Lời giải chương 2 tich phan boi

TÍNH TÍCH PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN 1) Tính tích phân kép a) D = { (x, y) : ≤ x ≤ 3,0 ≤ y ≤ 1} I = ∫∫ (6x y3 − 5y )dxdy D Lời giải: 3  3x   x3  21 I = ∫∫ (6x y − 5y )dxdy = ∫ dx ∫ (6x y − 5y )dy = ∫  − 1÷ dx = − x =   ÷  2 0 D 0 0 b) I = ∫∫ D xy x2 + D = { (x, y) : ≤ x ≤ 1, −3 ≤ y ≤ 3} dxdy Lời giải: 3 1  y  I = ∫∫ dxdy = ∫ ∫ y dy =  ln(x + 1)    = 9ln x + x +  0 D −3 xy xdx c) I = ∫∫ y3 cos x dxdy D ;  π  D =  − , π  × [ 1,2]   Lời giải: π  y   2x − sin 2x  π 45π 3 I = ∫∫ y cos x dxdy = ∫ y dy ∫ cos x dx =    =  π 16 − 4  π D 2 − d) ; D = [ 0,2] × [ −2,2] I = ∫∫ (x + 3xy − y x )dxdy D Lời giải: hàm lẻ với biến y miền lấy tích I = ∫∫ (x + 3xy − y x )dxdy = ∫ x dx = D 32 phân đối xứng qua Ox e) I = ∫∫ e D = { (x, y) : ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1} x−y dxdy ∫∫ e x − y dxdy + D Lời giải: I = ∫∫ e x−y dxdy = ≤ x ≤1 0≤ y ≤ x D x 0 = ∫ dx ∫ e x−y 1 x dy + ∫ dx ∫ e e y − x dxdy ∫∫ ≤ x ≤1 x ≤ y ≤1 y−x ( ) ( ) dy = ∫ e − dx + ∫ e1− x − dx = 2e − x 2) Tính tích phân kép a) ; D = { (x, y) : ≤ x ≤ 2, − x ≤ y ≤ x} I = ∫∫ x y2 dxdy D Lời giải: x 2 256 I = ∫∫ x y dxdy = ∫ x dx ∫ y dy = ∫ x dx = 30 21 D 0 3 b) I = ∫∫ D y x +1 ; { D = (x, y) : ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ x dxdy } Lời giải: I = ∫∫ D y x2 + 1 dx 0x dxdy = ∫ x +1 ∫ 1 2xdx 1 ydy = ∫ = ln(x + 1) = ln x +1 4 c) I = ∫∫ x sin(x + y)dxdy ; D = { (x, y) : ≤ x ≤ π / 2,0 ≤ y ≤ x} D Lời giải: π x 0 I = ∫∫ x sin(x + y)dxdy = ∫ xdx ∫ sin(x + y)dy D π π x sin 2x cos 2x  π −  = ∫ x(cos x − cos 2x)dx =  x sin x + cos x − −  = 2  0 d) ( ) I = ∫∫ (x − y )tgx + y sin y + dxdy D ; { } D = (x, y) : x + y ≤ Lời giải: hàm lẻ với biến x,y ( ) I = ∫∫ (x − y )tgx + y sin y + dxdy = ∫∫ dxdy = 4π D D miền lấy tích phân đối xứng qua hai trục Ox,Oy 3) Tính tích phân kép a) ; I= ∫∫ (2x − 3y)dxdy x + y ≤9 2 Lời giải: hàm lẻ với biến x,y miền lấy tích phân đối I= ∫∫ (2x − 3y)dxdy = x + y ≤9 2 xứng qua hai trục Ox,Oy b) I= ∫∫ x + y ≤4 2 ( x + y2 ) 3/ dxdy Lời giải: I= ∫∫ ( x x + y ≤4 2 +y ) 3/ π 2 0 dxdy = ∫ dϕ∫ r dr = 64π với , 0 ≤ r ≤ J = r   π 0 ≤ ϕ ≤  x = r cos ϕ   y = r sin ϕ hàm