DÃY số GIỚI hạn dãy số (TOÁN CAO cấp SLIDE) (chữ biến dạng do slide dùng font VNI times, tải về xem bình thường)

BỘ MƠN TỐN ỨNG DỤNG TOÁN – HỌC KỲ BÀI 1: DÃY SỐ GIỚI HẠN DÃY SỐ NOÄI DUNG 1- KHÁI NIỆM DÃY SỐTĂNG, GIẢM, BỊ CHẶN, 2- DÃY DÃY CON 3- GIỚI HẠN DÃY SỐ 4- TÍNH CHẤT GIỚI HẠN 5- TIÊU CHUẨN WEIRSTRASS: DÃY ĐƠN ĐIỆU, BỊ CHẶN 6- GIỚI HẠN KẸP KHÁI NIỆM GIỚI HẠN (PHỔ THÔNG – ĐẠI HỌC) Giới hạn: Khái niệm Giải tích “Không có giới hạn giải tích không tồn Mỗi khái niệm giải tích giới hạn theo nghóa Đạo hàm (theo định nghóa): đó” giới ∆yhình / ∆x học: Hsgóc tiếp tuyến = Ứng hạn dụng lim Hsgóc Ứng dụngdây vậtcung lý: Vận tốc tức thời = lim trung bình ĐộVận dàitốc đường cong = lim độ dài đường gấp khúc nội tiếp Diện tích hình thang cong (tích phân) = lim S hình chữ nhật dãy số Giớihạn Giới Giớihạnhàm số  DÃY SỐ THỰC Tập hợp vô hạn số đánh số từ đến ∞ : x1, x2 … xn … ⇒ Dãy số {xn}n ≥ (hoặc từsố đến ∞ : x0,dương:1, x1 … xn …2,→3, {x4n}… VD: Dãy nguyên n ≥Dãy 0) số chẵn: 4, … Câu hỏi:2, Tìm số hạng cuối dãy số? Thông thường, dãy số xác định theo công thức tổng quát dành cho số hạng thứ n n  n   { xn } =   →  , ,   VD:  n + 1n≥1  n +  Dãy xn-1: số n n −1 { xn } = ( − 1) n n≥0 → 0, − 1,  ( − 1) ( n − 1)  hạng thứ n { } { } CÔNG THỨC TỔNG QUÁT – SỐ HẠNG THỨ n 1/ Dãy 1, … …: Hữu hạn giá trị & vôcác hạn số phần tử 2/ Dãy nguyên tố: 1, 2, 3, … : Công thức tổng quát? Có thể xem dãy số {xn} với số hạng tổng quát: xn = f(n) hàm số từ tập VD: nguyên Dãy sốdương N* phương số → R 1, 4, 9, 16 … ⇒ xn = n2 ⇒ f(x) = x2 VD: Tìm số hạng tổng quát (số hạng thứ 1 1dãy n) a / , , ,  b / , − , {x ,n}cn≥/ 11,3:,5, Maple: > n^2 $n = 5; > array( [ [n, n +1 n c / 2n − ÑS a / n b / ( − 1) n +1 n^2]$ n = DÃY TĂNG – GIẢM: ĐƠN ÑIEÄU - {xn} TAÊNG: xn ≤ xn+1 ∀ n ≥ Tổng quát: xn ≤ xn+1 ∀ n ≥1 N0 TỔNG → nên xét HIỆUxn +1 − xn VD: a / xn = + +  + : chứa n 2n − 2x − b / xn = : bthức giống HÀM SỐ → xétf ( x ) = & tính f '! 3n − 3x − {xn} GIAÛM: xn ≥ xn+1 ∀ n ≥ Tổng quát: xn ≥  xn+1 xn +1  ∀ n ≥1 N0 xn = 1 −  1 − , n ≥ : dương,dạng TÍCH → Xét THƯƠNG xn  2  n Dãy {xn} LUÔN tăng LUÔN giảm (từ N0 đó): dãy ĐƠN ĐIỆU DÃY BỊ CHẶN – DAÕY CON - {xn} bò chặn trên: xn ≤ M ∀ n ≥ Tổng quát: ≤ M ∀ dưới: n ≥ N0 xn ≥ m ∀ n ≥ Tổng {xn} bịxnchặn quát: xn ≥ chặn m ∀ n ≥ N0 lẫn dưới: gọi chung Dãy bị bị chặn ⇒ m ≤ xn ≤ M   b /{3n } c / ( − 1) n n a / VD: Xét tính bị chặn  2 n  dãy a/ Bị chặn Trên: 