Chơng Tích phân bất định 4.1 Nguyên hàm định nghĩa tích phân bất định 4.1.1 Nguyên hàm Trong chơng ta giả thiết a, b số thực, a < b Định nhĩa 4.1 Hàm F(x) đợc gọi nguyên hàm hàm f(x) (a;b), nÕu: F′ (x) = f(x) (∀x ∈ (a;b)) VÝ dô 4.1 2 (i) f(x) = x có nguyên hàm F(x) = x , (x) = x +4 (−∞;+∞) 2 V×: F′ (x) = x = f(x); Φ′ (x) = x = f(x) (∀x ∈ (−∞;+∞)) (ii) f(x) = x1 có nguyên hàm F(x) = ln |x| (;+)\{0} vì: F (x) = x1 = f(x) ) (x (;+)\{0}) Định lý 4.1 Nếu F(x) nguyên hàm f(x) (a;b) Khi đó, (i) Với C số tuỳ ý F(x) + C nguyên hàm f(x) (a;b) (ii) Mọi nguyên hàm f(x) (a;b) có dạng F(x) + K với K số Chứng minh (i) Với C sè tuú ý th× [F(x) + C]′ = F′ (x) = f(x) (∀x∈ (a;b)) VËy F(x) + C lµ mét nguyên hàm f(x) (a;b) (ii) Giả sử (x) nguyên hàm f(x) (a;b) nghĩa lµ Φ′ (x) = f(x) (∀x ∈ (a;b)) ⇒ [F(x) − Φ(x)]′ = F′ (x) − Φ′ (x) = f(x) − f(x) = (∀x ∈ (a;b)) ⇒ F(x) − Φ(x) = K (∀x ∈ (a;b)) víi K lµ mét số đó.(đpcm) ý nghĩa định lý Nếu f(x) có nguyên hàm (a;b) có vô số nguyên hàm (a; b) hai nguyên hàm khác f(x) (a;b) sai khác số Định lý 4.2 Nếu f(x) liên tục (a;b) có nguyên hàm (a; b) Chú thích (i) Định nghĩa 4.1 định lý 4.1, 4.2 thay (a; b) [a; b] Vì thay (a; b) X hợp tập có dạng (a; b) vµ [c; d] víi a, b, c, d, lµ số thực (ii) Trong chơng này, ta xét đến nguyên hàm hàm liên tục Nếu hàm đợc cho cụ thể có điểm gián đoạn, ta khảo sát nguyên hàm khoảng mà liên tục Vì vậy, đà thừa nhận định lý 4.2 tính nguyên hàm hàm ta không cần xét tồn nguyên hàm 4.1.2 Định nghĩa tích phân bất định Định nghĩa 4.2 Nếu F(x) nguyên hàm f(x) (a;b) Thì biểu thức F(x) + C với C số tuỳ ý, đợc gọi tích phân bất định hàm f(x) (a;b) ký hiệu là: ∫ f ( x ) dx Trong ®ã, ∫ đợc gọi dấu tích phân; f(x) đợc gọi hàm số dới dấu tích phân; f(x)dx đợc gọi biểu thức dới dấu tích phân; x biến số lÊy tÝch ph©n VËy: ∫ f ( x ) dx = F(x) + C xdx = x + C; (ii) ∫ cos xdx = − sin x + C 4.1.3 Tính chất tích phân bất định Tính chất 4.1 Nếu f(x) có nguyên hàm (a;b) th×: VÝ dơ 4.2 (i) ′ ∫ f ( x ) dx = f ( x ) (∀x ∈ (a;b)); d ∫ f ( x ) dx = f ( x ) dx (∀x ∈ (a;b)) TÝnh chÊt 4.2 NÕu F(x) lµ hàm khả vi (a;b) thì: d F ( x ) = F(x) + C (∀x ∈ (a;b)) TÝnh chÊt 4.3 NÕu f(x), h(x) cã nguyên hàm (a;b) thì: f ( x ) ± h ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx ± ∫ h ( x ) dx ; ∫ kf ( x ) dx = k∫ f ( x ) dx víi k số tuỳ ý 4.1.4 Bảng tích phân f ( x ) dx (a;b) Nhận xét 4.1 Từ định nghĩa 4.2 ta thấy muốn tính