x2 c) Tìm P.A.C.B không suy biến toán f ( x) x1 3x2 x3 x3 x1 3x x x j 0, BÀI TẬP CHƯƠNG x1 x1 x 0, j x2 x2 x3 j 1, 2,3 BÀI TẬP CHƯƠNG b) Giải toán phương pháp hình học f ( x) x1 x2 max x2 j 1, x1 x1 x1 x j 0, 2 x2 2 x2 2 x2 12 j 1, 23 ThS Nguyễn Cơng Trí - Tối ưu hóa * Chương BÀI TẬP CHƯƠNG BÀI TẬP CHƯƠNG c) Giải toán phương pháp hình học Giải toán QHTT sau f ( x ) x1 x2 x4 x5 x6 f ( x ) x1 3x2 x1 x1 x1 x j 0, x2 x2 x2 j 1, x1 x4 x2 x3 xj 3x1 11x1 xj x3 x4 17 x j 1,7 x5 x5 x5 12 11 Giải toán QHTT sau f ( x) x x3 x5 f ( x) x1 x 3x3 x max x4 4 x x6 3 x BÀI TẬP CHƯƠNG 10 Giải toán QHTT sau x2 x6 j 1,6 BÀI TẬP CHƯƠNG 1 x1 x4 2 x4 x5 x6 x6 x7 20 x1 xj 3x2 x3 x x3 x x3 j 1,6 x5 x5 12 10 x4 x6 24 ThS Nguyễn Cơng Trí - Tối ưu hóa * Chương BÀI TẬP CHƯƠNG BÀI TẬP CHƯƠNG 12 Giải toán QHTT sau ñaây f ( x ) x1 x2 x3 Thêm ẩn phụ x4, x5, x6 vào ràng buộc, ta có toán dạng chuẩn sau x1 x1 x2 2 x x1 xj x3 x3 2 x3 j 1,3 f ( x ) x1 x2 x3 x1 x2 x3 4 x1 2 x x3 x1 xj x4 x5 x3 x6 j 1,6 xj BÀI TẬP CHƯƠNG 2x2 x2 3x3 x3 x1 x x3 x j j 1,4 x4 28 31 16 28 31 16 j 1,5 BÀI TẬP CHƯƠNG 14 Giải toán QHTT sau f ( x) x1 x x3 x x1 x1 13 Giaûi toán QHTT sau f ( x) x1 x x3 x x1 x2 x4 x1 5x2 x3 x x1 x x3 x x j j 1,4 Đưa toán dạng tắc f ( x) x1 x2 x3 x4 x1 2 x2 x4 x1 5 x2 3 x3 2 x4 x5 x1 2 x2 2 x3 x4 15 Giải toán QHTT sau f ( x ) 3x1 x2 x3 x4 15 20 x1 x2 4 x x4 10 3 x1 2 x x3 2 x 10 x1 x2 2 x xj j 1, 25 ThS Nguyễn Cơng Trí - Tối ưu hóa * Chương BÀI TẬP CHƯƠNG BÀI TẬP CHƯƠNG 16 Giải toán QHTT sau 17 Dùng phương pháp đơn hình giải toán từ tập [1] đến tập [8] f ( x) x1 x x x5 x6 x1 x2 x2 x3 x4 x3 x4 x1 x2 x3 x4 xj j 1,6 x1 x5 x5 x5 x6 x6 26 ... 4 2 1 1 x1 x2 x3 x4 1 1 1 7 0 3 1 5 1 1 1 2 1 2 3 12 2 3 2 x5 0 0 x6 0 0 15 ThS Nguyễn Công Trí - Tối ưu hóa * Chương THUẬT GIẢI ĐƠN HÌNH HỆ SỐ 1 ẨN P.A C.B x3 x5 x4 f x 17 16 25... có tìm tập phương án tối ưu phương án tối ưu 13 ThS Nguyễn Cơng Trí - Tối ưu hóa * Chương THUẬT GIẢI ĐƠN HÌNH HỆ ẨN SỐ C.B P.A x4 x5 x6 f x x4 x5 x1 f x 15 2 60 36 472 12 8 12 12 328 x1 12 ... (cần làm cực tiểu) f(x) = 20x 11 + 18 x12 + 22x13 + 25x14 15 x 21 + 25x22 + 30x23 + 15 x24 45x 31 + 30x32 + 40x33 + 35x34 Điều kiện kho x 11 + x12 + x13 + x14 = 17 0 x 21 + x22 + x23 + x24 = 200 x 31 +