Tuy nhiên có một số tích phân không thể biểu diễn dýới dạng hàm sõ cấp , chẳng hạn các tích phân nhý sau ðây:. 77.[r]
GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A1 46 Ch−¬ng III: tÝch phân bất định I éNH NGHA & TNH CHT 1.énh nghĩa Ta gọi nguyên hàm hàm số f(x) (a,b) hàm F(x) mà F’(x)= f(x) , x (a,b) Ví dụ: 1) nguyên hàm f(x) = x R 2) F(x) = tgx nguyên hàm hàm f(x) = + tg2x khoảng xác ðịnh tgx Ðịnh lý: Nếu F(x) nguyên hàm f(x) khoảng (a,b) nguyên hàm f(x) khoảng (a,b) ðều có dạng F(x) + C với C số Ðịnh nghĩa: Nếu F(x ) nguyên hàm f(x) biểu thức F(x) + C, ðó C số lấy giá trị tùy ý, ðýợc gọi tích phân bất ðịnh hàm số f(x), ký hiệu Vậy: Dấu ðýợc gọi dấu tích phân, f(x) hàm dýới dấu tích phân, f(x)dx biểu thức dýới dấu tích phân x biến tích phân 2.Các tính chất (1) (2) (3) 3.Bảng tích phân cõ 1) Sưu tầm chỉnh sửa by Nguyễn Hải Đăng GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A1 47 ( -1 ) 2) 3) 4) (a> 0, a 1) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) (h số tùy ý) Ví dụ 1: Tính: Sưu tầm chỉnh sửa by Nguyễn Hải Đăng GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A1 48 Ví dụ 2: Tính: II PHÝÕNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 1.Phýõng pháp phân tích Tích phân f (x) dx ðýợc tính cách phân tích hàm số f(x) thành tổng hàm ðõn giản hõn hay dễ tính tích phân hõn : f(x) = f1(x) + f2(x) +… +fn (x) Và áp dụng công thức : Ví dụ: 1) 2) 3) Tính Sưu tầm chỉnh sửa by Nguyễn Hải Đăng GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A1 49 Với n 2: Nhờ hệ thức ta tính In với n tùy ý Phýõng pháp ðổi biến Phýõng pháp ðổi biến tích phân bất ðịnh có dạng sau ðây : Dạng 1: Giả sử biểu thức dýới dấu tích phân có dạng: F(u(x)) u’(x)dx Trong ðó u(x) hàm số khả vi Khi ta ðổi biến cách ðặt u=u(x),và có: Dạng 2: Ðặt x = (+) , ðó (t) hàm khả vi, ðõn ðiệu ðối với biến t, ta có : Ví dụ: Sưu tầm chỉnh sửa by Nguyễn Hải Đăng GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A1 50 1) Tính: Ðặt: u = x2 + 1, du = 2xdx 2) , với u = sinx 3) Tính: Ðặt u = x2, du = 2xdx hay xdx = 4) Tính Ðặt u = ex Ta có : du = exdx, và: Sưu tầm chỉnh sửa by Nguyễn Hải Đăng GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A1 51 5) Tính Ðặt u = cos2x Ta có: du = -2cos x sinx dx = -sin 2xdx Suy ra: 6) Tính Ðặt: x = sint ; t = arcsin x, ( -1 x 1) Ta có: dx = cost dt Suy Sưu tầm chỉnh sửa by Nguyễn Hải Đăng GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A1 52 Mà t = arcsin x Nên: 3.Phýõng pháp tích phân phần Giả sử u = u(x) v = v(x) hàm số có ðạo hàm liên tục u’= u’(x) v’= v’(x) : Ta biết: (u.v)’= u’v+u.v’ hay u.v’= (uv)’-v.u’ Từ ðó suy cơng thức: Cơng thức ðýợc gọi cơng thức tích phân phần , cịn ðýợc viết dýới dạng : Cơng thức tích phân phần thýờng ðýợc áp dụng trýờng hợp hàm dýới dấu tích phân có dạng f(x) = u.v’mà hàm g = v.u’có tích phân dễ tính hõn