Bài giảng Tối ưu hóa - ThS. Nguyễn Công Trí - Làm nghề gì cũng đòi hỏi phải có tình yêu, lương tâm và đạo đức Chuong 3 (ver13)

Bài giảng Tối ưu hóa - ThS. Nguyễn Công Trí - Làm nghề gì cũng đòi hỏi phải có tình yêu, lương tâm và đạo đức Chuong 3 (...

ThS Nguyễn Cơng Trí - Tối ưu hóa * Chương BÀI TOÁN VẬN TẢI CHƯƠNG BÀI TOÁN VẬN TẢI DẠNG TỔNG QUÁT Copyright 2001(Xem) NỘI DUNG BÀI TOÁN VẬN TẢI Giả sử cần vận chuyển loại hàng hóa (xi măng, sắt thép, ) từ m điểm cung cấp (trạm phát), ký hiệu A1, A2, , Am đến n điểm tiêu thụ (trạm thu), ký hiệu B1, B2, , Bn, biết (1) Số lượng hàng có trạm phát A1, A2, , Am a1, a2, , am (2) Số lượng hàng cần trạm thu B1, B2, , Bn b1, b2, , bn (3) Chi phí vận chuyển đơn vò hàng hóa từ trạm phát Ai đến trạm thu Bj cij Hãy lập kế hoạch vận tải hàng hóa cho tổng chi phí vận tải thấp thỏa mãn yêu cầu thu – phát BÀI TOÁN VẬN TẢI DẠNG TỔNG QUÁT BÀI TOÁN VẬN TẢI DẠNG TỔNG QUÁT BÀI TOÁN VẬN TẢI DẠNG TỔNG QUÁT (Xem) CÁC TÍNH CHẤT VÀ TIÊU CHUẨN TỐI ƯU CỦA Ths n Công Trí BÀI TOÁNguyễ N VẬN TẢI (Xem) CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM PHƯƠNG ÁN CỰC Copyright 2001 BIÊN ĐẦU TIÊN CỦA BÀI TOÁN VẬN TẢI (Xem) THUẬT GIẢI THẾ VỊ CHO BÀI TOÁN VẬN TẢI (Xem) CÁC DẠNG KHÁC CỦA BÀI TOÁN VẬN TẢI (Xem) Ths Nguyễn Công Trí BÀI TẬP MÔ HÌNH BÀI TOÁN VẬN TẢI Đặt xij số lượng hàng cần vận chuyển từ trạm phát Ai đến trạm thu Bj m n Ta có tổng chi phí vận tải: Z   cij xij  i 1 j 1 n x (1) Trạm phát, phát hết hàng: ij  , i  1, m j 1 m (2) Trạm thu, thu đủ hàng: x ij  b j , j  1, n i 1 (3) Yêu cầu trạm phát, trạm thu thỏa m n i 1 j 1    b j (đk cân thu – phát) Vậy, mô hình toán toán vận tải (BTVT) dạng tổng quát sau: Tìm {xij} cho: m n Z   cij xij  i 1 j 1 n x ij  , i  1, m j 1 m x ij  b j , j  1, n i 1 m n xij  0; cij  0;  0; b j  0;    b j i 1 j 1 ThS Nguyễn Cơng Trí - Tối ưu hóa * Chương BÀI TOÁN VẬN TẢI DẠNG TỔNG QUÁT BÀI TOÁN VẬN TẢI DẠNG TỔNG QUÁT BÀI TOÁN VẬN TẢI DƯỚI DẠNG BÀI TOÁN QHTT khai triển BTVT xếp hệ ràng buộc dạng hệ m + n phương trình m n biến sau x11  x12    x1n x 21  x22    x2 n   a1  a2   BTVT viết dạng vectơ ma trận sau z      CT X AX X 0   b *  ** Ký hiệu Am+n,mn ma trận hệ số hpt XT = (x11 x12 …x1n x21 x22 x2n xm1 xm2… xmn) vectơ cột gồm mn thành phần; C = (c11 c12 …c1n c21 c22 c2n… cm1 cm2 …cmn) vectơ dòng gồm mn thành phần; bT = (a1 a2 …am b1 b2 …bn) vectơ cột gồm m+ n thành phần  Một vectơ X thỏa (*) (**) gọi phương án Một P.A đạt cực tiểu gọi P.A.T.Ư BTVT Một phương án X gọi P.A.C.B vectơ cột Aj ma trận hệ số A ứng với thành phần xij > độc lập tuyến tính  Một P.A.C.B BTVT có nhiều m + n – thành phần dương Nếu P.A.C.B BTVT có m + n – thành phần dương gọi không suy biến Ngược lại, gọi phương án cực biên suy biến MÔ TẢ BÀI TOÁN DƯỚI DẠNG BẢNG VẬN TẢI MÔ TẢ BÀI TOÁN DƯỚI DẠNG BẢNG VẬN TẢI x m1  x m1   x 21 x11  x22 x12  xm    x mn  xm    x2 n x1n Traïm thu Bj B1   x mn  B2 b1 b2    bn Bn  b2  am  b1 bn Trạm phát Ai A1 c11 a1 A2 x11 c21 a2  x21 Am cm1 am  xm1 c2n   xm2 x2 n    cm x1 n  x22   c1n  x12 c22    c12  cmn  xmn (1) Ký hiệu (i, j) ô dòng i cột j (2) Chi phí vận chuyển cij ghi góc bên trái ô (i, j), lượng hàng cần vận chuyển xij ghi góc bên phải ô (i, j) biểu diễn tuyến đường vận chuyển từ trạm phát Ai đến trạm thu Bj (3) Trong BẢNG VẬN TẢI, ô gọi ô treo ô dòng hay cột (4) Những ô ứng với xij > BẢNG VẬN TẢI gọi ô chọn, ô khác gọi ô loại (5) Một dãy ô chọn, ô liên tiếp không nằm dòng hay cột gọi dây chuyền ThS Nguyễn Cơng Trí - Tối ưu hóa * Chương MÔ TẢ BÀI TOÁN DƯỚI DẠNG BẢNG VẬN TẢI MÔ TẢ BÀI TOÁN DƯỚI DẠNG BẢNG VẬN TẢI (6) Một dây chuyền khép kín gọi chu trình hay vòng VÍ DỤ 3.1 (7) Một ma trận (xij) P.A BTVT thoả hệ ràng buộc Một P.A (xij) làm cực tiểu hàm mục tiêu (xij) P.A.T.Ư toán (8) Một P.A BTVT không tạo thành chu trình (vòng) gọi Phương án cực biên (9) Một P.A.C.B BTVT có đủ m+n-1 ô chọn gọi P.A.C.B không suy biến, có m+n-1 ô chọn gọi P.A.C.B suy biến CÁC TÍNH CHẤT CỦA BÀI TOÁN VẬN TẢI TÍNH CHẤT 1: Bài toán vận tải luôn có phương án tối ưu TÍNH CHẤT 2: Với phương án bất kỳ, số ô chọn phương án không vượt tổng số trạm phát trạm thu  ≤ m + n –1 (với  số ô chọn P.A) TÍNH CHẤT 3: Với phương án có đủ m+n–1 ô chọn với ô loại đưa vào phương án tạo thành chu trình chu trình TÍNH CHẤT 4: Nếu lượng cung lượng cầu bj số nguyên toán có lời giải nguyeân               Hình 2.1 Hình 2.2           Hình 2.3 Hình 2.4     Hình 2.5  Hình 2.1 ô chọn, có dấu “”, tạo thành dây chuyền, ô (1,1) (4,3) ô treo  Hình 2.2 ô chọn tạo thành dây chuyền, ô (4,1) (3,3) ô treo  Hình 2.3., Hình 2.4 Hình 2.5 ô chọn tạo thành chu trình, ô treo TIÊU CHUẨN TỐI ƯU CỦA BÀI TOÁN VẬN TẢI Xét toán vận tải sau m Viết lại toán n m Z   cij xij  n Z   cij xij  i 1 j 1 i 1 j 1 n m x ij x  , i  1, m ij j 1  b j , j  1, n i 1 n m   xij   , i  1, m  xij  b j , j  1, n j 1 i 1 xij  0; cij  0;  0; b j  0; xij  0; cij  0;  0; b j  0; m n m n    b j    b j i 1 i 1 j 1 j 1 ThS Nguyễn Công Trí - Tối ưu hóa * Chương TIÊU CHUẨN TỐI ƯU CỦA BÀI TOÁN VẬN TẢI Bài toán đối ngẫu BTVT n Trên bảng vận tải, chọn ô có cước phí vận chuyển bé chọn xij sau: m Tìm {ui,vj} cho: Z *   b j v j   aiui  max Với cặp đối ngẫu: j 1 i 1 xij  vaø vj – ui ≤ cij, i,j Theo đònh lý độ lệch bù phương án {xij} BTVT có P.A.T.Ư tồn hệ thống {ui, vj} cho: Nếu xij > vj – ui = cij, Neáu vj – ui < cij xij = Vậy tiêu chuẩn tối ưu BTVT: vj – ui  cij, i,j ui: gọi vò dòng PHƯƠNG PHÁP CHI PHÍ BÉ NHẤT Ví dụ 3.2 Dùng phương pháp chi phí bé nhất, tìm phương án cực biên toán vận tải có dạng bảng sau 30 40 25 35 45 10 14 13 11 16 10 P 42 13 28 45 16 60 Kieåm tra ai = bj = 175 a i : loại dòng i, bj  b j   x ij   , b j    b j : loại cột j, ai   b j a i  b j : loại dòng i cột j Lặp lại trình cho ô đến yêu cầu trạm phát trạm thu thoả mãn Bảng thu với xij > phương án cực biên toán vj: gọi vò cột T PHƯƠNG PHÁP CHI PHÍ BÉ NHẤT PHƯƠNG PHÁP CHI PHÍ BÉ NHẤT T 30 40 25 35 45 P 42 13 13 35 28 10 11 16 14 10 28 45 16 60 25 20 30 12 18 P.A.C.B không suy biến, với giá trò Z = 980 ThS Nguyễn Cơng Trí - Tối ưu hóa * Chương PHƯƠNG PHÁP VOGELS PHƯƠNG PHÁP VOGELS Phương pháp Vogels (1958) cho P.A.C.B tốt theo nghóa giá trò hàm mục tiêu gần với P.A.T.