MụC LụC Tích phân bội 3.1 Định nghĩa tích phân hình hộp 3.2 Điều kiện đủ để hàm khả tích 3.3 Tích phân bội tËp giíi néi 3.4 C¸ch tÝnh tÝch ph©n béi 10 18 giải tích II Sách dùng cho sinh viên tr-ờng Đại học xây dựng sinh viên tr-ờng Đại học, Cao đẳng kĩ thuật Ch-ơng Tích phân bội Trong ch-ơng xây dựng khái niệm cách tính tích phân cho hàm thực nhiều biến số Tr-ớc hết nhắc lại khái niệm "hình hộp" đà biết đến ch-ơng tr-ớc Hình hộp R khoảng đóng [a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b} ®ã a, b ∈ R Ng-êi ta th-êng nãi h×nh hộp R hình hộp chiều Hình hộp Rn tích Đề n khoảng đóng R: H = [a1, b1 ] × [a2, b2] × · · · × [an, bn ] hay H = {x = (x1, x2, · · · , xn ) | ≤ xi ≤ bi }, víi mäi i = 1, , n Ta gäi h×nh hép Rn hình hộp n chiều Thể tích hình hép n chiỊu H = [a1, b1] × [a2, b2 ] × · · · × [an , bn ], kí hiệu (H) tích độ dài đoạn thẳng [ai, bi ]: (H) = (b1 a1 )(b2 a2) (bn an ) Đặc biệt H1 = [a, b] hình hộp chiều, thể tích H1 độ dài đoạn [a, b]: λ(H1 ) = λ[a, b] = b − a Ch-ơng III Tích phân bội Nếu H2 hình hép chiỊu H2 = [a1, b1 ] × [a2, b2], ®ã thĨ tÝch cđa H2 λ(H2 ) = (b1 a1)(b2 a2) diện tích hình chữ nhật H Khi xây dựng khái niệm tích phân hàm biến đà nói tới phép chia khoảng [a, b] thành n khoảng nhỏ điểm chia xi thuéc [a, b] a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b Bây giờ, tổng quát định nghĩa khái niệm phép chia (theo kiểu l-ới) hình hộp n chiều H nói thành hình hộp n chiều nhỏ H Hình 3.1: Phép chia l-ới hình hộp Gọi T1 khoảng (T1 = [xi, xi+1 ]) phÐp chia [a1, b1] thµnh m1 khoảng nhỏ, T2 khoảng ®ã (T2 = [yj , yj+1]) phÐp chia [a2, b2 ] thành m2 khoảng nhỏ T-ơng tự Tn Khi hình hộp n chiều H đ-ợc chia thành N = m1 m2 à à à mn hình hộp (n chiều) nhỏ Hi = T1 ì T2 ì à à à ì Tn hình hộp nhỏ Hiển nhiên N H= Hi i=1 3.1 Định nghĩa tích phân hình hộp Trong ch-ơng nói phép chia F hình hộp đó, hiểu phép chia kiểu l-ới nói Hiển nhiên thĨ tÝch cđa H b»ng tỉng c¸c thĨ tÝch cđa tất hình hộp nhỏ N (H) = (Hi ) i=1 Chó ý r»ng cịng nh- hµm mét biến, ng-ời ta kí hiệu d(F ) đ-ờng kính phép chia F Đ-ờng kính đ-ờng kính lớn số tất đ-ờng kính cđa h×nh hép nhá T1 × T2 × · · à ì Tn phép chia F nói d(F ) = max{d(H1 ), d(H2 ), , d(HN )} (§-êng kính hình hộp khoảng cách lớn điểm hình hộp đó) 3.1 Định nghĩa tích phân hình hộp Định nghĩa 3.1.1 Cho hình hộp n chiều H Rn hàm f :H R xác định H Gọi F phép chia l-ới bÊt k× h×nh hép H: N Hi , H= i=1 chän ®iĨm ti ∈ Hi tïy ý thc Hi víi mäi i = 1, 2, , N Khi ®ã kÝ hiÖu N f (ti )λ(Hi ) S(F ) = i=1 tổng tích phân hàm f t-ơng ứng víi phÐp chia F NÕu tỉng tÝch ph©n S(F ) tồn giới hạn L giới hạn hữu hạn đ-ờng kính phép chia d(F ) tiÕn tíi 0: N lim S(F ) = lim f (ti )(Hi ) = L, i=1 Ch-ơng III Tích phân bội ta nói hàm f khả tích H vµ kÝ hiƯu lim S(F ) = L = d(F )→0 f (x) dx H hc lim S(F ) = L = f (x1 , x2, , xn) dx1 dx2 dxn H Chó ý r»ng giíi h¹n lim S(F ) = L đ-ợc hiểu nh- sau: d(F )0 Với > tùy ý tồn = δ(ε) > cho víi mäi phÐp chia h×nh hộp H có đ-ờng kính d(F ) < cách chọn điểm ti Hi , ta cã N f (ti )λ(Hi ) − L| < ε |S(F ) − L| = | i=1 (Chó ý r»ng tồn giới hạn tổng tích phân S(F ) không phụ thuộc vào việc chọn điểm ti tïy ý Hi ) VÝ dơ XÐt tÝch ph©n hµm h»ng sè f (x) ≡ C víi ∀x ∈ H Khi ®ã víi mäi phÐp m Hi , tỉng tÝch ph©n chia F : H = i=1 m m f (ti )λ(Hi ) = S(F ) = i=1 Cλ(Hi ) = C(H) i=1 không phụ thuộc vào F VËy lim S(F ) = Cλ(H), hay Cdx = H C dx1 dx2 dxn = C(H) H Định nghĩa 3.1.2 Cùng với kí hiệu định nghĩa trên, ta đặt Mi = sup f (x) mi = inf f (x) x∈Hi x∈Hi Khi ®ã N S ∗(F ) = Mi (Hi ) i=1 3.2 Điều kiện đủ để hàm khả tích N S (F ) = mi (Hi ) i=1 đ-ợc gọi tổng Darboux tổng Darboux d-ới hàm f t-ơng ứng với phép chia F Râ rµng víi mäi phÐp chia F S (F ) S (F ) Định lí sau hiển nhiên (đ-ợc chứng minh t-ơng tự nh- tích phân hàm biến) Định lí 3.1.1 (Điều kiện cần để hàm khả tích) Nếu f khả tích hình hộp H, hàm f bị chặn H (tồn số K R để |f (x)| K với x H) Do định lí trên, ch-ơng từ sau nói hàm khả tích, ta xét hàm bị chặn 3.2 Điều kiện đủ để hàm khả tích Chúng ta cần đến khái niệm sau phép chia Định nghĩa 3.2.1 Giả sử F F hai phÐp chia mét h×nh hép H Ta nãi phÐp chia F mịn phép chia F hình hép cđa H øng víi phÐp chia F ®Ịu nằm hình hộp ứng với phép chia F Điều t-ơng đ-ơng với khẳng định hình hộp ứng với phép chia F hợp hình hộp ứng víi phÐp chia F Hi = Hk k:Hk ⊂Hi Từ định nghĩa trên, suy phép chia F mịn phép chia F , S (F ) ≤ S∗ (F ) vµ S ∗ (F ) S (F ) Khẳng định suy tõ nhËn xÐt: nÕu A ⊂ B, ®ã inf f (x) ≤ inf f (x) x∈B x∈A vµ sup f (x) ≤ sup f (x) x∈A x∈B Ch-¬ng III Tích phân bội Định nghĩa 3.2.2 Gọi N1 F1 : (1) H= Hi i=1 N2 F2 : (2) H= Hj j=1 hai phép chia hình hộp H Hợp hai phép chia F1 F2 phép chia míi h×nh hép H, kÝ hiƯu F1 ∪ F2 mà hình hộp phép chia giao hai hình hộp ứng với hai phÐp chia F1, F2: (1) Hi (2) ∩ Hj (1) (2) Hi hình hộp ứng với phép chia F1 Hj chia F2 hình