Đang tải... (xem toàn văn)
tài liệu uy tín được biên soạn bởi giảng viên đại học Bách Khoa TPHCM, thuận lợi cho qua trình tự học, nghiên cứu bổ sung kiến thức môn toán cao cấp 1, toán cao cấp hai, tích phân vi phân ôn thi học sinh giỏi, luyện thi đại học, ôn thi vào lớp 10, ôn thi trường chuyên môn toán, sắc xuất thống kê, các môn học tài chính, kế toán, ngân hàng, toán cao cấp, Tài liệu được kiểm duyệt bởi giảng viên, phòng đào tạo trường đại học bách khoa, lưu hành nội bộ
CHUỖI SỐ TS Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, môn Toán ứng dụng Email: ytkadai@hcmut.edu.vn TP HCM — 2016 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHUỖI SỐ TP HCM — 2016 / 64 NỘI DUNG KHÁI NIỆM CHUỖI SỐ CHUỖI KHƠNG ÂM CHUỖI CĨ DẤU TÙY Ý SƠ ĐỒ KHẢO SÁT SỰ HỘI TỤ CỦA CHUỖI DẤU HIỆU ABEL, DIRICHLET TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHUỖI SỐ TP HCM — 2016 / 64 Khái niệm chuỗi số Định nghĩa ĐỊNH NGHĨA 1.1 Biểu thức có dạng a0 + a1 + a2 + + an + , với số thực, i = 0, 1, 2, , n, gọi chuỗi số thực Ký hiệu +∞ n=0 an Chú ý Những phần tử chuỗi đánh số từ số n0 ∈ N Khi +∞ n=n0 an TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHUỖI SỐ TP HCM — 2016 / 64 Khái niệm chuỗi số Định nghĩa ĐỊNH NGHĨA 1.2 Tổng Sn = n k=0 ak = a0 + a1 + a2 + + an gọi tổng riêng chuỗi số thực +∞ n=0 an ĐỊNH NGHĨA 1.3 Chuỗi số thực +∞ n=0 an gọi hội tụ, tồn giới hạn hữu hạn S dãy số Sn gọi tổng chuỗi số +∞ n=0 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) +∞ n=1 Khi đó, S an CHUỖI SỐ TP HCM — 2016 / 64 Khái niệm chuỗi số Định nghĩa VÍ DỤ 1.1 Khảo sát hội tụ chuỗi số +∞ 1 1 1+ + + + n + = · n 2 n=0 1 1 − 2n+1 1 − Sn = + + + + n = = 2 2n+1 − 21 lim Sn = lim − n→+∞ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) n→+∞ CHUỖI SỐ 2n+1 = TP HCM — 2016 / 64 Khái niệm chuỗi số Định nghĩa ĐỊNH NGHĨA 1.4 Chuỗi số +∞ n=0 an gọi phân kỳ, dãy +∞ khơng có giới hạn tổng riêng Sn n=1 hữu hạn n → +∞, có nghĩa giới hạn khơng tồn vơ VÍ DỤ 1.2 Khảo sát hội tụ chuỗi số +∞ n=0 qn , q ∈ R Nếu chuỗi hội tụ tính tổng TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHUỖI SỐ TP HCM — 2016 / 64 Khái niệm chuỗi số Định nghĩa n+1 1−q , q=1 Sn = + q + q2 + + qn = 1−q n + 1, q = 1 − qn+1 = n→∞ n→∞ − q , |q| < n+1 q lim − = 1−q n→∞ − q 1−q ∞, |q| > 1 Khi |q| = lim Sn = lim Khi q = lim Sn = lim n + = ∞ n→∞ n→∞ Khi q = −1 lim S2k+1 = 0, lim S2k = k→∞ k→∞ ∞ Khi |q| < tổng chuỗi TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHUỖI SỐ n=0 qn = 1−q TP HCM — 2016 / 64 Khái niệm chuỗi số Định nghĩa