Bài giảng Toán tài chính - Chương 6: Phương trình vi phân vầ ứng dụng

Bài giảng Toán tài chính - Chương 6: Phương trình vi phân và ứng dụng cung cấp cho người học các kiến thức: Khái niệm, cấp của phươn trình vi phân, phương trình vi phân cấp 1, nghiệm tổng quát dạng ẩn,... Mời các bạn cùng tham khảo.

PHƯƠNG TRÌNH VI CHƯƠNG PHÂN & ỨNG DỤNG KHÁI NIỆM CHUNG Trong thực tế nghiên cứu phụ thuộc lẫn đối tượng, nhiều thiết lập trực tiếp mối quan hệ phụ thuộc dạng hàm số đối tượng đó, mà thiết lập mối liên hệ đối tượng mà ta cần tìm mối quan hệ hàm số, với đạo hàm tích phân hàm số chưa biết Trong nhiều mơ hình, hệ thức liên hệ viết dạng phương trình có chứa đạo hàm, phương trình vi phân ĐỊNH NGHĨA Phương trình mà có xuất biến số độc lập, hàm cần tìm đạo hàm (hay vi phân) gọi chung phương trình vi phân Ví dụ y (y '+ x )- x y ' = ; ( F x , y , y ', y ¢¢, , y dy = 2xy dx (n ) )= CẤP CỦA PTVP Cấp phương trình vi phân cấp cao đạo hàm có mặt phương trình Phương trình vi phân cấp phương trình có dạng: F (x , y , y ') = hay y ' = f (x , y ) Phương trình vi phân cấp hai phương trình có dạng: Phương trình vi phân cấp n phương trình có dạng: ( ) (n ) ¢ ¢ ¢ F x , y , y , y , , y = VÍ DỤ Nêu cấp PTVP sau: a ) y (y '+ x )- x 2y ' = b ) (2x + 1)dx + x (y - 1)dy = c ) y '' = xy - 2xy ' VÍ DỤ THỰC TẾ VỀ PTVP Một bể chứa 20 kg muối hòa tan 5000 lít nước Nước muối chứa 0,03 kg muối lít đổ vào bể với tốc độ 25 lít/phút Dung dịch trộn kỹ khỏi bể với tốc độ Sau 30 phút bể cịn lại muối? VÍ DỤ Gọi y(t) lượng muối bể vào thời điểm t Ta có y(0)=20 Tốc độ bổ sung muối vào: 0.03 kg/l * 25l/phút=0,75 kg/phút Tốc độ muối ra: 25l/phút * y(t)/5000 kg/lít = y(t)/200 kg/phút Chênh lệch vào ra: 0,75 – y(t)/200 Đây tốc độ thay đổi khối lượng muối y(t) Ta có: y’(t)=0,75-y(t)/200 Hay y’=0,75-0,005y MƠ HÌNH TĂNG DÂN SỐ Giả định: + Tốc độ tăng dân số tăng tỷ lệ thuận với quy mơ dân số Mơ hình tốn học giả định trên? MƠ HÌNH TĂNG DÂN SỐ Giả định: + Tốc độ tăng dân số tăng tỷ lệ thuận với quy mô dân số + Khi tăng đến mức K dân số giảm (hoặc giảm K dân số tăng K) Hãy đưa mơ hình tốn học? PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP Định nghĩa Phương trình vi phân cấp phương trình có dạng: ỉ dy ư÷ F (x , y , y ') = hay F ççx , y , ÷ = ÷ çè dx ø÷ Trong đó: - F xác định miền G thuộc R3 - x biến độc lập, y hàm cần tìm 10 ĐỒ THỊ PHA – DẠNG y y y • Tại điểm trục hồnh y từ trái sang phải • Tại điểm trục hoành y từ phải sang trái • Tại giao điểm với trục hoành trạng thái cân Trạng thái cân không ổn định động 49 TRẠNG THÁI CÂN BẰNG ỔN ĐỊNH y0 y y0 50 TRẠNG THÁI CÂN BẰNG KHÔNG ỔN ĐỊNH