hộp øng víi phÐp N1 N2 F1 ∪ F2 : (1) H= (Hi (2) ∩ Hj ) i=1 j=1 TÝnh đắn định nghĩa suy từ nhận xét: giao hai hình hộp tập (tập đ-ợc coi hình hộp) hình hộp Đồng thời dễ dàng suy hợp hai phép chia F1 F2 phép chia mịn F1 F2 Định lí 3.2.1 Víi F1 vµ F2 lµ hai phÐp chia bÊt kì hình hộp H, trì kí hiệu nh- Định nghĩa 2, S (F1) S (F2) Chứng minh Xét phép chia T hợp cđa hai phÐp chia F1 vµ F2, theo nhËn xÐt phép chia T mịn F1 F2 , suy điều phải chứng minh S(F1 ) S∗ (T ) ≤ S ∗(T ) ≤ S ∗(F2 ) Ta dẫn vào kí hiệu I = sup S∗(F ) I ∗ = inf S ∗ (F ) cận cận d-ới tổng tích phân hàm f với phép chia F cã thĨ cã cđa h×nh hép H (Ng-êi ta gọi I I tích phân trên, tích phân d-ới hàm f ) Ta thừa nhận định lí sau 3.3 Tích phân bội tập giới nội Định lí 3.2.2 (Định lí Darboux) I = lim S∗ (F ) vµ I ∗ = lim S ∗(F ) ®-êng kÝnh cđa phÐp chia d(F ) tiến tới Từ định lí trên, ta có hệ Hệ 3.2.1 Điều kiện cần đủ để hàm bị chặn f : H R khả tích hình hộp H I = I diễn đạt d-ới dạng khác t-ơng đ-ơng: Với > tùy ý tồn phép chia F cho S ∗ (F ) − S∗(F ) < Chứng minh Điều kiện cần hiển nhiên Để chøng minh ®iỊu kiƯn ®đ, ta gäi I = I∗ = I giá trị chung tích phân trên, tích phân d-ới hàm f Theo Định lí Darboux, với > tùy ý tồn δ = δ(ε) > cho víi mäi phÐp chia hình hộp H có đ-ờng kính d(F ) < δ, ta cã |S∗(F ) − I| < ε vµ |S ∗ (F ) − I| < ε Víi phÐp chia F nh- chọn điểm ti Hi tùy ý, tổng tích phân S(F ) thoả mÃn bất đẳng thức S (F ) S(F ) ≤ S ∗ (F ), suy |S(F ) − I| < Điều chứng minh f khả tích hình hộp H đồng thời f (x) dx = I (= I = I ) H Định lí trình bày t- t-ởng xây dựng khái niệm tích phân hàm nhiều biến Tuy định lí phát biểu điều kiện cần đủ để hàm khả tích song thùc tÕ ®iỊu kiƯn ®đ ®ã rÊt khã kiĨm tra Định lí sau đ-a điều kiện đủ đơn giản dễ kiểm tra (cách chứng minh nh- giải tích hàm biến) Định lí 3.2.3 Nếu hàm f bị chặn liên tục hình hộp H Rn , f khả tích Hơn tập hợp điểm gián đoạn f hữu hạn vô hạn đếm đ-ợc, f khả tích hình hộp H Nhận xét nÕu f lµ hµm thùc mét biÕn (n = 1) đơn điệu (tăng giảm) đoạn [a, b], tập điểm gián đoạn f không đếm đ-ợc, suy f khả tích [a, b] Lớp hàm khả tích rộng Hầu hết hàm bị chặn ta th-ờng gặp hàm khả tích Ch-ơng III Tích phân bội 10 3.3 Tích phân bội tập giới nội Bây mở rộng khái niệm tích phân miền giới nội (bị chặn) Chính xác ta xây dựng khái niệm tích phân miền đo đ-ợc dạng Jordan Xét tập M Rn tập hợp bị chặn Rn , tồn hình hộp H chứa tập M Giả sử I1 , I2, , Ik, , IN