1, Dưới: b/ Dưới: c/ K0 { { } } bị chặn trên, {xn} ⇒ Daõy xn1 , , xnk , , n1 <  < nk <  , lim nk = ∞ VD: k →∞  ,  :↑ &− ,−  :↓ 1  , − , , −  →    Daõy    2    2  Dãy Chú ý: Từ dãy {xn} → Hay xét dãy GIỚI HẠN DÃY SỐ: ĐỊNH NGHĨA “DỄ CHỊU” Lập bảng giá trị dãy số sau Quan nkết luận n n sát rút a / xn = b / yn = ( − 1) n +1 n +1       Nhận xét: n tăng, x đến n   1  9 0  gần y đến gần ± ⇒   n 1  -0 5    Khi n → ∞ : Giaù trị xn ≈ 1, 2  0     ynĐịnh KHÔNG đến gầnchịu”): giá trị nghóa (“dễ 2  -0 5    cụ thể {x nào! Dãy có giới hạn n} 0 9 baèng a ⇔ xn ≈ a n đủ a / b /1 Mánh: n đủ lớn (n sin n + n lim : lớn n →∞ n − n c /1 d / ∞ = 1000) & MTBTúi → GIỚI HẠN DÃY SỐ: ĐỊNH NGHĨA CHẶT CHEÕ Toán học (ngôn x a − ε x N +1 a x N 0a + ε x1000 ngữ ε – N0): xn “rất gần” a, n đủ lớn ⇔ ∀ε > ∃ N0: | xn– a | < ε ∀ n ≥ N0 xn = a : hữu hạn Dãy {xn} hội tụ lim n →∞ ⇔ ∀a ε >⇔0, ∃ N ∈ N : xn − a < ε ∀ n ≥ N veà ⇔ ∀ ε > 0, ∃ N : a − ε ≤ xn ≤ a + ε ∀ n ≥ N Coù ghạn: Hội tụ K0 có ghạn (hoặc lim n = ∞ ):lim phân " Đoán" =1 VD: Xét dãy {n/(n + 1)} a/ n →∞ n + kyø n −1 -2 “Đoán” lim x − ≤ ε = 10 n b/ Với lim vừa đoán & ε = 10 , n +1 -3 10 ⇒ N0 =minh ? c/ Chứng chặt ⇒ n ≥ N0 = ? GIỚI HẠN VÔ CÙNG – DÃY PHÂN KỲ Giới hạn = ± ∞ (vẫn phân kỳ): Không thể |bất xn – ,kỳ a | !∈ N : x > M ∀ n ≥ N lim xn = ∞ ⇔ ∀xét M lớn ∃N n n →∞ lim xn = ∞ ⇔ ∀ M (âm) tuỳý , ∃ N ∈ N : xn < M ∀ n ≥ N n →∞ Định nghóa {xn} phân kỳ: Phủ định (lôgich)∃ amệnh hội ∈ R, ∀ ε >đề ∃ N 0tụ ∈ N : xn − a < ε ∀ n ≥ N Hội tụ: Phân ∀ a ∈ R, ∃ ε > : ∀ N ∈ N ∃ n ≥ N đểxn − a ≥ ε kỳ: Thực tế tìm giới hạn: Ít dùng cách chứng TÍNH CHẤT GIỚI HẠN - lim tổng (hiệu, tích, thương, v.v…) = Tổng (hiệu …lim ) lim ( xn ± yn ) = lim xn ± lim yn n →∞ n →∞ n →∞  ∃ lim xn , lim yn ⇒ lim xn yn = lim xn lim yn ÑK : lim yn ≠ n →∞ n →∞ n →∞ n →∞ n →∞ n →∞  xn = lim xn ÑK : xn ≥ & lim xn ≥ lim n →∞ n →∞ n →∞ ( ( ) ) lim xn = a ⇔ Mọi dãy {xn}lim xnk = a k →∞ → a: Dãy {xn} phân kỳ ⇔ ∃ dãy phân kỳ {xn} hội tụ ∃ hai dãy có lim ≠ VD: Chứng tỏ dãy {xn} = {(– GIỚI HẠN CƠ BẢN Lũy thừa: α > ⇒ lim nα = ∞  n →∞ Haøm  α n =0 α < ⇒ lim n →∞ muõ: a > ⇒ lim a n = ∞  n →∞  n < a < ⇒ lim a =0  n →∞ n 1  n −1 a / lim n = ∞ b / lim n = lim = c / lim = ∞ & lim   = n →∞ n →∞   n →∞ n →∞ n →∞ n 1 1  =2 VD: (Tổng cấp lim 1 + + +  + n  KQ n →∞   −1 soá nhaân) : n +1 − q n lim (1 + q + q +  + q ) Hdaã + q +  + q n = Tổng n →∞ 1− q quát: n: n n a     a lim n n = Soá lim 1 +  = e & lim 1 +  = e Hay n →∞ n →∞  n →∞  n n e: gặp: NGUYÊN TẮC TÍNH GIỚI HẠN Bieán đổi biểu thức cần tính lim giới hạn & thay vào 2n + ⋅ 5n − n lim( n − n − 1) lim n VD: Tính giới lim n →∞ n →∞ n − n →∞ + ⋅ n haïn: 2 2 ( ) 2+0 + lim n 2n + n [2 + n ] n →∞ = lim = = =2 Giaû lim 2 n →∞ n − n →∞ n [1 − n ] − lim (1 n ) − n →∞ i: n ⋅ 5n − n 5n − ( 5) lim n = lim n = n →∞ + ⋅ n n →∞ ( 5) n + 2 [ [ lim( n →∞ ] ] n − ( n − 1) n − n − 1) = lim = lim =0 n →∞ n → ∞ n + n −1 n (1 + − n ) Thực 2n + 2x2 +1 lim → lim : Giới hạn hàm → n →∞ n − x →∞ x − GIỚI HẠN KEÏP Cho daõy {xn}, {ynx}, ≤{zyn}≤ z ∀ n ≥ N  n n n ⇒ ∃ lim yn & lim yn = a  lim x = lim z = a n →∞ n →∞ n→∞ n n→∞ n Hệ a yn = ⇒ lim xn = (hay ≤ xn ≤ yn ∀ n & lim n →∞ n →∞ sử dụng): n! n sin n VD: lim n lim n →∞ n n →∞ n + n sin n n 0≤ ≤ →0 n +1 n +1 n n VD lim n →∞ xn ≤ y n ≤ z n n n! 1⋅ 2 n 0< n = ≤ →0 n n ⋅ n n n n n 1000   ≤  →0 Với n ≥ <     n    2 2000: n + n + + 1 n n n ⋅ n ⋅11 ≤ →1 Coâ ≤ n = n 1000   lim   n →∞  n  TIÊU CHUẨN WEIRSTRASS Chứng minh dãy hội tụ → Hay dùng: Tính đơn điệu & bị chặn Tiêu chuẩn Dãy tăng & chặn Weirstrass: hộigiảm tụ Dãy & chặn hội tụ1  n VD: Chứng minh tồn lim 1 +  n →∞  n giới hạn (số e) n n +1 n 1 1 +  ≤ 1 +  ⇔ n +1 1 +  ≤ + Giải: Dãy       n n + n n +1       taêng: n 1 +  ⋅ ≤ ( + n ) +  + = n ( + n ) + = + n + Bñt   n +1 n +1 n +1  n Côsi: Bị chặn trên: Xem SGK, Đỗ Công TỔNG KẾT - Các kỹ thuật chứng minh dãy hội tụ  Bằng định nghóa: Tìm giá trị a = limxn  Tính Đưa biểu thức theo Giải |xngiới − a| ≤hạn: ε giới x hạn từ phía ⇒ Tính  Chặn n  chất dãy kẹp dãy tăng & chặn Chứng minh (giảm & chặn dưới) Chứng minh dãy phân kỳ: Chỉ dãy có lim khác tối thiểu dãy giới hạn Maple: >limit( …, n=infinity); VD: limit( n/ (n+1), n=infinity) BT: Sách giáo khoa & Bổ sung ... 1- KHÁI NIỆM DÃY SỐTĂNG, GIẢM, BỊ CHẶN, 2- DÃY DÃY CON 3- GIỚI HẠN DÃY SỐ 4- TÍNH CHẤT GIỚI HẠN 5- TIÊU CHUẨN WEIRSTRASS: DÃY ĐƠN ĐIỆU, BỊ CHẶN 6- GIỚI HẠN KẸP KHÁI NIỆM GIỚI HẠN (PHỔ THÔNG... Có thể xem dãy số {xn} với số hạng tổng quát: xn = f(n) hàm số từ tập VD: nguyên Dãy sốdương N* phương số → R 1, 4, 9, 16 … ⇒ xn = n2 ⇒ f(x) = x2 VD: Tìm số hạng tổng quát (số hạng thứ 1 1dãy n)... hợp vô hạn số đánh số từ đến ∞ : x1, x2 … xn … ⇒ Dãy số {xn}n ≥ (hoặc t? ?số đến ∞ : x0,dương:1, x1 … xn …2,→3, {x4n}… VD: Dãy nguyên n ? ?Dãy 0) số chẵn: 4, … Câu hỏi:2, Tìm số hạng cuối dãy số? Thông