GIỚI hạn hàm số (TOÁN CAO cấp SLIDE) (chữ biến dạng do slide dùng font VNI times, tải về xem bình thường)

BỘ MƠN TỐN ỨNG DỤNG TOÁN HK1 BÀI 3: GIỚI HẠN HÀM SỐ NOÄI DUNG 1- Ý TƯỞNG GIỚI HẠN HÀM SỐ NGHĨA “ĐƠN GIẢN” GIỚI 2- ĐỊNH HẠN HÀM SỐ 3- ĐỊNH NGHĨA CHẶT CHẼ GIỚI HẠN HÀM SỐ 4- TÍNH CHẤT GIỚI HẠN 5- GIỚI HẠN ĐẶC BIỆT 6- QUY TẮC LÔPITAN 7- GIỚI HẠN KẸP 8- GIỚI HẠN THEO NGÔN NGỮ DÃY KHÔNG GIỚI HẠN Ý TƯỞNG GIỚI HAÏN - x0  D  f  x0  : xác định Hàm y = f(x), x0  D & f  x0  : không xác định MXĐ x0  DGiá trị VD: f(x) = lnx & x0 f(x0)? = –1D, f  x  :"gần x0  như"xác ñònh VD: f(x) = sinx/x & x0 = 0 D � 0.1000 � � � 0.01000 � sin x Gtr f  x   quanh � �0.001000 � x � ò 0: �0.0001000 � � 0.00001000 � 0.8415� Tương � � 0.9588� tự: x , x0 0 � � 1 x  0.9816� � � , x0  0.9896� � x � 0.9935� e x , x   MINH HỌA HÌNH HỌC thò f  x  sin x x hàm: Chú ý lân Đồ cận x0 = 0: f(0) không xác định, giá trị f(x) lại “rất gần” x “rất gần”  Đồ thị liên Cần xác định giá trị hữu lim f  x  tục.công Có cụ thể x  x0 GIỚI HẠN HÀM SỐ – ĐỊNH NGHĨA ĐƠN GIẢN Cho hàm y = f(x) xác định lân cận điểm x0 (có thể khơng xác định x0!) Hàm f(x) có giới hạn = L x  x0  Giá trị f(x) “rất gần” L x “đủ gần” x0 Ký hiệu: lim f ( x ) L x  x0 x lim f  x  , vớif  x   x x 1 Giải: Chú ý hàm f(x) khơng xác định x = VD: Đốn (khơng chứng minh) giới hạn x1 f(x) 1.5 0.400000 1.1 0.476190 1.01 0.497512 đoán: 1.00 0.499750 lim Từ bảng giá trị, x x 0.5 x 1 GIÁ TRỊ TẠI ĐIỂM KHÔNG ẢNH HƯỞNG GIỚI HẠN Hàm g(x) sau (xác định x = 1) có giới hạn f(x) x   f  x   x  x 1  g  x   x2   x 1 y=f(x) y=g(x) Giá trị f x0 (có hay khơng có) khơng ảnh hưởng đến lim f  x  x  x0 ĐOÁN – KHÔNG CHẮC CHAÉN 100%! Ví dụ: lim sin  x x Gợi ý: Tính f 1 , f  ,  2 1  f  , f  0.1 , f  0.01  3 1 1    f 1  f    f    f  0.1  f  0.01 0  lim sin 0 : SAI! x x  2  3 Tuy nhiên từ đồ thị hàm y sin  giá trị hàm x   x    2k , k  Z 4k  x   sin 1! x Có vơ số giá trị x gần tùy ý, f = lẫn f = KL: Giới hạn xét khơng ! ĐỊNH NGHĨA CHẶT CHẼ Ngơn ngữ Giải tích: Đại lượng biến thiên f “rất gần” đlượng g  | f – g |     > x “đủ gần” x0:   > xét | x – x0 | <  ĐN: lim f  x  L    0,   : x  x    f ( x)  L   x  x0 Chú ý: Trong thực tế, định nghĩa thường áp dụng để chứng minh lý thuyết không sử dụng để tìm giới hạn! Minh họa hình học: x0   x0 x0   x f  x L L  L  x f  x0  L f(x ) VÍ DỤ -2 VD: Cho lim x  4  * Tìm  đnghĩa  = 0.01 x x 2 x  Giải: f  x   , x0 1, L 4   x  1: f  x   L 2 x  x  = 0.01: f  x   L    x   0.005  