Đang tải... (xem toàn văn)
tài liệu uy tín được biên soạn bởi giảng viên đại học Bách Khoa TPHCM, thuận lợi cho qua trình tự học, nghiên cứu bổ sung kiến thức môn toán cao cấp 1, toán cao cấp hai, tích phân vi phân ôn thi học sinh giỏi, luyện thi đại học, ôn thi vào lớp 10, ôn thi trường chuyên môn toán, sắc xuất thống kê, các môn học tài chính, kế toán, ngân hàng, toán cao cấp, Tài liệu được kiểm duyệt bởi giảng viên, phòng đào tạo trường đại học bách khoa, lưu hành nội bộ
GIẢI ĐỀ KIỂM TRA TOÁN LẦN Ngày 12 tháng 06 năm 2015 TS Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, mơn Tốn ứng dụng Email: ytkadai@hcmut.edu.vn TP HCM — 2015 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI ĐỀ KIỂM TRA TOÁN LẦN TP HCM — 2015 / 54 Câu Tìm cực trị hàm số f (x, y ) = (2x + y 2)e x+y TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI ĐỀ KIỂM TRA TOÁN LẦN TP HCM — 2015 / 54 Câu Tìm cực trị hàm số f (x, y ) = (2x + y 2)e x+y Bước Tìm điểm dừng fx = 4xe x+y + (2x + y 2)e x+y = ⇒ 4x = 2y fy = 2ye x+y + (2x + y 2)e x+y = ⇒ e x+2x (4x + 2x + 4x 2) = 0, y = ⇒ P1(0, 0) 4 ⇒ x = − , y = − ⇒ P2 − , − 3 3 x= TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI ĐỀ KIỂM TRA TOÁN LẦN TP HCM — 2015 / 54 Bước Tính đạo hàm riêng cấp fxx = 4e x+y + 4xe x+y + 4xe x+y + (2x + y 2)e x+y fxy = 4xe x+y + 2ye x+y + (2x + y 2)e x+y fyy = 2e x+y + 2ye x+y + 2ye x+y + (2x + y 2)e x+y Bước Kết luận Tại P1(0, 0) A = 4, B = 0, C = 2, ∆ = AC − B = Vậy P1 điểm cực tiểu 4 Tại P2 − , − A = e −2, B = − e −2, 3 3 C = − e −2, ∆ = AC − B = −8e −4 Vậy P2 không điểm cực trị TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI ĐỀ KIỂM TRA TOÁN LẦN TP HCM — 2015 / 54 Câu Tìm cực trị hàm số f (x, y ) = − 5x − 4y với điều kiện x + y = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI ĐỀ KIỂM TRA TOÁN LẦN TP HCM — 2015 / 54 Câu Tìm cực trị hàm số f (x, y ) = − 5x − 4y với điều kiện x + y = Tìm điểm dừng hàm Lagrange L(x, y , λ) = f (x, y ) + λ.ϕ(x, y ) Lx (x, y , λ) = −5 + 2xλ = (1) L (x, y , λ) = −4 + 2y λ = (2) y ϕ(x, y ) = x + y − = (3) Từ (1), λ = (1) vơ lý Do đó, λ = x = 2λ Từ (2) ta có y = 2λ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI ĐỀ KIỂM TRA TOÁN LẦN TP HCM — 2015 / 54 Thay x, y vào phương trình (3), ta √ 41 25 16 + = ⇒ λ = ± 4λ2 4λ2 √ 41 ứng với λ = ⇒ điểm dừng P1 √ , √ 41 41 √ 41 ứng với λ = − P2 − √ , − √ 41 41 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI ĐỀ KIỂM TRA TOÁN LẦN TP HCM — 2015 / 54 √ 41 ứng với λ = Tại P1 √ , √ ta có 41 41√ √ 41 41 4 = Lxx √ , √ , dx + d L √ ,√ , 2 41 41 41 41 √ √ 41 41 2Lxy √ , √ , dxdy + Lyy √ , √ , dy = 2 41 41 41 41 √ 2 2 2λdx + 2λdy = 41(dx + dy ) > Do P1 hàm f (x, y ) đạt cực tiểu có điều kiện TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI ĐỀ KIỂM TRA TOÁN LẦN TP HCM — 2015 / 54 √ 41 Tại P2 − √ , − √ ứng với λ = − ta có 41 41 √ √ 4 41 41 d L −√ , −√ , − = Lxx − √ , − √ , − dx + 2 41 41 41 41 √ 41 dxdy + 2Lxy − √ , − √ , − 41 41 √ 41 Lyy − √ , − √ , − dy = 2λdx + 2λdy = 41 41 √ − 41(dx + dy ) < Do P2 hàm f (x, y ) đạt cực đại có điều kiện TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI ĐỀ KIỂM TRA TOÁN LẦN TP HCM — 2015 / 54 Câu Tìm GTLN, GTNN hàm số f (x, y ) = x + y − 12x + 16y miền D : x + y 25 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI ĐỀ KIỂM TRA TOÁN LẦN TP HCM — 2015 / 54 n π = cos ϕ cos(nϕ − x sin ϕ)dϕ− π x π − (1 − sin2 ϕ) cos(nϕ − x sin ϕ)dϕ = π n = π π cos ϕ cos(nϕ − x sin ϕ)dϕ − xIn (x) − xIn (x) In (x) = π π sin ϕ cos(nϕ − x sin ϕ)(− sin ϕ)dϕ = =− π TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) π sin2 ϕ cos(nϕ − x sin ϕ)dϕ GIẢI ĐỀ KIỂM TRA TOÁN LẦN TP HCM — 2015 43 / 54 Do π π cos(nϕ − x sin ϕ)(n − x cos ϕ)dϕ = = nên [sin(nϕ − x sin ϕ)]π0 = π π x π