chẵn với biến x,y miền lấy tích phân đối xứng qua hai trục Ox,Oy 4) Đổi thứ tự lấy tích phân tính tích phân a) ; 3y I = ∫ dy ∫ e x dx Lời giải: 3y x /3 0 I = ∫ dy ∫ e dx = ∫ dx x2 ∫ xe x e dy = ∫ dx = e x x2 b) e9 − = ; y2 I = ∫ dy ∫ ycos x dx Lời giải: y2 I = ∫ dy ∫ ycos x dx = ∫ dx x ∫ c) ; 1 x I = ∫ dx ∫ cos y dy Lời giải: 9 1 sin81 ycos x dy = ∫ x cos x dx = sin x = 20 4 1 y 1 1 sin1 I = ∫ dx ∫ cos y dy = ∫ dy ∫ cos y dx = ∫ ycos y dy = sin y = 2 x 0 2 d) ; 1 I = ∫ dy ∫ y ye x x3 dx Lời giải: I = ∫ dy ∫ y ye x x3 x2 dx = ∫ dx ∫ ye x x3 e) 2 1 dy = ∫ xe x dx = e x 20 = e −1 1 x I = ∫ dx ∫ xydy Lời giải: 1 y 1 1 I = ∫ dx ∫ xydy = ∫ ydy ∫ xdx = ∫ y3dy = 20 x 0 5) Dùng phép đổi biến thích hợp tính tích phân: a) D hình vng với đỉnh I = ∫∫ (x − y2 )dxdy D ; (0, 2),(1,1),(2,2),(1,3) Lời giải: đỉnh hình vng nằm đường thẳng có phương trình ; ; ; y = x y = x + y = −x + y = −x + Đặt với x − y = u  x + y = v 0 ≤ u ≤  2 ≤ v ≤ u+v  x =  ⇒J=   y = −u + v  4 1 I = ∫∫ (x − y )dxdy = ∫ udu ∫ vdv = u v = −6 −2 −2 D 2 b) D hình vng với đỉnh I = ∫∫ xydxdy D ; (0,0),(1,1),(2,0),(1, −1) Lời giải: đỉnh hình vng có phương trình ; ; ; y = x y = x + y = −x + y = −x + hàm lẻ với biến y miền lấy tích phân đối xứng qua trục I = ∫∫ xydxdy = D Ox c) I = ∫∫ xydxdy D ; D = { (x, y) : y = x, y = 3x, xy = 1, xy = 3, x > 0, y > 0} Lời giải: Đặt với  y = uv y  =u  ⇒ x v  xy = v  x = u  ⇒ J = uv u uv − v 2u u = 2u v uv 1 ≤ u ≤  1 ≤ v ≤ 3 du I = ∫∫ xydxdy = ∫ ∫ vdv = 2ln 2u D d) I = ∫∫ D x − 2y dxdy 3x − y ; D = { (x, y) : x − 2y = 0, x − 2y = 4,3x − y = 1,3x − y = 8} Lời giải: Đặt 2v − u  x =  x − 2y = u  ⇒  3x − y = v  y = v − 3u  với J= 0 ≤ u ≤  1 ≤ v ≤ 8 x − 2y dv 24ln I = ∫∫ dxdy = ∫ udu ∫ = 3x − y 50 v D e) D miền giới hạn ; x + y ≤1 I = ∫∫ e x + y dxdy D Lời giải: miền giới hạn hình vng với đỉnh A(1,0);B(0,1); x + y ≤1 nằm tương ứng đường thẳng C(−1,0);D(0, −1) ; x + y = x + y = −1 ; y − x = y − x = −1 Đặt  y − x = u  −1 ≤ u ≤ ⇒  x + y = v  −1 ≤ v ≤ I = ∫∫ e D x+y ; v−u  J = x =  2  y = u + v  1 dxdy = ∫ du ∫ e v dv = e − e−1 −1 −1 f) I = ∫∫ (x + y)3 (x − y) dxdy D với ; D = { (x, y) : y + x = 1, x + y = 3, x − y = −1, x − y = 1} ; Lời