TÓM TẮT LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI... GV: Nguyễn Văn Khỏi Trường THPT Lê Hồng Phong1.. Phương pháp tích phân đổi biến số.. Phương pháp tìm nguyên hàm từng phần.. GV: Nguyễn Văn Khỏi T
Trang 1VẤN ĐỀ 1: NGUYÊN HÀM
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
BẢNG CÁC NGUYÊN HÀM
m
m
2
1) f(x) k k là hằngsố
2)f(x) x
3)f(x) x
4)f(x) ax b
1 5)f(x)
x 1 6)f(x)
x
=
=
=
=
=
2
m 1
m 1
1)F(x) kx C
x
2 x
m 1
ax b
a m 1 1
x 6)F(x) 2 x C
+
+
+ +
+
7)f(x) sin x
8)f(x) sin ax b
9)f(x) cosx
10)f(x) cos ax b
=
=
2
2
2
2
1 11)f(x)
cos x 1 12)f(x)
cos ax b 1
13)f(x)
sin x 1 14)f(x)
sin ax b
=
=
+
=
=
+
7)F(x) cosx C
1 8)F(x) cos ax b C
a 9)F(x) sin x C
1 10)F(x) sin ax b C
a
11)F(x) tan x C
1 12)F(x) tan ax b C
a 13)F(x) cot x C
1 14)F(x) cot ax b C
a
2
2 x
ax
1 15)f(x)
1 x 1 16)f(x)
1 x 17)f(x) e
18)f(x) e
1 19)f(x)
x 1 20)f(x)
ax b
=
-= +
=
=
=
= +
21) f x ( ) = ax
x
ax
15)F(x) acr sin x C ac r cosx C 16)F(x) acr tan x C acr cot x C 17)F(x) e C
1 18)F(x) e C
a 19)F(x) ln x C
1 20)F(x) ln ax b C
a
= +
ln
x
a
a
Trang 2GV: Nguyễn Văn Khỏi Trường THPT Lê Hồng Phong
1 Phương pháp tích phân đổi biến số.
R(x, a x )dx Đặt x asin t; R(x, x a )dx Đặt x ; R(x, a x )dx Đặt x atgt ;
cost
2 Phương pháp tìm nguyên hàm từng phần.
Nếu u u(x),v v(x)là hai hàm số có đạo hàm liên tục thì tacó: u.dv u.v v.du
Chú ý: ∫ P(x).Q(x)dx P(x)là đathức
- Nếu Q(x) là sinx, cosx, ex thì ta đặt =
=
u P(x)
dv Q(x)dx
- Nếu Q(x) là lnx thì ta đặt =
=
u Q(x)
dv P(x)dx
B BÀI TẬP ÁP DỤNG.
Bài 1: Tính họ nguyên hàm các hàm số:( sử dụng các công thức lũy thừa)
1.1) ∫ ( 2 x2 − 3 x + 5 ) dx
x
x
x3 / 4 2 1 / 2
x
x x
2
2 / 1 2 /
x x
10
2
Bài 2: Tính họ nguyên hàm các hàm số:( sử dụng các công thức hàm số mũ và hàm lũy thừa)
2.1) ∫ e2x 1−dx
e3 x
2
x
x x
1
6
4 5 3
e
e
x
x
2.7) ∫ ex( 1 − e−x) dx 2.8) ∫ x x dx
x
10 4 2
+
dx
x
x
x
2 2
1
3
6
2
2.10) ∫ x +x dx
2 2
2
e2x 1
1
2.12) ∫ 2x 1+ dx
10 1
Bài 3: Tính họ nguyên hàm các hàm số:( sử dụng các công thức hàm số lượng giác)
3.1) ∫ ( 2 sin 3 x − 3 cos 2 x ) dx 3.2) ∫ sin2 xdx 3.3) ∫ ( 3 sin23 x − 2 cos25 x ) dx
3.4) ∫ ( tg2x + 2007 ) dx
3.7) ∫ ( 4 sin x sin 2 x ) dx 3.8) ∫ ( 3 cos 3 x cos 5 x ) dx 3.9) ∫ ( 2 + cos 3 x ).(cos 2 x − 1 ) dx
