Đang tải... (xem toàn văn)
tài liệu uy tín được biên soạn bởi giảng viên đại học Bách Khoa TPHCM, thuận lợi cho qua trình tự học, nghiên cứu bổ sung kiến thức môn toán cao cấp 1, toán cao cấp hai, tích phân vi phân ôn thi học sinh giỏi, luyện thi đại học, ôn thi vào lớp 10, ôn thi trường chuyên môn toán, sắc xuất thống kê, các môn học tài chính, kế toán, ngân hàng, toán cao cấp, Tài liệu được kiểm duyệt bởi giảng viên, phòng đào tạo trường đại học bách khoa, lưu hành nội bộ
GIẢI ĐỀ KIỂM TRA TOÁN LẦN NGÀY 07 THÁNG 04 NĂM 2016 TS Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, mơn Tốn ứng dụng Email: ytkadai@hcmut.edu.vn TP HCM — 2016 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI ĐỀ KIỂM TRA TOÁN LẦN TP HCM — 2016 / 28 Đề kiểm tra BÀI TẬP 1.1 Tính tích phân Giải sin x cos xdx a2 sin2 x + b2 cos2 x sin x cos xdx a2 sin2 x + b2 cos2 x = a − b2 = a2 − b2 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) = d(a2 sin2 x + b2 cos2 x) a2 sin2 x + b2 cos2 x a2 sin2 x + b2 cos2 x, GIẢI ĐỀ KIỂM TRA TOÁN LẦN · = a2 = b2 TP HCM — 2016 / 28 Đề kiểm tra BÀI TẬP 1.2 Tính tích phân − sin 2xdx Giải Ta có − sin 2x = (cos x − sin x)2 = = | cos x − sin x| = (cos x − sin x)sgn(cos x − sin x) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI ĐỀ KIỂM TRA TOÁN LẦN TP HCM — 2016 / 28 Đề kiểm tra I(x) = = − sin 2xdx = π π −(sin x + cos x) + C−1 , − 2π x < − π, 4 π π sin x + cos x + C0 , − π x < , π π −(sin x + cos x) + C1 , x < + π, 4 π π (−1)n (sin x + cos x) + Cn , + (n − 1)π x < + nπ, 4 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI ĐỀ KIỂM TRA TOÁN LẦN TP HCM — 2016 / 28 Đề kiểm tra Do nguyên hàm hàm liên tục nên I π + kπ = lim I(x), − x→( π4 +kπ) k∈Z ⇒ (−1)k+1 (sin xk + cos xk ) + Ck+1 = π = lim− (−1)k (sin x+cos x)+Ck , xk = +kπ, k ∈ Z x→xk Từ đó, ta có − + C1 = + C0 ⇒ C1 = 2 + C0 Tương tự, C2 = 2 + C1 = × 2 + C0 , Quy nạp ta Cn = 2n + C0 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI ĐỀ KIỂM TRA TOÁN LẦN TP HCM — 2016 / 28 Đề kiểm tra Từ π + (n − 1)π n x< x − π4 + π π π + nπ ta có < n+1 ⇒ n = x − π4 + π π Vậy I(x) = (−1) +2 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) x− π +π π (sin x + cos x)+ x − π4 + π π GIẢI ĐỀ KIỂM TRA TOÁN LẦN + C TP HCM — 2016 / 28 Đề kiểm tra BÀI TẬP 1.3 Cho f (x) hàm đơn điệu, liên tục f −1(x) hàm ngược hàm f (x) Chứng minh rằng, f (x)dx = F(x) + C f −1 (x)dx = xf −1 (x) − F(f −1 (x)) + C Giải Ta có x = f (f −1 (x)) = F (f −1 (x)) ⇒ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) xd(f −1 (x)) = F(f −1 (x)) + C GIẢI ĐỀ KIỂM TRA TOÁN LẦN TP HCM — 2016 / 28 Đề kiểm tra Áp dụng cơng thức tích phân phần ta xd(f −1 (x)) = xf −1 (x)− f −1 (x)dx = F(f −1 (x))+C ⇒ f −1 (x)dx = xf −1 (x) − F(f −1 (x)) + C TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI ĐỀ KIỂM TRA TOÁN LẦN TP HCM — 2016 / 28 Đề kiểm tra BÀI TẬP 1.4 Tính tích phân 1+x− 0.5 x Giải Đặt t = x + ⇒ < t x+ e x dx x 2.5 Ứng với giá trị t ∈ (2, 2.5] ta tìm giá trị x đoạn [0.5, 1] [1, 2] Do I = I1 + I2 với I1 = 0.5 1 + x − ex+ x dx, I2 = x TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI ĐỀ KIỂM TRA TOÁN LẦN 1+x− 1 x+ e x dx x TP HCM — 2016 / 28 Đề kiểm tra Với x ∈ [0.5, 1] từ t − t2 − 1 ⇒ dx = − t =x+ ⇒x = x 2 I1 = 2 2.5 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) et − t t2 − +t − GIẢI ĐỀ KIỂM TRA TOÁN LẦN t t2 − t − dt TP HCM — 2016 10 / 28 Đề kiểm tra 200π I= 200π − cos 2xdx = | sin x|dx 0 Vì hàm f (x) = | sin x| tuần hồn với chu kỳ T = π nên π sin xdx = 400 I = 200 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI ĐỀ KIỂM TRA TOÁN LẦN TP HCM — 2016 14 / 28 Đề kiểm tra BÀI TẬP 1.6 