1 TCH PHN XC NH V CC NG DNG 1.1. Định nghĩa tích phân xác định 1.1.1 Định nghĩa: Cho HS f(x) xác định và bị chặn trên [a,b]. + Chia tuỳ ý [a,b] bởi các điểm chia: a= x 0 < x 1 < x 2 << x k < x k+1 << x n = b + Trên mỗi đoạn [x k-1 , x k ] lấy điểm bất kì và lập tổng : 1 1 ( ) n S f xx= D 2 2 ( ) f xx+ D + ( ) n n f xx+ D ( ) 1 n k k k f xx = = D ồ k O x y x k 1 k f( k ) x k 2 + Nếu khi sao cho max , S n dần tới một giới hạn xác định S không phụ thuộc vào cách chia [a, b] và cách chọn điểm trong đoạn [ x k-1 ; x k ] thì giới hạn đó đ ợc gọi là tích phân xác định của hàm số f(x) trên [a,b], ký hiệu là . Khi đó ta nói f(x) khả tích trên [a,b] . ([a,b] là khoảng lấy tích phân, a là cận d ới , b là cận trên, x là biến số lấy tích phân, f(x) là h m s d ới dấu tích phân, f(x)dx là biểu thức d ới dấu tích phân). n + k x ( ) b a f x dx + Nếu h m s f(x) liên tục trên [a,b] ho c hàm số f(x) bị chặn và có hữu hạn điểm gián đoạn trên [a,b] thì nó khả tích trên [a,b]. 0 k x 3 Chia [0;1] thành n đoạn nhỏ bằng nhau và lấy các điểm là đầu mút phải của mỗi đoạn nhỏ, khi đó ta có : x k = , = x k =k. ( k = 1,2,,n ) và max khi 1 2 0 x dx 1 2 0 x dx ( ) 2 max 0 1 lim k n k k x k xx D đ = = D ồ k 1 n 0 k x 1.1.2. VD: Tính k Vì f(x) = x 2 liên tục trên [0;1] nên nó khả tích trên [0;1], do đó ta có: 1 n n 4 1 2 0 x dx = ò 2 1 1 1 lim . n n k k n n ®¥ = æ ö ÷ ç ÷ ç ÷ ç è ø å 2 3 1 1 lim n n k k n ®¥ = = å 2 2 2 3 1 lim (1 2 ) n n n ®¥ = + + + 3 ( 1)(2 1) lim 6 n n n n n ®¥ + + = 1 2 0 1 3 x dx = ò Vậy, 1 3 = Do đó: 5 ( ) b a f x dx ∫ * NÕu f(x) 0, x∈[a;b] th× 0 * NÕu f(x) ≥ g(x), x∈[a;b] th× : ≥ * NÕu m ≤ f(x) ≤ M,∀x∈[a;b] (M, m lµ h»ng sè) th× : m(b-a) ≤ ≤ M(b-a) 1.2. C¸c tÝnh chÊt cña tÝch ph©n x¸c ®Þnh ( ) * b a kf x dx ò ( ) * b a f x dx ò ( ) * [ ( )] b a f x g x dx+ ò ( ) a b f x dx=- ò ( ) b a f x dx ò ( ) c a f x dx= + ò ( ) b c f x dx ∫ ( ) * b a f x dx ò ≥ ∀ ( ) b a f x dx= + ò ( ) b a g x dx ∫ ∀ ( ) b a k f x dx= ò ≥ ( ) b a g x dx ∫ ( ) b a f x dx ò 6 * Giả sử trên [a, b], m ≤ f(x) ≤ M và g(x) khả tích. +Nếu g(x) không đổi dấu trên [a, b] thì ∃ µ ∈ [m, M] sao cho : f(x)g(x)dx ≤ µ g(x)dx. Hệ quả: g(x) = 1: ∃ µ ∈ [m, M] sao cho f(x)dx = µ (b – a) +Nếu f(x) ∈ C[a, b] thì ∃c ∈[a, b] sao cho: f(x)g(x)dx = f(c) g(x)dx Hệ quả: g(x) = 1: ∃c ∈[a, b] sao cho f(x)dx = f(c)(b – a). *Tích phân trên miền đối xứng của hàm chẵn, hàm lẻ +Nếu f( – x) = – f(x) thì f(x)dx = 0, +Nếu f( – x) = f(x) thì f(x)dx = 2 f(x)dx b a ∫ b a ∫ b a ∫ b a ∫ b a ∫ b a ∫ b a ∫ b a ∫ b a ∫ 7 Vì 0 ≤ sin 2 x ≤ 1 trên [0; ] nên 1≤ . 