Ư Phương pháp mô tả sau (1) Trên bảng vận tải, tính hiệu số chi phí bé thứ hai với chi phí bé thứ Ví dụ 3.3: Dùng phương pháp Vogels, tìm phương án cực biên toán vận tải có dạng bảng sau (2) Chọn số lớn hiệu phân phối tối đa cho ô có chi phí bé lượng xij = min(ai, bj), sau tính lại hiệu số dòng (cột) (3) Quá trình lặp lại lại dòng hay cột (4) Bảng thu với {xij} phương án cực biên toán PHƯƠNG PHÁP VOGELS T 30 40 25 35 13 45 28 10 ,1,5 K 13 35 11 16 4K 28 45 16 25 12 60 30 K K K 2,11 K 14 K 10 30 40 25 35 45 42 13 28 10 45 16 60 Kieåm tra ai = bj = 175 14 13 11 16 10 HƯỚNG GIẢI BÀI TOÁN P 42 T P 1K 30 Z = 932 K (1) Tìm P.A.C.B không suy biến phương pháp chi phí bé Vogels (2) Dùng tiêu chuẩn tối ưu vi – uj ≤ cij, i,j để kiểm tra P.A.C.B vừa tìm (3) Nếu P.A.C.B thoả mãn tiêu chuẩn tối ưu P.A.C.B P.A.T.Ư (4) Nếu P.A.C.B vừa tìm chưa thoả mãn tiêu chuẩn tối ưu tìm cách sửa đổi P.A.C.B cũ để có P.A.C.B (5) trở bước (2), sau số bước lặp hữu hạn, ta có P.A.T.Ư Phương pháp gọi thuật toán vò ThS Nguyễn Cơng Trí - Tối ưu hóa * Chương P BẢ NG VẬ N TẢ SƠ LẬ ĐỒ THUẬ T GIẢ I ITHẾ VỊ A BÀ I TOÁNĐẦ VẬ N TẢ XÁCỦ C ĐỊNH P.A.C.B U TIÊ N I (phương pháp chi phí bé Vogels) Suy biến? Có Thêm ô x =0 ij không Tính: Vj = Ui + Cij Xác đònh P.A Ui = Vj – Cij  x ij  q daáu ( )  xij   x ij  q dấu ()  x không dấu  ij ij  0? Có THUẬT TOÁN THẾ VỊ Bước Lập bảng vận tải (1) Kiểm tra điều kiện cân thu – phát (2) Xác đònh P.A.C.B (bằng phương pháp chi phí bé nhất) (3) Kiểm tra P.A.C.B có suy biến hay không Bài toán có P.A.T.Ư không Kết thúc thuật giải Chọn ô vào: Maxij Xác đònh vòng điều chỉnh SỐ BƯỚC LẶP đánh dấu (+); dấu (–) LÀ HỮU HẠN q = min{xij/ (i, j) dấu (–)} THUẬT TOÁN THẾ VỊ Chọn ui = dòng (2) Đặt ij = vj – ui – cij  Nếu ij ≤ 0: ta có P.A.T.Ư  Nếu ij > 0: chuyển sang [3] Bước Xác đònh vòng điều chỉnh (1) Chọn ô vào: Maxij (ij > 0) (2) Chọn ô  xác đònh vòng điều chỉnh  ô vào đánh dấu (+) Xen kẻ dấu (-) dấu (+) vòng điều chỉnh  lượng điều chỉnh q = min{xij/ (i,j) có dấu (-)}  Nếu P.A.C.B suy biến: thêm vào ô (i,j) với xij = 0, không tạo thành chu trình  Nếu P.A.C.B không suy biến, chuyển sang [2] Bước Kiểm tra tính tối ưu toán (1) Tính vj = ui + cij ui = vj – cij, ô (i,j) ô chọn THUẬT TOÁN THẾ VỊ Bước Xác đònh P.A.C.B x ij  q dấu ( );  xij  x ij  q dấu (); x không dấu  ij Quay bước [2] Sau số bước lặp hữu hạn, toán có phương án tối ưu ThS Nguyễn Cơng Trí - Tối ưu hóa * Chương THUẬT TOÁN THẾ VỊ THUẬT TOÁN THẾ VỊ CHÚ Ý Ví dụ 3.4 Giải toán vận tải (1) Trong thuật giải toán vận tải, Maxij đạt nhiều ô, ta chọn ô tùy ý số ô làm ô điều chỉnh T 45 55 30 70 50 40 10 11 13 7 10 10 thu phaùt P (2) Trong P.A.T.Ư tìm Xopt, có ij = 0, mà (i,j) ô loại dấu hiệu toán có nhiều P.A.T.Ư khác Để tìm P.A.C.B.T.Ư khác, ta chọn ô (i, j) làm ô điều chỉnh, áp dụng thuật toán vò để xác đònh P.A.C.B.T.