Phương Pháp Tính Đạo Hàm Và Tích Phân 1. Tính gần đúng đạo hàm a. Công thức sai phân tiến b. Công thức sai phân lùi 2. Tính gần đúng tích phân xác định a. Công thức hình thang Phương Pháp Tính Đạo Hàm Và Tích Phân 1. Tính gần đúng đạo hàm a. Công thức sai phân tiến b. Công thức sai phân lùi 2. Tính gần đúng tích phân xác định a. Công thức hình thang Phương Pháp Tính Đạo Hàm Và Tích Phân 1. Tính gần đúng đạo hàm a. Công thức sai phân tiến b. Công thức sai phân lùi 2. Tính gần đúng tích phân xác định a. Công thức hình thang Phương Pháp Tính Đạo Hàm Và Tích Phân 1. Tính gần đúng đạo hàm a. Công thức sai phân tiến b. Công thức sai phân lùi 2. Tính gần đúng tích phân xác định a. Công thức hình thangPhương Pháp Tính Đạo Hàm Và Tích Phân 1. Tính gần đúng đạo hàm a. Công thức sai phân tiến b. Công thức sai phân lùi 2. Tính gần đúng tích phân xác định a. Công thức hình thangPhương Pháp Tính Đạo Hàm Và Tích Phân 1. Tính gần đúng đạo hàm a. Công thức sai phân tiến b. Công thức sai phân lùi 2. Tính gần đúng tích phân xác định a. Công thức hình thangPhương Pháp Tính Đạo Hàm Và Tích Phân 1. Tính gần đúng đạo hàm a. Công thức sai phân tiến b. Công thức sai phân lùi 2. Tính gần đúng tích phân xác định a. Công thức hình thangPhương Pháp Tính Đạo Hàm Và Tích Phân 1. Tính gần đúng đạo hàm a. Công thức sai phân tiến b. Công thức sai phân lùi 2. Tính gần đúng tích phân xác định a. Công thức hình thangPhương Pháp Tính Đạo Hàm Và Tích Phân 1. Tính gần đúng đạo hàm a. Công thức sai phân tiến b. Công thức sai phân lùi 2. Tính gần đúng tích phân xác định a. Công thức hình thangPhương Pháp Tính Đạo Hàm Và Tích Phân 1. Tính gần đúng đạo hàm a. Công thức sai phân tiến b. Công thức sai phân lùi 2. Tính gần đúng tích phân xác định a. Công thức hình thangPhương Pháp Tính Đạo Hàm Và Tích Phân 1. Tính gần đúng đạo hàm a. Công thức sai phân tiến b. Công thức sai phân lùi 2. Tính gần đúng tích phân xác định a. Công thức hình thang
ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN BÀI GIẢNG ĐIỆN TỬ TS Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, mơn Tốn ứng dụng TP HCM — 2016 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN TP HCM — 2016 / 23 NỘI DUNG TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN TP HCM — 2016 / 23 NỘI DUNG TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN TP HCM — 2016 / 23 Tính gần đạo hàm x x0 x1 với y0 = f (x0) y y0 y1 y1 = f (x1 ) = f (x0 + h) Xét bảng số Đa thức nội suy Lagrange có dạng L (x) = x − x0 x − x1 y1 − y0 , h h với h = x1 − x0 Do đó, với ∀x ∈ [x0, x1] ta có y1 − y0 f (x0 + h) − f (x0 ) = f (x) ≈ h TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN h TP HCM — 2016 / 23 Tính gần đạo hàm Công thức sai phân tiến: f (x0 ) ≈ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) y1 − y0 f (x0 + h) − f (x0 ) = h h ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN TP HCM — 2016 (1) / 23 Tính gần đạo hàm Cơng thức sai phân tiến: f (x0 ) ≈ y1 − y0 f (x0 + h) − f (x0 ) = h h (1) Công thức sai phân lùi: f (x0 ) ≈ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) f (x0 ) − f (x0 − h) h ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN (2) TP HCM — 2016 / 23 Tính gần đạo hàm x x0 x1 x2 với