2 2 0 1 1 sin 2 xdx π + ∫ 2 1 3 1 sin 2 2 x+ ≤ 2 π 2 2 0 1 1 sin 2 xdx p £ + £ ò 3 2 2 π VD: ¦íc l îng giá tr cña TP: I = ị 2 p Do đó: hay 1,57 ≤ I ≤ 1,92 8 dx x C= + ∫ 1 ln , ( 0)dx x C x x = + > ∫ 1 , ( 1) 1 x x dx C α α α α + = + ≠ − + ∫ x x e dx e C= + ∫ ,( 0, 1) ln x x a a dx C a a a = + > ≠ ∫ sinx osdx c x C=− + ∫ os sinc dx x C= + ∫ 2 1 os dx tgx C c x = + ∫ 2 1 sin dx cotgx C x =− + ∫ 2 2 dx x arctg C a x a = + + ∫ 2 2 1 ln 2 dx a x C a x a a x + = + − − ∫ 2 2 arcsin dx x C a a x = + − ∫ 2 2 2 2 ln dx x x a C x a = + ± + ± ∫ 1.3.Cách tính tích phân xác định 1.3.1.Các tích phân cơ bản 9 ( ) ( ) ( ) ( ) b a b f x dx F x F b F a a = = - ò 0 sin ( cos ) os +cos0=2 0 xdx x c p p p= - = - ò 1.3.2Công thức Newton –Leibniz: Nếu F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) liên tục trên [a;b] thì: * VD: 10 1.4.1 Dạng 1: Cho trong đó f(x) liên tục trên [a;b], thực hiện phép đổi biến x = ϕ(t). Nếu: + ϕ(α) =a , ϕ( ) = b + ϕ(t) và ϕ’(t) liên tục trên [α; ]. + f[ϕ(t)] liên tục trên [α; ] ( ) b a f x dx ∫ β β ( ) b a f x dx = ò ( ) ( ) 'f t t dt β α ϕ ϕ ∫ β Khi đó ta có: 1.4. Phép đổi biến trong tích phân xác định [...]... - t)dt Do đó : a = ũ f ( - x)dx 0 a a a 0 f ( x ) dx = [ f ( x) + f ( x)]dx Vậy: a a 0 Nếu f(x) là hàm lẻ a f ( x ) dx = 2 f ( x) dx Nếu f(x) là hàm chẵn 0 12 1.4.2.Dạng 2: Nếu hàm số dới dấu tích phân có dạng f(x) = g[(x)] (x) thì để tính b a b j j f ( x ) dx = ũ g ộ ( x) ự '( x)dx ờ ỳ ở ỷ a ta đổi biến số (x) = t Nếu (x) biến thiên đơn điệu và có đạo hàm (x) liên tục trên [a;b] còn g(t) liên... a - 1- cosa Nhng vì: a 2sin 1- cosa 2 = tg a , 1 + cos = cot g = tg ( ) = sin 2 2 2 sin a a a 2 2sin cos 2 2 1 dx 1 Nên: 1 x 2 2 x cos + 1 = sin ( 2 + 2 2 ) = 2sin 2 15 1.5.Phộp ly tích phân từng phần Gi s u(x), v(x) là những hàm số có đạo hàm liên tục trên [a;b], khi đó: * VD 1: Tính b b b udv = uv a vdu a a e ln xdx 1 Ta có u = lnx => du = dx dv = dx => v = x e e e ln xdx =... 1) ( 2m - 3) 3.1 p = 2 2m( 2m - 2) 4.2 + Nu n l (n =2m+1) thỡ I 2m+1 ( 2m) ( 2m - 2) 4.2 = (2m + 1 ( 2m - 1) 5.3 ) 18 + VD: Tính diện tích mặt tròn xoay sinh bởi sự quay quanh trục 2 3 Ox của cung y=x3 với x 2 3 Vì tính đối xứng của đờng y=x3, chỉ cần tính 1/2 diện tích mặt 2 tròn xoay ứng với x biến thiên từ 0 đến 3 2 Ta cú: 3 S = 2.2pũ x3 1 + 9x4dx 0 Đổi biến 1+ 9x4 = t, ta đợc 36x3dx = dt, 2 . f(x) khả tích trên [a,b] . ([a,b] là khoảng lấy tích phân, a là cận d ới , b là cận trên, x là biến số lấy tích phân, f(x) là h m s d ới dấu tích phân, f(x)dx là biểu thức d ới dấu tích phân) . n. 1 TCH PHN XC NH V CC NG DNG 1.1. Định nghĩa tích phân xác định 1.1.1 Định nghĩa: Cho HS f(x) xác định và bị chặn trên [a,b]. + Chia tuỳ ý [a,b] bởi các điểm. S n dần tới một giới hạn xác định S không phụ thuộc vào cách chia [a, b] và cách chọn điểm trong đoạn [ x k-1 ; x k ] thì giới hạn đó đ ợc gọi là tích phân xác định của hàm số f(x) trên [a,b],