cần tìm nguyên hàm f(x) (a;b) cộng với C Từ ta có bảng tích phân sau:(với a > ) x+1 ∫ x dx = α + + C (α ≠ −1) dx ∫ x = ln x + C α ax ∫ a dx = ln a + C (0 < a ≠ −1) ∫ e dx = e x x x +C ∫ sin xdx = − cos x + C ∫ cos xdx = sin x + C dx ∫ cos2 x = tgx + C dx ∫ sin2 x = − cot gx + C dx ∫ + x2 = arctgx + C = − arc cot gx + C , dx ∫ 1− x = arcsin x + C = − arccos x + C dx x ∫ a2 + x2 = a arctg a + C ∫ dx ∫ ∫ a2 − x x ±a VÝ dô 4.3 TÝnh tích phân sau: a) ( 3x ) + x − dx ; b) x ∫ + x2 dx ; a2 − x2 dx = ln x + x2 ± a2 + C dx c) dx = = arcsin x +C a a+ x ln +C 2a a − x ∫ sin2 x cos2 x ; d) ∫ tgxdx Gi¶i a) ∫ ( 3x ) + x − dx = 3∫ x2 dx + ∫ xdx − ∫ dx = x3 + x − x + C ( ) b) x d 1+ x ∫ + x2 dx = ∫ + x2 = ln + x + C c) dx sin2 x + cos2 x = ∫ sin2 x cos2 x = ∫ sin2 x cos2 x dx =∫ ( ) dx dx +∫ = tgx − cot gx + C cos2 x sin2 x d cos x = − ln cos x + C cos x VÝ dô 4.4 TÝnh tích phân sau: d) sin x tgxdx = ∫ cos xdx = − ∫ a) ∫ sin kxdx , cos kxdx (với k số khác 0); dx b) ∫ ; + 2x dx c) ∫ ; sin4 x + cos4 x ∫ d) (x− dx x2 − ) ∫ sin kxdx = k ∫ sin kxdkx = − k cos kx + C , Gi¶i a) ∫ cos kxdx = 1 cos kxdkx = sin kx + C k∫ k b) ( ) ( ) x x d + 2x dx 3+2 −2 1 x x = ∫ dx = ∫ dx − = − ∫ + 2x 3 + 2x ∫ + x 3 ln ln + + C 3 ln dx c) dx ∫ sin4 x + cos4 x = 2∫ − sin2 x = 2∫ + cos2 x = ∫ =∫ d) dx ∫ ( ( 1+ cos2 x ) dx cos2 x = d2 x dtg2 x tg2 x =∫ = arctg + C 2 2 + tg x cos x + tg x 2 dx x − x2 − ) ( ) = ∫ x + x2 − 16 = dx = ( ) 2 ∫ x + x x − + x − dx 16 = ( 2 ∫ x dx + 16 ∫ x − VÝ dô 4.5 TÝnh ) d( x 2 ) −4 − 1 ∫ dx = 24 x + 24 (x −4 ) − x + C ∫ f ( x ) dx víi f(x) lµ hµm hữu tỷ theo x áp dụng tính: x3 + x − x + dx ∫ x4 + x Pn ( x ) ®ã Pn(x) Pm ( x ) Giải f(x) hàm hữu tỷ theo x nghĩa f(x) = Pm(x) (m,n nguyên dơng) lần lợt đa thức bậc n, m theo x Pm(x) đa thức bậc m theo x nên đợc phân tích thành tích nhị thức bậc tam thức bậc hai vô nghiệm Vì vậy, để tính ticha phân ngời ta tách hàm f(x) (theo phơng pháp hệ số bất định) A thành tổng biểu thức có dạng ( x − x0 ) k ( ax Bx + C + bx + c ) p víi A, B, C, x0 , k, p số thoả mÃn: a > 0; k p nguyên, không âm Sau tách tích phân đà cho thành tổng tích phân áp dụng tính: I = x3 + x − x + dx ∫ x4 + x Ta cã: x4 + x = x(x +1)(x2−x + 1) nªn x3 + x − x + 1 2x x3 + x − x + = − + f(x) = = x x +1 x − x +1 x ( x + 1) x − x + x4 + x ( VËy ) 2x dx dx xdx 1 + dx = ∫ − 2∫ + 2∫ I = ∫ − x x +1 x − x +1 x x + x − x + 1 ( ) d x2 − x + dx = dx − dx + ∫ x ∫ x + ∫ x2 − x + + ∫ x2 − x + = ln ( ) x x2 − x + ( x + 1) + 2x − arctg + C 3 4.2 Các phơng pháp tính tích phân bất định Trong thực tế, sử dụng bảng tích phân tính chất tích phân bất định để giải toán tính tích phân bất định, nhiều trờng hợp không giải đợc Để khắc phục điều đó, sau đa hai phơng pháp tính tích phân bất định 4.2.1 Phơng pháp đổi biến số Giả sử cần tính tích phân f ( x ) dx (x [a; b]) Nếu đặt x = (t) (t) tăng (hoặc giảm), khả vi [; ], (t) liên tục [; ]; có miền giá trị [a; b]; (t) ≠ (∀ t ∈ (α; β)) Th×: ∫ f ( x ) dx = ∫ f ϕ ( t ) ϕ′ ( t ) dt (công thức gọi công thức đổi biến số tính tích phân) Chứng minh Với x [a; b] ta cã: ′ ∫ f ( x ) dx = f ( x ) x (4.1) Mặt khác, (t) tăng (hoặc giảm), khả vi liên tục [; ]; (t) ( t (; )) có miền giá trị [a; b] Do đó, tồn hàm ngợc t = t(x) tăng (hoặc giảm), khả vi liên tục [a; b], có miền giá trị 1 = [α; β] vµ: dx = ϕ′ (t)dt, t′ (x) = ′ x ( t ) ϕ′ ( t ) ⇒ { ∫ f ϕ ( t ) ϕ′ ( t ) dt} ′ x = { ∫ f ϕ ( t ) ϕ′ ( t ) dt} ′ t t′ x = f ϕ ( t ) ϕ′ ( t ) t′ = f ϕ ( t ) ϕ′ ( t ) = f ϕ ( t ) = f ( x ) x x′ (4.2) t Tõ (4.1) vµ (4.2.) suy điều phải chứng minh Chú ý 4.1 (i) Kết thay [a; b] [; ] tơng ứng thay (a; b) (; ) (ii) Khi sử dụng phơng pháp đổi biến số (đặt x = (t)) để tính tích phân, ta phải kiểm tra đầy đủ điều kiện hàm (t) Ví dụ 4.6 Tính tích phân sau: a) Giải a) x2 dx Hµm f(x) = ∫ − x2 dx , b) ∫ x2 + dx − x2 xác định [3;3] Đặt x = sin t = ϕ (t) t ∈ [ −π ; π ] (t) tăng [ ; π ], ϕ′ (t) = 3cost ≠ 0, liªn tơc trªn ( −π ; π ), cã miền giá trị [3;3] Vì t [ −π ; π ]⇒ − x2 = − sin2 t = cos t = cos t ; dx = 3cost dt 2 ⇒ ∫ − x dx = ∫ cos tdt = 9t ∫ ( + cos2t ) dt = + sin 2t + C x x = arcsin + sin arcsin ÷ + C 3 b) ∫ x2 + dx Hµm f(x) = x2 + xác định (;+) Đặt x = tg t = ϕ (t) (t ∈( ; )) (t) tăng trªn( −π ; π ), ϕ′ ≠ 0, liªn tơc trªn ( −π ; π ), cã miền giá trị (;+) 2 cos t (t) = ⇒ dx = ∫ dt ; cos2 t x + dx = ∫ x2 + = tg t + = ( 2 = (v× t∈ ( −π ; π )) VËy: cos t cos t cos t d sin t dt dt dt = ∫ = ∫ cos4 t tg t + = 4∫ − sin2 t cos2 t cos3 t ) ( ) = d ( + sin t ) d ( − sin t ) d sin t + d sin t = − ∫ + 2∫ +∫ = ∫ 1 − sin t + sin t − sin2 t ( + sin t ) ( − sin t ) 2 1 + sin t − + ln +C= − sin t + sin t − sin t ( ) ( ) −2 + tg t sin t + ln + tg t ( + sin t ) + C x2 x x2 x = − + ÷sin arctg ÷ + ln + ÷1 + sin arctg ÷ + C 2 Chó ý 4.2 NÕu tÝch ph©n cã d¹ng ′ −1 −1 ∫ f ϕ ( t ) ϕ ( t ) dt , ta đặt t = (x) Trong đó, (x) tăng (hoặc giảm), khả vi [a; b], ϕ′ (x) liªn tơc trªn [a; b]; cã miỊn giá trị [; ]; (x) ( t ∈ (a; b)) th×: ′ f ( x ) dx = ∫ f ϕ−1 ( t ) ϕ−1 ( t ) dt ∫ Kết thay [a; b] [; ] tơng ứng (a; b) (; ) Ví dụ 4.7 Tính tích phân sau: a) Gi¶i a) ∫ ( 3x − 5) 19 ∫ ( 3x − 5) 19 dx , b) ∫( ) x − x dx dx Hµm f(x) = (3x 5)19 xác định (;+) Đặt t = 3x = (x) Thì (x) xác định, tăng (;+); (x) = ( 0) liên tục (;+); có miền giá trị (;+) Vậy ∫ ( 3x − 5) b) ∫( 19 dx = 19 20 20 ∫ t dt = 60t + C = 60 ( x − 3) + C ) x − x dx Hàm f(x) = Đặt t = x x xác định [0;+) x = (x) Thì (x) xác định, tăng [0;+); (x) = 6 x5 0) liªn tơc trªn (0;+∞); cã miỊn gÝa trÞ [0;+∞) VËy: ∫( ) ( ) x − x dx = ∫ t − t t5 dt = ∫ t 8dt − ∫ t dt = t − t + C 26 36 x − x +C VÝ dô 4.8 Tính tích phân sau: = ( a) Giải a) dx ∫2+ 7+ x , b) ∫x dx , x−3 c) ∫ dx x e +3 , d) ∫ arcsin 2xdx − 4x dx Hàm f(x) = xác định (;+)\{15} 2+ 7+ x 2+ 7+ x Đặt t = + + x = ϕ (x) víi x 15 Thì (x) xác định, tăng (;+)\{15}; ϕ′ (x) = 33 ( + x) ( 0) liên tục (;+)\{15}; có miền giá trị (−∞;+∞)\{0} VËy : ( t − ) dt = tdt − 12 dt + 12 dt = t2 − 12t + 12 ln t + C dx = 3∫ ∫2+ 7+ x ∫ ∫ ∫t t = ∫x b) ( 2+ 37+ x ) − 24 − 12 + x + 12 ln + + x + C dx Hàm f(x) = xác định (3;+) x3 x x3 Đặt t = x = (x) Thì (x) xác định, tăng (3;+); (x) = ( 0) liên tục (3;+); có miền giá trị (0;+) Vậy: x−3 ∫x dx 2tdt =∫ = 2∫ x−3 t +3 t ( ) dt ( 3) + t2 = t x−3 arctg +C= arctg +C 3 3 c) ∫ dx x e +3 Hàm f(x) = x e +3 xác định (;+) Đặt t = e x + = (x) Thì (x) xác định, tăng (;+); (x) = (3;+); có miền giá trị ( ;+∞) VËy: ex ex + (≠ 0) liªn tơc ∫ dx tdt dt =∫ = 2∫ t − 3t ex + t2 − ( ) ∫ d) arcsin xdx − x2 t− = ln +C = ln t+ 3 Hµm f(x) = arcsin x − x2 ex + − ex + + +C 1 xác định ( ; ) 2 1 Đặt t = arcsin2x= (x) Thì (x) xác định, tăng ( ; ); (x) = 2 1 (≠ 0) liªn tơc trªn (− ; ); có miền giá trị (1;1) 2 x2 ⇒ dx = ∫ dx dx dx = = cost dt ⇒ dt = VËy cos t − sin2 t − x2 arcsin xdx = ∫ tdt = t + C = arcsin2 x + C 4x 4.2.2 Phơng pháp tích phân phần Nếu u(x), v(x) hàm khả vi miền X thì: d(uv) = udv + vdu Lấy tích phân bất định hai vế đẳng thức trªn ta cã: ∫ u ( x ) dv ( x ) = u ( x ) v ( x ) − ∫ v ( x ) du ( x ) (Công thức đợc gọi công thức tích phân phần) Ví dụ 4.9 Tính tích ph©n sau: a) ∫ xe 2x dx , b) ∫e nx sin mxdx (n, m ≠ 0), c) ∫ x sin xdx , d) ∫ arc sin xdx Giải a) xe 2x dx Hàm f(x) = xe2x xác định (;+) Đặt u(x) = x u′ (x) = (∀x ∈ (−∞;+∞)); v′ (x) = e2x ⇒ v(x) = ⇒ ∫ xe 