Ư khác X/opt 40 12 75 12 60 70 45 11 Kieåm tra điều kiện (3) Tập phương án tối ưu ai = 40 + 75 + 60 + 70 + 45 = 290 X = {Xopt + (1 – )X/opt, 0, 1} T 45 55 30 70 bj = 45 + 55 + 30 + 70 + 50 + 40 = 290 50 40 Baûng P 40 75 60 70 45 q= 20 13 10 9 cân T 45 55 30 70 50 40 Baûng P 12 12 - 10 13 10 11 25 13 +1 20 + - 40 10 + 25 10 - +1 - 40 + +5 30 11 +2 50 + + 10 30 - 10 20 +1 40 -2 75 60 70 -1 45 q= 12 10 12 13 - 5+ 10 11 13 +1 20 - 30 11 +1 40 + 70 +2 + 30 - 10 10 - 20 + 20 10 8 -1 45 -7 ThS Nguyễn Cơng Trí - Tối ưu hóa * Chương T 45 55 30 70 50 40 Baûng P 40 75 60 70 45 12 10 12 13 10 -1 35 11 •Do ij  i,j nên P.A.T.Ư toán 13 -6 70 xopt 45 15 30 11 15 10 10 25 Ngoaøi ra, toán P.A.T.Ư khác ij = 0, với (i, j) ô loại THUẬT TOÁN THẾ VỊ T 76 62 88 45 40 79 P 79 102 70 60 10 13 12 12 19 11 17 18 15 10 18 10 102 70 Kiểm tra điều kiện cân thu phát ai = 79 + 102 + 70 + 60 = 311 bj = 76 + 62 + 88 + 45 + 40 = 311 76 62 88 45 40 Bảng P Ví dụ 3.5 Giải toán vận tải T  0 35   70 0      45 0 0 15   0 30 15 25     45 0 0    Và Zmin = 1.875 đơn vò tiền tệ -2 45 THUẬT TOÁN THẾ VỊ 60 q=30 10 - 13 19 7 5 + 64 11 + 12 15 14 - 17 10 15 88 + 12 + 10 +2 - 30 18 10 18 12 - 16 40 -2 48 13 ThS Nguyễn Cơng Trí - Tối ưu hóa * Chương T 76 62 88 45 THUẬT GIẢI THẾ VỊ 40 Bảng P •Do ij  i,j nên 79 102 70 60 10 19 15 34 13 44 17 xopt 58 10 18 42 10 18 3 30 12 P.A.T.Ư toán vận tải 45 11 12 40 10 -2 13 Và Zmin = 2.806 đơn vò tiền tệ Bài toán P.A.T.Ư khác ij = 0, với (i, j) ô loại 18 16  34 0 45   44 58 0     0 30 40   42 18 0    CÁC DẠNG KHÁC CỦA BÀI TOÁN VẬN TẢI BÀI TOÁN VẬN TẢI KHÔNG CÂN BẰNG THU – PHÁT (Xem) BÀI TOÁN VẬN TẢI CÓ DẠNG HÀM MỤC (Xem) TIÊU LÀ MAX BÀI TOÁN VẬN TẢI CÓ Ô CẤM (Xem) BÀI TOÁN VẬN TẢI XE KHÔNG (Xem) BÀI TOÁN VẬN TẢI KHÔNG CÂN BẰNG THU-PHÁT TRƯỜNG HP ai > bj  Thêm trạm thu giả thứ Bn+1  Với nhu cầu thu bn+1 = ai – bj  Cước phí vận taûi ci,n+1 = 0, i = 1, 2, , m TRƯỜNG HP ai < bj  Thêm trạm phát giả thứ Am+1  Với nhu cầu phát am+1 = bj – ai  Cước phí vận tải cm+1,j = 0, j = 1, 2, , n Với ô có cước phí vận tải không gọi ô giả Lưu ý dùng thuật toán vò để giải toán trên, với P.A.C.B đầu tiên, ta ưu tiên phân phối vào ô thực ThS Nguyễn Cơng Trí - Tối ưu hóa * Chương BÀI TOÁN VẬN TẢI KHÔNG CÂN BẰNG THU-PHÁT 65 45 50 30 60 10 12 55 11 10 15 50 14 12 60 P 55 50 Kiểm tra điều kiện cân thu – phát ai= 165 < bj= 190 25 Thêm trạm phát giả A4, với 65 45 50 Bảng 30 P 60 55 50 25 10 - 30 + 12 30 15 14 12 0 11 10 30 25 + - 0 45 25 10 Có P.A.T.Ư khác 11 11 45 10 50 12 + - 11 30 Baûng 25 30 15 14 12 0 12 + 10 55 - +1 45 25 10 a4 = 190 – 165 = 25 vaø c4j = 0, j=1, 2, 3, T 65 P Ví dụ 3.6 Giải toán vận tải sau T T 12 q = 25 BÀI TOÁN VẬN TẢI KHÔNG CÂN BẰNG THU-PHÁT •Phương án cực biên tối ưu toán vận tải xopt  30 0 30      30 25   45 0    •và Zmin = 1.385 q = 30 10 ThS Nguyễn Cơng Trí - Tối ưu hóa * Chương T 65 45 50 BÀI TOÁN VẬN TẢI KHÔNG CÂN BẰNG THU-PHÁT 30 P •P.A.C.B.T.Ư khác toán 10 60 12 30 55 30 11 15 14 12 0 11 10 30 50 25 35 25 15 11 MÔ HÌNH BÀI TOÁN VẬN TẢI CÓ HÀM MỤC TIÊU LÀ MAX Tìm {xij} cho: m n Z   cij xij  max i 1 j 1 n x ij  , i  1, m j 1 m x ij  b j , j  1, n i 1 m n xij  0; cij  0;  0; b j  0;    b j i  1, m; j  1, n i 1 j 1 •Tập P.A.T.