Choïn 0.005 VD: Giải đồ thị câu hỏi tương tự: lim x  x   4,  0.1 x Giải: | f(x) – | < 0.1  3.9 < f(x) < 4.1 Vẽ y = f(x) & y = 3.9, 4.1 1.97  x  2.03 Vaäyx   0.03   0.03 GIỚI HẠN VÔ CÙNG – GIỚI HẠN TẠI VÔ CÙNG Khi f(x)    (tức L =  ) x    (tức x0 =  ): Không thể xét hiệu | f(x) – L| hay |x – x0|  Cần điều chỉnh! Chú ý: Đại lượng A    A > M M & B  –  B < m m lim f ( x)   M    x : Neáu x  x0    f ( x)  M x  x0 Tương tự cho trường hợp f(x)  –: Chỉ cần viết lại f(x) < m! lim f ( x) L      M  x : Neáu x  M  f ( x)  L   x  lim f ( x)    M  A  x : Neáu x  A  f  x  M x  lim f(x) = L x  – & lim f(x) =   x   : tương tự GIỚI HẠN MỘT PHÍA G hạn trái: x  x0  x  x0 & x < x0 (tức x  x0 từ bên trái) lim f ( x)  f  x0  : x  x0  lim x  x0 & x  x0 f ( x) Minh họa: x  x0 x0 x  x0 & x  x0 VD: Giới hạn trái x  0  x < 0: lim x  lim  x  x 0 x x 0 x G hạn phải: x  x0+  x  x0 & x > x0 (tức x  x0 từ bên phải) lim f ( x)  f  x0  : x  x0  lim x  x0 & x  x0 f ( x) Minh họa: x0 x0  x x  x0 & x  x0 Mệnh đề:  lim f ( x)   f  x  , f  x  & f  x   f  x  0 0 0 0 x  x0 VD: Không tồn lim x lim x   lim x 1 x 0 x x 0 x x x GIỚI HẠN TỔNG – HIỆU – TÍCH – THƯƠNG Giới hạn tổng (hiệu, tích, thương) = Tổng (hiệu, tích, thương) giới hạn: Cho c số f(x), g(x): hàm số có giới hạn x  a Khi lim [ f ( x)  g ( x)] lim f ( x)  lim g ( x) x a x a x a lim [ f ( x)  g ( x)] lim f ( x)  lim g ( x) x a x a x a lim [cf ( x)] c lim f ( x) x a x a lim [ f ( x) g ( x)] lim f ( x) lim g ( x) x a x a f ( x) f ( x) lim lim  x a x a g ( x) lim g ( x) x a x a if lim g ( x) 0 x a VÍ DỤ Cho đồ thị hàm số y=f(x) y = f(x) y = g(x) a/ Các giới hạn sau liệu có tồn hay khơng: lim f  x  , lim g  x  x  y=g(x ) x b/ Tính giá trị giới hạn sau chúng tồn / lim  f  x   g  x   x  2 / lim f  x  g  x   x / lim x f  x g x Giải: a/ lim f  x  1; Khoâng  lim g  x  b/ 1/ –4 2/ – 3/: Khơng  x  x GIỚI HẠN HÀM SƠ CẤP CƠ BẢN Cho n  N số a, c Nếu hàm f(x) có giới hạn a: n  lim  f  x    lim f  x  x a lim c c x a x a  n vaø lim x a x a lim x n a n x a 10 lim n x n a x a (nếu n : chẵn, a phải  0) 11.lim n f  x  n lim f  x  x a x a (nếu n : chẵn, lim f  x  phaûi  0) x a Nguyên tắc thay vào trực tiếp: Nếu f(x) – hàm biểu diễn công thức chứa hàm & a  Df  lim f  x   f  a  x a Tính chất tính liên tục f(x) (được xét riêng 3) VÍ DỤ    0 lim x  x  0    0, x   x  a  : lim a  x   , x   Giới hạn hàm mũ, luỹ thừa x  : , x   a  : lim a  x   0 , x   x  2 x  x  x 2 VD: Tìm giới hạn a / lim b / lim