tích phân xác định

1 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH VÀ CÁC ỨNG DỤNG  1.1.1 §Þnh nghÜa:  !" #$%&' !"($$)*$+ , - .  . / . .… 0 . 0# . .…  , #1*2$3  04 ! 0 "567$)*  60859:+ 1 1 ( ) n S f x x = D 2 2 ( ) f x x + +D ( ) n n f x x + D ( ) 1 n k k k f x x = = D å k ξ O x y x k – 1 ξ k f(ξ k ) x k 2 #;<%0$=*!  >?@$*A$@$3 0BC%A$ !"D $)*      3   04 E  0 " 8 $@$ 3 F GH D$ 5  I*=J !"!0'$K%5  L$FF$0M !" ([a,b] lµ kho¶ng lÊy tÝch ph©n, a lµ cËn díi , b lµ cËn trªn, x lµ biÕn sè lÊy tÝch ph©n, f(x) lµ h m s díi dÊu tÝch ph©n, f(x)dx à ố lµ biÓu thøc díi dÊu tÝch ph©n). n → +∞ k x ( ) b a f x dx ∫ #;<% *= 5$C !" *=Jà ố ặ FN%3$)*$ 3 !"8F0M  !" 0 k x∆ → 3 $ -E"3OP%567$)* 5?%*QM$I*2$3O!0$FF+ ∆ 0 ,!, 0 ,00,!/! !*0$…   1 2 0 x dx ∫ 1 2 0 x dx ∫ ( ) 2 max 0 1 lim k n k k x k x x D ® = = D å k ξ 1 n 0 k x ∆ → 1.1.2. VD:1  k ξ R8, / 5$C -E"F0M -E"!>F F+ 1 n n → ∞ 4 1 2 0 x dx = ò 2 1 1 1 lim . n n k k n n ¥® = æ ö ÷ ç ÷ ç ÷ ç è ø å 2 3 1 1 lim n n k k n ¥® = = å 2 2 2 3 1 lim (1 2 ) n n n ¥® = + + + 3 ( 1)(2 1) li m 6 n n n n n ¥® + + = 1 2 0 1 3 x dx = ò Vậy, 1 3 = Do đó: 5 ( ) b a f x dx ∫ S;<%-!∈ E"8-  S;<%≥ !∈ E"8+ ≥  S;<%*≤≤T!∀∈ E"T!*5P=J8+  *4≤≤T4 /6I ( ) * b a k f x dx ò ( ) * b a f x dx ò ( ) * [ ( )] b a f x g x dx+ ò ( ) a b f x dx=- ò ( ) b a f x dx ò ( ) c a f x dx= + ò ( ) b c f x d x ∫ ( ) * b a f x dx ò ≥ ∀ ( ) b a f x d x= + ò ( ) b a g x dx ∫ ∀ ( ) b a k f x dx= ò ≥ ( ) b a g x dx ∫ ( ) b a f x dx ò 6 * Giả sử trên [a, b], m ≤ f(x) ≤ M và g(x) khả tích. +Nếu g(x) không đổi dấu trên [a, b] thì ∃ µ ∈ [m, M] sao cho : f(x)g(x)dx ≤ µ g(x)dx. Hệ quả: g(x) = 1: ∃ µ ∈ [m, M] sao cho f(x)dx = µ (b – a) +Nếu f(x) ∈ C[a, b] thì ∃c ∈[a, b] sao cho: f(x)g(x)dx = f(c) g(x)dx Hệ quả: g(x) = 1: ∃c ∈[a, b] sao cho f(x)dx = f(c)(b – a). *Tích phân trên miền đối xứng của hàm chẵn, hàm lẻ +Nếu f( – x) = – f(x) thì f(x)dx = 0, +Nếu f( – x) = f(x) thì f(x)dx = 2 f(x)dx b a ∫ b a ∫ b a ∫ b a ∫ b a ∫ b a ∫ b a ∫ b a ∫ b a ∫ 7 Vì 0 ≤ sin 2 x ≤ 1 trên [0; ] nên 1≤ . 2 2 0 1 1 sin 2 xdx π + ∫ 2 1 3 1 sin 2 2 x + ≤ 2 π 2 2 0 1 1 sin 2 xdx p +£ £ ò 3 2 2 π VD:U@5GH$á I1V+W,ị 2 p Do đó: hay 1,57 ≤ I ≤ 1,92 8 dx x C = + ∫ 1 ln , ( 0)dx x C x x = + > ∫ 1 , ( 1) 1 x x dx C α α α α + = + ≠ − + ∫ x x e dx e C = + ∫ ,( 0, 1) ln x x a a dx C a a a = + > ≠ ∫ sinx osdx c x C = − + ∫ os sinc dx x C = + ∫ 2 1 os dx tgx C c x = + ∫ 2 1 sin dx cotgx C x =− + ∫ 2 2 dx x arctg