Khảo sát hội tụ tích phân π/2 ln(sin x) x dx Giải Tích phân suy rộng loại II với điểm kỳ dị x = So sánh hàm < λ < TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ln(sin x) x GIẢI ĐỀ KIỂM TRA TOÁN LẦN với , chọn xλ TP HCM — 2016 15 / 28 Đề kiểm tra lim+ ln(sin x) x→0 L Hospital = x : ln(sin x) = lim xλ x→0+ x1/2−λ cot x x1/2+λ = lim = lim+ x→0+ (1/2 − λ) x−1/2−λ x→0 (1/2 − λ) tan x x1/2+λ x−1/2+λ = lim+ =0 = lim+ x→0 (1/2 − λ) x x→0 (1/2 − λ) π/2 dx Mặt khác, hội tụ λ < Do đó, tích λ x phân cho hội tụ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI ĐỀ KIỂM TRA TOÁN LẦN TP HCM — 2016 16 / 28 Đề kiểm tra BÀI TẬP 1.7 Tìm thể tích vật thể tròn xoay quay miền phẳng giới hạn y = − x2, đoạn thẳng [−2, 0] trục Ox đường thẳng y = 3x, y quanh trục Ox TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI ĐỀ KIỂM TRA TOÁN LẦN TP HCM — 2016 17 / 28 Đề kiểm tra Giải Gọi V1 thể tích vật thể tròn xoay quay miền phẳng ABCD quanh trục Ox V2 thể tích vật thể tròn xoay quay tam giác OCD quanh trục Ox Khi đó, thể tích cần tìm V = V1 − V2 V1 = π (4 − x2 )2 = −2 V2 = π 153π · (3x)2 = 3π Vậy V = V1 − V2 = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) 138π · GIẢI ĐỀ KIỂM TRA TOÁN LẦN TP HCM — 2016 18 / 28 Đề kiểm tra BÀI TẬP 1.8 Tính chu vi miền phẳng giới hạn x2 + y = 2, y y = |x| Giải TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI ĐỀ KIỂM TRA TOÁN LẦN TP HCM — 2016 19 / 28 Đề kiểm tra Cung AB nửa đường tròn x2 + y = 2, y xác định sau: y= − x2 , −1 x Do đó, độ dài cung AB L1 = dx = − x2 −1 x π arcsin = · −1 1+y −1 = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) dx = GIẢI ĐỀ KIỂM TRA TOÁN LẦN TP HCM — 2016 20 / 28 Đề kiểm tra Độ dài cung OA OB chúng đối xứng qua trục Oy Cung OB xác định sau: x = y2, y Độ dài cung OB 1 1+x L2 = dy 0 y2 + =2 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) + 4y dy = = dy = y y2 + 1 + ln y+ y + 4 GIẢI ĐỀ KIỂM TRA TOÁN LẦN TP HCM — 2016 21 / 28 = Đề kiểm tra L2 = + ln(2 + 5) Vậy chu vi cần tìm L1 + 2L2 = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) π + + ln(2 + 5) 2 GIẢI ĐỀ KIỂM TRA TOÁN LẦN TP HCM — 2016 22 / 28 Đề kiểm tra BÀI TẬP 1.9 Tính diện tích bề mặt tròn xoay quay cung 2y = x2 − 1, x 2 quanh trục Ox Giải Diện tích bề mặt tròn xoay cần tìm 2 S = 2π |y(x)| + y (x)dx = 2 = 2π TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) x2 − + x2 dx = GIẢI ĐỀ KIỂM TRA TOÁN LẦN TP HCM — 2016 23 / 28 Đề kiểm tra S=π |x −1| 2 + x2 dx+π |x2 −1| + x2 dx = 1 (x −1) = −π 2 + x2 dx+π (x2 −1) + x2 dx Đặt x = sinh t ⇒ dx = cosh tdt Khi (x2 − 1) = + x2 dx = (sinh2 t − 1) (sinh2 t − 1) cosh2 tdt = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) + sinh2 x cosh tdt = sinh2 2t − cosh2 t dt = GIẢI ĐỀ KIỂM TRA TOÁN LẦN TP HCM — 2016 24 / 28 Đề kiểm tra − cosh 4t + cosh 2t − dt = 3t sinh 4t sinh 2t =− − − + C 32 Từ đó, ta có S = 10π = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI ĐỀ KIỂM TRA TOÁN LẦN TP HCM — 2016 25 / 28 Đề kiểm tra BÀI TẬP 1.10 x2 y Vẽ tiếp tuyến với ellip + = điểm a b a b C , Tính diện tích tam giác cong 2 ABC TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI ĐỀ KIỂM TRA TOÁN LẦN TP HCM — 2016 26 / 28 Đề kiểm tra Giải Tam giác cong ABC xác định sau: a y2 1− b y b x a 2− y b Do đó, diện tích tam giác cong ABC b 3/2 S= TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) a − y − a b GIẢI ĐỀ KIỂM TRA TOÁN LẦN y2 − dy = b TP HCM — 2016 27 / 28 Đề kiểm tra b 3/2 3a y S = 2ay − · b b y y y ab − arcsin + 1− 2 b b b 3/2 = = π (3 − π)ab ab = ab − + · 8 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI ĐỀ KIỂM TRA TOÁN LẦN TP HCM — 2016 28 / 28