• Xét bài toán: tính diện tích hình thang cong aABb, giới hạn bởi đồ thị hàm số liên tục y=fx, fx ≥ 0, trục Ox và hai đường thẳng và song song với Oy... • Giả sử fx là một hàm số liên
Trang 1Đại học Quốc Gia TP Hồ Chí Minh
Trường Phổ Thông Năng Khiếu
1
Trang 5• Xét bài toán: tính diện tích hình thang cong
aABb, giới hạn bởi đồ thị hàm số liên tục
y=f(x), f(x) ≥ 0, trục Ox và hai đường thẳng
và song song với Oy.
5
Trang 6• Ta sẽ chứng minh rằng S(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a;b] hay ta
sẽ chứng minh với x0 tuỳ ý thuộc (a;b) ta sẽ
có đạo hàm của S(x) tại x0 và S’(x0)=f(x0)
0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Trang 7( ) ( ) ( ) S x S x ( )
Trang 8( ) ( ) limx x S x S x f x ( )
Trang 10ĐỊNH LÝ:
• Giả sử y=f(x) là một hàm số liên tục và f(x)
≥ 0 trên đoạn [a;b], thì diện tích của hình
thang cong giới hạn bởi đồ thị của hàm
y=f(x), trục Ox và hai đường thẳng x=a và x=b là
Trong đó F(x) là một nguyên hàm bất kì của f(x) trên đoạn [a;b]
S = F b − F a
10
Trang 12• Giả sử f(x) là một hàm số liên tục trên một khoảng K, a và b là hai phần tử bất kì của K, F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K
Hiệu số F(b) – F(a) được gọi là tích phân từ
a đến b của f(x) và được kí hiệu là:
• Ta cũng dùng kí hiệu để chỉ kí hiệu số F(b) – F(a).
Trang 13• Vậy theo định nghĩa ta có:
(1)
• Dấu ∫ là dấu tích phân, biểu thức f(x)dx là biểu thức dưới dấu tích phân, f(x) là hàm số dưới dấu tích phân, f(x)dx là vi phân của
mọi nguyên hàm của f(x), a và b được gọi là các cận của tích phân, a là cận dưới, b là cận trên, x là biến số của tích phân Công thức (1) được gọi là công thức Newton - Leibniz
b
b a a
f x dx = F x = F b − F a
∫
13
Trang 14• Ví dụ:
• Chú ý: Tích phân chỉ phụ thuộc vào f,
a và b mà không phụ thuộc vào cách kí hiệu
Trang 15• Ý nghĩa hình học của tích phân:
Nếu hàm số f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a;b]thì tích phân là diện tích của hỉnh thang cong giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x),trục Ox và hai đường thẳng
Trang 17• Giả sử các hàm số f(x), g(x) liên tục trên
khoảng K và a, b, c là ba điểm của K, dựa vào định nghĩa của tích phân, ta dễ dàng chứng
Trang 185.
6 trên đoạn [a;b] ->
7 trên đoạn [a;b]
Trang 198 trên đoạn [a;b]
Trang 20• Chứng minh các công thức:
(4)
Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x)
G(x) là một nguyên hàm của g(x) thì F(x)+ G(x) là một nguyên hàm của f(x)+g(x)
Trang 21Gọi F(x) là một nguyên hàm của f(x), ta có:
trên đoạn [a;b] Do đó F(x) không giảm trên đoạn [a;b] Vì vậy:
a<b => F(a)≤F(b), cho nên
Trang 22Công thức (7) là hệ quả của (6) Thật vậy,
f(x)≥g(x) trên đoạn [a;b] => f(x)-g(x)≥0
trên đoạn [a;b].
Trang 25• Một số ví dụ tích phân đơn giản
3
3 3
1
4 4
4 1
Trang 263sin cos x x dx
Trang 273 Tính
Vì
27
2 2
Trang 28• Một chiếc xe đang chạy với tốc độ 80ms -1 trên đường bỗng gặp công an, tài xế phanh
xe gấp xe lại, xe chuyển động chậm dần đều với gia tốc 5ms -2 Tính quãng đưởng đi được cho đến khi xe dừng hẳn?
Giải:
– Gọi v là vận tốc tại một thời điểm bất kỳ sau khi xe
phanh
– Gốc thời gian lúc tài xế bắt đầu đạp phanh đĩa
– Ta có dạng vi phân của phương trình vận tốc theo thời gian
5
28
Trang 29– Tích phân hai vế và thế cận vận tốc từ 80 ms -1 tới v, thời gian từ 0 đến t
Trang 30– Xét khoảng thời gian dt rất nhỏ để có thề xem xe
chuyển động đều trong khảong thời gian đó, quãng
đường mà xe đi đuợc trong khoảng thời gian đó là
ds=vdt, => quãng đường mà xe đi đuợc cho đến lúc
0
0 2
(80 5 )
2 16
Trang 31• Tính diện tích mặt ngoài của 1 đới cầu có
bán kính R, bề dày h.
31
Trang 33– Diện tích mặt ngoài của đới cầu lớn có bề dày h sẽ bằng tích phân các phần tử ds từ h1 đến h2 (h1-h2=h)
Trang 34– Nếu xét trường hợp h=2R, tức là toàn bộ hình cầu thì diện tích mặt ngoài của hình cầu sẽ là
34
2
4
S = π R
Trang 3535