đề thi toán cao cấp tích phân

tài liệu uy tín được biên soạn bởi giảng viên đại học Bách Khoa TPHCM, thuận lợi cho qua trình tự học, nghiên cứu bổ sung kiến thức môn toán cao cấp 1, toán cao cấp hai, tích phân vi phân ôn thi học sinh giỏi, luyện thi đại học, ôn thi vào lớp 10, ôn thi trường chuyên môn toán, sắc xuất thống kê, các môn học tài chính, kế toán, ngân hàng, toán cao cấp, Tài liệu được kiểm duyệt bởi giảng viên, phòng đào tạo trường đại học bách khoa, lưu hành nội bộ

GIẢI ĐỀ ƠN TẬP TỐN Ngày 16 tháng 06 năm 2015 TS Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, môn Toán ứng dụng Email: ytkadai@hcmut.edu.vn TP HCM — 2015 TS Lê Xn Đại (BK TPHCM) GIẢI ĐỀ ƠN TẬP TỐN TP HCM — 2015 / 47 Câu Tính tích phân sau: 3x − x 3dx +∞ dx x + 4x + −∞ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI ĐỀ ÔN TẬP TOÁN TP HCM — 2015 / 47 I = 3x − x dx Đây tích phân Trê-bư-xếp với m+1 + p = Đặt m = , n = 2, p = ⇒ 3 n − x2 = t ⇒ 3x −2 − = t ⇒ −2x −3 dx = t dt Khi x2 I =− = x 3x td TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) −2 −1 t3 + 1/3 (−2x = −3 )dx = − 3t − 2(t + 1) GIẢI ĐỀ ƠN TẬP TỐN t dt = (t + 1)2 dt t3 + TP HCM — 2015 / 47 Do dt (t + 1)2 2t − √ √ = ln + arctan t +1 t −t +1 3 nên I = √ 3t (t + 1) 2t − √ , − ln − arctan 2(t + 1) t − t + với t = 3 − x2 x2 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI ĐỀ ÔN TẬP TOÁN TP HCM — 2015 / 47 +∞ dx x + 4x + I = −∞ +∞ I = −∞ d (x + 2) (x + 2) √ √ = arctan (x + 2)2 + 5 +∞ = −∞ π π π =√ + =√ 2 TS Lê Xn Đại (BK TPHCM) GIẢI ĐỀ ƠN TẬP TỐN TP HCM — 2015 / 47 Câu +∞ un , với Khảo sát hội tụ chuỗi n=1 1/n√ xdx + x2 un = x 2n Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa n=1 2n + +∞ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI ĐỀ ƠN TẬP TỐN TP HCM — 2015 / 47 1/n√ +∞ Khảo sát hội tụ chuỗi xdx + x2 un , với un = n=1 √ Tìm GTLN, GTNN hàm số f (x) = x + x2 đoạn [0, 1/n] 1 − 3x √ = ⇔ x = f (x) = √ x(1 + x 2)2 √ √ n n = Với n > ta fmax = f n n +1 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI ĐỀ ƠN TẬP TỐN TP HCM — 2015 / 47 Do 1/n√ √ n n n2 + xdx + x2 un = Ngoài +∞ 3/2 n=1 n √ n n dx = n +1 n 1/n √ n n n2 + n n→+∞ ∼ n3/2 +∞ un hội tụ hội tụ nên TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) n=1 GIẢI ĐỀ ƠN TẬP TỐN TP HCM — 2015 / 47 x 2n Tìm miền hội tụ chuỗi lũy thừa n=1 2n + +∞ Đặt X = x an = Xn , với n=1 2n + +∞ Khi ta có chuỗi Do đó, 2n + 1 2n + n→+∞ |an+1 | = −→ = ρ ⇒ R = = |an | 2n + ρ +∞ phân kỳ theo tiêu chuẩn n=1 2n + +∞ X n so sánh với chuỗi Vậy miền hội tụ chuỗi n=1 2n cho X < ⇔ −1 < x < Tại X = ta có chuỗi TS Lê