2x dx = 2x e (∀x ∈ (−∞;+∞)) 2x 2x 1 1 xe − ∫ e dx = xe2 x − ∫ e2 x d2 x = xe2 x − e2 x + C 2 4 10 b) ∫e nx sin mxdx (n, m 0) Hàm f(x) = enxsin mx xác định (;+) Đặt u(x) = sin mx u (x) = mcos mx (∀x ∈ (−∞;+∞)); v′ (x) = enx ⇒ v(x) = nx e (∀x ∈ (−∞;+∞)) n nx ⇒ ∫ e sin mxdx = nx m e sin mx − ∫ enx cos mxdx n n Đặt u1(x) = cos mx u1 (x) = −msin mx (∀x ∈ (−∞;+∞)); v1′ (x) = enx ⇒ v1(x) = nx ⇒ ∫ e sin mxdx = = nx e (∀x ∈ (−∞;+∞)) n nx m 1 m e sin mx − enx cos mx + ∫ enx sin mxdx n n n n nx m m2 e sin mx − enx cos mx − n n n nx ⇒ ∫ e sin mxdx = ∫e nx sin mxdx n m enx sin mx − enx cos mx + C 2 n +m n +m c) ∫ x sin xdx = 1 1 ∫ x ( − cos2 x ) dx = ∫ xdx − ∫ x cos xdx = x − x cos xdx Đặt u(x) = x ⇒ u′ (x) = (∀x ∈ (−∞;+∞)); v′ (x) = cos 2x ⇒ v(x) = sin 2x (∀x ∈ (−∞;+∞)) ⇒ ∫ x sin d) xdx = 1 1 x − x sin x + ∫ sin xdx = x − x sin x − cos x + C 4 4 ∫ arc sin xdx Hµm f(x) = arcsin x Đặt xác định ( ;+ ) 2 u(x) = arcsin x ⇒ u′ (x) = 11 1− x π π (∀x ∈ (− ;+ )); 2 π π v′ (x) = ⇒ v(x) = x (∀x ∈ (− ;+ )) 2 ⇒ ∫ ar sin xdx = x arcsin x − ∫ xdx 1− x = x arcsin x + ( ∫ 1− x ) −1 ( d − x2 ) = x arcsin x + − x + C VÝ dụ 4.10 Tính tích phân sau: a) xdx sin2 x , ∫x b) sin mxdx (m ≠ 0), c) ∫ Gi¶i a) dx (1+ x ) ∫ a2 + x2 dx (a > 0), d) xdx x Hàm f(x) = xác định (0; π) ∫ sin2 x sin2 x u(x) = x u (x) = (x (0; )); Đặt v′ (x) = ⇒ v(x) = −cotg x (∀x ∈ (0; π)) sin2 x ⇒ xdx cos x ∫ sin2 x = − x cot gx + ∫ cot gxdx = − x cot gx + ∫ sin xdx = − x cot gx + ∫ d sin x sin x = − x cot gx + ln sin x + C b) ∫x sin mxdx (m 0) Hàm f(x) = x2 sin mx xác định (;+) Đặt u(x) = x2 u (x) = 2x (∀x ∈ (−∞;+∞)); v′ (x) = sin mx ⇒ v(x) = Đặt x sin mxdx = − u1(x) = x cos mx (∀x ∈ (−∞;+∞)) m 2 x cos mx + ∫ x cos mxdx m m ⇒ u1′ (x) = (∀x ∈ (−∞;+∞)); v1′ (x) = cos mx ⇒ v1(x) = sin mx (∀x ∈ (−∞;+∞)) m 12 ⇒ ∫x =− c) ∫ 2 1 x cos mx + x sin mx − ∫ sin mxdx m m m m sin mxdx = − 2 x cos mx + x sin mx + cos mx + C m m m a2 + x2 dx (a > 0) Hàm f(x) = Đặt u(x) = x2 d) Đặt I = dx (1+ x ) Ta có: I = Đặt ( dx (1+ x ) Đặt dx 1+ x + x2 ⇒ 2 ∫ ( =∫ ∫ ,J= x a +x a +x 2 a2 + x2 − a2 a +x dx = x a2 + x − I + a2 ln x + a2 + x 1 x a2 + x + a2 ln x + a2 + x + C 2 ) dx (1+ x ) =∫ + x2 − x2 ( 1+ x ) dx = J − ∫ ( x2 dx + x2 ) ⇒ u′ (x) = (∀x ∈ (−∞;+∞)); u(x) = x v′ (x) = J= ( 2 dx = x a + x − ∫ dx = x a2 + x2 − ∫ a2 + x2 dx + a2 ∫ ⇒I= (∀x ∈ (−∞;+∞)); a2 + x2 ⇒ v(x) = x (∀x ∈ (−∞;+∞)) ⇒I= ∫ a + x dx = x a + x − ∫ x ⇒ u′ (x) = a2 + x2 v′ (x) = a2 + x2 xác định (−∞;+∞) ) x2 dx + x2 ⇒ v(x) = ) = + x2 − x2 (1+ x ) u1(x) = x ( −1 ( + x2 −x + x2 ) + ) (∀x ∈ (−∞;+∞)) x J ⇒I= 4 + x2 ( dx x dx dx = ∫ − + x2 ∫ + x ( ) 2 J = arctgx − ∫ ⇒ u1′ (x) = (∀x ∈ (−∞;+∞)); 13 ) + x dx (1+ x ) 2 x v1′ (x) = (1+ x ) ⇒ v1(x) = −1 ( + x2 ) (∀x ∈ (−∞;+∞)) x dx x − ∫ = + arctgx + C 2 2 1+ x 2 + 2x + 2x ⇒ J = arctgx + ⇒I= ( x + x2 ) + 3x + arctgx + C + x2 4.2.3 Tích phân số lớp hàm Thông qua ví dụ từ 4.3 đến 4.10 có đợc phơng pháp tính tích phân có dạng: Pn ( x ) e ∫e nx dx ; ∫ Pn ( x ) sin mxdx ; ∫ Pn ( x ) cos mxdx sin mxdx ; ∫ Pn ( x ) arcsin xdx ; ∫ Pn ( x ) arccos xdx ∫e nx mx ∫ cos mxdx ; ∫ a2 ± x2 dx ; ∫ f ( x, ∫ f ( x,cx + d ) dx ; k x2 − a2 dx ) x , n x dx ®ã f(x,t) hàm hữu tỷ theo x theo t, Pn(x) đa thức bậc n theo x; n, k số nguyên dơng; a số dơng; c, d, m số khác Sau đa phơng pháp tính tích phân số lớp hàm quan trọng khác Tính I = ∫ ( mx + n ax2 + bx + c ) k dx (a, b, c n, m, k số; a, m, k khác ax2 + bx + c = vô nghiệm) Ta cã: d(ax2 + bx + c) = (2ax + b)dx ; mx + n = m mb (2ax + b) + n − 2a 2a VËy: ∫ ( ( ) m d ax + bx + c mb dx dx = + n − k a ∫ ax2 + bx + c k a ∫ ax + bx + c ax2 + bx + c mx + n ) ( ) 14 ( ) k TÝch ph©n thø đà có dạng bản, tính tích phân thứ hai cách đặt t = x + b 2a Ví dụ 4.11 Tính tích phân sau: 2x + ∫ x2 − x + 1dx , a) b) 5x + ∫ −x + 2x + dx Gi¶i a) ( ) ( ) d x− d x2 − x + 2x + dx 2 ∫ x2 − x + 1dx = ∫ x2 − x + + ∫ x2 − x + = ln x − x + + ∫ x− +3 = ln x2 − x + + 5x + − x2 + x + −5 − x2 + x + + arcsin TÝnh I = ) 2x − arctg +C 3 ∫ b) ( dx = −5 ∫ ( d − x2 + x + ) +3 − x2 + x + ∫ d ( x − 1) − ( x − 1) 2 = x −1 + C ∫ f ( sinx,cosx ) dx (trong ®ã f(sinx, cosx) hàm hữu tỷ theo sinx cosx) Đặt t = tg x π π = h(x) Th× h(x) xác định, tăng ; ữ, h (x) = 4 π π x ( 0) liên tục ; ữ, có miền giá trị (;+) cos 4 2 2t − t2 dt Do ®ã, ta chuyển đợc ,cos x = ,dx = + t2 + t2 + t2 viƯc tÝch ph©n hàm hữu tỷ theo sinx cosx việc tính tích phân hàm hữu tỷ theo t Ta cã: sinx = 15 VÝ dơ 4.12 TÝnh c¸c tích phân sau: a) I = Giải Đặt t = tg dx , b) J = sin x + dx ∫ cos x x π = h(x) Thì h(x) xác định, tăng − ; ÷, h′ (x) = 4 π π x (≠ 0) liªn tơc trªn ; ữ, có miền giá trị (;+) cos 4 2 2t − t Khi ®ã: Ta cã: sinx = , cosx = + t2 + t2 d ( t + 2) dx dt t+2− =∫ =∫ ∫ sin x + t + 4t + ( t + ) − = ln t + + + C = x +2− ln +C x tg + + tg ⇒∫ dx dt 1+ t x π =∫ = ln + C = ln tg + ÷ + C cos x 1− t 1− t