Chương III Tích phân bội

Toán cao cấp A2 - Giáo án Cao đẳng Tin học Năm 2008 Lại Đức Nam - Tổ Toán - Khoa Tự nhiên Trang: 32 Ch-ơng III: tích phân bội tích phân trên hình hộp Tiết: 31 - 33 Ngày soạn: Ngày dạy: I/. Mục tiêu: - Kiến thức: - Kỹ năng: - Thái độ: Nghiêm túc. II/. Tiến trình 1. Kiểm tra sỹ số: 2. Kiểm tra sự chuẩn bị bài: 3. Bài mới Hoạt động Nội dung 1 Bài toán tính thể tích hình trụ Hình trụ V có phía trên là mặt :,S z f x y với ,f x y liên tục và ,0f x y , phía d-ới hình D là hình chiếu của S lên mặt phẳng toạ độ Oxy . Hình D có diện tích là S , khi đó ng-ời ta tính thể tích hình trụ V theo ph-ơng pháp sau: +/. Gọi phân hoạch P là một phép chia D thành n hình nhỏ 1 2 3 ; ; ; ; n S S S S sao cho 12 n S S S S +/. Đ-ờng kính của tập n AR là số :,d A A Sup x y x y A Khi đó đ-ờng kính của phân hoạch P là : 1, i P max S i n +/. Dựng hình trụ i V t-ơng ứng vói mỗi i và có đáy i S Gọi i V là thể tích hình trụ i V . Ta có 1 n i VV +/. Lấy , i i i x y S khi đó thể tích hình trụ có đáy i S , chiều cao , ii f x y là , i i i f x y S Ta có: 11 , nn i i i i V V f x y S Nếu 0P thì sai số dần tới 0 Vậy 0 1 lim , n i i i P V f x y S V không phụ thuộc vào phân hoạch P và cách chọn điểm , i i i x y S 2 Định nghĩa Toán cao cấp A2 - Giáo án Cao đẳng Tin học Năm 2008 Lại Đức Nam - Tổ Toán - Khoa Tự nhiên Trang: 33 - Cho hàm ,z f x y xác định trên miền D bị chặn. - Phân hoạch P chia D thành n miền 1 2 3 ; ; ; ; n S S S S có diện tích t-ơng ứng 1 2 3 ; ; ; ; n S S S S Thực hiện phép chọn C các điểm , i i i x y S Khi đó 1 , , , n i i i I f P C f x y S là tổng tích phân của hàm ,f x y ứng với phân hoạch P và phép chọn C của P - Nếu tồn tại 0 lim , , P I f P C I không phụ thuộc vào phân hoạch P và phép chọn C , tức là 0, 0 sao cho với mọi phân hoạch P và mọi phép chọn C nếu ,,P I I f P C thì I gọi là tích phân của hàm ,f x y trên miền D . Ký hiệu: 0 1 , lim , n i i i P D f x y dS f x y S - Khi chia D thành các miền nhỏ bởi các đ-ờng thẳng song song ,Ox Oy thì i i i S x y Khi đó S dxdy và ,, DD f x y dS f x y dxdy - Nếu , D f x y dxdy tồn tại thì hàm ,f x y gọi là khả tích trên D * Định lý: Nếu hàm ,f x y liên tục trên miền đóng, bị chặn D thì ,f x y khả tích trên D 3 Tính chất a Nếu , 1; ,f x y x y D và miền D có bằng diện tích S thì , DD f x y dxdy dxdy S b Nếu ,f x y khả tích trên miền D và R thì ,f x y cũng khả tích trên D và ,, DD f x y dxdy f x y dxdy c Nếu ,f x y và ,g x y khả tích trên miền D thì ,,f x y g x y khả tích trên D , , , , , D D D f x y g x y dxdy f x y dxdy g x y dxdy d Nếu D đ-ợc chia thành hai miền nhỏ 12 ,DD thì 12 , , , D D D f x y dxdy f x y dxdy f x y dxdy e Nếu ,f x y và ,g x y khả tích trên D và ,,f x y g x y thì ,, DD f x y dxdy g x y dxdy Đặc biệt: , 0 , 0 D f x y f x y dxdy f Nếu ,f x y khả tích trên miền D và ,m f x y M thì , D mS f x y dxdy MS Toán cao cấp A2 - Giáo án Cao đẳng Tin học Năm 2008 Lại Đức Nam - Tổ Toán - Khoa Tự nhiên Trang: 34 h Nếu ,f x y khả tích trên miền đóng, bị chặn, liên thông D