Ik ⊂ H k = 1, 2, , N hình hộp đôi điểm chung N Ik M k=1 Lập tổng thể tích hình hộp Ik kí hiệu (M) cận tất tổng N (M) = sup λ(Ik ) ∪N Ik ⊂M k=1 k=1 T-¬ng tự giả sử Ik , Ik H điểm chung k = 1, 2, , K hình hộp đôi K Ik M k=1 KÝ hiÖu K λ∗ (M) = inf ∪K Ik ⊃M k=1 λ(Ik ) k=1 Chó ý r»ng tr-êng hỵp không tồn hình hộp đ-ợc chứa M, ®ã theo quy -íc λ∗ (M) = Hiển nhiên (M) (M) Ta có định nghĩa sau Định nghĩa 3.3.1 Một tập M bị chặn đ-ợc gọi đo đ-ợc dạng Jordan (M) = (M) Khi giá trị chung chúng (M) = (M) đ-ợc gọi độ đo Jordan tập M (ng-ời ta gọi tắt thĨ tÝch cđa M), kÝ hiƯu λ(M) = λ∗ (M) = (M) 3.4 Cách tính tích phân bội 21 hay b d b d f (x, y) dy dx = a f (x, y) dxdy c a c điều phải chứng minh Nhận xét giá trị tích phân d f (x, y) dy g(x) = c định lí diện tích thiết diện tạo mặt phẳng qua x, vuông góc với trục Ox "hình hộp cong" Vì ng-ời ta kí hiệu tích phân S(x) (Xem h×nh vÏ d-íi) d S(x) = g(x) = f (x, y) dy c Hình 3.5: Thiết diện S(x) Hoàn toàn t-ơng tự ta có kết sau Định lí 3.4.2 Cho hình chữ nhật H = [a, b] ì [c, d] hàm f : H R khả tích Giả sử với y [c, d], tồn tích phân xác định b h(y) = f (x, y) dx a Ch-ơng III Tích phân bội 22 Khi h(y) khả tích [c, d] đồng thời d d b h(y) dy = c f (x, y) dx dy = c a f (x, y) dxdy H Từ hai định lí ta suy hệ sau Hệ 3.4.1 Nếu điều kiện hai định lí đ-ợc thoả mÃn, b d d b f (x, y) dy dx = a c f (x, y) dx dy c a vµ cïng b»ng tÝch ph©n kÐp b d f (x, y) dxdy a c Đặc biệt f (x, y) liên tục H = [a, b] ì [c, d], điều kiện hai định lí thoả mÃn Tr-ờng hợp tổng quát, định lí Fubini đ-ợc phát biểu nh- sau Định lí 3.4.3 Cho hàm f : H R khả tích hình hộp H Rn Giả sử H = H ì H tích Đề hai hình hộp: H hình hộp k chiều H” n − k chiỊu Gi¶ sư tiÕp r»ng víi y H, tồn tích phân f (x, y) dx h(y) = H Khi h(y) khả tích hình hộp H, đồng thời f (x, y)dxdy = f (x, y)dx dy h(y)dy = H” H” H H ×H” T-¬ng tù nÕu víi mäi x ∈ H , tồn tích phân f (x, y) dy g(x) = H Khi g(x) khả tích hình hộp H f (x, y)dxdy = H ìH f (x, y)dy dx g(x)dx = H H H” 3.4 C¸ch tÝnh tÝch ph©n béi 23 VÝ dơ 3.4.1 TÝnh tÝch ph©n (5x2 y − 2y ) dxdy I1 = Do hµm f (x, y) = 5x y 2y liên tục hình chữ nhật D = [2, 5] ì [1, 3] suy f khả tích D Mặt khác với y [1, 3] tồn tích phân xác định (5x2y − 2y ) dx = 195y − 6y g(y) = Vì theo định lí Fubini I1 = (195y − 6y ) dy = 660 g(y) dy = 1 Chó ý r»ng tÝch ph©n I cã thĨ tÝnh theo biÕn y tr-íc, biÕn x sau 5 5x2 y − 2y dy I1 = (20x2 − 40) dx = 660 dx = 2 TÝnh