y0 y y0 51 NHẬN XÉT Tính ổn định trạng thái cân đạo hàm điểm cân Trạng thái cân phụ thuộc dấu ổn định động khi:   f y 0 52 VÍ DỤ Xét mơ hình ptvt tuyến tính cấp 1: Ta có: Trạng thái cân ổn định động khi: p0 53 TÌM Y(X) BIẾT HỆ SỐ CO GIÃN y' dy x   x y dx y Ta có: x y Giả sử:  yx    x  Ta có pt vi phân sau: y' dy   x    x    x   dx y y x x y 54 VÍ DỤ Biết hệ số co giãn hàm cầu theo giá:  QP D 5 P  P  Q Tìm hàm cầu QD biết 10 = 500 Đáp số: Q  650  P  5P 55 VÍ DỤ Biết hệ số co giãn hàm cầu:  P QD 2 P  2000  P Tìm hàm cầu QD biết = 2000 56 BIẾN ĐỘNG CỦA GIÁ TRÊN THỊ TRƯỜNG Giả sử hàm cầu, hàm cung loại hàng hóa cho bởi: QD     p; Qs     p Điểm cân thị trường:   p     Nếu giá ban đầu p  p thị trường cân Cịn khơng thị trường đạt giá cân sau q trình điều chỉnh 57 BIẾN ĐỘNG CỦA GIÁ TRÊN THỊ TRƯỜNG Trong trình điều chỉnh, Qs, Qd p thay đổi theo t (biến thời gian) Giả sử theo thời gian t, giá p(t) thời điểm t tỷ lệ với độ chênh lệch cầu cung thời điểm Nghĩa là: p '  t   k Qd  t   Qs  t   Với k>0 số 58 BIẾN ĐỘNG CỦA GIÁ TRÊN THỊ TRƯỜNG Từ ta có: p '  t   k    p     p       k       p   k       p  p       Do đó: dp  p  p   k      dt  ln p  p   k      t  ln C  p  p  C e  k0 t  p  p  Ce  k0 t 59 BIẾN ĐỘNG CỦA GIÁ TRÊN THỊ TRƯỜNG Với t=0, ta có giá thời điểm ban đầu: p 0  p  C  C  p  0  p Vậy: p  t   p   p    p  e  k0t Dễ thấy:   lim p  t   lim p   p    p  e  k0t  p  k0   t  t  60 NHẬN XÉT BIẾN ĐỘNG CỦA P(T) THEO T Nếu giá ban đầu p(0) cao giá cân ̅ P(t) hàm giảm theo t lim p  t   p t  Nếu giá ban đầu p(0) thấp giá cân ̅ P(t) hàm tăng theo t lim p  t   p t  Như trường hợp với thời gian giá trở với giá điểm cân Do điểm cân thị trường có tính chất ổn định động 61 BIẾN ĐỘNG CỦA GIÁ TRÊN THỊ TRƯỜNG Ví dụ: Cho: Qd   p; Qs  2  p; k  0, 2; p    0, Tìm thời gian t cho: p  p    1% 62 GIẢI Ta có: k0  k       0,   3  1; p  0, Vậy: p  p  C.e  k0t t  k0 t     p    p  e   e t p  p  e  0, 01  e  t  0, 05  t  ln 0, 05  t  ln 20  Vậy sau đơn vị thời gian giá thỏa mãn yêu cầu 63 ... BÀI TẬP 38 BÀI TẬP 39 BÀI TẬP 40 BÀI TẬP 41 BÀI TẬP 42 BÀI TẬP Giải phương trình vi phân sau phương pháp thừa số tích phân 43 BUỔI 6.3 Ứng dụng phương trình vi phân bậc 44 ỨNG DỤNG PTVP CẤP Phân. .. trình Phương trình vi phân cấp phương trình có dạng: F (x , y , y '') = hay y '' = f (x , y ) Phương trình vi phân cấp hai phương trình có dạng: Phương trình vi phân cấp n phương trình có dạng:... vi phân) gọi chung phương trình vi phân Ví dụ y (y ''+ x )- x y '' = ; ( F x , y , y '', y ¢¢, , y dy = 2xy dx (n ) )= CẤP CỦA PTVP Cấp phương trình vi phân cấp cao đạo hàm có mặt phương trình Phương