Tích phân xác định nguyên hàm lớp 12 Lý khóa 2005- 2008 ppt

Đại học Quốc Gia TP Hồ Chí Minh Trường Phổ Thông Năng Khiếu 1 2 3 4 • Xét bài toán: tính diện tích hình thang cong aABb, giới hạn bởi đồ thị hàm số liên tục y=f(x), f(x) ≥ 0, trục Ox và hai đường thẳng x=a, x=b. • Giả thiết rằng hàm số y=f(x) đơn điệu, chẳng hạn như y=f(x) đồng biến trên đoạn [a;b] • Kí hiệu S(x) là diện tích giới hạn bởi đồ thị (C) của hàm số y=f(x), trục Ox, hai đường thẳng đi qua hai điểm a và x (a ≤ x ≤ b) trên trục hoành và song song với Oy. 5 • Ta sẽ chứng minh rằng S(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên đoạn [a;b] hay ta sẽ chứng minh với x0 tuỳ ý thuộc (a;b) ta sẽ có đạo hàm của S(x) tại x 0 và S’(x 0 )=f(x 0 ) • Trường hợp 1: x 0 < x ≤ b: Khi đó S(x) – S(x 0 ) là diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị (C), Ox và hai đường thẳng song song với Oy đi qua x và x 0 . (1) 0 0 0 0 0 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) MNPQ MNEF S S x S x S x x f x S x S x x x f x S x S x f x f x x x ≤ − ≤ ⇔ − ≤ − ≤ − − ⇔ ≤ ≤ − 6 • Trường hợp 2: a ≤ x < x 0 (2) • Từ (1) và (2) suy ra: (3) vì f(x) liên tục tại x0 nên: 0 0 0 ( ) ( ) ( ) ( ) S x S x f x f x x x − ≤ ≤ − 0 0 0 0 ( ) ( ) 0 ( ) ( ) ( ) S x S x f x f x f x x x − ≤ − ≤ − − 0 0 0 0 lim ( ) ( ) ( ) ( ) 0 x x f x f x f x f x khi x x → = ⇔ − → → 7 • Do đó từ (3) ta có: • Điều đó có nghĩa là tồn tại đạo hàm S’(x) tại x0 và S’(x) = f(x 0 ) • Vậy S(x) là một nguyên hàm của f(x) trên khoảng (a;b)  x 0 =a => S’(a + ) = f(a)  x 0 =b => S’(b - ) = f(b) • Kết Luận: S(x) là một nguyên hàm trên cả đoạn [a;b] 0 0 0 0 ( ) ( ) lim ( ) x x S x S x f x x x → − = − 8 • Từ phép chứng minh trên ta có: S= S(b) • Nếu F(x) là một nguyên hàm nào đó của f(x) trên đoạn [a;b] thì tồn tạI một hằng số C sao cho: S(x) = F(x) + C => S(a) = F(a) + C = 0 => C= - F(a) • Vậy : S(x) = F(x) – F(a) • Do đó diện tích hình thang cong aABb bằng S= F(b) - F(a) 9 ĐỊNH LÝ: • Giả sử y=f(x) là một hàm số liên tục và f(x) ≥ 0 trên đoạn [a;b], thì diện tích của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị của hàm y=f(x), trục Ox và hai đường thẳng x=a và x=b là Trong đó F(x) là một nguyên hàm bất kì của f(x) trên đoạn [a;b] ( ) ( )S F b F a= − 10 . dấu tích phân, biểu thức f(x)dx là biểu thức dưới dấu tích phân, f(x) là hàm số dưới dấu tích phân, f(x)dx là vi phân của mọi nguyên hàm của f(x), a và b được gọi là các cận của tích phân, a. ∫ 14 • Ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu hàm số f(x) liên tục và không âm trên đoạn [a;b]thì tích phân là diện tích của hỉnh thang cong giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x),trục Ox và. một nguyên hàm bất kì của f(x) trên đoạn [a;b] ( ) ( )S F b F a= − 10 11 • Giả sử f(x) là một hàm số liên tục trên một khoảng K, a và b là hai phần tử bất kì của K, F(x) là một nguyên hàm