GIẢI MẪU ĐỀ THI CUỐI KÌ GIẢI TÍCH Bản quyền thuộc Ngân Hàng Đề Thi ĐH Bách Khoa HCM Câu om Khảo sát vẽ đồ thị hàm số: x2 y = (x2 + 1)e− - Tập xác định hàm số: D = R - Đạo hàm hàm số: C Hướng dẫn giải ne 1.1 x2 x2 x2 Zo y = 2xe− + (x2 + 1)(−x)e− = e− (−x3 + x) y = ⇔ x3 − x = ⇔ x(x2 − 1) = ⇔ x = ∨ x = ±1 x2 −1 + − 0 +∞ + √2 e Si y Vi y −∞ nh x en - Ta thấy, dấu y phụ thuộc vào dấu (−x3 + x) hàm e− lớn với x ∈ R - Bảng biến thiên: − √2 e - Kết luận: + Hàm số đồng biến trên: (−∞, −1] ∪ [0, 1] + Hàm số nghịch biến trên: [−1, 0] ∪ [1, +∞) + Hàm số đạt cực đại x = −1 x = yCĐ = + Hàm số đạt cực tiểu x = yCT = - Tìm điểm uốn: x2 x2 √2 e x2 y = (−x)e− (−x3 + x) + e− (−3x2 + 1) = e− (x4 − 4x2 + 1) SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn y = ⇔ x4 − 4x2 + = ⇒ x = ± − - Bảng xét điểm uốn dạng đồ thị: √ √ x −∞ − + 3− − y + − 2− + √ √ 3∨x=± 2+ 2+ − √ √ +∞ + 2+ √ ⇒ y = (3 + √ − 2+√3 3)e ≈ 0, 7322 C x=− om - Các điểm mà làm cho y đổi dấu điểm uốn - Các khoảng mà làm cho y mang dấu (+) tức lõm, dấu (−) lồi - Các điểm đặc biệt dùng để vẽ đồ thị: ne x = −1 ⇒ y = 2e− ≈ 1, 2131 √ √ √ 2− x = − − ⇒ y = (3 − 3)e− ≈ 1, 1090 Zo x=0⇒y=1 √ √ √ 2− − ⇒ y = (3 − 3)e− ≈ 1, 1090 en x= 2+ √ √ √ 2+ 3 ⇒ y = (3 + 3)e− ≈ 0, 7322 Vi x= Si nh - TIỆM CẬN ĐỨNG: Hàm số khơng có tiệm cận đứng hàm số xác định với x thuộc R - TIỆM CẬN XIÊN: a = lim (x + 1)e x→∞ − x2 x2 + × = lim =0 x x→∞ xe x22 x2 b = lim (x2 + 1)e− = lim x→∞ x→∞ x2 + x2 =0 e2 Như y = Tiệm cận ngang đồ thị hàm số - Đồ thị hàm số: SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn om Câu C 2.1.1 Hướng dẫn giải Cách 1: Zo 2.1 ne Tính thể tích vật thể tạo quay miền D giới hạn y = −1, y = x2 + 2x, x = 0, x = quanh trục Oy nh Vi en - Thay x = vào phương trình y = x2 + 2x ⇒ y(3) = 15 - Ta tính thể tích vật thể cần tính cách lấy thể tích hình trụ (bằng cách xoay hình chữ nhật giới hạn x = 0, x = 3, y = −1, y = 15 quay trục Oy) trừ cho khối lõm giới hạn y = 15, y = x2 + 2x - Ta biến đổi biểu thức: y = x2 + 2x ⇔ y = (x + 1)2 − ⇔ y + = (x + 1)2 Si ⇒x=− y+1−1∨x= y+1−1 - Như vậy, thể tích vật thể cần tính là: 15 15 (3 − 0)2 dy − π VOy = π −1 ( y + − 1)2 dy 15 = 9πy|15 −1 − π (y + − y + 1)dy = 144π − π = 144π − y2 + 2y |15 + 2π 15 y + 1dy −1 285π 4π 285π 171π + (y + 1) |15 + 84π = = 144π − 2 SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn 2.1.2 Cách 2: en Zo ne C om - Hoặc dùng định lý sau đây: - Như ta dễ dàng có: 3 Vi x[(x2 + 2x) − (−1)] = 2π VOy = 2π x4 2x3 x2 + + = 2π |30 = 171π Si nh (x3 + 2x2 + x)dx Câu Cho tích phân +∞ I= dx √ (xm − 1) 2x2 − 5x + Tìm m để tích phân