Ư toán •Zopt = Xopt + (1 – ) X/opt •Hay 25 10  30 30     30 25  xopt    35 15 0  ’  •Vaø Z =1.385  Zopt 30  30 30   30     30 25   35  30 15  30 0    THUẬT GIẢI BÀI TOÁN VẬN TẢI CÓ HÀM MỤC TIÊU LÀ MAX Giống toán QHTT có hàm mục tiêu max, đưa toán vận tải có hàm mục tiêu Z  max Z/ = – Z  min, sau dùng thuật toán vò để giải Tuy nhiên, giải trực tiếp toán thuật toán vò với vài thay đổi thuật giải sau: Khi xây dựng P.A.C.B đầu tiên, ta phân phối tối đa vào ô có cước phí lớn 2.Tiêu chuẩn tối ưu vj – ui  cij, i,j 3.Ô điều chỉnh ô có {minij, với ij < 0} 11 ThS Nguyễn Cơng Trí - Tối ưu hóa * Chương THUẬT GIẢI THẾ VỊ VỚI HÀM MỤC TIÊU Z  Max Ví dụ 3.7 Một công ty có xí nghiệp sản xuất loại bóng đèn Năng suất tháng xí nghiệp Ai = (650, 1.000, 350) bóng Hợp đồng công ty phải giao cho nhà phân phối Bj = (200, 400, 600, 800) bóng Đơn giá bán bóng đèn tương ứng với nhà phân phối cho ma trận sau: Đvt: 1.000 đồng  22 25 20 18  cij   30 32 25 28     29 28 25 23    THUẬT GIẢI THẾ VỊ VỚI HÀM MỤC TIÊU Z  Max T 200 650 1000 Hãy tìm kế hoạch phân phối hàng cho công ty đạt doanh số lớn T 200 400 600 650 1000 350 800 22 25 -2 30 20 18 -3 + 250 – 400 32 25 28 400 – 200 29 28 25 + 30 -4 10 + 400 23 -1 – 350 30 32 28 q = 200 THUAÄT GIẢI THẾ VỊ VỚI HÀM MỤC TIÊU Z  Max 800 T 200 P 600 P 350 THUẬT GIẢI THẾ VỊ VỚI HÀM MỤC TIÊU Z  Max 400 400 600 800 P 22 25 30 450 – 200 + -3 32 25 28 29 – 400 28 25 32 18 10 + 600 23 150 -1 200 34 20 30 28 q = 200 650 1000 350 22 25 20 200 30 32 18 28 450 25 200 29 28 800 25 150 200 31 23 32 27 28 Z = 52.350 12 ThS Nguyễn Cơng Trí - Tối ưu hóa * Chương THUẬT GIẢI BÀI TOÁN VẬN TẢI CÓ HÀM MỤC TIÊU LÀ MAX •Do ij  0, i, j •P.A.T.Ư CỦA BÀI TOÁN xopt  200 450      200 800   200 150    •Và ZMax = 52.350 BÀI TOÁN VẬN TẢI CÓ Ô CẤM Bài toán vận tải có ô cấm toán vận tải với P.A.T.Ư phải thỏa điều kiện cho trước Để giải toán này, ta lập toán vận tải mở rộng VTM cách cho giá cước vận chuyển ô cấm M, với M > lớn tùy ý dùng thuật toán vò Có trường hợp xảy 1.Trong P.A.T.Ư toán VTM, ô cấm có xij = P.A.T.Ư toán VTM P.A.T.Ư toán gốc 2.Trong P.A.T.Ư toán VTM, ô cấm có xij  toán gốc P.A.T.Ư BÀI TOÁN VẬN TẢI CÓ Ô CẤM Ví dụ 3.8 Giải toán vận tải sau với Nhu cầu trạm phát a = (150, 100, 145, 100) Nhu cầu trạm thu b = (140, 150, 180)  6 Ma trận cước vận chuyeån 8 9  cij   11 12   với điều kiện   trạm A3, A4 phải phát hết hàng  13   Kiểm tra điều kiện cân thu – phát ai = 150 + 100 + 145 + 100 = 495 bj = 140 + 150 + 180 = 470  Lập trạm thu giả, với b4= 25 M > tùy ý T 140 150 180 25 Bảng P 150 100 145 100 150 M-4 +3 +2 +3 + M-1 – 100 11 12 M +1 + 40 +1 145 13 M 35 – 25 q = 25 13 M 13 ThS Nguyễn Cơng Trí - Tối ưu hóa * Chương T 140 150 180 25 P 150 100 145 100 150 75 – 11 + 25 +2 + +3 12 M 65 +3 145 +1 T 140 13 M +1 – 35 13 150 180 145 100 150 100 145 100 q = 35 25 + 180 25 Baûng – 150 0 40 – 11 + 100 Baûng P 100 150 P 150 T 140 Baûng 25 +2 + 35 -3 12 M +4 – 145 13 M -1 +1 q = 40 T 140 150 180 25 Baûng P 40 – 110 + +4 +1 + 100 12 M 40 – 105 13 M +1 +1 10 25 75 11 -2 -4 q =105 150 100 145 100 40 – + 11 6 0 + 105 -3 25 +2 – 75 -2 12 M 145 100 13 M -3 +1 -4 q=5 14 ThS Nguyễn Công Trí - Tối ưu hóa * Chương T 140 150 180 25 Baûng P 150 100 145 100 – 40 + + 110 11 – 70 25 -1 12 M 13 M Z =3.285 q = 40 100 P.A.T.