y0 = f (x0), y y0 y1 y2 y1 = f (x1 ) = f (x0 + h), y2 = f (x2 ) = f (x0 + 2h) Xét bảng số Đa thức nội suy Lagrange có dạng (x − x0 )(x − x1 ) (x − x0 )(x − x2 ) y − y1 + 2h2 h2 (x − x1 )(x − x2 ) y0 , 2h2 x − x1 x − x0 L (x) = (y − 2y ) + (y2 + y0 )+ 2h2 2h2 x − x2 y2 − 2y1 + y0 (y − 2y ), L (x) = 2h2 h2 L (x) = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN TP HCM — 2016 / 23 Tính gần đạo hàm Đặc biệt, x0 ta có f (x0 ) ≈ L (x0 ) = −3y0 + 4y1 − y2 2h (3) gọi cơng thức sai phân tiến Còn y2 − y0 x1 ta có f (x1) ≈ L (x1) = 2h gọi công thức sai phân hướng tâm thường viết dạng f (x0 ) ≈ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) f (x0 + h) − f (x0 − h) 2h ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN (4) TP HCM — 2016 / 23 Tính gần đạo hàm Còn x2 ta có f (x2 ) ≈ L (x2 ) = y0 − 4y1 + 3y2 gọi 2h công thức sai phân lùi thường viết dạng f (x0 ) ≈ f (x0 − 2h) − 4f (x0 − h) + 3f (x0 ) 2h TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN TP HCM — 2016 (5) / 23 Tính gần đạo hàm VÍ DỤ 1.1 Tính gần y (50) hàm số y = lgx theo công thức sai phân tiến dựa vào bảng giá trị x 50 55 60 sau y 1.6990 1.1704 1.7782 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN TP HCM — 2016 / 23 Tính gần tích phân xác định Cơng thức hình thang CƠNG THỨC HÌNH THANG b Để tính gần tích phân f (x)dx ta thay a hàm dấu tích phân f (x) đa thức nội suy Newton tiến bậc qua điểm (a, f (a)) (b, f (b)) xuất phát từ nút (a, f (a)) Vậy P1(x) = f (a) + f [a, b](x − a) = = f (a) + TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) f (b) − f (a) (x − a) b−a ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN TP HCM — 2016 11 / 23 Tính gần tích phân xác định b a Cơng thức hình thang b P1 (x)dx = a f (a) + f [a, b](x − a) dx = x2 − ax = f (a)x + f [a, b] b a f (b) − f (a) b2 a2 = f (a)(b − a) + · − ab − + a2 b−a 2 b−a = f (a) + f (b) b a f (x)dx ≈ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) b−a f (a) + f (b) ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN (6) TP HCM — 2016 12 / 23 Tính gần tích phân xác định Cơng thức hình thang mở rộng Chia đoạn [a, b] thành n đoạn nhỏ với bước b−a Khi a = x0 , x1 = x0 + h, , n xk = x0 + kh, , xn = x0 + nh yk = f (xk ), k = 0, 1, , n chia h = Sử dụng cơng thức hình thang cho đoạn [xk , xk+1] ta x1 b f (x)dx = a f (x)dx + x0 ≈ h· xn x2 f (x)dx + + x1 f (x)dx xn−1 y1 + y2 yn−1 + yn y0 + y1 +h· + +h· 2 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN TP HCM — 2016 13 / 23 Tính gần tích phân xác định Cơng thức hình thang mở rộng VÍ DỤ 2.1 Tính gần tích phân I = dx 1+x cơng thức hình thang mở rộng chia đoạn [0, 1] thành n = 10 đoạn nhỏ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN TP HCM — 2016 14 / 23 Tính gần tích phân xác định Cơng thức hình thang mở rộng VÍ DỤ 2.1 Tính gần tích phân I = dx 1+x cơng thức hình thang mở rộng chia đoạn [0, 1] thành n = 10 đoạn nhỏ k , x0 = 0, xk = 10 , 10 10 yk = f (xk ) = 1+1 k = 10+k h = b−a = 1−0 = n 10 10 h 9 10 10 I≈ + (yk + yk+1 ) = k=0 20 k=0 10 + k 10 + (k + 1) ≈ 0.6938 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN TP HCM — 2016 14 / 23 Tính gần tích phân xác định Cơng thức hình thang mở rộng h I ≈ (y0 + 2y1 + 2y2 + 2y3 + 