Bài giảng Phương pháp tính: Đạo hàm và tích phân cung cấp cho người học các kiến thức: Tính gần đúng đạo hàm, tính gần đúng tích phân xác định. Đây là một tài liệu tham khảo hữu ích dành cho các bạn sinh viên các ngành Khoa học tự nhiên và những ai quan tâm dùng làm tài liệu học tập và nghiên cứu.
ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN BÀI GIẢNG ĐIỆN TỬ Nguyễn Thị Cẩm Vân Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, mơn Tốn ứng dụng ng.com Ngàyhttps://fb.com/tailieudientucntt 12 tháng năm 2018 Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ngày 12 tháng năm 2018 / 23 NỘI DUNG TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM ng.com Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) https://fb.com/tailieudientucntt ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ngày 12 tháng năm 2018 / 23 NỘI DUNG TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ng.com Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) https://fb.com/tailieudientucntt ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ngày 12 tháng năm 2018 / 23 Tính gần đạo hàm x x0 x1 với y = f (x 0) y y0 y1 y = f (x ) = f (x + h) Xét bảng số Đa thức nội suy Lagrange có dạng L (x) = x − x0 x − x1 y1 − y 0, h h với h = x − x Do đó, với ∀x ∈ [x 0, x 1] ta có f (x) ≈ ng.com Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) y − y f (x + h) − f (x ) = h h https://fb.com/tailieudientucntt ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ngày 12 tháng năm 2018 / 23 Tính gần đạo hàm Công thức sai phân tiến: f (x ) ≈ ng.com Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) y − y f (x + h) − f (x ) = h h (1) https://fb.com/tailieudientucntt ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ngày 12 tháng năm 2018 / 23 Tính gần đạo hàm Cơng thức sai phân tiến: f (x ) ≈ y − y f (x + h) − f (x ) = h h (1) Công thức sai phân lùi: f (x ) ≈ ng.com Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) f (x ) − f (x − h) h (2) https://fb.com/tailieudientucntt ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ngày 12 tháng năm 2018 / 23 Tính gần đạo hàm x x0 x1 x2 với y = f (x 0), y y0 y1 y2 y = f (x ) = f (x + h), y = f (x ) = f (x + 2h) Xét bảng số Đa thức nội suy Lagrange có dạng (x − x )(x − x ) (x − x )(x − x ) y − y 1+ 2h h2 (x − x )(x − x ) y 0, 2h x − x0 x − x1 (y − 2y ) + (y + y )+ L (x) = 2h 2h x − x2 y − 2y + y (y − 2y ), L (x) = 2h h https://fb.com/tailieudientucntt L (x) = ng.com Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ngày 12 tháng năm 2018 / 23 Tính gần đạo hàm Đặc biệt, x ta có f (x ) ≈ L (x ) = −3y + 4y − y 2h (3) gọi công thức sai phân tiến Còn y2 − y0 x ta có f (x 1) ≈ L (x 1) = 2h gọi công thức sai phân hướng tâm thường viết dạng f (x ) ≈ ng.com Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) f (x + h) − f (x − h) 2h (4) https://fb.com/tailieudientucntt ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ngày 12 tháng năm 2018 / 23 Tính gần đạo hàm Còn x ta có f (x ) ≈ L (x ) = y − 4y + 3y gọi 2h công thức sai phân lùi thường viết dạng f (x ) ≈ f (x − 2h) − f (x − h) + f (x ) 2h (5) ng.com Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) https://fb.com/tailieudientucntt ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ngày 12 tháng năm 2018 / 23 Tính gần đạo hàm VÍ DỤ 1.1 Tính gần y (50) hàm số y = l g x theo công thức sai phân tiến dựa vào bảng x 50 55 60 giá trị sau y 1.6990 1.1704 1.7782 ng.com Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) https://fb.com/tailieudientucntt ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ngày 