tÝch ph©n 1 I2 = 0 y (1 + x2 + y 2)3 T-ơng tự nh- ví dụ trên, hàm f (x, y) = √ dxdy y (1+x2 +y )3 liên tục hình chữ nhật D = [0, 1] ì [0, 1] nên f khả tích D áp dụng định lí Fubini g(x) = 1 y dy =√ −√ , + x2 + x2 (1 + x2 + y 2)3 nh- vËy 1 √ −√ + x2 + x2 I2 = √ 2+ √ dx = ln 1+ 3 TÝnh tÝch ph©n béi ba (zy + 2yx2) dxdydz, I3 = H Ch-¬ng III TÝch phân bội 24 H = [2, 3] ì [0, 2] ì [0, 1] hình hộp R3 Hình hộp H th-ờng đ-ợc viết d-ới dạng H = {(x, y, z) | ≤ x ≤ 3, ≤ y ≤ 2, ≤ z ≤ 1} áp dụng định lí Fubini I3 = dx (zy + 2yx2)dz = dy 2 = (2yx2 + dx y2 )dy = 80 (4x2 + )dx = 3 TÝnh tÝch ph©n x2 dxdy, y2 I4 = D D miền phẳng giới hạn đ-ờng thẳng x = 2, y = x vµ hypecbol xy = DƠ dµng nhËn thÊy D = {(x, y) | ≤ x ≤ 2, ≤ y ≤ x} x H×nh 3.6: VÝ dơ 3.4.1.4 Do miền D không hình chữ nhật, nên để sử dụng đ-ợc công thức Fubini đ-a tích phân tích phân xác định, ta lồng miền D vào hình chữ nhật H = {(x, y) | ≤ x ≤ 2, ≤ y ≤ 2} 3.4 Cách tính tích phân bội 25 (H hình chữ nhật nhỏ chứa miền D) Nhắc lại r»ng x2 dxdy = y2 I4 = D x2 χ (x, y) dxdy, y2 D H ®ã χD (x, y) = nÕu (x, y) ∈ D = nÕu (x, y) ∈ D / 1 nÕu ≤ x ≤ 2, x ≤ y ≤ x (x, y) D / Vậy theo định lí Fubini x2 dxdy = y2 I4 = D x x x2 dy y2 dx = (x3 − x) dx = C¸c nhËn xét liên quan tới định lí Fubini Chú ý tính tích phân bội miền bị chặn, để áp dụng công thức Fubini ng-ời ta th-ờng sử dụng ph-ơng pháp trên, tức lồng miền lấy tích phân vào hình hộp H f (x)dx = M f (x)χM (x) dx H råi áp dụng công thức Fubini đ-a tích phân xác định đơn giản (Đối với tích phân bội ba cách làm t-ơng tự nh- ví dụ trên) Chẳng hạn M R2 miền phẳng đ-ợc xác định bất đẳng thức M = {(x, y) | a ≤ x ≤ b, y1(x) ≤ y y2(x)}, y1(x) y2 (x) hàm liên tục xác định [a, b] Bạn đọc tự chứng minh M tập đo đ-ợc dạng Jordan Giả thiết f : M R hàm khả tích M Để tính tích phân f (x, y) dxdy, M Ch-ơng III Tích phân bội 26 Hình 3.7: Tích phân kép tập M ta lồng miền M vào hình chữ nhật H = [a, b] ì [c, d] (xem hình vẽ) Khi b d f (x, y) dxdy = b f (x, y)χM (x, y) dxdy = a M c y2 (x) dx a f (x, y) dy y1 (x) Trong vÝ dô 4, miền D đ-ợc xác định bất đẳng thøc D = {(x, y) | ≤ x ≤ 2, y x} x áp dụng công thøc trªn x2 dxdy = y2 D x x x2 dy y2 dx = (x3 − x) dx = T-¬ng tù nÕu M R2 miền phẳng đ-ợc xác định bất đẳng thức M = {(x, y) | c ≤ y ≤ d, x1 (y) ≤ x ≤ x2 (y)}, x1 (y) x2(y) hàm liên tục xác định [c, d] Khi d f (x, y) dxdy = M x2 (y) dy c f (x, y) dx x1 (y) 3.4 C¸ch tÝnh tÝch phân bội 27 T-ơng tự