Ư khác T 140 150 180 100 145 100 •P.A.C.B.T.Ư toán vận tải xopt -1 25 Bảng P 150 •Do ij  i,j nên 145 BÀI TOÁN VẬN TẢI CÓ Ô CẤM 110   40  70     145  100 0   •và Zmin= 3.285 BÀI TOÁN VẬN TẢI CÓ Ô CẤM •P.A.C.B.T.Ư khác toán vận tải 40 11 0 150 25 30 12 M -1   40  xopt    •và Zmin= 3.285  100 •Tập phương án tối ưu  13 M 100 -1 Z =3.285 150  30      •Zopt = Xopt + (1 – ) X/opt 145 145 •Hay Z o p t  40  40  40     100 145 150  40  30  40      15 ThS Nguyễn Cơng Trí - Tối ưu hóa * Chương MÔ HÌNH BÀI TOÁN VẬN TẢI XE KHÔNG THUẬT GIẢI BÀI TOÁN XE KHÔNG TẢI  Điều kiện ràng buộc toán vận tải xe không số trạm phát Ai phải phát đủ hàng cho trạm Bj (được đònh) Xác đònh lộ trình xe chạy không tải từ Bj đến Ai  Khi trạm phát Ai trở thành trạm thu xe không, trạm thu Bj trở thành trạm phát xe không ma trận (cij) ma trận khoảng cách tương ứng Ai Bj Qui ước sử dụng ký hiệu sau:  x ij : lượng hàng hóa có vận tải xij : lượng hàng xe không tải   : tuyến xe chạy có tải  : tuyến xe chạy không tải Lập bảng vận tải tương ứng với ma trận khoảng cách Dùng thuật toán vò tìm P.A.T.Ư toán xe không tải Tạo bảng phối hợp P.A.T.Ư toán xe không tải với kế hoạch vận tải cho trước Lập tuyến điều động tương ứng Giảm lượng chênh lệch “ô tròn” “ô vuông” để có bảng thu gọn Lập vòng điều động gồm ô có tải ô không tải liên tiếp nhau, lượng điều động q= min{xij}, với xij có tải xij không tải Trở [3] Sau số bước lặp hữu hạn [3] [4], ta thu kế hoạch điều động hàng hóa tối ưu THUẬT GIẢI BÀI TOÁN XE KHÔNG TẢI THUẬT GIẢI BÀI TOÁN XE KHÔNG TẢI Ví dụ 3.9 Một công ty vận tải có kế hoạch vận chuyển hàng hóa theo hợp đồng, thể qua bảng yêu cầu sau Cho biết khoảng cách đòa điểm cung cấp hàng đòa điểm nhận hàng (km) thể qua ma trận sau: Đòa điểm cấp hàng Ai Loại hàng A1 Cam A2 Dưa hấu A3 Sầu riêng Lượng (tấn) 20 30 25 15 10 50 20 Nơi nhận Ký hiệu hàng Bj Công ty rau B2 Cửa hàng số B3 Cửa hàng số B1 Công ty rau B2 Cửa hàng số B3 Cửa hàng số B4 Công ty rau quaû B2  3   L   4  5   Hãy xác đònh lộ trình vận chuyển hàng hóa thỏa yêu cầu hợp đồng tổng – km xe chạy không tải nhỏ 16 ThS Nguyễn Cơng Trí - Tối ưu hóa * Chương Bước (tìm P.A.T.Ư toán xe không tải) Bj 25 55 40 Bước (tạo bảng phối hợp) Bj Bảng 50 50 50 50 70 25 40 25 Baûng 50 20 30 25 50 15 10 55 40 20 45 50 25 B2 1km B2 2km B4 5km 40 A1: 20 T X 1km = 20T – km A2: T X 2km = 10T – km A3: T X 5km = 25T – km Bước (lập tuyến điều động) 50 Bj Ai 25 Baûng 55 40 50 Ai 50 50 70 2km 40 70 A1 A2 A3 Bước (lập tuyến điều động) Bj 50 45 3 Zmin= 420 taán – km A2 55 Ai Ai 50 25 Baûng B1 A3 25 30 10 10 4 20 45 45 25 3km A3 B4 4km 30 40 1km 50 50 70 q=20 B2 A1 B3 A2:20Tx10km=200T-km A2 4km 10 10 25 25 10 5 10 20 q=5 3km B1 A3 B4 A2: 5T x 7km = 35T–km 17 ThS Nguyễn Cơng Trí - Tối ưu hóa * Chương Bước (lập tuyến điều động) Bj 25 Bảng 55 40 Bước (lập tuyến điều động) 50 Bj Ai 50 70 10 10 10 10 50 50 20 20 20 B2 1km B4 4km B2 B2 B4 B1 2km A A2 A2 A2 40 50 q=10 A1 B3 2km A3 A2: 10T x 7km = 70T–km A2 BAÛNG ĐIỀU ĐỘNG XE 1km A1: 20 T 2km A : T 5km A3: T 3km A3 B2 1km A1 B44km