thì 00 ,x y D sao cho 00 , , . D f x y dxdy f x y S 4. Bài tập về nhà 5. Rút kinh nghiệm Toán cao cấp A2 - Giáo án Cao đẳng Tin học Năm 2008 Lại Đức Nam - Tổ Toán - Khoa Tự nhiên Trang: 35 bài tập Tiết: 34 - 35 Ngày soạn: Ngày dạy: I/. Mục tiêu: - Kiến thức: - Kỹ năng: - Thái độ: Nghiêm túc. II/. Tiến trình 1. Kiểm tra sỹ số: 2. Kiểm tra sự chuẩn bị bài: 3. Bài mới Hoạt động Nội dung 1 Bài 1: Đánh giá các tích phân trong từng tr-ờng hợp a 22 49 D x y dxdy trong đó D là hình tròn 22 4xy H-ớng dẫn: Ta có 2 2 2 2 2 9 9 3 3 25x y x y y b 2 2 2 2 22 D x y x y dxdy trong đó 02 : 02 x D y Giải: Ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1x y x y x y nên suy ra 2 2 2 2 2 1 2 2 8 1 1 2 5 2 2x y x y Vậy 4 8 5 2 2I 2 Bài 2: CMR nếu fx là hàm số khả tích trên ,ab thì 2 2 bb aa f x dx b a f x dx Giả sử ,f x g x là các hàm khả tích trên , Khi đó R ta có: 22 0 , 0 b a f x g x x f x g x dx 22 20 b b b a a a g x dx f x g x dx f x dx Đặt 22 b b b a a a A g x dx B f x g x dx C f x dx 22 2 0 0A B C R B AC Toán cao cấp A2 - Giáo án Cao đẳng Tin học Năm 2008 Lại Đức Nam - Tổ Toán - Khoa Tự nhiên Trang: 36 Tức là: 2 22 b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx (*) Đặt: 1gx 2 2 2 bb aa f x dx b a f x dx 3 Bài 3: Xác định miền lấy tích phân H-ớng dẫn Sinh viên a/. 1; 1; 0x y x y x b/. 22 4; 0; 0x y y x c/. 2 2 2 2 ;1x y y x d/. 22 1 2 1xy 4 Bài 4: CMR nếu ,f x g y lần l-ợt là các hàm khả tích trên ,ab và ,cd thì ,, bd a b c d a c f x g y dxdy f x dx g y dy Giải: Xét hàm ,F x y f x g y Bằng phép phân hoạch P chia hình chữ nhật ,,a b c d thành các hình chữ nhật nhỏ bởi các đ-ờng thẳng sau: 0 1 1 1 2 1 , , , ; , , , mn x x x x y y y y Xét tổng ,. P i j i j i i j j i j i j F x y f x g y Do ,0 ij dP max x y Ta đ-ợc 0 ,, lim P dP a b c d f x g y dxdy 0 0 lim lim . i j bd i i j j max x max y ii ac f x g y f x dx g y dy 4. Bài tập về nhà 5. Rút kinh nghiệm Toán cao cấp A2 - Giáo án Cao đẳng Tin học Năm 2008 Lại Đức Nam - Tổ Toán - Khoa Tự nhiên Trang: 37 tích phân trên tập giới nội Tiết: 36 - 38 Ngày soạn: Ngày dạy: I/. Mục tiêu: - Kiến thức: - Kỹ năng: - Thái độ: Nghiêm túc. II/. Tiến trình 1. Kiểm tra sỹ số: 2. Kiểm tra sự chuẩn bị bài: 3. Bài mới Hoạt động Nội dung 1 Định nghĩa - Cho hàm ba biến ,,u f x y z xác định trên miền bị chặn V trong không gian Oxyz ; Gọi V là thể tích của V Chia V thành n miền nhỏ là 12 , , , n V V V có thể tích lần l-ợt nh- sau: 12 , , , n V V V sao cho 1 n i i VV Trên mỗi miền nhỏ i V lấy điểm tuỳ ý ,, i i i x y z Lập tổng 1 ,, n i i i i i f x y z V (*) - Tổng (*) gọi là một tổng tích phân của hàm ,,f x y z trên miền V , ký hiệu ii d d V là đ-ờng kính của miền i V Đặt 1, i d max d i n - Nếu tồn tại 1 lim , , n i i i i n i f x y z V không phụ thuộc vào cách chia miền V và cách chọn điểm ,, i i i i x y z V thì giới hạn đó gọi là tích phân ba lớp của hàm ,,f x y z trên miền V Ký hiệu: ,, V f x y z dV Hoặc ,, V f x y z dxdydz - Nếu tích phân ba lớp tồn tại thì ta nói ,,f x y z khả tích trên V - Định lý: Nếu hàm số ,,f x y z liên tục trên miền đóng, bị chặn V thì ,,f x y z khả tích trên V 2 Tính chất Toán cao cấp A2 - Giáo án Cao đẳng Tin học Năm 2008 Lại Đức Nam - Tổ Toán - Khoa Tự nhiên Trang: 38 a VV dV dxdydz V b , , , , VV f x y z dV f x y z dV R c , , , , , , , , V V V f x y z g x y z dV f x y z dV g x y z dV d Nếu 12 V V V ( V đ-ợc chia thành hai miền 1 V & 2 V ) thì 12 , , , , , , V V V f x y z dV f x y z dV f x y z dV e Nếu , , , , , ,f x y z g x y z x y z V Thì , , , , VV f x y z dV g x y z dV * Đặc biệt: , , 0 , , , , 0 V f x y z x y z V f x y z dV f Nếu , , , , , , , V m f x y z M x y z V mV f x y z dV MV g Nếu ,,f x y z liên tục trên một miền đóng, bị chặn và liên thông V thì 0 0 0 0 0 0 , , : , , , , V x y z V f x y z dV f x y z V 4. Bài tập về nhà 5. Rút kinh nghiệm Toán cao cấp A2 - Giáo án Cao đẳng Tin học Năm 2008 Lại Đức Nam - Tổ Toán - Khoa Tự nhiên Trang: 39 Cách tính tích phân Tiết: Ngày soạn: Ngày dạy: I/. Mục tiêu: - Kiến thức: - Kỹ năng: - Thái độ: Nghiêm túc. II/. Tiến trình 1. Kiểm tra sỹ số: 2. Kiểm tra sự chuẩn bị bài: 3. Bài mới Hoạt động Nội dung I Cách tính tích phân hai lớp 1 Định lý Fubini - H-ớng dẫn tính theo 12 DD - H-ớng dẫn Sinh viên vẽ hình - Cho hàm số ,f x y liên tục trên D . Nếu miền D xác định với 12 ;a x b x y x trong đó 12 ,xx là các hàm số liên tục trên ,ab thì 22 11 , , , xx bb D a x a x f x y dxdy f x y dy dx dx f x y dy - Ví dụ 1: Tính 2 D I x ydxdy trong đó D là một tam giác có toạ độ các đỉnh là 0,0 ; 1,0 ; 1,1O A B Giải: OB có ph-ơng trình :0 1;0y x D x y x 12 0&x x x 1 1 1 1 25 2 2 4 0 0 0 0 0 0 11 2 2 10 10 x x yx I dx x ydy x dx x dx - Ví dụ 2: Tính D I xydxdy trong đó D đ-ợc xác định bởi xy ; trục hoành và 2xy Giải: 01 : 2 y D y x x ( Hình vẽ ) 2 1 0 7 24 y y I dy xydx Toán cao cấp A2 - Giáo án Cao đẳng Tin học Năm 2008 Lại Đức Nam - Tổ Toán - Khoa Tự nhiên Trang: 40 - Ví dụ 2: Tính 2 24 2 00 4 x y xe I dx dy y Giải: 2 4 y D xe I dxdy y ( Hình vẽ ) 4 4 28 00 44 y y xe e I dy dx y 2 Đổi biến trong tích phân hai lớp a Công thức biến đổi tổng quát - Định lý: Nếu hàm số ,f x y liên tục trên miền D thì ta có , , , , , D f x y dxdy f x u v y u v J u v dudv ; , xx ux J u v yy uv - Ví dụ: Tính D I xydxdy trong đó D đ-ợc giới hạn bởi 22 : ; 3P y x y x và ;2y x y x Đặt 2 32 3 2 4 7 11 4 13 105 12 32 , y x u u u u dv x y I dudv u du v v v v y v u J u v x v b Công thức biến đổi trong toạ độ cực - Đặt sin ; , 0 sin sin x rcos cos r J r r y r rcos , , sin D f x y dxdy f rcos r rdrd - Ví dụ: Tính 22 4 D dxdy I xy với D là nửa trên hình 2 2 11xy 2 2 22 00 0 2 2 44 02 cos rdrd rdr Id rr r cos II Cách tính tích phân ba lớp a Định nghĩa - Xét hai mặt cong có ph-ơng trình 12 , ; , ; ,z z x y z z x y x y D với D là một miền trong mặt phẳng Oxy Nếu 12 ;,z z x y D thì trong không gian có hình trụ nhận 12 ,zz làm mặt d-ới và mặt trên. Toán cao cấp A2 - Giáo án Cao đẳng Tin học Năm 2008 Lại Đức Nam - Tổ Toán - Khoa Tự nhiên Trang: 41 - Nếu ,,f x y z xác định trên V có dạng trên, thì 2 2 2 1 