VÍ DỤ 1.3 Tìm tổng chuỗi Sn = n=1 n(n + 1) +∞ 1 + + + · 1.2 2.3 n(n + 1) 1 = − , n(n + 1) n n + Sn = n ∈ N 1 1 1 − + − + + − = 1− · 2 n n+1 n+1 lim Sn = lim − n→∞ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) n→∞ CHUỖI SỐ = n+1 TP HCM — 2016 / 64 Khái niệm chuỗi số Điều kiện cần để chuỗi hội tụ ĐỊNH LÝ 1.1 Nếu chuỗi +∞ n=1 an hội tụ lim an = Chứng minh n→+∞ +∞ n=1 an hội tụ ⇔ lim Sn = S n→+∞ lim an = lim (Sn − Sn−1 ) = n→+∞ n→+∞ = lim Sn − lim Sn−1 = S − S = n→+∞ n→+∞ Chú ý Điều kiện lim an = điều kiện n→+∞ đủ để chuỗi +∞ n=1 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) an hội tụ CHUỖI SỐ TP HCM — 2016 / 64 Khái niệm chuỗi số Điều kiện cần để chuỗi hội tụ VÍ DỤ 1.4 Khảo sát hội tụ chuỗi +∞ n=1 n Điều kiện cần thỏa mãn: lim an = lim n→+∞ n→+∞ n = Tuy nhiên chuỗi phân kỳ Sn = + lim Sn lim n→+∞ Vậy chuỗi +∞ n=1 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) + + n→+∞ n n n· n = n, n ∈ N n = +∞ ⇒ lim Sn = +∞ n→+∞ phân kỳ CHUỖI SỐ TP HCM — 2016 10 / 64 Chuỗi có dấu tùy ý Chuỗi đan dấu Tiêu chuẩn Leibniz VÍ DỤ 3.2 Khảo sát hội tụ chuỗi +∞ (−1)n+1 n=1 Ta có an = ⇒ f (x) = ln n n − ln x 2x x lim an = n→+∞ , f (x) = Dãy an Vậy +∞ n=1 +∞ n=8 ln n n ln x x < 0, ∀x > e2 dãy giảm (−1)n+1 an hội tụ theo Leibniz TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHUỖI SỐ TP HCM — 2016 50 / 64 Sơ đồ khảo sát hội tụ chuỗi TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHUỖI SỐ TP HCM — 2016 51 / 64 Sơ đồ khảo sát hội tụ chuỗi VÍ DỤ 4.1 Khảo sát hội tụ chuỗi +∞ (−1)n+1 n=1 (−1)n+1 +∞ n n=1 Chuỗi +∞ n=1 +∞ n=1 n+1 (−1) n n +∞ = n=1 n n +∞ = 1/2 n=1 n phân kỳ Do đó, chuỗi cho khơng hội tụ tuyệt đối TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHUỖI SỐ TP HCM — 2016 52 / 64 Sơ đồ khảo sát hội tụ chuỗi Nhưng lim (−1)n+1 n→∞ n = lim n→∞ n = 0, có nghĩa điều kiện cần để chuỗi hội tụ thỏa mãn Chuỗi cho có dạng an = n=1 n an (−1)n+1 an , với Do đó, chuỗi cho chuỗi đan dấu có ∞ +∞ n=1 dãy giảm lim an = n→∞ Chuỗi +∞ n=1 (−1)n+1 an hội tụ theo Leibniz TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHUỖI SỐ TP HCM — 2016 53 / 64 Sơ đồ khảo sát hội tụ chuỗi VÍ DỤ 4.2 Khảo sát hội tụ chuỗi +∞ n=1 +∞ n=1 Chuỗi +∞ n=1 n − n+1 n n+1 n +∞ n = n=1 n − n+1 n n+1 n n phân kỳ không thỏa mãn điều kiện cần để chuỗi hội tụ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHUỖI SỐ TP HCM — 2016 54 / 64 Sơ đồ khảo sát hội tụ chuỗi n lim − n→∞ n+1 = lim − n→∞ n+1 n n = lim n→∞ n + −n −(n+1) n+1 Như vậy, chuỗi cho +∞ n=1 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHUỖI SỐ n = = e−1 = n − n+1 n = e phân kỳ TP HCM — 2016 55 / 64 Sơ đồ khảo sát hội tụ chuỗi VÍ DỤ 4.3 Khảo sát hội tụ chuỗi +∞ n=1 +∞ − 2n + n=1 Chuỗi +∞ n=1 Cauchy 2n + TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) n +∞ = n=1 − 2n + 2n + n n n hội tụ theo tiêu chuẩn CHUỖI SỐ TP HCM — 2016 56 / 64 Sơ đồ khảo sát hội tụ chuỗi lim n→∞ n 2n + n = lim n→∞ Như vậy, chuỗi cho +∞ n=1 = < 2n + − 2n + n hội tụ tuyệt đối nên hội tụ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHUỖI SỐ TP HCM — 2016 57 / 64 Dấu hiệu Abel, Dirichlet Dấu hiệu Abel-Dirichlet DẤU HIỆU ABEL-DIRICHLET ĐỊNH LÝ 5.1 Cho chuỗi +∞ n=1 bn an bn thỏa: bn+1 , n > n0 lim bn = n→+∞ Tồn ∃M > : Khi chuỗi +∞ n=1 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) n ak k=1 M, n ∈ N an bn hội tụ CHUỖI SỐ TP HCM — 2016 58 / 64 Dấu hiệu Abel, Dirichlet Dấu hiệu Abel DẤU HIỆU ABEL ĐỊNH LÝ 5.2 Cho chuỗi +∞ n=1 +∞ n=1 an bn thỏa: an hội tụ, bn +∞ n=1 đơn điệu bị chặn Khi chuỗi +∞ n=1 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) an bn hội tụ CHUỖI SỐ TP HCM — 2016 59 / 64 Dấu hiệu Abel, Dirichlet Dấu hiệu Abel VÍ DỤ 5.1 Chứng minh rằng, dãy an tăng hội tụ chuỗi +∞ n=1 tụ với α ∈ R ∞ n=1 không an sin nα hội Nếu α = 2mπ, m ∈ Z chuỗi cho hội tụ Cho α = 2mπ, m ∈ Z Chứng minh tồn n ∃M > : sin kα k=1 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) M, n ∈ N CHUỖI SỐ TP HCM — 2016 60 / 64 Dấu hiệu Abel, Dirichlet Đặt Sn = n Dấu hiệu Abel sin kα Khi k=1 α α α α sin Sn = sin sin α + sin sin 2α + + sin sin nα = 2 2 3α 5α α 3α − cos cos − cos + cos + + 2 2 2 (2n − 1)α (2n + 1)α − cos = + cos 2 α (2n + 1)α (n + 1)α nα = cos − cos = sin sin 2 2 = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHUỖI SỐ TP HCM — 2016 61 / 64 Dấu hiệu Abel, Dirichlet Dấu hiệu Abel Do α = 2mπ, m ∈ Z nên sin sin Sn = (n + 1)α nα sin 2 ⇒ |S | n α sin Vậy dãy an chuỗi α = Khi +∞ n=1 ∞ n=1 sin α không tăng hội tụ an sin nα hội tụ theo dấu hiệu Abel-Dirichlet với α ∈ R TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHUỖI SỐ TP HCM — 2016 62 / 64 Dấu hiệu Abel, Dirichlet Dấu hiệu Abel VÍ DỤ 5.2 Khảo sát hội tụ chuỗi sin nα +∞ n n=1 Do +∞ n=1 arctan n sin nα n arctan n nên chuỗi hội tụ, +∞ đơn điệu bị chặn n=1 +∞ sin nα n=1 n arctan n hội tụ theo dấu hiệu Abel với α ∈ R TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHUỖI SỐ TP HCM — 2016 63 / 64 Dấu hiệu Abel, Dirichlet Dấu hiệu Abel CÁM ƠN CÁC EM ĐÃ CHÚ Ý LẮNG NGHE TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) CHUỖI SỐ TP HCM — 2016 64 / 64