Bài giảng Toán tài chính - Chương 6: Phương trình vi phân vầ ứng dụng

Bài giảng Toán tài chính - Chương 6: Phương trình vi phân và ứng dụng cung cấp cho người học các kiến thức: Khái niệm, cấp của phươn trình vi phân, phương trình vi phân cấp 1, nghiệm tổng quát dạng ẩn,... Mời các bạn cùng tham khảo.

PH ƯƠNG TRÌNH VI

CH ƯƠNG 6

KHÁI NIỆM CHUNG

Trong thực tế khi nghiên cứu sự phụ thuộc lẫn nhau giữacác đối tượng, nhiều khi chúng ta không thể thiết lập trựctiếp mối quan hệ phụ thuộc dạng hàm số giữa các đối

tượng đó, mà chỉ có thể thiết lập mối liên hệ giữa các đốitượng mà ta cần tìm mối quan hệ hàm số, cùng với đạohàm hoặc tích phân của hàm số chưa biết ấy

Trong nhiều mô hình, hệ thức liên hệ được viết dưới

dạng phương trình có chứa đạo hàm, đó là phương trình

vi phân

2

CẤP CỦA PTVP

Cấp của phương trình vi phân là cấp cao nhất của đạohàm có mặt trong phương trình

Phương trình vi phân cấp một là phương trình có dạng:

Phương trình vi phân cấp hai là phương trình có dạng:

Phương trình vi phân cấp n là phương trình có dạng:

-VÍ DỤ THỰC TẾ VỀ PTVP

Một bể chứa 20 kg muối hòa tan trong 5000 lít nước

Nước muối chứa 0,03 kg muối mỗi lít được đổ vào bể với tốc độ 25 lít/phút Dung dịch được trộn kỹ và thoát ra

khỏi bể với cùng tốc độ Sau 30 phút thì trong bể còn lạibao nhiêu muối?

6

Đây cũng chính là tốc độ thay đổi của khối lượng muối y(t)

Ta có: y’(t)=0,75-y(t)/200

Hay y’=0,75-0,005y

MÔ HÌNH TĂNG DÂN SỐ 1

Giả định:

+ Tốc độ tăng dân số tăng tỷ lệ thuận với quy mô dân số

Mô hình toán học của giả định trên?

8

MÔ HÌNH TĂNG DÂN SỐ 2

Giả định:

+ Tốc độ tăng dân số tăng tỷ lệ thuận với quy mô dân số

+ Khi tăng đến mức K nào đó thì dân số giảm (hoặc giảm

về K khi dân số tăng quá K)

Hãy đưa ra mô hình toán học?

NGHIỆM TỔNG QUÁT

Dạng:

Thỏa mãn PTVP với mọi giá trị của C

Với mọi điểm ( 0, 0) ∈ ta đều tìm được C0 sao cho

NGHIỆM TỔNG QUÁT DẠNG ẨN

Tên khác: tích phân tổng quát

Hệ thức Φ , , = 0 hay Φ , ) = gọi là nghiệm tổng quát của phương trình vi phân trong miền D nếu nó xác định nghiệm tổng quát của phương trình trong D

NGHIỆM KỲ DỊ

Nghiệm kỳ dị là nghiệm không thể nhận được từ nghiệmtổng quát với bất kỳ giá trị nào của C

PT BIẾN SỐ PHÂN LY ĐƯỢC

PT BIẾN SỐ PHÂN LY ĐƯỢC

PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH CẤP 1

Dạng phương trình:

trong đó p(x), q(x) là các hàm liên tục trong khoảng (a,b) nào đó.

Nếu q(x)=0 ta có phương trình thuần nhất

Nếu q(x) ≠ 0 ta có phương trình không thuần nhất

y ¢+ p x y = q x

24

PHƯƠNG PHÁP GIẢI

B1 Giải phương trình thuần nhất

B2 Giải phương trình không thuần nhất bằng phương phápbiến thiên hằng số

B3 Công thức nghiệm tổng quát:

PHƯƠNG TRÌNH BERNOULLI

Chú ý:

Nếu > 0 thì y=0 cũng là nghiệm

Nếu > 1 thì y=0 là nghiệm riêng

Nếu 0 < < 1 thì y=0 là nghiệm kỳ dị

x C

=

+

30

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TOÀN PHẦN

y x

THỪA SỐ TÍCH PHÂN

Xét phương trình vi phân dạng:

Nếu phương trình trên chưa có dạng phương trình vi phân toàn phần thì ta có thể tìm hàm ( , ) sao chophương trình:

Là phương trình vi phân toàn phần

Hàm ( , ) gọi là thừa số tích phân

M x y dx  N x y dy 

 x y M x y dx ,   ,   x y N x y dy ,   ,  0

 Ta tìm dạng đặc biệt như ( ) hay ( )

 Sinh viên không cần trình bày cách tìm thừa số TP

2 xy  3 y dx  7 3  xy dy  0

36

BÀI TẬP 1

38

BÀI TẬP 2

BÀI TẬP 3

40

BÀI TẬP 4

BÀI TẬP 5

42

BÀI TẬP 6

Giải các phương trình vi phân sau bằng phương pháp

thừa số tích phân

BUỔI 2

6.3 Ứng dụng của phương trình vi phân bậc 1

44

ỨNG DỤNG PTVP CẤP 1

Phân tích định tính bằng phương pháp đồ thị

Tìm hàm số khi biết hệ số co giãn

Mô hình điều chỉnh giá thị trường

Mô hình tăng trưởng Domar (tự tham khảo)

Mô hình tăng trưởng Solow (tự tham khảo)

• Tại các điểm dưới trục hoành y đi từ phải sang trái

• Tại giao điểm với

trạng thái cân bằng.

48

• Tại các điểm dưới trục hoành y đi từ phải sang trái

• Tại giao điểm với

trạng thái cân bằng.

TRẠNG THÁI CÂN BẰNG KHÔNG ỔN ĐỊNH

TÌM Y(X) BIẾT HỆ SỐ CO GIÃN

BIẾN ĐỘNG CỦA GIÁ TRÊN THỊ TRƯỜNG

Giả sử hàm cầu, hàm cung của một loại hàng hóa cho

bởi:

Điểm cân bằng thị trường:

Nếu giá ban đầu là thì thị trường cân bằng Còn nếu không thì thị trường sẽ đạt giá cân bằng sau mộtquá trình điều chỉnh nào đó

BIẾN ĐỘNG CỦA GIÁ TRÊN THỊ TRƯỜNG

Trong quá trình điều chỉnh, các Qs, Qd và p đều thay đổitheo t (biến thời gian)

Giả sử theo thời gian t, giá p(t) tại thời điểm t luôn tỷ lệvới độ chênh lệch giữa cầu và cung tại thời điểm đó

BIẾN ĐỘNG CỦA GIÁ TRÊN THỊ TRƯỜNG

BIẾN ĐỘNG CỦA GIÁ TRÊN THỊ TRƯỜNG

Với t=0, ta có giá tại thời điểm ban đầu:

NHẬN XÉT BIẾN ĐỘNG CỦA P(T) THEO T

Nếu giá ban đầu p(0) cao hơn giá cân bằng ̅ thì P(t) là hàm giảm theo t và

Nếu giá ban đầu p(0) thấp hơn giá cân bằng ̅ thì P(t) là hàm tăng theo t và

Như vậy trong mọi trường hợp cùng với thời gian giá cả

sẽ dần dần trở về với giá tại điểm cân bằng Do đó điểm cân bằng thị trường có tính chất ổn định động

BIẾN ĐỘNG CỦA GIÁ TRÊN THỊ TRƯỜNG