Xn Đại (BK TPHCM) GIẢI ĐỀ ƠN TẬP TỐN TP HCM — 2015 / 47 Câu Tính tổng chuỗi +∞ cos nx (−1)n , x ∈ (−π, π] n −1 n=2 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI ĐỀ ƠN TẬP TỐN TP HCM — 2015 10 / 47 +∞ x ln x dx + x3 I = Đặt x = t 1/3 ⇒ dx = t −2/3dt Khi đó, +∞ t I = 1/3 1/3 ln t 1+t +∞ 0 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) t −1/3 ln t dt 1+t −2/3 t dt = GIẢI ĐỀ ƠN TẬP TỐN TP HCM — 2015 33 / 47 +∞ t a−1 ln t dt Ta có 1+t Đặt J(a) = +∞ d da +∞ a−1 t a−1 ln t dt = J(a) 1+t t dt = 1+t 0 Hàm beta x a−1 (1 − x)b−1 dx, B(a, b) = x Đặt y = ta 1−x +∞ B(a, b) = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) y a−1 dy (1 + y )a+b GIẢI ĐỀ ƠN TẬP TỐN TP HCM — 2015 34 / 47 +∞ B(a, 1−a) = π y a−1 dy = , (0 < a < 1) 1+y sin πa Do đó, d d π π cos aπ J(a) = B(a, 1−a) = =− da da sin πa sin2 aπ 1 π cos 2π/3 2π Vậy I = J(2/3) = − = 9 sin2 2π/3 27 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI ĐỀ ÔN TẬP TOÁN TP HCM — 2015 35 / 47 Câu sin y − 2e −x sin x, y cos y + 2e −x cos x Q(x, y ) = Tìm hàm h(x, y ) = yg (x), y g (0) = cho biểu thức h(x, y )P(x, y )dx + h(x, y )Q(x, y )dy vi phân toàn phần hàm u(x, y ) Với h(x, y ) vừa tìm, tính tích Cho P(x, y ) = phân I = [h(x, y )P(x, y )dx + h(x, y )Q(x, y )dy ], C C phần đường cong: cos x + sin y + = theo π chiều từ điểm A , π đến B(π, 2π) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI ĐỀ ÔN TẬP TOÁN TP HCM — 2015 36 / 47 Để biểu thức h(x, y )P(x, y )dx + h(x, y )Q(x, y )dy vi phân toàn phần hàm u(x, y ) [h(x, y )Q(x, y )]x = [h(x, y )P(x, y )]y ⇔ [yg (x)Q(x, y )]x = [yg (x)P(x, y )]y ⇒ yg (x)Q(x, y ) + yg (x).Qx = g (x)P(x, y ) + g (x)y Py sin y − 2e −x sin x y −2e −x cos x − 2e −x sin x y cos y − sin y +y − y y2 y ⇒ g (x) (cos y + 2e −x cos x) = g (x) ⇒ g (x) = g (x) ⇒ g (x) = e x+C Với điều kiện g (0) = ⇒ g (x) = e x ⇒ h(x, y ) = ye x TS Lê Xn Đại (BK TPHCM) GIẢI ĐỀ ƠN TẬP TỐN TP HCM — 2015 37 / 47 Áp dụng cơng thức tính tích phân khơng phụ thuộc vào đường đi, ta có I = [h(x, y )P(x, y )dx + h(x, y )Q(x, y )dy ] = C π = 2π [h(x, π)P(x, π)dx] + π/3 [h(π, y )Q(π, y )dy ] = π π 2π π.e x (−2e −x sin x)dx + = π/3 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ye π cos y − 2e −π dy y π GIẢI ĐỀ ƠN TẬP TỐN TP HCM — 2015 38 / 47 π = −2π π/3 2π (e π cos y − 2)dy = sin xdx + π = −2π [− cos x]ππ/3 + [e π sin y − 2y ]2π π = = −3π − 2π = −5π TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI ĐỀ ƠN TẬP TỐN TP HCM — 2015 39 / 47 Câu Tìm hồn lưu trường véc tơ → − → − → − → − F = −y i + x j + z k theo đường cong C giao mặt phẳng y + z = mặt