Đang tải... (xem toàn văn)
tài liệu uy tín được biên soạn bởi giảng viên đại học Bách Khoa TPHCM, thuận lợi cho qua trình tự học, nghiên cứu bổ sung kiến thức môn toán cao cấp 1, toán cao cấp hai, tích phân vi phân ôn thi học sinh giỏi, luyện thi đại học, ôn thi vào lớp 10, ôn thi trường chuyên môn toán, sắc xuất thống kê, các môn học tài chính, kế toán, ngân hàng, toán cao cấp, Tài liệu được kiểm duyệt bởi giảng viên, phòng đào tạo trường đại học bách khoa, lưu hành nội bộ
GIẢI ĐỀ KIỂM TRA TOÁN LẦN NGÀY 27 THÁNG 03 NĂM 2015 TS Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, mơn Tốn ứng dụng Email: ytkadai@hcmut.edu.vn TP HCM — 2015 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI ĐỀ KIỂM TRA TOÁN LẦN TP HCM — 2015 1/1 CÂU Tính tích phân I = dx x6 + 1 (x4 + 1) + (1 − x4 ) = = x6 + 2(x6 + 1) (x4 − x2 + 1) + x2 (1 − x2 )(1 + x2 ) + = 2(x2 + 1)(x4 − x2 + 1) 2(x2 + 1)(x4 − x2 + 1) x2 − x2 = + + 2(x2 + 1) 2(x6 + 1) 2(x4 − x2 + 1) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI ĐỀ KIỂM TRA TOÁN LẦN TP HCM — 2015 2/1 − x2 Ax + B Cx + D = + 2(x − x + 1) x2 + 3x + x2 − 3x + ⇒− x2 + ≡ (Ax + B)(x2 − 3x + 1) + (Cx + D)(x2 + 3x + 1) 2 x3 0= A+C x2 − = − 3A + B + 3C + D ⇒ x 0= A − 3B + C + 3D x0 = B+D 1 ⇒ A = −C = ,B = D = 2 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI ĐỀ KIỂM TRA TOÁN LẦN TP HCM — 2015 3/1 Vậy + 2(x2 + 1) I= + x+ x2 + 3x + + x2 + 2(x6 + 1) −1 x− x2 − 3x + = 1 x2 + 3x + arctan x + arctan x + ln + C x2 − 3x + TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI ĐỀ KIỂM TRA TOÁN LẦN TP HCM — 2015 4/1 CÂU Với điều kiện a, b, c, tích phân I= ax2 + bx + c dx hàm hữu tỷ? x3 (x − 1)2 E F ax2 + bx + c A B D + = + + + x3 (x − 1)2 x3 x2 x (x − 1)2 x − Để tích phân I hàm hữu tỷ hệ số D = 0, F = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI ĐỀ KIỂM TRA TOÁN LẦN TP HCM — 2015 5/1 Khi ⇒ ax2 + bx + c = A(x − 1)2 + Bx(x − 1)2 + Ex3 x3 x2 ⇒ x x0 = B+E a = A − 2B b = −2A + B c= A (1) (2) (3) (4) Từ (3) ta có b = −2c + B ⇒ B = b + 2c Từ (2) ta có a = c − 2(b + 2c) ⇒ a + 2b + 3c = Vậy để tích phân I hàm hữu tỷ a + 2b + 3c = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI ĐỀ KIỂM TRA TOÁN LẦN TP HCM — 2015 6/1 CÂU Khảo sát hội tụ hội tụ tuyệt đối +∞ x2 cos(ex )dx tích phân I = Đặt t = ex ⇒ x = ln t, dx = dt x +∞ , Khi t t +∞ +∞ I= TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ln2 t cos tdt t GIẢI ĐỀ KIỂM TRA TOÁN LẦN TP HCM — 2015 7/1 Hàm x cos tdt = sin x − sin 1, x ∈ [1, +∞) bị x −→ chặn ln2 t Hàm khả vi liên tục, đơn điệu t [e2 , +∞) ln2 t lim = t→+∞ t Do đó, theo dấu hiệu Dirichlet tích phân I hội tụ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI ĐỀ KIỂM TRA TOÁN LẦN TP HCM — 2015 8/1 Với t > 1, ta có ln2 t cos2 t t ln2 t | cos t| t +∞ +∞ +∞ 1 ln2 t cos2 tdt = t I1 = +∞ +∞ kỳ ln2 t dt = t ln2 t dt + t +∞ ln3 t ln td(ln t) = ln2 t cos 2tdt t +∞ = +∞ phân ln t cos 2tdt hội tụ theo dấu hiệu Dirichlet Vậy t I1 phân kỳ nên I không hội tụ tuyệt đối TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI ĐỀ KIỂM TRA TOÁN LẦN TP HCM — 2015 9/1 CÂU x2α dx xα−3 (1 + xα )α−3 +∞e−x + ln Tìm α để tích phân I = 1+ hội tụ Trường hợp 1: α > x2α xα−3 (1 + xα )α−3 e−x + ln + TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) 1 x→+∞ x2α ∼ = xα−3 xα(α−3) xα2 −3 GIẢI ĐỀ KIỂM TRA TOÁN LẦN TP HCM — 2015 10 / Vậy VD = VD1 + VD2 = = 2π x x x − dx + 2π = 2π x2 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) x + 2π x − x = GIẢI ĐỀ KIỂM TRA TOÁN LẦN 1 x − dx = x 16π 56π 8π + = 27 27 TP HCM — 2015 21 / CÁCH TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI ĐỀ KIỂM TRA TOÁN LẦN TP HCM — 2015 22 / Thể tích vật thể tròn xoay tạo quay miền D quanh trục Oy thể tích vật thể tròn xoay tạo quay miền D1 quanh trục Oy cộng thể tích vật thể tròn xoay tạo quay miền D2 quanh trục Oy với D1 : y y D2 : y x TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) y x 9y 1 y GIẢI ĐỀ KIỂM TRA TOÁN LẦN TP HCM — 2015 23 / Vậy VD = VD1 + VD2 = 1/3 (9y)2 − y dy + π = π 80 y = π TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) 1/3 1/3 y3 + π − − y 8π = − y dy = y2 = 1/3 GIẢI ĐỀ KIỂM TRA TOÁN LẦN 80π 136π + 81 81 TP HCM — 2015 24 / CÂU +∞ Tìm α để tích phân I = x α x2 e −e −3 x2 dx hội tụ Tính tích phân I α = −5 −3 x→+∞ Ta có xα e x2 − e x2 ∼ 2−α x Để I hội tụ − α > ⇔ α < TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI ĐỀ KIỂM TRA TOÁN LẦN TP HCM — 2015 25 / −3 x−5 e x2 − e x2 dx +∞ Khi α = −5, ta có I = x +∞ t −3 +∞ ⇒I =− − 2x−3 x−2 e x2 − e x2 dx = Đặt t = x−2 ⇒ dt = −2x−3dx, 1 1 t(e2t − e−3t )dt = e2 + e−3 + 72 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI ĐỀ KIỂM TRA TOÁN LẦN TP HCM — 2015 26 / CÂU Tính thể tích vật thể tròn xoay tạo quay miền phẳng giới hạn đường x = 0, y = −1, y = x2 − 2x quanh trục Oy TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI ĐỀ KIỂM TRA TOÁN LẦN TP HCM — 2015 27 / CÁCH 1 VOy = 2π |x(−1)| − |x(x2 − 2x)|dx = = 2π x(1 − 2x + x2 )dx π ⇒ VOy = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI ĐỀ KIỂM TRA TOÁN LẦN TP HCM — 2015 28 / CÁCH VOy = π (1 − + y)2 dy = −1 = π (1 − + y + + y)dy = −1 y2 3/2 π 2y − (y + 1) + π ⇒ VOy = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) −1 GIẢI ĐỀ KIỂM TRA TOÁN LẦN TP HCM — 2015 29 / CÂU 1/2 Tìm α để tích phân I = dx xα − 4x2 hội tụ Tính tích phân I α = −2 I= dx xα TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) − 4x2 + dx xα − 4x2 GIẢI ĐỀ KIỂM TRA TOÁN LẦN = I1 + I2 TP HCM — 2015 30 / Trường hợp 1: Nếu α < I1 tích phân xác định I2 tích phân suy rộng loại x→ 12 xα − 4x2 − ∼ 1 2−α+1 ( 12 − x) Do đó, I2 hội tụ Vậy I hội tụ Trường hợp 2: Nếu α = I1 tích phân xác định I2 tích phân suy rộng loại 1 − 4x2 x→ 12 ∼ − 1 ( 21 − x) Do đó, I2 hội tụ Vậy I hội tụ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI ĐỀ KIỂM TRA TOÁN LẦN TP HCM — 2015 31 / Trường hợp 3: Nếu α > I1 I2 tích phân suy rộng loại x→0+ xα − 4x2 x→ 12 xα − 4x2 ∼ ∼ − xα 1 2−α+1 ( 12 − x) I2 hội tụ nên để I hội tụ I1 hội tụ, có nghĩa α < TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI ĐỀ KIỂM TRA TOÁN LẦN TP HCM — 2015 32 / 1 Khi α = −2, ta có I = x2 − 4x2 dx 1 x Đổi biến x = sin t ⇒ dx = cos tdt t 2 π ⇒I = π π sin2 tdt = 32 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI ĐỀ KIỂM TRA TOÁN LẦN TP HCM — 2015 33 / CÂU 10 Tính diện tích mặt tròn xoay tạo x quay cung y = e− , x +∞, quanh trục Ox TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI ĐỀ KIỂM TRA TOÁN LẦN TP HCM — 2015 34 / +∞ Sx = 2π +∞ 1+f |f (x)| (x)dx = 2π t =e − x2 e ⇒ dt = − 12 e − x2 − x2 e−x 1+ dx Đặt x +∞ dx t 1 t + 4dt = ⇒ Sx = 2π = π(t t + + ln(t + t + 4)) = =π + ln 1+ TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) GIẢI ĐỀ KIỂM TRA TOÁN LẦN TP HCM — 2015 35 /