I hội tụ tính tích phân m = SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn 3.1 Hướng dẫn giải - Do x = làm cho biểu thức dấu tích phân khơng xác định Nên tích phân bất định loại - Tách thành tích phân sau: dx √ + m (x − 1) 2x2 − 5x + +∞ (xm dx √ = I1 + I2 − 1) 2x2 − 5x + om I= - Xét tích phân I1 sau: dx √ = (xm − 1) 2x2 − 5x + 1 2 (x − 2) ∼√ m 3(2 − 1)(x − 2) (x − 2) Zo (xm − 1) x − (xm − 1) x − ne + Khi x → 2+ : dx C Vi en + thấy với m = (lưu ý hàm số xác định m = 0) Thì √ Nhận m 3(2 − 1) ln + Do thấy α = 12 < ⇒ I1 hội tụ (đây tích phân suy rộng loại 2) - Xét tích phân I2 : +∞ nh I2 = dx √ (xm − 1) 2x2 − 5x + Si + Khi x → +∞ ta xét trường hợp m sau: * Khi m < 0, ta xét hàm dương sau: (1 − √ xm ) 1 ∼√ 2x − 5x + 2x ⇒ α = ⇒ −I2 phân kỳ ⇒ I phân kỳ * Khi m = 0: khơng xét làm hàm số khơng xác định ⇒ Khơng có tích phân * Khi m > 0, ta có: (xm 1 √ ∼√ − 1) 2x − 5x + 2xm+1 SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn + Như m > ta thấy m + > ⇒ I2 hội tụ - Kết luận: + Do I1 hội tụ nên để I hội tụ phụ thuộc vào I2 Suy ra, I hội tụ m > - Tính tích phân m = 1: + Đặt: 1 ⇒ dx = − dt t t x−1= dt t 1 t − 1t − t +1 −5 dt √ = − t − t2 dt t +1 +2 dt − t+ 2 Vi + Đặt: t2 = t2 Zo = en dx √ =− (x − 1) 2x2 − 5x + ne + Tích phân tương đương với: +∞ om dx √ (x − 1) 2x2 − 5x + C +∞ nh t+ 3 = sin u ⇒ dt = cos udu 2 Si + Tích phân trở thành: π arcsin cos udu π = − arcsin cos u Câu Giải phương trình: a) y − xy arcsin x + x = 1−x − x2 b) y − 2y − 8y = 3e4x SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn 4.1 Hướng dẫn giải 4.1.1 Câu a y − xy arcsin x + x x arcsin x + x = ⇔y − y= 2 1−x 1−x 1−x − x2 - Đặt: x − x2 Q(x) = arcsin x + x − x2 om P (x) = − - Nghiệm tổng quát phương trình là: ne − Q(x)dx + C d(1 − x2 ) = ln|1 − x2 | 1−x x dx = 1−x Zo x ⇒ − x2 P (x)dx e P (x)dx: - Tính tích phân P (x) = − P (x)dx C y = e− en - Thay vào nghiệm tổng quát ta được: √ 1 − x2 − x2 nh =√ Si =√ - Ta có: 2| e ln|1−x | Q(x)dx + C Vi y = e− ln|1−x arcsin x + x dx + C − x2 1 − x2 arcsin x √ dx = − x2 =√ − x2 arcsin x x √ +√ 1−x − x2 arcsin x + x √ dx + C − x2 dx + C arcsin2 x √ d(1 − x2 ) √ = − − x2 − x2 arcsin xd(arcsin x) = x √ dx = − − x2 - Vậy nghiệm phương trình là: y=√ 1 − x2 √ arcsin2 x − − x2 + C SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn 4.1.2 Câu b y − 2y − 8y = 3e4x - Phương trình đặc trưng: k − 2k − = ⇔ k1 = −2 ∨ k2 = - Nghiệm phương trình nhất: om y0 = C1 e−2x + C2 e4x - Ta có: C f (x) = 3e4x = Pn (x)eαx ⇒ Pn bậc 0; α = - Nghiệm riêng phương trình khơng có dạng: ne yr = xs eαx Qn (x) + Trong đó: Zo s = 1(do