Bài giảng Toán tài chính - Chương 5b: Quy hoạch tuyến tính hai biến

Bài giảng Toán tài chính - Chương 5b: Quy hoạch tuyến tính hai biến cung cấp cho người học các kiến thức: Bài toán quy hoạch tuyến tính tổng quát, dạng ma trận của bài toán quy hoạch tuyến tính, bài toán dạng chuẩn tắc,... Mời các bạn cùng tham khảo.

QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH HAI BIẾN + … CHƯƠNG 5B VÍ DỤ Một xí nghiệp cần sản xuất loại bánh: bánh đậu xanh, bánh thập cẩm bánh dẻo Lượng nguyên liệu đường, đậu cho bánh loại, lượng dự trữ nguyên liệu, tiền lãi cho bánh loại cho bảng sau: Hãy lập mơ hình tốn tìm số lượng loại bánh cần sản xuất cho không bị động nguyên liệu mà lãi đạt cao VÍ DỤ Gọi x1,x2,x3 số bánh đậu xanh, bánh thập cẩm, bánh dẻo cần phải sản xuất Điều kiện: xj ≥ = 1,2,3 Tiền lãi thu (ngàn đồng) f  x   f  x1 , x2 , x3   x1  x2  2,5 x3 Lượng đường sử dụng điều kiện: 0,04 x1  0,06 x2  0,05 x3  500 Lượng đậu sử dụng điều kiện: 0,07 x1  0,02 x3  300 VÍ DỤ Vậy ta có mơ hình tốn: f  x   f  x1 , x2 , x3   x1  x2  2,5 x3  max 0,04 x1  0,06 x2  0,05 x3  500  0,07 x1  0,02 x3  300  x  j  1, 2,3    j Đây tốn quy hoạch tuyến tính biến, tìm giá trị lớn hàm mục tiêu VÍ DỤ Giả sử yêu cầu tối thiểu ngày chất dinh dưỡng đạm, đường, khoáng cho loại gia súc tương ứng 90g, 130g, 10g Cho biết hàm lượng chất dinh dưỡng có 1g thức ăn A, B, C giá mua 1kg thức ăn loại cho bảng sau: Hãy lập mơ hình tốn học tốn xác định khối lượng thức ăn loại phải mua để tổng số tiền chi cho mua thức ăn đáp ứng nhu cầu dinh dưỡng ngày VÍ DỤ Một sở sản xuất đồ gỗ dự định sản xuất ba loại sản phẩm bàn, ghế tủ Định mức sử dụng lao động, chi phí sản xuất giá bán sản phẩm loại ước tính bảng sau: Hãy lập mơ hình toán học toán xác định số sản phẩm loại cần phải sản xuất cho không bị động sản xuất tổng doanh thu đạt cao nhất, biết sở có số lao động tương đương với 500 ngày công, số tiền dành cho chi phí sản xuất 40 triệu đồng số bàn, ghế phải theo tỉ lệ 1/6 VÍ DỤ Một trại cưa khúc gỗ thành ván Có hai loại ván: ván thành phẩm ván sử dụng xây dựng Giả sử, đối với: Ván thành phẩm cần để cưa để bào 10m ván Ván xây dựng cần để cưa để bào 10m ván Máy cưa làm việc tối đa ngày máy bào làm việc tối đa 15 ngày Nếu lợi nhuận 10m ván thành phẩm 120 (ngàn đồng) lợi nhuận 10m ván xây dựng 100 (ngàn đồng) Trong ngày, trại cưa phải cưa ván loại để lợi nhuận lớn BÀI TOÁN QHTT TỔNG QUÁT 1 f  x   c1 x1  c2 x2   cn xn  (max)     ai1 x1  x2   ain xn   bi  i  1, 2, , m        3 x j   j  1, 2, , n tuy y  (1) Hàm f(x) gọi hàm mục tiêu (2) hệ ràng buộc (3) hệ ràng buộc dấu (2) Và (3) gọi chung hệ ràng buộc toán DẠNG MA TRẬN CỦA BÀI TỐN QHTT Xét tốn QHTT dạng: f  x   c1 x1  c2 x2   cn xn  (max) a11 x1  a12 x2   a1n xn  b1  a21 x1  a22 x2   a2 n xn  b2   am1 x1  am x2   amn xn  bm xj  DẠNG MA TRẬN CỦA BÀI TOÁN QHTT Đặt:  a11 a12 a1n    a a a 2n  A   21 22      am1 am amn   b1    b2   b      bm   x1    x2   x      xn  Ta có dạng ma trận tốn QHTT: f  cT x   max   Ax  b  x   c1    c2   c      cn  PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH – CHÚ Ý 1) Đối với tốn có hàm f(x)  max chuyển giải tốn với hàm g(x) = −f(x)  (Chú ý fmax = −gmin) giải trực tiếp với dấu hiệu tối ưu k ≥ 0, dấu hiệu để điều chỉnh phương án k < 0, yếu tố khác thuật tốn khơng đổi 2) Chọn vectơ đưa vào sở ứng với max với hy vọng làm trị số hàm mục tiêu giảm nhiều sau bước biến đổi, nhiên vectơ đưa vào sở thực làm trị số hàm mục tiêu giảm nhiều phải ứng với max   nguyên tắc đưa vectơ ứng với k > vào sở cải tiến phương án PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH – CHÚ Ý 3) Trường hợp tốn suy biến θ0 0, θ0 = thực thuật tốn