V R3 miền đ-ợc xác định bất đẳng thức V = {(x, y, z) | a ≤ x ≤ b, y1(x) ≤ y ≤ y2 (x), z1(x, y) ≤ z ≤ z2 (x, y)}, ®ã b y2 (x) z2 (x,y) f (x, y, z) dxdydz = f (x, y, z)dz dy dx a V y1 (x) z1 (x,y) Hình 3.8: Tích phân bội ba miền V Từ nhận xét miền V R3 xác định bất đẳng thức V = {(x, y, z) | a ≤ x ≤ b, y1(x) ≤ y ≤ y2 (x), z1(x, y) ≤ z ≤ z2 (x, y)}, ®ã M = {(x, y) | a ≤ x ≤ b, y1(x) ≤ y ≤ y2 (x)} lµ hình chiếu V lên mặt phẳng xOy Vì tích phân viết d-ới dạng z2 (x,y) f (x, y, z) dxdydz = V f (x, y, z)dz dxdy M z1 (x,y) Ch-ơng III Tích phân bội 28 Ngoµi nÕu kÝ hiƯu S(x) lµ thiÕt diƯn tạo V với mặt phẳng qua x, vuông gãc víi trơc Ox, ®ã b f (x, y, z) dxdydz = dx f (x, y, z) dydz a V S(x) VÝ dơ 3.4.2 TÝnh tÝch ph©n béi ba I= (x 2y)dxdydz, V V miền giới hạn mặt phẳng tọa độ mặt phẳng x + y + z = Miền V đ-ợc xác định bất đẳng thức V = {(x, y, z) | ≤ x ≤ 1, ≤ y ≤ − x, ≤ z x y} (Xem hình vẽ bên d-ới) Hình 3.9: Ví dụ 3.4.2 áp dụng công thức nhËn xÐt trªn 1−x 1−x−y (x − 2y)dz dy dx = I= 0 3.4 C¸ch tÝnh tÝch ph©n béi 29 = 1−x (x − x2 − 2y + xy + 2y 2)dy = dx 0 1 3x 5x3 − + − 2x2 + = dx = − 24 TÝnh tÝch ph©n (x2 + y + 2z)dxdydz, T = V V elipxôit x2 y z + + ≤ a2 b2 c Biểu diễn tích phân cần tính thành tổng cđa ba tÝch ph©n (x2 + y + 2z)dxdydz = T = V x2dxdydz+ V y 2dxdydz + + V 2zdxdydz V Tr-íc hÕt ta tÝnh T1 x2 dxdydz T1 = V Kí hiệu S(x) thiết diện tạo V mặt phẳng qua x, vuông góc với trục Ox Khi với x cố định S(x) lµ mét elip S(x) = {(y, z) | y2 b2 (1 − x2 ) a2 + z2 c2 (1 x2 ) a2 1} áp dụng công thức a x dxdydz = a dx −a V x2 dx x dydz = dydz −a S(x) S(x) Do diƯn tÝch thiÕt diƯn S(x) (®Ĩ thn tiƯn ta cịng kí hiệu diện tích S(x)) tích víi c¸c b¸n trơc cđa elip S(x) = dydz = bc S(x) x2 a2 Ch-ơng III Tích phân béi 30 Suy a x2 dxdydz = T1 = πbcx2 − −a x2 a2 dx = V a x2 − = 2πbc x4 a2 dx = a bc 15 Do vai trò x y đối xứng với nhau, t-ơng tự y 2dxdydz = T2 = πab3c 15 V zdxdydz, ta cã nhËn xét elipxôit V nhận Để tính tích phân T3 = V mặt phẳng xOy làm mặt phẳng đối xứng, vËy V = V1 ∪ V2 , ®ã V1 nửa mặt phẳng xOy V2 phần lại, nửa d-ới Hàm d-ới dấu tích phân (z) nhận giá trị đối điểm đối xứng qua mặt phẳng xOy Từ định nghĩa tích phân bội suy tích phân hàm z V1 V2 đối Vậy T3 = zdxdydz = V zdxdydz + V1 zdxdydz = V2 Suy giá trị tích phân cần tìm T = 4 πa bc + πab3c = πabc(a2 + b2 ) 15 15 15 Ci cïng ta ph¸t biĨu định lí đổi biến tích phân bội Định lí đ-ợc diễn đạt giống nh- tr-ờng hợp