α = nghiệm đơn phương trình đặc trưng) Qn (x) = A(cùng bậc với Pn (x)) en + Vậy: yr = Axe4x Vi yr = Ae4x + 4Axe4x yr = 8Ae4x + 16Axe4x Si nh + Suy ra: −8yr = −8Axe4x −2yr = −2Ae4x − 8Axe4x yr = 8Ae4x + 16Axe4x + Cộng vế lại ta được: yr − 2yr − 8yr = 6Ae4x + Ta có: 3e4x = 6Ae4x ⇒ A = - Vậy nghiệm tổng quát phương trình là: y = y0 + yr = C1 e−2x + C2 e4x + xe4x SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn Câu Giải hệ phương trình: 5.1 Hướng dẫn giải 5.1.1 Phương pháp khử om x (t) = 3x − 3y + 4et + 12t (1) y (t) = 4x − 5y + 8et + 8t (2) C - Lấy × (1) − × (2), ta được: ne 4x (t) − 3y (t) = 3y − 8et + 24t ⇒ 4x (t) = 3y + 3y − 8et + 24t (3) - Đạo hàm vế phương trình (2) theo t, ta được: Zo y (t) = 4x − 5y + 8et + (4) - Thay (3) vào (4), ta được: en y (t) = −2y + 3y + 24t + ⇔ y + 2y − 3y = 24t + Vi + Phương trình đặc trưng: k + 2k − = ⇒ k1 = −3 ∨ k2 = Si nh + Nghiệm phương trình nhất: y0 = C1 e−3t + C2 et + Ta có: f (t) = 24t + = Pn (t)eαt + Suy Pn (t) bậc α = + Như nghiệm riêng phương trình khơng có dạng: yr = ts Qn (t)eαt s = (do α = không nghiệm đơn phương trình đặc trưng) Qn (t) = At + B (Qn (t) bậc với Pn (t)) + Vậy: yr = At + B SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn yr = A yr = + Suy ra: −3yr = −3At − 3B 2yr = 2A om yr = + Cộng vế lại ta được: C yr + 2yr − 3yr = −3At + 2A − 3B −3A = 24 2A − 3B = ⇒ A = −8 B = −8 Zo 24t + = −3At + 2A − 3B ⇒ ne + Ta có: - Vậy ta nghiệm tổng quát: en y(t) = C1 e−3t + C2 et − 8t − Vi ⇒ y (t) = −3C1 e−3t + C2 et − + Thay y(t) y (t) vào phương trình (2), ta được: Si nh −3C1 e−3t + C2 et − = 4x − 5(C1 e−3t + C2 et − 8t − 8) + 8et + 8t ⇔ 4x = 2C1 e−3t + 6C2 et − 48t − 8et − 48 ⇔ x(t) = C1 e−3t + C2 et − 12t − 2et − 12 2 - Vậy nghiệm hệ phương trình là: x(t) = 21 C1 e−3t + 32 C2 et − 12t − 2et − 12 y(t) = C1 e−3t + C2 et − 8t − - Để kiểm chứng lại nghiệm hệ hay không, ta thay nghiệm tương ứng vào hệ, cho vế 10 SinhVienZone.com https://fb.com/sinhvienzonevn ... (x + 1) 2 − ⇔ y + = (x + 1) 2 Si ⇒x=− y +1 1 x= y +1 1 - Như vậy, thể tích vật thể cần tính là: 15 15 (3 − 0)2 dy − π VOy = π 1 ( y + − 1) 2 dy 15 = 9πy |15 1 − π (y + − y + 1) dy = 14 4π − π = 14 4π... 1) dy = 14 4π − π = 14 4π − y2 + 2y |15 + 2π 15 y + 1dy 1 285π 4π 285π 17 1π + (y + 1) |15 + 84π = = 14 4π − 2 SinhVienZone. com https://fb .com/ sinhvienzonevn 2 .1. 2 Cách 2: en Zo ne C om - Hoặc dùng... y0 + yr = C1 e−2x + C2 e4x + xe4x SinhVienZone. com https://fb .com/ sinhvienzonevn Câu Giải hệ phương trình: 5 .1 Hướng dẫn giải 5 .1. 1 Phương pháp khử om x (t) = 3x − 3y + 4et + 12 t (1) y (t) =