Đang tải... (xem toàn văn)
tài liệu uy tín được biên soạn bởi giảng viên đại học Bách Khoa TPHCM, thuận lợi cho qua trình tự học, nghiên cứu bổ sung kiến thức môn sắc xuất thống kê, các môn học tài chinhs kế toán, ngân hàng, toán cao cấp, Tài liệu được kiểm duyệt bởi giảng viên, phòng đào tạo trường đại học bách khoa, lưu hành nội bộ
TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH BÀI GIẢNG ĐIỆN TỬ TS Lê Xuân Đại Trường Đại học Bách Khoa TP HCM Khoa Khoa học ứng dụng, mơn Tốn ứng dụng Email: ytkadai@hcmut.edu.vn TP HCM — 2016 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH TP HCM — 2016 / 85 NỘI DUNG NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN TÍNH TÍCH PHÂN CỦA NHỮNG HÀM HỮU TỈ TÍNH TÍCH PHÂN CỦA HÀM VƠ TỈ TÍCH PHÂN CỦA HÀM LƯỢNG GIÁC TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH TP HCM — 2016 / 85 Nguyên hàm tích phân bất định Bài tốn thực tế BÀI TỐN ĐIỀU TRA DÂN SỐ Theo mơ hình điều tra dân số tăng trưởng dân số giới, tốc độ tăng trưởng dân số giới từ năm 1950 p(t) = −0, 012.t + 48.t − 47925, với t năm theo lịch, p(t) (triệu người/năm) Theo kết điều tra dân số năm 2000 tổng dân số 6000 triệu người Hãy tìm hàm tổng dân số P(t) theo năm Từ hàm tổng dân số P(t) dự đoán dân số giới năm 2050 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH TP HCM — 2016 / 85 Nguyên hàm tích phân bất định Bài tốn thực tế P(t) hàm ngược lại đạo hàm (nguyên hàm) - antiderivative t2 t3 P(t) = −0, 012 + 48 − 47925.t + C Để tìm C ta thay t = 2000 P(2000) = 6000 Khi ta thu C = 31856000 P(t) = −0, 004.t + 24.t − 47925.t + 31856000 Thay t = 2050 ta dự đoán tổng dân số năm 2050 P(2050) = 9250 triệu người TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH TP HCM — 2016 / 85 Nguyên hàm tích phân bất định Bài toán thực tế Khái niệm đạo hàm F (x) có ý nghĩa hình học hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị hàm số F(x) điểm x Bài tốn ngược lại, tìm hàm F(x) cho hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị hàm số F(x) điểm x f (x), có nghĩa F (x) = f (x) Trong học, s(t) hàm cho biết mối quan hệ đường theo thời gian, đạo hàm s (t) vận tốc chuyển động Bài tốn ngược lại, tìm đường s(t) biết vận tốc chuyển động v(t) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH TP HCM — 2016 / 85 Nguyên hàm tích phân bất định Nguyên hàm Cho hàm số f (x) xác định khoảng X ĐỊNH NGHĨA 1.1 Hàm số F(x) gọi nguyên hàm hàm số f (x) khoảng X , F(x) liên tục khả vi X với ∀x ∈ X ln có đẳng thức F (x) = f (x), dF(x) = f (x)dx TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH TP HCM — 2016 / 85 Nguyên hàm tích phân bất định Nguyên hàm VÍ DỤ 1.1 Hàm số F(x) = x3 nguyên hàm hàm số f (x) = F (x) = 3x2 toàn tập số thực R VÍ DỤ 1.2 Hàm số F(x) = x nguyên hàm hàm số f (x) = F (x) = x khoảng (0, +∞) Mặc dù hàm số F(x) cần xác định x hàm số f (x) xác định x > 0, nên F(x) nguyên hàm khoảng (0, +∞) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH TP HCM — 2016 / 85 Nguyên hàm tích phân bất định Nguyên hàm ĐỊNH LÝ 1.1 Nếu hàm số F(x) nguyên hàm hàm số f (x) khoảng X ⊂ R hàm số Φ(x) = F(x) + C, với C số, nguyên hàm hàm số f (x) khoảng X ⊂ R Ngược lại, hàm số F(x) Φ(x) nguyên hàm hàm số f (x) khoảng X ⊂ R tồn số C ∈ R cho Φ(x) = F(x) + C TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH TP HCM — 2016 / 85 Nguyên hàm tích phân bất định Ngun hàm Ý NGHĨA HÌNH HỌC tan α = F (x0 ) = (F(x) + C) TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH x=x0 = f (x0 ) TP HCM — 2016 / 85 Nguyên hàm tích phân bất định Tích phân bất định ĐỊNH NGHĨA 1.2 Cho hàm số F(x) nguyên hàm hàm số f (x) khoảng X ⊂ R, biểu thức Φ(x) = F(x) + C, với C số bất kỳ, gọi tích phân bất định hàm số f (x) khoảng X Tích phân bất định kí hiệu f (x)dx Như vậy, TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) f (x)dx = F(x) + C TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH TP HCM — 2016 10 / 85 Tích phân hàm lượng giác Tính tích phân I = Tích phân dạng dx cos x x Đặt t = tan , x = (2k + 1)π Khi − t2 2dt , dx = + t2 + t2 2dt 2dt (1 + t) + (1 − t)dt 1+t = = = 2 1−t − t (1 − t)(1 + t) cos x = I= 1+t = − ln |1 − t| + ln |1 + t| + C = ln = ln tan x π + +C TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) + tan x2 − tan x2 TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH +C = TP HCM — 2016 71 / 85 Tích phân hàm lượng giác Tích phân dạng MỘT SỐ TRƯỜNG HỢP ĐẶC BIỆT Nếu R(sin x, cos x) hàm lẻ theo sin x, có nghĩa R(− sin x, cos x) = −R(sin x, cos x) ta đặt t = cos x Nếu R(sin x, cos x) hàm lẻ theo cos x, có nghĩa R(sin x, − cos x) = −R(sin x, cos x) ta đặt t = sin x Nếu R(sin x, cos x) hàm chẵn theo sin x, cos x, có nghĩa R(− sin x, − cos x) = R(sin x, cos x) ta đặt t = tan x TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH TP HCM — 2016 72 / 85 Tích phân hàm lượng giác Tích phân dạng VÍ DỤ 5.3 Tính tích phân I = (sin x + sin3 x)dx cos 2x Vì hàm số dấu tích phân hàm lẻ theo sin x nên đặt t = cos x Từ ta có dt = − sin xdx, sin2 x = − t , cos 2x = 2t − I= = (2 − t )(−dt) = 2t − (t − 2)dt = 2t − dt − t t 2−1 − ln ln + C = cos x − 2 2 t 2+1 2 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH dt = 2t − cos x − cos x + + C TP HCM — 2016 73 / 85 Tích phân hàm lượng giác Tích phân dạng VÍ DỤ 5.4 Tính tích phân I = (cos3 x + cos5 x)dx sin2 x + sin4 x Biểu thức dấu tích phân hàm lẻ theo cos x nên đặt t = sin x Khi dt = cos xdx, cos2 x = − t cos2 x(1 + cos2 x) cos xdx I= = = (1 − t )(2 − t )dt = t2 + t4 sin2 x + sin4 x 2 1+ − dt = t − − arctan t + C = t + t2 t = sin x − − arctan(sin x) + C sin x TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH TP HCM — 2016 74 / 85 Tích phân hàm lượng giác Tích phân dạng VÍ DỤ 5.5 Tính tích phân I= dx sin2 x + sin x cos x − cos2 x Biểu thức dấu tích phân hàm chẵn theo sin x, cos x nên đặt t = tan x Khi sin x = t + t2 , cos x = x = arctan t, dx = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) 1 + t2 , dt + t2 TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH TP HCM — 2016 75 / 85 Tích phân hàm lượng giác Tích phân dạng dt 1+t I= t2 1+t + 2t 2 1+t 1+t dt = t + 2t − = = = 2 2 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) ln ln − 1+t = d(t + 1) = (t + 1)2 − t +1− t +1+ +C = tan x + − tan x + + TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH +C TP HCM — 2016 76 / 85 Tích phân hàm lượng giác TÍCH PHÂN DẠNG Tích phân dạng sinm x cosn xdx Nếu n số lẻ khơng âm đặt t = sin x Nếu m số lẻ khơng âm đặt t = cos x Nếu m, n số chẵn không âm biến đổi biểu thức dấu tích phân sin x cos x = sin 2x, 1 sin2 x = (1 − cos 2x), cos2 x = (1 + cos 2x) 2 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH TP HCM — 2016 77 / 85 Tích phân hàm lượng giác Tích phân dạng VÍ DỤ 5.6 Tính tích phân I = sin4 x cos5 xdx Đặt t = sin x Khi dt = cos xdx I= t (1 − t )2 dt = (t − 2t + t )dt = = t5 − t7 + t9 + C = = sin5 x − sin7 x + sin9 x + C TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH TP HCM — 2016 78 / 85 Tích phân hàm lượng giác Tích phân dạng VÍ DỤ 5.7 sin3 xdx Tính tích phân I = cos x cos x Đặt t = cos x, dt = − sin xdx I= =− (1 − cos2 x) cos−4/3 x sin xdx = (1 − t )t −4/3 dt = − = 3t −1/3 + t 5/3 +C = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) t −4/3 dt + t 2/3 dt = 3 3 + cos x cos2 x+C cos x TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH TP HCM — 2016 79 / 85 Tích phân hàm lượng giác Tích phân dạng VÍ DỤ 5.8 Tính tích phân I = sin2 x cos2 xdx 1 sin2 2x = (1 − cos 4x)dx = 1 dx − cos 4xdx = x − sin 4x + C 8 32 I= = TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH TP HCM — 2016 80 / 85 Tích phân hàm lượng giác Tích phân dạng TÍCH PHÂN DẠNG sin mx cos nxdx, cos mx cos nxdx, sin mx sin nxdx Sử dụng công thức lượng giác sau sin α cos β = [sin(α + β) + sin(α − β)] cos α cos β = [cos(α + β) + cos(α − β)] sin α sin β = [cos(α − β) − cos(α + β)] TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH TP HCM — 2016 81 / 85 Tích phân hàm lượng giác Tích phân dạng VÍ DỤ 5.9 Tính tích phân I = x x cos x cos cos dx x 3x x + cos cos dx = 2 3x x x x = cos cos dx + cos cos dx = 2 2 7x 3x 5x x cos + cos cos + cos dx = dx + = 4 4 4 7x 5x 3x x = sin + sin + sin + sin + C 4 I= TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) cos TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH TP HCM — 2016 82 / 85 Tích phân hàm lượng giác TÍCH PHÂN DẠNG Tích phân dạng a1 sin x + b1 cos x dx a2 sin x + b2 cos x Cách giải Phân tích a1 sin x + b1 cos x = A(a2 sin x + b2 cos x) + B(a2 sin x + b2 cos x) ⇔ a1 sin x + b1 cos x = A(a2 cos x − b2 sin x)+ +B(a2 sin x + b2 cos x) ⇔ a1 sin x + b1 cos x = (Ba2 − Ab2 ) sin x + (Aa2 + Bb2 ) cos x ⇒ a1 = Ba2 − Ab2 ⇒ Giải hệ tìm A, B b1 = Aa2 + Bb2 Vậy I = A ln |a2 sin x + b2 cos x| + Bx + C TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH TP HCM — 2016 83 / 85 Tích phân hàm lượng giác Tích phân dạng VÍ DỤ 5.10 Tính tích phân I = sin x + cos x dx sin x + cos x sin x + cos x = A(sin x + cos x) + B(sin x + cos x) ⇔ sin x + cos x = A(cos x − sin x) + B(sin x + cos x) ⇔ sin x + cos x = (B − 3A) sin x + (A + 3B) cos x ⇒ Vậy I = − = B − 3A ⇔ = A + 3B A = − 10 B = 11 10 11 ln | sin x + cos x| + x + C 10 10 TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH TP HCM — 2016 84 / 85 Tích phân hàm lượng giác Tích phân dạng CÁM ƠN CÁC EM ĐÃ CHÚ Ý LẮNG NGHE TS Lê Xuân Đại (BK TPHCM) TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH TP HCM — 2016 85 / 85