A2: 20 T B1 3km B2 1km B4 4km A3 B4 4km A1 B3 2km A2: 10 T B3 2km A3 B4 4km A2: T A3 A2: 10 T 10 10 70 10 10 B3 2km A3 q=10 B4 4km A : 10 T x 6km = 60T–km THUẬT GIẢI BÀI TOÁN XE KHÔNG TẢI A1 A2 A3 A2 55 Ai 50 A2 25 Bảng BÀI TẬP CHƯƠNG LẬP MÔ HÌNH CỦA BÀI TOÁN VẬN TẢI [1] [2] TÌM PHƯƠNG ÁN CỰC BIÊN ĐẦU TIÊN B3 Ths Nguyễn Công Trí [3a] [3b] [3c*] [3d] [3e] GIẢI BÀI TOÁN VẬN TẢI CÂN BẰNG THU - PHÁT [4] [6] [7] [8] [9] 2001 Copyright [5] CÁC DẠNG KHÁC CỦA BÀI TOÁN VẬN TẢI [10a] [10b] [10c] [11a] [11b] [11c] [11d] 18 ThS Nguyễn Cơng Trí - Tối ưu hóa * Chương BÀI TẬP CHƯƠNG BÀI TẬP CHƯƠNG Một công ty vận tải biển cần 110 người để bố trí vào nhiệm vụ: 10 máy trưởng; 25 thợ máy 1; 30 thợ máy 2; 45 thợ máy Phòng tổ chức nhân tuyển 90 người, gồm 25 kỹ sư máy; 20 kỹ thuật viên trung cấp 45 công nhân có kinh nghiệm Gọi xij số lao động trình độ i (i = kỹ sư, trung cấp, công nhân) bố trí vào nhiệm vụ j (j = máy trưởng, máy 1, máy 2, maùy 3) z  x11  x12  x21  x22  x23  x32  x33  x34  max x11  x12  x13  x14  25 x21  x22  x23  x24  20 Nhiệm vụ Điểm đánh giá lực (aij) Trình độ Máy trưởng Máy Máy Máy Kỹ sư 0 Trung cấp Công nhân x31  x32  x33  x34  45 Hãy bố trí nhân lực cho công việc tối ưu xij  0, i  1,3, j  1, x11  x21  x31  10 x12  x22  x32  25 x13  x23  x33  30 x14  x24  x34  45 BÀI TẬP CHƯƠNG BÀI TẬP CHƯƠNG Hai đội tuyển bóng bàn, đội có người Qua thống kê nhiều trận đấu khứ, người ta dự đoán xác suất thắng đấu thủ đội thể qua bảng sau Đội II Đấu Đấu Đấu Đấu Đấu Đội I Thủ Thủ Thủ thủ Thủ Đấu thủ 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 Đấu thủ 0,3 0,4 0,4 0,7 Đấu thủ 0,2 0,6 0,4 0,3 0,5 Đấu thủ 0,6 0,3 0,4 0,7 0,6 Đấu thủ 0,2 0,3 0,4 0,6 Hãy xếp đấu thủ đội I cho xác suất thắng toàn đoàn đội I cao Gọi xij đấu thủ i đội I xếp thi đấu với đấu thủ j đội II (i, j = 1, 2, , 5) z  0, x11  0, x12  0, x13  0, x14  0,8 x15 0, 3x22  0, x23  0, x24  0, x25 0, x31  0, x32  0, x33  0,3 x34  0, x35 0, x41  0,3x42  0, x43  0, x44  0, x45 0, x52  0,3 x53  0, x54  0, x55  max x ij  1, i  1,5 j 1 x ij  1, j  1,5 i 1 xij  0,1 i, j  1, 19 ThS Nguyễn Cơng Trí - Tối ưu hóa * Chương BÀI TẬP CHƯƠNG 3.a) Tìm phương án cực biên hai phương pháp chi phí bé phương phaùp Vogels Ai 40 20 30 Bj 20 25 30 15 BÀI TẬP CHƯƠNG 3.b) Tìm phương án cực biên hai phương pháp chi phí bé phương pháp Vogels Bj Ai 10 15 10 14 Kiểm tra điều kiện cân thu phát ai = 40 + 20 + 30 = 90 bj = 20 + 25 + 30 + 15 = 90 BÀI TẬP CHƯƠNG BÀI TẬP CHƯƠNG 3.c*) Tìm phương án cực biên hai phương pháp chi phí bé phương pháp Vogels 3.d) Tìm phương án cực biên hai phương pháp chi phí bé phương pháp Vogels Bj Ai 25 10 45 10 30 50 5 Ai 30 40 70 Bj 40 30 20 50 7 Kiểm tra điều kiện cân thu phát ai = 25 + 10 + 45 = 80 bj = 10 + 30 + 50 = 90 Thêm trạm phát giả thứ 4, với a4 = bj - ai = 10, c4j = 0, j = 1, 2, 20 ThS Nguyễn Cơng Trí - Tối ưu hóa * Chương BÀI TẬP CHƯƠNG BÀI TẬP CHƯƠNG 3.e) Tìm phương án cực biên hai phương pháp chi phí bé phương phaùp Vogels Ai 30 20 40 60 Bj 30 20 25 35 40 13 10 10 2 11 BAØI TẬP CHƯƠNG a) Giải toán vận tải a) Giải toán vận tải Bj 220 100 90 