3.14) ∫ (sin6 x + cos6x ) dx
x
2 cos sin 1
x
10
cos
1
x
3 sin
1
2
∫ u ' ( x ) dx = ln u ( x ) + C
Trang 34.1) ∫ + dx
x 1
x
x
x
x
1
x x
x
4
2 3
x
1
a
x2 2
1
Bài 5:Tìm nguyên hàm của các hàm số:
x
f x
x
=
x
f x
−
=
− + f/f x ( ) ( = x + 1 5 ) x2 + − 2 1x g/f x ( ) ln 2 x
x
= h/f x ( ) ( ln x 2 3 )3
x
+
= i/f x ( ) = x x2 3+ 1
5
f x
=
− + l/f x ( ) = e3cosxsin x m/ ( ) sin cos 2
Bài 6 : Tính
1) ∫ ( ax b dx + ) 2) 1
dx
ax b +
4) ∫ cos( ax b dx + ) , ( a ≠ 0) 5) ∫ sin( ax b dx + ) ( a ≠ 0)
+
+
2
1
x
∫
2 2
dx x
+
∫
3
∫ 13) ( )2
2
x
dx x
−
2
x dx
x +
∫ 15)
( )5
1
∫ 16) ∫ ( ex + 1)2dx 17) ∫ ( ex + e−x ) dx
18) ∫ 2 xe dxx2 19) ∫ ( 2 ex + 3 ) e dxx
1 cos + x dx + (1 sin ) − x dx
23)
tan
2
cos
x 24)
2
3 x + 1 dx
x dx x
− +
dx x
+
∫ 27)
( )2
1
x −
5
4
x dx
∫ 31)
2 3 4
dx x
1
x x
e
dx e
+ +
∫
Trang 4GV: Nguyễn Văn Khỏi Trường THPT Lê Hồng Phong
A TĨM TẮT LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
1 Phương pháp tích phân đổi biến số.
R(x, a x )dx Đặt x asin t; R(x, x a )dx Đặt x ; R(x, a x )dx Đặt x atgt ;
cost
2 Phương pháp tích phân từng phần.
a
Nếu u u(x),v v(x)là hai hàm số có đạo hàm liên tụctrên a;b thì tacó: u.dv u.v = = ∫ = − ∫ v.du
Chú ý: ∫baP(x).Q(x)dx P(x)là đathức
- Nếu Q(x) là sinx, cosx, ex thì ta đặt =
=
u P(x)
dv Q(x)dx
- Nếu Q(x) là lnx thì ta đặt =
=
u Q(x)
dv P(x)dx
B BÀI TẬP ÁP DUNG.
Bài 1: Tính các tích phân ( Sử dụng phương pháp đổi biến số)
5.1)
1
4
0
(2 x − 1) dx
0
2
/4
0
tan xdx
π
/4
/6
cot xdx
π
π∫
5.5) ∫/2 +
0 1 3 cos
sin
π
dx x
x
5.6) ∫1 −
0
2
dx
e x
5.7) ∫e + dx
x
x
0
ln 1
5.8)
/4 tan
2
0 cos
x
e dx x
π
∫
5.9) ∫/2
0
3 cos
sin
π
xdx
0
3
cos
π
0
3
sin
π
xdx 5.12) ∫/2
0
5
cos
π
xdx
5.13) ∫/2
0
5
sin
π
xdx 5.14) ∫/2
0 sin cos
π
xdx
e x
/2 cos
0
sin 2
x
π
∫
5.16) ∫/6 +
0
cos sin 4
1
π
xdx
a x
0
2 2
1
(a>0) 5.18) ∫/2 −
1
a
dx x
a (a>0) 5.19) ∫/3
6
/ sin
1
π
π
dx
0
6
3 cos sin
π
xdx
4 /
2
2 cos sin
π π
xdx x
5.22) ∫/2
0
5
5 cos
sin
π
xdx
1
1 ln
e
x dx x
+
2
0
1
x x + dx
∫
Bài 2:Tính các tích phân: (Sử dụng công thức tích phân từng phần)
6.1) ∫1 −
0
)
1
2
( x exdx
6.2) ∫1 −
0
2
2 1 ) 2 ( x e xdx
6.3) ∫/2
0
cos
π
xdx
0
) sin(
) 1 2 ( x π x dx
6.5) ∫/2 2sin( 2 )