giải: Đặt  x − y = u −1 ≤ u ≤ ⇒  x + y = v  1 ≤ v ≤ ; v−u  J = y =  2  x = u + v  1 20 I = ∫∫ (x + y) (x − y) dxdy = ∫ v3du ∫ u dv = 21 D −1 6) Chứng minh a) ; 1− x 0 I = ∫ dx ∫ e y / (x + y) dy = e −1 Lời giải: 1− x I = ∫ dx ∫ e y / (x + y) 1− y 0 dy = ∫ dy ∫ e y / (x + y) dx Đặt 1− y f (y) = ∫ e y / (x + y) dx ⇒ f ′(y) = 1− y ∫ x (x + y) e y / (x + y) dx − e y Lời giải: với D = { ≤ y ≤ 1, ≤ 2x + y, x + y ≤ 1} V = ∫∫ z(x, y)dxdy = ∫∫ (2 − x − y)dxdy D D V = ∫∫ (2 − x − y)dxdy = ∫ dy D 1− y ∫ (2 − x − y)dx 1− y  3(1 − y) y(1 − y)  = ∫ 1 − y − −  dy  0 ( ) 1  = ∫ y − 6y + dy =  − + ÷ = 80 8  24 10) Tính thể tích vật thể giới hạn bởi: a) Dưới mặt phẳng phía miền giới hạn x + 2y − z = ; y = x, y = x Lời giải: với V = ∫∫ z(x, y)dxdy = ∫∫ (x + 2y)dxdy D { D x x4 V = ∫∫ (x + 2y)dxdy = ∫ dx ∫ (x + 2y)dy = ∫ (2x − x − x )dx = D } D = ≤ x ≤ 1, x ≤ y ≤ x 1 − − = 18 b) Dưới mặt phẳng phía tam giác với đỉnh z = xy ; (1,1),(4,1),(1,2) Lời giải: với D = { ≤ y ≤ 2, ≤ x ≤ − 3y} V = ∫∫ z(x, y)dxdy = ∫∫ xydxdy D D − 3y 1 V = ∫∫ xydxdy = ∫ ydy D ∫ xdx = ∫ y(9y − 42y + 48)dy 21   9y 31 =  − 14y3 + 24y  = 2  c) mặt trụ ; mặt phẳng ; z = 0, y = y = x2 z = x2 Lời giải: với { V = ∫∫ z(x, y)dxdy = ∫∫ x 2dxdy D D } D = −2 ≤ x ≤ 2, x ≤ y ≤  4x x  128 V = ∫∫ x dxdy = ∫ dx ∫ x dy = 2∫ (4x − x )dx =  − ÷=  ÷   D −2 x 2 d) mặt trụ mặt phẳng x + y2 = tám thứ nhất; Lời giải: góc phần x = 0, y = z, z = với { V = ∫∫ z(x, y)dxdy = ∫∫ ydxdy D D π 0 V = ∫∫ ydxdy = ∫ sin ϕdϕ∫ r 2dr = D } D = x + y2 ≤ 1;x ≥ 0, y ≥ Đặt với  x = r cos ϕ   y = r sin ϕ J=r e) x + y2 + z = ; x + y2 = Lời giải: Do tính đối xứng miền tính thể tích nên với V = 8∫∫ z(x, y)dxdy = 8∫∫ − x − y dxdy D D   D = (x, y) : x + y ≤ ; x ≥ 0, y ≥    Đặt với  x = r cos ϕ   y = r sin ϕ  ≤ r ≤   0 ≤ ϕ ≤ π  J=r 0 ≤ r ≤   π 0 ≤ ϕ ≤ π 2 0 V = 8∫∫ − x − y dxdy = ∫ dϕ ∫ r − r dr D f) π = − (1 − r ) Các mặt pararaboloid = (8 − 3) π 2z = x + y ; z = − x − y2 Lời giải: Hai mặt cắt theo đường mặt x + y2 = 16 z= miền lấy thể tích đối xứng qua hai mặt zOx,zOy V = ∫∫ (8 − x − y )dxdy − ∫∫ (x + y )dxdy D D = 32∫∫ dxdy − ∫∫ (x + y )dxdy D D với Đặt 16   D =  x + y2 ≤ ; x ≥ 0, y ≥    với  x = r cos ϕ   y = r