Chú ý 4.3 Trên đà đa phơng pháp chung để tính tích phân hàm hữu tỷ theo sin x cos x Tuy nhiên, số trờng hợp đặc biệt ta lại có phơng pháp khác hiệu Chẳng hạn: (i) Nếu hàm f(sin x, cos x) hàm chẵn theo sin x lẻ theo cos x đặt: t = cos x (ii) Nếu hàm f(sin x, cos x) hàm chẵn theo cos x lẻ theo sin x đặt: t = sin x (iii) NÕu hµm f(sin x, cos x) lµ hµm chẵn theo cos x sin x sử dụng công thức hạ bậc: 2sin2 x = cos 2x, 2cos2 x = + cos 2x (iiii) Nếu hàm f(sin x, cos x) hàm lẻ theo cos x sin x đặt: t = sin2 x 16 Ví dụ 4.13 Tính tích phân sau: a) ∫ sin3 xdx , b) ∫ sin x cos3 xdx , c) ∫ sin x cos xdx , d) ∫ sinx cos xdx Gi¶i a) sin3 xdx Đặt t = cosx dt = − sinxdx ( ) 3 ⇒ ∫ sin xdx = − ∫ − t dt = −t + t + C = − cos x + cos x + C 3 ∫ sin b) ⇒ c) = x cos3 xdx Đặt t = sinx dt = cosxdx ( ∫ sin x cos xdx = 1 ( − cos2 x ) ( + cos2 x ) dx = ∫ ( + cos2 x ) sin2 xdx 8∫ 1 ∫ ( + cos2 x ) ( − cos4 x ) dx = 16 ∫ ( + cos2 x − cos4 x − cos x cos x ) dx 16 = 1 ∫ ( − cos4 x ) dx + 32 ∫ ( cos2 x − cos6 x ) dx 16 = d) ) 1 1 sin2 x cos3 xdx = ∫ t − t dt = t − t + C = sin3 x − sin5 x + C ∫ 5 ∫ sinx cos 1 1 + sin x − sin x − sin x + C 16 64 64 192 xdx = 1 ∫ sin x cos xdx = ∫ sin x ( + cos2 x ) dx Đặt t = cos2x dt = sin2xdx ⇒ − ∫ sinx cos xdx = 1 1 1 ∫ dt − ∫ tdt = − 8t − t + C = − cos x − cos x + C Câu hỏi ôn tập chơng Câu 1: Cho hàm f(x) xác định (a; b) Định nghĩa nguyên hàm f(x) (a; b) Chứng tỏ f(x) có nguyên hàm F(x) (a; b) nguyên hàm f(x) (a; b) đợc biểu thị dới dạng F(x) + C, C số Câu 2: Định nghĩa tích phân bất định; nêu chứng minh tính chất 17 Câu 3: Nêu khác nguyên hàm tích phân bất định hàm f(x) (a; b) Câu 4: Trình bầy nội dung phơng pháp tính tích phân: phơng pháp tích phân phần phơng pháp đổi biến số Câu 5: Trình bầy phơng pháp tính tích phân hàm hữu tỷ, vô tỷ hàm lợng giác 18 ... + 1) + 2x − arctg + C 3 4.2 Các phơng pháp tính tích phân bất định Trong thực tế, sử dụng bảng tích phân tính chất tích phân bất định để giải toán tính tích phân bất định, nhiều trờng hợp không... ý, đợc gọi tích phân bất định hàm f(x) (a;b) ký hiệu là: ∫ f ( x ) dx Trong ®ã, ∫ đợc gọi dấu tích phân; f(x) đợc gọi hàm số dới dấu tích phân; f(x)dx đợc gọi biểu thức dới dấu tích phân; x biến... khoảng mà liên tục Vì vậy, đà thừa nhận định lý 4.2 tính nguyên hàm hàm ta không cần xét tồn nguyên hàm 4.1 .2 Định nghĩa tích phân bất định Định nghĩa 4.2 Nếu F(x) nguyên hàm f(x) (a;b) Thì biểu