trụ x + y = có hướng chiều kim đồng hồ nhìn từ gốc tọa độ O Hãy kiểm tra kết định lý Stokes TS Lê Xn Đại (BK TPHCM) GIẢI ĐỀ ƠN TẬP TỐN TP HCM — 2015 40 / 47 Cách 1: tham số hóa đường cong C Đường cong C có hướng chiều kim đồng hồ nhìn từ gốc tọa độ O nên có hướng ngược chiều kim đồng hồ đứng đỉnh tia Oz nhìn xuống Do đó, phương trình đường cong C  x = cos t,  y = sin t, t : → 2π  z = − y = − sin t TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI ĐỀ ƠN TẬP TỐN TP HCM — 2015 41 / 47 → − Hoàn lưu trường véc tơ F − y dx + xdy + z dz = I = C 2π − sin2 t(− sin t) + cos t cos t + (2 − sin t)2 (− cos t) dt 2π sin3 t + cos2 t − cos t + sin t cos t − sin2 t cos t dt = = π TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI ĐỀ ƠN TẬP TỐN TP HCM — 2015 42 / 47 Cách 2: Sử dụng định lý Stokes Đường cong C có hướng ngược chiều kim đồng hồ đứng đỉnh tia Oz nhìn xuống nên mặt cong S có pháp véc tơ hướng lên nên pháp véc tơ đơn vị 1 → − n = 0, √ , √ 2 − y dx + xdy + z dz = I = C (0 − 0)dydz + (0 − 0)dzdx + (1 + 2y )dxdy = = S (1 + 2y )dxdy = S TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI ĐỀ ƠN TẬP TỐN TP HCM — 2015 43 / 47 Có cách để tính tích phân mặt loại 2: đưa tích phân mặt loại tính trực tiếp cách chiếu S : z = − y xuống mặt phẳng Oxy (1 + 2y )dxdy = (1 + 2y ) √ dS = Cách 1: I = S S (1 + 2y ) √ + 02 + (−1)2 dxdy = D 2π D 2π = π r 2r + sin ϕ Cách 2: I = dϕ (1 + 2y )dxdy = r =1 (1 + 2r sin ϕ)rdr = 2π dϕ = r =0 + sin ϕ dϕ = (1 + 2y )dxdy = π D TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI ĐỀ ƠN TẬP TỐN TP HCM — 2015 44 / 47 Câu 10 → − Tìm thơng lượng trường véc tơ F = 2y + 3z z + 3x x + 2y , , x2 + y2 + z2 x2 + y2 + z2 x2 + y2 + z2 mặt cong kín S mặt phía ngồi mặt cầu x + y + z = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI ĐỀ ƠN TẬP TỐN TP HCM — 2015 qua 45 / 47 → − Thông lượng trường véc tơ F I = x + 2y S x2 + y2 + z2 dydz + 2y + 3z x2 + y2 + z2 dzdx + z + 3x x2 + y2 + z2 dxdy x + 2y 2y + 3z z + 3x √ dydz + √ dzdx + √ dxdy 4 = S Vì S mặt cong khép kín nên theo cơng thức Gauss-Ostrogradski, ta có I =+ (1 + + 1)dxdydz = Ω TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) 3 dxdydz = π.23 = 16π Ω GIẢI ĐỀ ƠN TẬP TỐN TP HCM — 2015 46 / 47 Cách giải sai → − Thông lượng trường véc tơ F I = x + 2y S x2 + y2 + z2 dydz + 2y + 3z x2 + y2 + z2 dzdx + z + 3x x2 + y2 + z2 dxdy Áp dụng cơng thức Gauss-Ostrogradski lúc khơng được, miền Ω chứa điểm O(0, 0, 0) mà hàm P, Q, R Px , Qy , Rz không liên tục TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI ĐỀ ƠN TẬP TỐN TP HCM — 2015 47 / 47