cos(nϕ − x sin ϕ) cos ϕdϕ = nIn (x) n2 ⇒ In (x) = In (x) − xIn (x) − xIn (x) x ⇒ x In (x) + xIn (x) + (x − n2 )In (x) = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI ĐỀ KIỂM TRA TOÁN LẦN TP HCM — 2015 44 / 54 Câu 12 x 4/3 + y 4/3 d , với C đường Tính I = C cong xác định x 2/3 + y 2/3 = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI ĐỀ KIỂM TRA TOÁN LẦN TP HCM — 2015 45 / 54 x = r cos3 t Đặt y = r sin3 t Từ x 2/3 + y 2/3 = ⇒ r 2/3 = ⇒ r = 8, Khi t 2π x (t) = −24 cos2 t sin t y (t) = 24 sin2 t cos t ⇒ (x (t))2 + (y (t))2 = 576 sin2 t cos2 t x 4/3 + y 4/3 = 16 cos4 t + 16 sin4 t TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI ĐỀ KIỂM TRA TOÁN LẦN TP HCM — 2015 46 / 54 2π 16(cos4 t + sin4 t) 576 sin2 t cos2 tdt = I = π/2 (cos4 t + sin4 t) sin t cos tdt = = 4.16.24 π/2 [cos5 t sin t + sin5 t cos t]dt = = 1536 cos6 t sin6 t = 1536 − + 6 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) π/2 = 512 GIẢI ĐỀ KIỂM TRA TOÁN LẦN TP HCM — 2015 47 / 54 Câu 13 Tính diện tích phần mặt trụ x + y = nằm mặt cầu x + y + z = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI ĐỀ KIỂM TRA TOÁN LẦN TP HCM — 2015 48 / 54 Câu 13 Tính diện tích phần mặt trụ x + y = nằm mặt cầu x + y + z = Cách √ Phương trình mặt trụ S : y = ± − √ x Do đó, ta chia mặt√S thành mặt S1 : y = + − x S2 : y = − − x Hai mặt trụ S1, S2 nằm mặt cầu có diện tích nên diện tích phần mặt trụ x + y = nằm mặt cầu x + y + z = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI ĐỀ KIỂM TRA TOÁN LẦN TP HCM — 2015 48 / 54 1dS = S= S 1dS S1 √ Vì S1 : y = + − x nên ta tìm hình chiếu S1 xuống mặt phẳng Oxz √ Cho y = ta y = − x = ⇒ x = ±1 Giao tuyến mặt trụ mặt cầu nghiệm hệ √ √ y = − x2 y = − x2 ⇒ x2 + y2 + z2 = z = ±1 Do đó, giao tuyến mặt trụ mặt cầu √ giao tuyến mặt trụ z = ±1 mặt y = − x TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI ĐỀ KIỂM TRA TOÁN LẦN TP HCM — 2015 49 / 54 Vậy hình chiếu S1 xuống mặt phẳng Oxz Dxz : −1 x 1, −1 z Diện tích phần mặt trụ cần tìm S =2 + (yx )2 + (yz )2 dxdz = 1dS = S1 Dxz =2 dx −1 1+ −1 dx √ =2 − x2 −1 = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) −1 −x √ − x2 + 02 dz = dz = [arcsin x]1−1 [z]1−1 = π −π − 2 = 4π GIẢI ĐỀ KIỂM TRA TOÁN LẦN TP HCM — 2015 50 / 54 Cách Giao tuyến mặt trụ mặt cầu nghiệm hệ √ √ y = − x2 y = 1−x ⇒ x2 + y2 + z2 = z = ±1 Do đó, phần mặt trụ x + y = nằm mặt cầu x + y + z = bị chặn mặt phẳng z = −1 z = Vậy, diện tích phần mặt trụ S = chu vi đáy × chiều cao = 2π.1 × = 4π TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI ĐỀ KIỂM TRA TOÁN LẦN TP HCM — 2015 51 / 54 Câu 14 −x 2zdydz + ydzdx + 2dxdy , Tính I = S S phần phía mặt x + y + z = 4, ứng với x 0, y 0, z TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI ĐỀ KIỂM TRA TOÁN LẦN TP HCM — 2015 52 / 54 Câu 14 −x 2zdydz + ydzdx + 2dxdy , Tính I = S S phần phía ngồi mặt x + y + z = 4, ứng với x 0, y 0, z (−x 2z)dydz + I = S ydzdx + S dxdy = S = I1 + I2 + I3 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI ĐỀ KIỂM TRA TOÁN LẦN TP HCM — 2015 52 / 54 Mặt cong S : F (x, y , z) = x + y + z − = − Pháp véc tơ → n = (Fx , Fy , Fz ) = (2x, 2y , 2z) Tính I1: (−(4 − y − z 2)).zdydz = I1 = + Dyz = (−4 + r 2)r sin ϕ.r dr = dϕ −π/2 0 − = −π/2 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) 64 64 sin ϕd ϕ = 15 15 GIẢI ĐỀ KIỂM TRA TOÁN LẦN TP HCM — 2015 53 / 54 Tính I2: − x − z 2dzdx = I2 = + Dzx π = − r 2.r dr = dϕ π/2 π − (4 − r 2)3/2 = π/2 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) dϕ = GIẢI ĐỀ KIỂM TRA TOÁN LẦN 4π TP HCM — 2015 54 / 54 Tính I3: π/2 I3 = − 2dxdy = − dϕ Dxy π/2 =− Vậy I = 2.r dr = r d ϕ = −2π 2π 64 64 4π + − 2π = − + 15 3 15 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI ĐỀ KIỂM TRA TOÁN LẦN TP HCM — 2015 55 / 54