hàm biến, thừa nhận không chứng minh định lí Định lí 3.4.4 Cho hàm f : M R khả tích tập giới nội M Rn Gọi g : M M song ánh từ M Rn lên M, khả vi liên tục tập M Kí hiệu g (y) Jacobien ánh xạ g y M , |g (y)| = | det g (y)|, ®ã f (x) dx = M f (g(y))|g (y)| dy M 3.4 C¸ch tính tích phân bội 31 Nh- phép đổi biến x = g(y), ta đ-a tích phân bội hàm f (x) tập M tích phân bội tập M ánh xạ g đ-ợc viết cách chi tiÕt h¬n g(y) = (g1 (y), g2(y), , gn(y)) ®ã gi : M → R víi mäi i = 1, 2, , n Jacobien ánh xạ g định thức g1 y2 g2 y2 gn y1 det g (y) = ∂g1 ∂y1 ∂g2 ∂y1 ∂gn ∂y2 ··· ··· ··· ··· ∂g1 ∂yn ∂g2 ∂yn ∂gn ∂yn Xét tr-ờng hợp đặc biệt sử dụng phép đổi biÕn x = Ay hay y = A−1 x, A ma trận ánh xạ tuyến tính không suy biến, A1 ma trận nghịch đảo A ánh xạ Ay đóng vai trò g : M M định lí Mặt khác đạo hàm ánh xạ tuyến tính | det g (y)| = | det A| víi mäi y VËy f (Ay) · | det A| dy f (x) dx = M M L-u ý r»ng nÕu ta sö dơng phÐp ®ỉi biÕn y = Bx hay x = B1 y, B ma trận ánh xạ tuyến tính không suy biến, chiếu tập M Rn lên tập M Rn , f (B−1 y) · | det B−1 | dy = f (x) dx = M M f (B−1 y) · dy | det B| M Mét c¸ch tỉng qu¸t, nÕu ánh xạ h : M M song ánh khả vi liên tục tập M, thoả mÃn điều kiện định lí đạo hàm hàm ng-ợc 1.3.7 phép đổi biến y = h(x) hay x = h1 (y) dẫn đến công thức f (h1 (y)) à | det h−1 (y)| dy f (x) dx = M M f (h−1 (y)) · = M dy | det h (h1 (y)) | (3.1) Ch-ơng III Tích phân béi 32 VÝ dơ 3.4.3 TÝnh tÝch ph©n (x + 2y + 3)(3x + 5y)2 dxdy, I= M M hình bình hành với đỉnh A(3, 2); B(−1, 1); C(−11, 7); D(−13, 8) DƠ dµng nhËn thấy cạnh hình bình hành đ-ờng th¼ng x + 2y − = 0, x + 2y − = 0, 3x + 5y − = 0, 3x + 5y − = Sö dơng phÐp ®ỉi biÕn u = 3x + 5y, v = x + 2y hay d-íi d¹ng ma trËn u v =B x y = x y Suy x y −5 u u = v −1 v x = 2u − 5v, y = u + 3v = B1 Jacobien ánh xạ b»ng det B−1 = −5 = −1 Mặt khác từ ph-ơng trình cạnh hình bình hành ta dễ dàng nhận thấy ánh xạ B biến đổi hình bình hành M thành hình chữ nhật M = {(u, v) = {1 ≤ u ≤ 2, v 3} (Ng-ợc lại B1 song ánh từ hình chữ nhật M lên M) áp dụng định lÝ ®ỉi biÕn (x + 2y + 3)(3x + 5y)2 dxdy = I= M M 3 (v + 3)u2 du = dv = (v + 3)u2 · dudv 1 70 7(v + 3) dv = 3 3.4 Cách tính tích phân bội 33 TÝnh tÝch ph©n x + a y b dxdy D D miền giới hạn trục tọa độ đ-ờng cong x + a y =1 b (a > 0, b > 0) Sö dơng phÐp ®ỉi biÕn g = (x, y): x = au cos4 t y = bu sin4 t Gäi D∗ hình chữ nhật D = {(u, t) | ≤ u ≤ 1, ≤ t ≤ π } Hiển nhiên g song ánh từ D