tài liệu uy tín được biên soạn bởi giảng viên đại học Bách Khoa TPHCM, thuận lợi cho qua trình tự học, nghiên cứu bổ sung kiến thức môn toán cao cấp 1, toán cao cấp hai, tích phân vi phân ôn thi học sinh giỏi, luyện thi đại học, ôn thi vào lớp 10, ôn thi trường chuyên môn toán, sắc xuất thống kê, các môn học tài chính, kế toán, ngân hàng, toán cao cấp, Tài liệu được kiểm duyệt bởi giảng viên, phòng đào tạo trường đại học bách khoa, lưu hành nội bộ
TÍCH PHÂN MẶT TS Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, mơn Tốn ứng dụng Email: ytkadai@hcmut.edu.vn TP HCM — 2016 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN MẶT TP HCM — 2016 / 78 NỘI DUNG TÍCH PHÂN MẶT LOẠI MỘT TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN MẶT TP HCM — 2016 / 78 NỘI DUNG TÍCH PHÂN MẶT LOẠI MỘT TÍCH PHÂN MẶT LOẠI HAI TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN MẶT TP HCM — 2016 / 78 Tích phân mặt loại Bài tốn tính khối lượng mặt cong Cho mặt cong S không gian có phân bố khối lượng khơng đồng theo diện tích mặt cong Sự phân bố mô tả hàm khối lượng đơn vị diện tích f (x, y, z) (mật độ bề mặt (kg/m2)) Hãy tính khối lượng M mặt cong S TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN MẶT TP HCM — 2016 / 78 Tích phân mặt loại Bài tốn tính khối lượng mặt cong Đầu tiên, chia mặt cong S thành mặt cong nhỏ có diện tích ∆Sij Nếu chọn điểm tùy ý (xij∗, yij∗, zij∗) ∈ Sij ta tổng Riemann tích phân mặt loại Như vậy, khối lượng vật thể tính gần m n f (xij∗ , yij∗ , zij∗ )∆Sij M≈ i=1 j=1 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN MẶT TP HCM — 2016 / 78 Tích phân mặt loại Định nghĩa TÍCH PHÂN MẶT LOẠI MỘT ĐỊNH NGHĨA 1.1 Tích phân mặt loại tích phân có dạng f (x, y, z)dS, S S mặt cong lấy tích phân, f (x, y, z) gọi hàm lấy tích phân TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN MẶT TP HCM — 2016 / 78 Tích phân mặt loại 10 Tính chất tích phân đường loại 1dS = diện tích mặt cong S α.f (x, y, z)dS = α 20 S 30 f (x, y, z)dS S f (x, y, z) + g(x, y, z) dS = S f (x, y, z)dS + = S g(x, y, z)dS S 40 Nếu S = S1 + S2 f (x, y, z)dS = S TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) f (x, y, z)dS + S1 TÍCH PHÂN MẶT f (x, y, z)dS S2 TP HCM — 2016 / 78 Tích phân mặt loại Mặt cong S cho phương trình z = z(x, y) MẶT CONG S CHO BỞI PHƯƠNG TRÌNH z = z(x, y) Nếu mặt cong S có phương trình z = z(x, y), Dxy hình chiếu S xuống mặt phẳng Oxy Khi dS = I= ∂z 1+ ∂x f (x, y, z(x, y)) Dxy TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ∂z + dxdy ∂y ∂z 1+ ∂x TÍCH PHÂN MẶT ∂z + dxdy ∂y TP HCM — 2016 / 78 Tích phân mặt loại Mặt cong S cho phương trình y = y(x, z) MẶT CONG S CHO BỞI PHƯƠNG TRÌNH y = y(x, z) Nếu mặt cong S có phương trình y = y(x, z), Dxz hình chiếu S xuống mặt phẳng Oxz Khi dS = ∂y 1+ ∂x f (x, y(x, z), z) I= Dxz TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ∂y + dxdz ∂z ∂y 1+ ∂x TÍCH PHÂN MẶT ∂y + dxdz ∂z TP HCM — 2016 / 78 Tích phân mặt loại Mặt cong S cho phương trình x = x(y, z) MẶT CONG S CHO BỞI PHƯƠNG TRÌNH x = x(y, z) Nếu mặt cong S có phương trình x = x(y, z), Dyz hình chiếu S xuống mặt phẳng Oyz Khi dS = I= ∂x 1+ ∂y f (x(y, z), y, z) Dyz TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ∂x + dydz ∂z ∂x 1+ ∂y TÍCH PHÂN MẶT ∂x + dydz ∂z TP HCM — 2016 / 78 Tích phân mặt loại hai Ví dụ Vì S phần mặt z = − x2 − y nên S chưa mặt kín Do ta phải thêm vào mặt S1 : z = với hướng pháp véc tơ đơn vị hướng xuống Do theo cơng thức O-G, ta có I= − S+S1 S1 (2x + y)dydz + (2y + z)dzdx + (2z + x)dxdy− (2x + y)dydz + (2y + z)dzdx + (2z + x)dxdy = (2.1 + x)dxdy (2 + + 2)dxdydz − 0 + 0− =+ Ω Dxy = 5π TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN MẶT TP HCM — 2016 67 / 78 Tích phân mặt loại hai Cơng thức Stokes Cho S trơn, có định hướng với biên đường cong khép kín C P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) đạo hàm riêng cấp chúng liên tục S P(x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz = C = S ∂P ∂R ∂R ∂Q − dydz + − dzdx+ ∂y ∂z ∂z ∂x + TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ∂Q ∂P − dxdy ∂x ∂y TÍCH PHÂN MẶT TP HCM — 2016 68 / 78 Tích phân mặt loại hai TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) Cơng thức Stokes TÍCH PHÂN MẶT TP HCM — 2016 69 / 78 Tích phân mặt loại hai Công thức Stokes P(x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz = C cos α cos β cos γ ∂ ∂ ∂ dS ∂x ∂y ∂z P Q R = S = S ∂P ∂R ∂R ∂Q − cos α + − cos β+ ∂y ∂z ∂z ∂x + TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ∂Q ∂P − cos γ dS ∂x ∂y TÍCH PHÂN MẶT TP HCM — 2016 70 / 78 Tích phân mặt loại hai Cơng thức Stokes VÍ DỤ 2.6 Dùng cơng thức Stokes tính tích phân I= C 3ydx + 3xdy + 3xdz, C đường giao tuyến x2 + y = với mặt z = lấy theo ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ phía dương trục Oz TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN MẶT TP HCM — 2016 71 / 78 Tích phân mặt loại hai TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) Cơng thức Stokes TÍCH PHÂN MẶT TP HCM — 2016 72 / 78 Tích phân mặt loại hai Cơng thức Stokes Vì hướng đường cong C ngược chiều kim đồng hồ nên hướng pháp véc tơ đơn vị với mặt cong S : z = hướng lên phía Pháp véc tơ đơn vị với mặt cong S − → n = (0, 0, 1) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN MẶT TP HCM — 2016 73 / 78 Tích phân mặt loại hai Cơng thức Stokes Vì hướng đường cong C ngược chiều kim đồng hồ nên hướng pháp véc tơ đơn vị với mặt cong S : z = hướng lên phía Pháp véc tơ đơn vị với mặt cong S − → n = (0, 0, 1) Theo công thức Stokes, ta có I= (0 − 0) dydz + (0 − 3) dzdx + (3 − 3) dxdy = S dzdx = = −3 S TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN MẶT TP HCM — 2016 73 / 78 Tích phân mặt loại hai Cơng thức Stokes VÍ DỤ 2.7 Dùng cơng thức Stokes tính tích phân I= C 2ydx − xdy + xdz, C đường giao tuyến x2 + y = với mặt z = y + lấy theo ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ phía dương trục Oz TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN MẶT TP HCM — 2016 74 / 78 Tích phân mặt loại hai TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) Công thức Stokes TÍCH PHÂN MẶT TP HCM — 2016 75 / 78 Tích phân mặt loại hai Cơng thức Stokes Vì hướng đường cong C ngược chiều kim đồng hồ nên hướng pháp véc tơ đơn vị với mặt cong S : z − y − = hướng lên phía Do đó, pháp véc tơ đơn vị với mặt cong S 1 → − → − , = (cos α, cos β, cos γ) n n = 0, − 2 vuông góc với tia Ox TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN MẶT TP HCM — 2016 76 / 78 Tích phân mặt loại hai Cơng thức Stokes Theo cơng thức Stokes, ta có (0 − 0) dydz + (0 − 1) dzdx + (−1 − 2) dxdy = I= S TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN MẶT TP HCM — 2016 77 / 78 Tích phân mặt loại hai Công thức Stokes Theo công thức Stokes, ta có (0 − 0) dydz + (0 − 1) dzdx + (−1 − 2) dxdy = I= S cos β + cos γ dS = (dzdx + 3dxdy) = − =− S S =− TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) S − + TÍCH PHÂN MẶT dS = TP HCM — 2016 77 / 78 Tích phân mặt loại hai Cơng thức Stokes Theo cơng thức Stokes, ta có (0 − 0) dydz + (0 − 1) dzdx + (−1 − 2) dxdy = I= S cos β + cos γ dS = (dzdx + 3dxdy) = − =− S S =− =− =− S − Dxy + dS = + (zx )2 + (zy )2 dxdy = + 02 + 12 dxdy = −2 Dxy TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) dxdy = −2π Dxy TÍCH PHÂN MẶT TP HCM — 2016 77 / 78 Tích phân mặt loại hai Công thức Stokes CÁM ƠN CÁC EM ĐÃ CHÚ Ý LẮNG NGHE TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN MẶT TP HCM — 2016 78 / 78 ... học tích phân mặt loại TÍNH DIỆN TÍCH CỦA MẶT CONG S Diện tích mặt cong = 1dS S TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN MẶT TP HCM — 2016 26 / 78 Tích phân mặt loại Ứng dụng hình học tích phân mặt. .. (BK TPHCM) TÍCH PHÂN MẶT TP HCM — 2016 / 78 Tích phân mặt loại Định nghĩa TÍCH PHÂN MẶT LOẠI MỘT ĐỊNH NGHĨA 1.1 Tích phân mặt loại tích phân có dạng f (x, y, z)dS, S S mặt cong lấy tích phân,...NỘI DUNG TÍCH PHÂN MẶT LOẠI MỘT TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN MẶT TP HCM — 2016 / 78 NỘI DUNG TÍCH PHÂN MẶT LOẠI MỘT TÍCH PHÂN MẶT LOẠI HAI TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN MẶT TP HCM