Trong số tốn, sau áp dụng cơng thức tích phân phần vế phải lại xuất tích phân ðã cho ban ðầu với hệ số khác, tức : Khi ðó ta tính ðýợc : Ví dụ: 1)Tính Sưu tầm chỉnh sửa by Nguyễn Hải Đăng GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A1 Ðặt 53 u = ln x v’= x Áp dụng công thức tích phân phần, ta có : 2) Tính Ðặt u = arctg x v’= x , Ta có : Suy : 3) Tính Ðặt u = sinx u’= cos x Sưu tầm chỉnh sửa by Nguyễn Hải Đăng GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A1 54 v’= ex ; v = ex ta ðặt: Ðể tính: u1 = cos x u’1= -sinx v’1= ex v1 = ex Suy ra: Vậy: Suy ra: 4) Tính (a > 0) Ðặt v’= v = x Suy ra: Ta có: Sưu tầm chỉnh sửa by Nguyễn Hải Đăng GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A1 55 Do ðó: Suy Vậy: 5) Tính Ðặt ; v’=1 v = x Suy : Ta có: Suy ra: Sưu tầm chỉnh sửa by Nguyễn Hải Đăng GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A1 63 Vậy 3) Tính Trýớc hết ta ðổi biến ðể ðõn giản hóa tính phân cách ðặt u = x2 ,du = 2xdx IV TÍCH PHÂN HÀM LÝỢNG GIÁC Xét tích phân I = R(sinx, cosx)dx, ðó R(u, v) hàm hữu tỉ ðối với u v Ðể tính tích phân ta dùng phýõng pháp ðổi biến sau : Phýõng pháp chung Ðặt Sưu tầm chỉnh sửa by Nguyễn Hải Đăng GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A1 64 hay Ta có: Suy ra: Tích phân có dạng tích phân phân thức hữu tỉ ðã xét mục III Ví dụ: 1) Tính: Ðặt: #9; Suy ra: 2) Tính: Ðặt: 9; Suy ra: Sưu tầm chỉnh sửa by Nguyễn Hải Đăng GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A1 65 Phân tích phân thức hữu tỉ ta ðýợc: Một số trýờng hợp ðặc biệt (1) Nếu R(-sinx, -cosx) = R(sinx,cosx) ðặt u=tgxhoặc u=cotgx (2) Nếu R(sinx, -cosx) = -R(sinx,cosx) ðặt u = sinx (3) Nếu R(-sinx, cosx) = -R(sinx,cosx) ðặt u = cosx (4) Tích phân dạng sinmx cosnx dx với m n số chẵn dýõng.Ta ðổi biến cách dùng cơng thức : Ví dụ : Sưu tầm chỉnh sửa by Nguyễn Hải Đăng GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A1 66 1) Tính: Ðặt Suy ra: 2) Tính: Ðặt u = sinx du = cosx dx Suy ra: 3) Tính: Ðặt u = cosx du = -sinx dx Sưu tầm chỉnh sửa by Nguyễn Hải Đăng GIÁO TRÌNH TỐN CAO CẤP A1 67 4) Tính: Ta có: Suy ra: Chú ý: Ðối với tích phân dạng ta dùng cơng thức biến ðổi tích thành tổng: Sưu tầm chỉnh sửa by Nguyễn Hải Đăng ... 2: Tính: II PHÝÕNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN 1.Phýõng pháp phân tích Tích phân f (x) dx ðýợc tính cách phân tích hàm số f(x) thành tổng hàm ðõn giản hõn hay dễ tính tích phân hõn : f(x) = f1(x) + f2(x)... Q(x) Tích phân ðýợc tính cách phân tích phân thức hữu tỉ thành tổng phân thức hữu tỉ ðõn giản hõn dựa vào mệnh ðề sau ðây Mệnh ðề 1: Mọi ða thức Q(x) với hệ số thực ðều phân tích thành tích nhị... gọi công thức tích phân phần , cịn ðýợc viết dýới dạng : Cơng thức tích phân phần thýờng ðýợc áp dụng trýờng hợp hàm dýới dấu tích phân có dạng f(x) = u.v’mà hàm g = v.u’có tích phân dễ tính hõn