2y4 + 2y5 + 2y6 + 2y7 + 2y8 + 2y9 + y10 ) Bấm máy Với h = 0.1, ta có A = A+ h ∗ B ∗ (1 ÷ (1 + X )) : X = X + h CALC A=0, X=0, B=1= A=, X=, B=2= ., , A=, X=1, B=1= Kêt quả: I ≈ 0.6938 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN TP HCM — 2016 15 / 23 Tính gần tích phân xác định Cơng thức Simpson b Để tích gần tích phân f (x)dx ta chia a [a, b] thành đoạn điểm b−a thay hàm dấu a, x1 = a + h, b với h = tích phân f (x) đa thức nội suy Newton tiến bậc qua điểm (a, f (a)), (x1, f (x1)) (b, f (b)) xuất phát từ nút (a, f (a)) Vậy P2 (x) = f (a)+f [a, x1 ](x−a)+f [a, x1 , b](x−a)(x−x1 ) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN TP HCM — 2016 16 / 23 Tính gần tích phân xác định b b f (x)dx ≈ a Công thức Simpson P2 (x)dx = a b f (a)+f [a, x1 ](x−a)+f [a, x1 , b](x−a)(x−x1 )dx = a Đổi biến x = a + ht ⇒ dx = hdt, t ∈ [0, 2] b a = P2 (x)dx = f (a) + f [a, x1 ]ht + f [a, x1 , b]h2 t(t − 1) hdt TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN TP HCM — 2016 17 / 23 Tính gần tích phân xác định Cơng thức Simpson Mặt khác, ta có f [a, x1 ]h = y1 − f (a), f [a, x1 , b]h2 = f (b) − 2f (x1 ) + f (a) · Vậy b a f (x)dx ≈ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) h f (a) + 4f (x1 ) + f (b) ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN TP HCM — 2016 (7) 18 / 23 Tính gần tích phân xác định Cơng thức hình Simpson mở rộng Chia đoạn [a, b] thành 2n đoạn nhỏ với bước b−a Khi a = x0 , x1 = x0 + h, , 2n x2k = x0 + 2kh, , x2n = x0 + 2nh, xk = x0 + kh yk = f (xk ), y2k = f (x2k ), k = 0, 1, , 2n chia h = Sử dụng công thức Simpson cho đoạn [xk , xk+2 ] ta b a x2 f (x)dx = h x0 x4 f (x)dx + x2 x2n f (x)dx + + h f (x)dx x2n−2 h ≈ (y0 +4y1 +y2 )+ (y2 +4y3 +y4 )+ + (y2n−2 +4y2n−1 +y2n ) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN TP HCM — 2016 19 / 23 Tính gần tích phân xác định Cơng thức hình Simpson mở rộng VÍ DỤ 2.2 Tính gần tích phân I = dx 1+x cơng thức Simpson mở rộng chia đoạn [0, 1] thành n = 10 đoạn nhỏ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN TP HCM — 2016 20 / 23 Tính gần tích phân xác định Cơng thức hình Simpson mở rộng VÍ DỤ 2.2 Tính gần tích phân I = dx 1+x công thức Simpson mở rộng chia đoạn [0, 1] thành n = 10 đoạn nhỏ b−a 1−0 k = = , x0 = 0, xk = , 2n 20 20 20 20 yk = f (xk ) = = · k 20 + k + 20 h= TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN TP HCM — 2016 20 / 23 Tính gần tích phân xác định Cơng thức hình Simpson mở rộng Vậy h n−1 (y2k + 4y2k+1 + y2k+2 ) = I≈ k=0 20 20 20 +4 + ≈ 0.6931 = 60 k=0 20 + 2k 2k + 21 2k + 22 h I ≈ (y0 + 4y1 + 2y2 + 4y3 + 2y4 + 4y5 + 2y6 + 4y7 + 2y8 + 4y9 + 2y10 + 4y11 + 2y12 + 4y13 + 2y14 + 4y15 + 2y16 + 4y17 + 2y18 + 4y19 + y20 ) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN TP HCM — 2016 21 / 23 Tính gần tích phân xác định Cơng thức hình Simpson mở rộng Bấm máy A = A+B∗ 1 ∗ :X =X+ ∗ 10 X + ∗ 10 CALC A=0, B=1, X=0; A=, B=4;X=; A=, B=2;X=; A=, B=4;X=; A=, B=2;X=; A=, B=1;X=1; Kết I ≈ 0.6931 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN TP HCM — 2016 22 / 23 Tính gần tích phân xác định Cơng thức hình Simpson mở rộng CÁM ƠN CÁC EM ĐÃ CHÚ Ý LẮNG NGHE TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN TP HCM — 2016 23 / 23