C a x a = + + ∫ 2 2 1 ln 2 dx a x C a x a a x + = + − − ∫ 2 2 arcsin dx x C a a x = + − ∫ 2 2 2 2 ln dx x x a C x a = + ± + ± ∫ 1.3.Cách tính tích phân xác định 1.3.1.Các tích phân cơ bản 9 ( ) ( ) ( ) ( ) b a b f x dx F x F b F a a = = - ò 0 sin ( cos ) os + cos0= 2 0 xd x x c p p p = - = - ò 1.3.2Công thức Newton –Leibniz: Nếu F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) liên tục trên [a;b] thì: * VD: 10 1.4.1 Dạng 1: Cho trong đó f(x) liên tục trên [a;b], thực hiện phép đổi biến x = ϕ(t). Nếu: + ϕ(α) =a , ϕ( ) = b + ϕ(t) và ϕ’(t) liên tục trên [α; ]. + f[ϕ(t)] liên tục trên [α; ] ( ) b a f x dx ∫ β β ( ) b a f x dx = ò ( ) ( ) 'f t t dt β α ϕ ϕ     ∫ β Khi đó ta có: 1.4. Phép đổi biến trong tích phân xác định [...]... -a Do đó : a a = ũ f ( - x )dx 0 a a a 0 f ( x ) dx = [ f ( x) + f ( x)]dx Vậy: a a 0 Nếu f(x) là hàm lẻ a f ( x ) dx = 2 f ( x)dx Nếu f(x) là hàm chẵn 12 0 1.4.2.Dạng 2: Nếu hàm số dưới dấu tích phân có dạng f(x) = g[(x)] (x) thì để tính b a f ( x ) dx = b g ộ ( x ) ự ' ( x )dx j j ũ ờ ỳ ở ỷ a ta đổi biến số (x) = t Nếu (x) biến thiên đơn điệu và có đạo hàm (x) liên tục trên [a;b] còn... 1- cos a Nhưng vì: a 2 sin 1 - cos a a 1 + cos 2 = cot g = tg ( ) = = tg , sin 2 2 2 sin a a a 2 2 sin cos 2 2 1 dx 1 Nên: 1 x 2 2 x cos + 1 = sin ( 2 + 2 2 ) = 2sin 2 15 1.5.Phộp ly tích phân từng phần Gi s u(x), v(x) là những hàm số có đạo hàm liên tục trên [a;b], khi đó: * VD 1: Tính b b b udv = uv a vdu a a e ln xdx 1 Ta có u = lnx => du = dx dv = dx => v = x e e e ln xdx =... 2m - 3) 3.1 p = 2 2m ( 2m - 2) 4.2 + Nu n l (n =2m+1) thỡ I 2m + 1 ( 2m ) ( 2m - 2) 4.2 = (2m + 1) ( 2m - 1) 5.3 18 + VD: Tính diện tích mặt tròn xoay sinh bởi sự quay quanh trục 2 3 Ox của cung y=x3 với x 2 3 Vì tính đối xứng của đường y=x3, chỉ cần tính 1/2 diện tích mặt 2 tròn xoay ứng với x biến thiên từ 0 đến 3 2 Ta cú: 3 S = 2.2pũ x 3 1 + 9x 4 dx 0 Đổi biến 1+ 9x4 = t, ta được 36x3dx = dt, . 2 arcsin dx x C a a x = + − ∫ 2 2 2 2 ln dx x x a C x a = + ± + ± ∫ 1.3.Cách tính tích phân xác định 1.3.1.Các tích phân cơ bản 9 ( ) ( ) ( ) ( ) b a b f x dx F x F b F a a = = - ò 0 sin ( cos ). 1 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH VÀ CÁC ỨNG DỤNG  1.1.1 §Þnh nghÜa: . dx = ò ( ) ( ) 'f t t dt β α ϕ ϕ     ∫ β Khi đó ta có: 1.4. Phép đổi biến trong tích phân xác định 11 1 2 0 1 x dx − ∫ 2 2 t π π − ≤ ≤ 2 2 1 cos cosx t t − = = 1 2 0 1 x dx − ∫ 2 2 0 cos