12 tháng năm 2018 / 23 Tính gần tích phân xác định Cơng thức hình thang CƠNG THỨC HÌNH THANG b Để tính gần tích phân f (x)d x ta a thay hàm dấu tích phân f (x) đa thức nội suy Newton tiến bậc qua điểm (a, f (a)) (b, f (b)) xuất phát từ nút (a, f (a)) Vậy P 1(x) = f (a) + f [a, b](x − a) = = f (a) + ng.com Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) f (b) − f (a) (x − a) b−a https://fb.com/tailieudientucntt ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ngày 12 tháng năm 2018 11 / 23 Tính gần tích phân xác định b a Cơng thức hình thang b P (x)d x = a f (a) + f [a, b](x − a) d x = x2 = f (a)x + f [a, b] − ax b a f (b) − f (a) b a2 = f (a)(b − a) + · − ab − + a b−a 2 b−a = f (a) + f (b) b a f (x)d x ≈ ng.com Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) b−a f (a) + f (b) (6) https://fb.com/tailieudientucntt ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ngày 12 tháng năm 2018 12 / 23 Tính gần tích phân xác định Cơng thức hình thang mở rộng Chia đoạn [a, b] thành n đoạn nhỏ với bước b−a Khi a = x , x = x + h, , n x k = x + kh, , x n = x + nh y k = f (x k ), k = 0, 1, , n chia h = Sử dụng công thức hình thang cho đoạn [x k , x k+1] ta x1 b f (x)d x = a ng.com f (x)d x+ x0 ≈h· xn x2 f (x)d x+ .+ x1 f (x)d x x n−1 y1 + y2 y n−1 + y n y0 + y1 + h · + + h · https://fb.com/tailieudientucntt 2 Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ngày 12 tháng năm 2018 13 / 23 Tính gần tích phân xác định Cơng thức hình thang mở rộng VÍ DỤ 2.1 Tính gần tích phân I = dx 1+x cơng thức hình thang mở rộng chia đoạn [0, 1] thành n = 10 đoạn nhỏ ng.com Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) https://fb.com/tailieudientucntt ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ngày 12 tháng năm 2018 14 / 23 Tính gần tích phân xác định Cơng thức hình thang mở rộng VÍ DỤ 2.1 Tính gần tích phân I = dx 1+x cơng thức hình thang mở rộng chia đoạn [0, 1] thành n = 10 đoạn nhỏ k , x = 0, x k = 10 , 10 10 y k = f (x k ) = 1+1 k = 10+k h = b−a = 1−0 = n 10 10 h (y k + y k+1 ) = k=0 10 10 +https://fb.com/tailieudientucntt≈ 0.6938 ng.com 20 k=0 10 + k 10 + (k + 1) I≈ Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ngày 12 tháng năm 2018 14 / 23 Tính gần tích phân xác định Cơng thức hình thang mở rộng h I ≈ (y + 2y + 2y + 2y + 2y + 2y + 2y + 2y + 2y + 2y + y 10 ) Bấm máy Với h = 0.1, ta có A = A+ h ∗ B ∗ (1 ÷ (1 + X )) : X = X + h CALC A=0, X=0, B=1= A=, X=, B=2= ., , A=, X=1, B=1= Kêt quả: I ≈ 0.6938 ng.com https://fb.com/tailieudientucntt Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ngày 12 tháng năm 2018 15 / 23 Tính gần tích phân xác định Cơng thức Simpson b Để tích gần tích phân f (x)d x ta a chia [a, b] thành đoạn điểm a, x = a + h, b với h = b−a thay hàm dấu tích phân f (x) đa thức nội suy Newton tiến bậc qua điểm (a, f (a)), (x , f (x )) (b, f (b)) xuất phát từ nút (a, f (a)) Vậy P 2(x) = f (a) + f [a, x ](x − a) + f [a, x , b](x − a)(x − x ) ng.com Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) https://fb.com/tailieudientucntt ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ngày 12 tháng năm 2018 16 / 23 Tính gần tích phân xác định b b f (x)d x ≈ a Công thức Simpson P (x)d x = a b f (a)+ f [a, x ](x−a)+ f [a, x , b](x−a)(x−x )d x = a Đổi biến x = a + ht ⇒ d x = hd t , t ∈ [0, 2] b a = ng.com P (x)d x = f (a)+ f [a, x ]ht + f [a, x , b]h t (t −1) hd t Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) https://fb.com/tailieudientucntt ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ngày 12 tháng năm 2018 17 / 23 Tính gần tích phân xác