1 1 ,, ,, , , , , , , z x y y x z x y b V D z x y a y x z x y f x y z dxdydz dxdy f x y z dz dx dy f x y z dz - Ví dụ: ( giáo trình ) b Đổi biến trong tích phân ba lớp - Giả sử V đóng, bị chặn trong không gian Oxyz và là miền đóng, bị chặn trong Ouvw Trong các đạo hàm riêng , , ; , , ; , ,x x u v w y y u v w z z u v w là liên tục sao cho , , , ,u v w x y z là một song ánh V Suy ra , , , , 0 x x x u v w y y y J u v w J u v w u v w z z z u v w , , , , , , , , , , , , V f x y z dxdydz f x u v w y u v w z u v w J u v w dudvdw - Toạ độ trụ Đặt ; sin ; , ,x rcos y r z z J r z r , , , sin , V f x y z dxdydzx f rcos r z rdrd dz - Toạ độ cầu Đặt 2 sin ; sin sin ; , , sinx r cos y r z rcos J r r 2 , , sin , sin sin , sin V f x y z dxdydzx f r cos r rcos r drd d 0;0 ;0 2r - Ví dụ: ( giáo trình ) III Bài tập 1 Dùng phép biến đổi trong toạ độ cực. Tính a/. 22 1 D x y dxdy trong đó 22 :D x y x b/. 1 2 3 D x y dxdy trong đó 22 :1D x y a/. Đặt 2 2 2 sin x cos x y cos cos y [...]... ứng dụng của tích phân bội Tiết: Ngày soạn: I/ Mục tiêu: - Kiến thức: - Kỹ năng: - Thái độ: Nghiêm túc II/ Tiến trình 1 Kiểm tra sỹ số: 2 Kiểm tra sự chuẩn bị bài: 3 Bài mới Ngày dạy: Hoạt động Nội dung 1 ứng dụng của tích phân hai lớp a Tính thể tích - Nếu V là miền hình trụ, đáy D Oxy , mặt trên S có ph-ơng trình z f x, y x, y D thì V f x, y dxdy D - Ví dụ: Tính thể tích V giới... 4 r rdr 2 2r 6 Đặt 4 y 2 sin 0 0 b Tính diện tích hình phẳng - Hình D có diện tích S dxdy D - Ví dụ: Tính diện tích hình giới hạn bởi các đ-ờng x 1 2 y2 1 ; x 2 y 2 4 và y x; y 0 2 D xác định nh- sau( trong hệ toạ độ cực ) 2cos r 4cos ; 0 4 4 4 cos 0 2 cos S dxdy d D rdr 3 2 4 c Tính diện tích mặt cong Lại Đức Nam - Tổ Toán - Khoa Tự nhiên Trang:... y dxdy D m , trong đó I là trọng tâm D e Bài tập: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi 1 3x 1 0 +/ y x; y 3x và x 1 x 0 S dx dy 2 xdx 1 +/ Phần mặt cầu x 2 y 2 z 2 4 cắt bởi mặt trụ x 2 y 2 1 z 2 4 x2 y 2 z 4 x2 y 2 S 2 ' 1 z x z 'y dxdy 2 2 x 2 y 2 1 2 ứng dụng của tích phân ba lớp a Tính thể tích +/ V dxdydz V +/ Ví dụ: ( giáo trình ) b Tính khối l-ợng... 2008 - Định lý: Nếu mặt S z f x, y có ph-ơng trình x, y D và các đạo hàm riêng f x' x, y ; f y' x, y tồn tại, liên tục trong D thì diện tích của mặt S là S 1 f x' x, y f y' x, y dxdy 2 2 D x, y D - Ví dụ: Tính diện tích phần mặt của paraboloit z x 2 y 2 giới hạn bởi mặt trụ x 2 y 2 1 z x2 y 2 x, y D với D là hình tròn tâm O bán kính 1 suy ' ra z x . Cao đẳng Tin học Năm 2008 Lại Đức Nam - Tổ Toán - Khoa Tự nhiên Trang: 32 Ch-ơng III: tích phân bội tích phân trên hình hộp Tiết: 31 - 33 Ngày soạn: Ngày dạy: I/. Mục tiêu: - Kiến thức:. gọi là tích phân ba lớp của hàm ,,f x y z trên miền V Ký hiệu: ,, V f x y z dV Hoặc ,, V f x y z dxdydz - Nếu tích phân ba lớp tồn tại thì ta nói ,,f x y z khả tích. i I f P C f x y S là tổng tích phân của hàm ,f x y ứng với phân hoạch P và phép chọn C của P - Nếu tồn tại 0 lim , , P I f P C I không phụ thuộc vào phân hoạch P và phép chọn