cách bình thường, nghĩa vectơ ứng với θ0 bị loại khỏi sở Dấu hiệu xuất phương án cực biên suy biến θ0 đạt nhiều số, vectơ loại khỏi sở chọn số vectơ ứng với θ0 theo quy tắc ngẫu nhiên PHƯƠNG PHÁP ĐƠN HÌNH – CHÚ Ý Khi áp dụng thuật tốn cần lưu ý hai trường hợp: Phương án cực biên x0 có sở J0 sở đơn vị, lúc ma trận hệ số phân tích [ A | b] theo sở đơn vị nên ta lập bảng đơn hình Bài toán dạng chuẩn toán cho phương án cực biên với sở đơn vị, nên từ tốn ta lập bảng đơn hình ứng với phương án cực biên Nếu J0 khơng phải sở đơn vị để lập bảng đơn hình trước hết cần phải tìm ma trận hệ số phân tích theo J0 Để làm điều ta viết ma trận mở rộng [A | b] sau thực phép biến đổi sơ cấp hàng ma trận, biến đổi cho vectơ sở trở thành vectơ đơn vị khác Khi ma trận mở rộng trở thành ma trận hệ số phân tích VÍ DỤ 19 Cho toán: f  x   2 x1  x2  x3  x4   x1  x2  3x3  x4     x1  x2  x3  x4    x1  x2  x3  x4  20  x j   j  1, 2,3,   Chứng tỏ vecto x0 = (8, 0, 0, 0) phương án cực biên Dùng vectơ giải toán theo phương pháp đơn hình VÍ DỤ 19 Dễ thấy x0 thỏa mãn ràng buộc toán, ràng buộc độc lập tuyến tính, x0 phương án cực biên khơng suy biến Trước hết phải đưa tốn dạng tắc f  x   2 x1  x2  x3  x4  8  x1  x2  3x3  x4   x  x  x  5x  x 2   x  x  8x  x  x6  20   x j   j  1, 2,3, 4,5,6   VÍ DỤ 19 Từ x0 suy phương án cực biên không suy biến tốn dạng tắc: x = (8, 0, 0, 0, 18, 12) với sở J0 = {A1, A5, A6} khơng phải sở đơn vị Vì để lập bảng đơn hình ứng với phương án cực biên x ta phải tìm ma trận hệ số phân tích ma trận điều kiện tốn dạng tắc qua sở J0 Chú ý vế phải ma trận hệ số phân tích phải trùng với thành phần sở phương án cực biên VÍ DỤ 19 Q trình biến đổi ma trận sau:  3 0   1      1      0  20 0  0 3 Dựa ma trận hệ số phân tích ta lập bảng đơn hình 8  18 12 f  x   2 x1  x2  x3  x4  Hệ số Ẩn PA X1 -2 X2 -6 X3 X4 -5 X5 X6 -2 X1 -3 0 X5 18 -5 -3 0 x6 12 -4 -16 -2 0 -2 X1 3/2 -1 0 -1/2 X5 36 13/2 -11 3/2 -5 x4 1/2 -2 1/2 -34 1/2 0 -3/2 Ta có 3 = > 0, aj3 < (j  J), tốn khơng có phương án tối ưu VÍ DỤ 20 BÀI TỐN ĐẶT ẨN PHỤ Giải toán sau phương pháp đơn hình f  x   x1  3x2  x3  x4  Với hệ ràng buộc:   x1  x2  x3  x4  18  x  x  x     x2  x3  x4  20   x j   j  1, 2,3,  VÍ DỤ 20 BÀI TỐN ĐẶT ẨN PHỤ Trước hết đưa tốn dạng tắc cách cộng vào ràng buộc (2) (3) hai biến phụ x5 x6 Ta có: f  x   x1  3x2  x3  x4  Với hệ ràng buộc mới:   18  x1  x2  x3  x4  x2  x3  x4  x5 8    x2  x3  x4  x6  20   x j   j  1, 2,3, 4,5,6  Phương án tương ứng tối ưu: x0 = (0, 0, 16, 4, 40, 0) Giá trị tối ưu hàm mục tiêu là: f = –18 VÍ DỤ 21 BÀI TỐN ĐẶT ẨN PHỤ Đây tốn dạng chuẩn tắc  phương pháp đơn hình BÀI TOÁN ẨN GIẢ QUAN HỆ HAI BÀI TOÁN  Nếu tốn M vơ nghiệm tốn ban đầu vơ nghiệm  Nếu tốn M có nghiệm (x1,x2,…,xn,0,…,0) (x1,x2,…,xn) nghiệm tốn ban đầu  Nếu tốn M có nghiệm (x1,x2,…,xn,xn+1,…,xn+m) có ẩn giả >0 tốn ban đầu vơ nghiệm  Thuận lợi: xây dựng phương án ban đầu thông qua đặt ẩn giả VÍ DỤ 22 VÍ DỤ 22 Ta có tốn f  x    x1  x2  x3  Mx6  Mx7  Đây toán dạng chuẩn tắc nên ta áp dụng phương pháp đơn hình để giải ... Mathematics for Busines – Raymond A Barnett Chương phần Linear Programing Chỉ dùng cho toán quy hoạch tuyến tính biến PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ Xét tốn quy hoach tuyến tính : f  x    c j x j   max ...  BÀI TOÁN DẠNG CHÍNH TẮC: n f  x    cj x j  (max) j 1 n  aij x j  bi (i  1,m)  j1 x  (j  1,n)  j • Các ràng buộc phương trình • Các ẩn khơng âm Mọi tốn quy hoạch tuyến tính quy. .. tốn quy hoạch tuyến tính gọi phương án chấp nhận Định nghĩa Phương án chấp nhận làm cho hàm mục tiêu có giá trị lớn (nếu tốn max) hay nhỏ (nếu tốn min) gọi phương án tối ưu (PATU) VÍ DỤ Cho toán