lên D Jacobien ánh xạ g a cos4 t −4au cos3 t sin t = 4abu sin3 t cos3 t b sin4 t 4bu sin3 t cos t J (u, t) = VËy x + a y b u |4abu sin3 t cos3 t|dudt = dxdy = D∗ D π du = u 4abu sin3 t cos3 t dt = 0 = 4ab π u du · sin3 t cos3 t dt = ab 21 Tìm thể tích vật thể V giới hạn mặt trụ xy = 1; mặt cong z = y x xy = 4; y = 3x; + mặt phẳng z = y = 6x, Ch-ơng III Tích phân bội 34 Ta biết thể tÝch vËt thÓ y + dxdy, x V = D D miền phẳng giới hạn đ-ờng cong xy = 1; xy = 4; y = 3x; y = 6x, mặt phẳng z = Sư dơng phÐp ®ỉi biÕn u = xy, v = x=u v −1 ; y x hay y=u v Ma trËn Jacobien ánh xạ x u y u x ∂v ∂y ∂v 1 −1 −2 u 2v −1 u 2v2 = − u v− 2 1 −1 u2 v 2 Vậy định thức Jacobien ánh xạ b»ng −1 −1 u 2v 2 1 −1 u 2v det − u v− 2 1 −1 u2 v 2 = 2v Mặt khác dễ dàng nhận thấy ánh xạ (x, y) song ánh từ hình chữ nhật D = {(u, v) | u ≤ 4, ≤ v ≤ 6} lªn D áp dụng định lí đổi biến y + dxdy = x V = (v + 5) dudv 2v D∗ D = du 3 v+5 dv = (5 ln + 3) 2v NhËn xÐt r»ng nÕu sư dơng c«ng thøc (3.1), ta cã thể tính tích phân thông qua ma trận Jacobien h (x, y) = ∂u ∂x ∂v ∂x ∂u ∂y ∂v ∂y = y x −y x2 x ⇒ det h h−1 (y) = 2y x = 2v y →v x Theo (3.1), f (h−1 (y)) dy = | det h (h−1 (y)) | y + dxdy = x D D∗ v+5 dudv = (5 ln + 3) 2v D 3.4 Cách tính tích phân bội 35 TÝnh tÝch ph©n (x + y + z)2 dxdydz, I= M M hình hộp xiên giới hạn mặt phẳng x+y +z = 2, x+3y +z = 0, x+3y +z = 3, x−2y +2z = 1, x−2y +2z = Sư dơng phÐp ®ỉi biÕn u = x + y + z, v = x + 3y + z, t = x − 2y + 2z hay d-íi d¹ng ma trËn u x 1 x v = A y = 1 y t z −2 z Jacobien ánh xạ đổi biến (ánh xạ tuyÕn tÝnh) b»ng | det A−1 | = 1 = | det A| víi mäi (u, v, t) M Dễ dàng nhận thấy ánh xạ A biến đổi hình hộp xiên M thành hình hộp chữ nhËt M = {(u, v, t) = {−2 ≤ u ≤ 2, ≤ v ≤ 3, ≤ t 2} (Ng-ợc lại A1 song ánh từ M lên M) áp dụng định lí đổi biến (x + y + z)2dxdydz = I= M u2 · M dudvdt = ... λ(D)f (c) D Chó ý tích phân hàm nhiều biến th-ờng đ-ợc gọi tích phân bội, tích phân hàm hai biến đ-ợc gọi tích phân kép, tích phân hàm ba biến đ-ợc gọi tích phân bội ba Tích phân hàm chẵn, lẻ... đ-ợc, suy f khả tích [a, b] Lớp hàm khả tích rộng Hầu hết hàm bị chặn ta th-ờng gặp hàm khả tích Ch-ơng III Tích phân bội 10 3.3 Tích phân bội tập giới nội Bây mở rộng khái niệm tích phân miền giới... ta xét tích phân hàm đặc tr-ng M (x) hình hộp H Dễ dàng chứng minh đ-ợc (M) (M) tích phân tích phân d-ới t-ơng ứng hàm đặc tr-ng M (x) Vì định lí sau hiển nhiên Ch-ơng III Tích phân bội 12