50 5 10 160 a) Phương án cực biên thu phương pháp chi phí bé nhất, b) Phương án cực biên thu phương pháp Vogels 12 11 14 10 BÀI TẬP CHƯƠNG Ai Giải tập [3], với 120 80 10 12 15 b) Bài toán có phương án tối ưu khác hay không? Nếu có, phương án tối ưu ñoù Ai 90 40 50 Bj 20 100 45 10 4 15 b) Bài toán có phương án tối ưu khác hay không? Nếu có, tập phương án tối ưu 21 ThS Nguyễn Cơng Trí - Tối ưu hóa * Chương BÀI TẬP CHƯƠNG Cho toán vận tải có dạng   20, 110, 120  b j   70, 40,30,60,50  4 6   cij    2 2   BÀI TẬP CHƯƠNG Cho toán vận tải có dạng   38, 45, 66, 45  b j   52, 45, 38, 59  a) Tìm P.A.T.Ư toán b) Theo bạn dấu hiệu cho ta biết BTVT có nhiều P.A.T.Ư? P.A.C.B.T.Ư tìm câu a) có không? Nếu có, P.A.C.B.T.Ư khác?  14    10 15  cij    10 10     13 14  a) Tìm P.A.T.Ư toán b) Phương án tối ưu vừa tìm có không? (có giải thích) Chỉ phương án tối ưu khác? (nếu có) c) Tìm tập P.A.T.Ư P.A.T.Ư? BÀI TẬP CHƯƠNG Giải tập [1], [2] BÀI TẬP CHƯƠNG 10 a) Giải toán vận tải sau tìm phương án tối ưu khác (nếu có) Ai 80 70 100 Bj 60 60 10 80 100 12 22 ThS Nguyễn Cơng Trí - Tối ưu hóa * Chương BÀI TẬP CHƯƠNG BÀI TẬP CHƯƠNG 10 b) Giải toán vận tải sau tìm phương án tối ưu khác (nếu có) 10 c) Giải toán vận tải sau tìm phương án tối ưu khác (nếu có) Trạm phát  100, 20, 30, 50  Trạm phát   79, 50, 60, 50  Trạm thu b j   70, 60, 25, 50  Traïm thu b j   46, 45, 76, 20, 52  Ma trận cước phí vận tải  10  30 cij   2  8 14 24  20 18 14  12   16 14 36  Ma trận cước phí vận taûi  10 5 cij   3   13 13  10 13  6  10 13  BÀI TẬP CHƯƠNG BÀI TẬP CHƯƠNG 11 a) Giải toán vận tải có ô cấm sau tìm phương án tối ưu khác (nếu có) 11 b) Giải toán vận tải có ô cấm sau tìm phương án tối ưu khác (nếu có) Trạm phát   90, 40, 50  Trạm phát  100, 80, 50  Trạm thu b j   20, 100, 45  Traïm thu b j   65, 90, 50, 30  Ma trận cước phí vận tải  10    cij     3   Điều kiện A3 phải phát hết hàng Ma trận cước phí vận tải  10 12    cij   11 10 15   14 12    Điều kiện B2 phải thu đủ hàng 23 ThS Nguyễn Cơng Trí - Tối ưu hóa * Chương BÀI TẬP CHƯƠNG 11 c) Giải toán vận tải có ô cấm sau tìm phương án tối ưu khác (nếu có) BÀI TẬP CHƯƠNG 11 d) Giải toán vận tải có ô cấm sau tìm phương án tối ưu khác (nếu có) Trạm phát   220, 100, 90  Trạm phát   90, 40, 50  Trạm thu b j   50, 160, 120, 80  Traïm thu b j   20, 100, 45  Ma trận cước phí vận tải  10    cij   12   10 15    Điều kiện trạm phát A3 không phát cho trạm thu B2 Ma trận cước phí vận tải  10    cij     3   Điều kiện trạm thu B2 không thu trạm phát A1 24 ... + + 10 30 - 10 20 +1 40 -2 75 60 70 -1 45 q= 12 10 12 13 - 5+ 10 11 13 +1 20 - 30 11 +1 40 + 70 +2 + 30 - 10 10 - 20 + 20 10 8 -1 45 -7 ThS Nguyễn Cơng Trí - Tối ưu hóa * Chương T 45 55 30 70... X/opt •Hay 25 10  30 30     30 25  xopt    35 15 0  ’  Và Z =1 .38 5  Zopt 30  30  30   30      30 25   35  30  15  30  0    THUẬT GIẢI BÀI TOÁN VẬN TẢI CÓ HÀM MỤC TIÊU... 22 25 30 450 – 200 + -3 32 25 28 29 – 400 28 25 32 18 10 + 600 23 150 -1 200 34 20 30 28 q = 200 650 1000 35 0 22 25 20 200 30 32 18 28 450 25 200 29 28 800 25 150 200 31 23 32 27 28 Z = 52 .35 0