định Cơng thức Simpson Mặt khác, ta có f [a, x ]h = y − f (a), f [a, x , b]h = f (b) − f (x ) + f (a) · Vậy b a f (x)d x ≈ ng.com Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) h f (a) + f (x ) + f (b) (7) https://fb.com/tailieudientucntt ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ngày 12 tháng năm 2018 18 / 23 Tính gần tích phân xác định Cơng thức hình Simpson mở rộng Chia đoạn [a, b] thành 2n đoạn nhỏ với bước b−a Khi a = x , x = x + h, , 2n x 2k = x + 2kh, , x 2n = x + 2nh, x k = x + kh y k = f (x k ), y 2k = f (x 2k ), k = 0, 1, , 2n chia h = Sử dụng công thức Simpson cho đoạn [x k , x k+2 ] ta b a x2 f (x)d x = x0 h x4 f (x)d x + x2 x 2n f (x)d x + + h f (x)d x x 2n−2 h ≈ (y +4y +y )+ (y +4y +y )+ + (y 2n−2 +4y 2n−1 +y 2n ) ng.com Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) https://fb.com/tailieudientucntt ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ngày 12 tháng năm 2018 19 / 23 Tính gần tích phân xác định Cơng thức hình Simpson mở rộng VÍ DỤ 2.2 Tính gần tích phân I = dx 1+x công thức Simpson mở rộng chia đoạn [0, 1] thành n = 10 đoạn nhỏ ng.com Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) https://fb.com/tailieudientucntt ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ngày 12 tháng năm 2018 20 / 23 Tính gần tích phân xác định Cơng thức hình Simpson mở rộng VÍ DỤ 2.2 Tính gần tích phân I = dx 1+x công thức Simpson mở rộng chia đoạn [0, 1] thành n = 10 đoạn nhỏ b −a 1−0 k = = , x = 0, x k = , 2n 20 20 20 20 y k = f (x k ) = = · k 20 + k + 20 h= ng.com Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) https://fb.com/tailieudientucntt ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ngày 12 tháng năm 2018 20 / 23 Tính gần tích phân xác định Cơng thức hình Simpson mở rộng Vậy h n−1 I≈ (y 2k + 4y 2k+1 + y 2k+2 ) = k=0 20 20 20 +4 + = ≈ 0.6931 60 k=0 20 + 2k 2k + 21 2k + 22 h I ≈ (y + 4y + 2y + 4y + 2y + 4y + 2y + 4y + 2y + 4y + 2y 10 + 4y 11 + 2y 12 + 4y 13 + 2y 14 + 4y 15 + 2y 16 + 4y 17 + 2y 18 + 4y 19 + y 20 ) ng.com Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) https://fb.com/tailieudientucntt ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ngày 12 tháng năm 2018 21 / 23 Tính gần tích phân xác định Cơng thức hình Simpson mở rộng Bấm máy A = A +B ∗ 1 ∗ :X =X+ ∗ 10 X + ∗ 10 CALC A=0, B=1, X=0; A=, B=4;X=; A=, B=2;X=; A=, B=4;X=; A=, B=2;X=; A=, B=1;X=1; Kết I ≈ 0.6931 ng.com https://fb.com/tailieudientucntt Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ngày 12 tháng năm 2018 22 / 23 Tính gần tích phân xác định Cơng thức hình Simpson mở rộng CÁM ƠN CÁC EM ĐÃ CHÚ Ý LẮNG NGHE ng.com Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) https://fb.com/tailieudientucntt ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ngày 12 tháng năm 2018 23 / 23 ... GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM ng.com Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) https://fb.com/tailieudientucntt ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ngày 12 tháng năm 2018 / 23 NỘI DUNG TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN XÁC... https://fb.com/tailieudientucntt Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ngày 12 tháng năm 2018 / 23 Tính gần tích phân xác định TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Theo cơng thức Newton-Leibniz b a b... https://fb.com/tailieudientucntt Nguyễn Thị Cẩm Vân (BK TPHCM) ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ngày 12 tháng năm 2018 15 / 23 Tính gần tích phân xác định Cơng thức Simpson b Để tích gần tích phân f (x)d x ta a chia