x x  x x  3x  Giải: a/ Thay vào trực tiếp (biểu thức sơ cấp, xác định): b/ K0 thể thay vào trực tiếp (b/thức sơ cấp k0 x/định!): x  3x   x  1  x  x   x2  2x  lim lim lim 3 x x  3x  x x   x  1 x  2 x 1 1 2 x  1 2x  ; x   : L lim 1 VD : lim : x   : L  x x   x    x 20 21 2  GIỚI HẠN HÀM SỐ – NGÔN NGỮ DÃY (PHỔ THÔNG) - Ngôn ngữ   t n  :  t n  x0  f  t n   a  “dãy”: Không có giới hạn x0 (Thuận tiện chứng minh không  lim):  t n  : lim t n  x0 &  lim f  t n  n  n   yn  ,  z n  : yn , z n  x0 & lim f  yn  lim f  z n  n  n  khoâng a / lim sin x b / lim sin  x  x x có giới haïn: a/ y n   & z   2n   b/ daõy n n dãy: Nhận xét: Tương tự dùng dãy ??? chứng VD: Chứng minh minh dãy phân kỳ với ví dụ sau Đừng nhầm lẫn lim sin n n  GIỚI HẠN ĐẶC BIỆT: KHỬ DẠNG VÔ ĐỊNH sin x lim 1 x x Lượng giác ex  lim 1 x x Mũ, ln: Dạng :  Sử dụng số e VD: lim x     x   x   Kỹ thuật: x 2 tgx lim 1 x x ax  ln 1  x  lim ln a lim 1 x x x x x 1  lim 1    lim 1  x 1 x e x  x x Caùch 1: Dùng số e Cách 2: Lấy ln vế lim u 1 v x  x0  cos x lim  x x    lim  1      v x  x0 e lim v x  x0 e lim v  u  1 x  x0 QUY TẮC LOPITAN: KHỬ DẠNG VÔ ĐỊNH  Dạng vô định: 0/0, /,  – , 0., ,  Biến đổi x/định Phương pháp: Nguyên tắc Lôpitan, vô bétắc tương đương Tính giới hạn (tồn Nguyên Lôpitan: taïi) daïng 0/0, / f ( x) f ' ( x) f " x f ( n) ( x) lim  lim  lim   lim ( n ) x  x0 g ( x ) x x0 g ' ( x ) x  x0 g "  x  x  x0 g ( x) x x  sin x ax VD : a/ lim b/ lim c/ lim   a  1,    x  x  x  x  x 1 x x 1  lim    x   sin x x  hoá biểu thức Tính Không dùng Lôpitan VD : lim x  sin x x   x  sin x giới hạn không  Chú ý : Đơn giản VD: GIỚI HẠN KEÏP Giới hạn kẹp Hệ quả:  f  x   g  x  h x   x  x0    lim g ( x) a  lim f  x   lim h x  a x  x0  x  x0 x  x0   f  x  h x   x  x0    lim f ( x) 0  lim h x  0 x  x0  x  x0 caùc a/ lim sin  b/ lim x sin  c/ lim x sin  x x x  x x x giới hạn: Giải: a/ Không  b/ Kẹp c/ b/  x sin   x  x Đặc bieät: x sin   x  sin  t  VD: Chứnglim 1   e c/ lim lim    x   t  x   1x t x  minh VD: Tìm ... TƯỞNG GIỚI HẠN HÀM SỐ NGHĨA “ĐƠN GIẢN” GIỚI 2- ĐỊNH HẠN HÀM SỐ 3- ĐỊNH NGHĨA CHẶT CHẼ GIỚI HẠN HÀM SỐ 4- TÍNH CHẤT GIỚI HẠN 5- GIỚI HẠN ĐẶC BIỆT 6- QUY TẮC LÔPITAN 7- GIỚI HẠN KẸP 8- GIỚI HẠN THEO... 1/ –4 2/ – 3/: Không  x  x GIỚI HẠN HÀM SƠ CẤP CƠ BẢN Cho n  N số a, c Nếu hàm f(x) có giới hạn a: n  lim  f  x   ... x x GIỚI HẠN TỔNG – HIỆU – TÍCH – THƯƠNG Giới hạn tổng (hiệu, tích, thương) = Tổng (hiệu, tích, thương) giới hạn: Cho c số f(x),