π
dx x
x 6.6) ∫/2 2cos2
π
xdx
Trang 56.9) ∫ +
1
) 1
ln( x dx 6.10) ∫ xdx
1
2
2
) 1 ln(
2 x x dx 6.12) ∫
/ 1
2
ln
e
xdx x
6.13) ∫/2
0
cos
π
xdx
ex
6.14) ∫/2
0
sin
π
xdx
ex
6.15) ∫1 −
0
2e dx
6.16) ∫/2
3 / 2
sin
π π
dx x x
6.17) ∫/4
0
2
cos
π
dx x
x
6.18) ∫/4 +
0
2 ) sin cos (
π
xdx x
0
2sin
π
xdx
0
2cos
π
xdx x
2
0
1
x
∫
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
1 Diện tích giới hạn bởi.
1.1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số: y = f(x), x = a; x = b, trục Ox là :
= ∫b
a
S f(x) dx
1.2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số: x = f(y), y = a; y = b, trục Oy là :
= ∫ba
S f(y) dy
1.3 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai hàm số: y = f(x), y=g(x), x = a; x = b là :
= ∫ba −
S f(x) g(x) dx
1.3 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai hàm số: x = f(y), x=g(y), y = a; y = b là :
= ∫ba −
S f(y) g(y) dy
1.4 Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y1= f1(x) và y2= f2(x)
+ Lập phương trình hoành độ giao điểm f1(x)= f2(x), tìm cận tích phân
+ Aùp dụng công thức = ∫b 1− 2
a
2 Thể tích.
2.1 Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x);x = a; x = b
quay quanh trục Ox là : = π ∫b 2
a
V f (x)dx
2.2 Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra cho hình phẳng giới hạn bởi các đường x = g(y); y = a; y = b
quay quanh trục Oy là : = π ∫b 2
a
V g (y)dy
2.3 Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y =f(x) và y = g(x)
quay quanh trục Ox
+ Lập phương trình hoành độ giao điểm tìm cận tích phân
Trang 6GV: Nguyễn Văn Khỏi Trường THPT Lê Hồng Phong
V = π ∫ f(x) dx và V = π ∫ g(x) dx Kết luận: V V V = 1− 2 .
B BÀI TẬP ÁP DỤNG.
Câu 1: Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi các đường sau đây:
A/
2
y x
= − +
=
y 0
= − − −
=
2
y 4x
y 2x 4
=
= −
2
2
y 2x
x 2y
=
=
D/
1
x 1
x 0;x 2
E/
2
x 1
x
x 1;x 2
F/
2
y x ;y 0
x 1;x 1
= = −
3
y x ;y 0
x 1;x 1
= = −
H/
3
y x
y x
=
=
3
y x
y 8;x 0
=
2
y 2x
=
2
y 2;y 2
= + = −
= − =
Câu 2: Tính thể tích khi quay quanh Ox hình phẳng (S) giới hạn bởi:
A/
x
y x.e
x 1;x 0
=
y ln x
x 1;x 2
=
= =
y cos x sin x
x 0;x
2
y cos x sin x
x ;x 2
3
y x
x 1;x 2
=
F/
2
y x
y 2x
=
=
3
2
y x
y 2x
=
=
Câu 3: Tính thể tích khi quay quanh Oy hình phẳng (S) giới hạn bởi:
A/
y 0;x 1
=
3
y x
x 1;x 2
=
Câu 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y = sinx, y = 0, x = 0, x 2= π
Câu 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y = x3, y = 0, x = -1, x= 2
Câu 6: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y = x2 – 2x, y = -x2 +4x
Câu 7: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y = x3, y = 4x, x = -1, x= 2
Câu 8: Tính thể tích do S giới hạn bởi: y = 3x, y = x, x = 0, x = 1 quay quanh Ox
Câu 9: Tính thể tích do S giới hạn bởi:
2
x y 2
= , y = 2, y = 4, x = 0 quay quanh Oy Câu 10: Tính thể tích do S giới hạn bởi: y2 = (x – 1)3, x = 2 và y = 0 quay quanh Oy
Câu 11: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:y = x3 – 2x2 – x +2 và trục hoành
Câu 12: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y = -x2 – 2x, y = -x -2
Câu 13: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: y = -x2 – 2x, y = -3x, x = 0, x = 2