sin ϕ  0 ≤ r ≤  0 ≤ ϕ ≤ π  J=r V = 4∫∫ (8 − x − y )dxdy − 2∫∫ (x + y )dxdy = 4∫∫ 8dxdy − ∫∫ (x + y )dxdy D D D D π 128π = − ∫ dϕ g) 3 ∫ 128π 3π   64π r dr = −  ÷ = 4  3 mặt pararaboloid mặt phẳng z=5 z = x + y2 + Lời giải: Hai mặt cắt theo đường mặt z=5 x + y2 = miền lấy thể tích đối xứng qua hai mặt zOx,zOy V = Vtrô − ∫∫ (x + y + 1)dxdy = 20π − ∫∫ (x + y + 1)dxdy D D với { } D = x + y2 ≤ 4; x ≥ 0, y ≥ Đặt với  x = r cos ϕ   y = r sin ϕ 0 ≤ r ≤   π 0 ≤ ϕ ≤ J=r π 2 0 V = 20 π − ∫∫ (x + y + 1)dxdy = 20 π − ∫ dϕ∫ (r + 1)rdr = 8π D ; h) Các mặt trụ x + y2 = a x + z2 = a Lời giải: Do tính đối xứng miền tính thể tích qua mặt phẳng tọa độ, đồng thời môt góc 1/8 khối lại đối xứng qua mặt x=y nên với mặt x = −y z = a2 − x2 với D = { ≤ x ≤ a,0 ≤ y ≤ x} V = 16 ∫∫ z(x, y)dxdy = 16 ∫∫ a − x dxdy D D a x 0 ( V = 16 ∫∫ a − x dxdy = 16 ∫ dx ∫ a − x dy 2 D a 16 = 16 ∫ x a − x dx = − 2 a −x ) 3a 16a = 11) Tìm thể tích vật thể tạo thành cách lấy giao mặt trụ paraboloid ; y = − x2 y = x2 − Lời giải: mặt phẳng ; x+y+z=2 2x + 2y − z + 10 = Phần tính thể tích chiếu xuống xOy miền { D = −1 ≤ x ≤ 1, x − ≤ y ≤ − x nên với V = ∫∫ (10 − 2x − 2y)dxdy − ∫∫ (2 − x − y)dxdy D D { D = −1 ≤ x ≤ 1, x − ≤ y ≤ − x } Xong đối xứng qua trục tọa độ { D = −1 ≤ x ≤ 1, x − ≤ y ≤ − x } hàm theo biến x,y hàm lẻ,nên: V = ∫∫ (10 − 2x − 2y)dxdy − ∫∫ (2 − x − y)dxdy = 8∫∫ dxdy = 32 D D D 12) Tìm V vật thể mặt ,trên mặt phẳng xOy x + y2 + z2 = mặt nón z = x + y2 Lời giải: mặt mặt nón x + y2 + z2 = nằm mặt z= cắt theo đường z = x + y2 x + y2 = } V = Vcau − ( V1 − V2 ) thể tích vật thể mặt hình tròn V1 x + y2 + z2 = x + y2 ≤ cịn thể tích vật thể mặt hình trịn V2 x + y2 ≤ z = x + y2 Ta có với { 16π Vcau = } D = x + y2 ≤ tính đối xứng miền tính thể tích qua mặt phẳng tọa độ yOz,zOx Đặt với  x = r cos ϕ   y = r sin ϕ V1 = ∫∫ x + y ≤2 = V2 = J=r 0 ≤ r ≤   π 0 ≤ ϕ ≤  π 2 − x + y dxdy = ∫ dϕ ∫ 2 0 2π r − r dr = − 16π 4π − 3 ∫∫ x + y2 ≤ π 2 x + y dxdy = ∫ dϕ ∫ r dr = 2 0 4π ( 4−r ) ⇒ 8π V = Vcau − ( V1 − V2 ) = 13) Tìm thể tích vật thể giới hạn mặt cong x = 0, z = ; x + 4y = góc phần tám thứ z = x3 y Lời giải: Phần tính thể tích chiếu xuống xOy miền   D = 0 ≤ y ≤ ,0 ≤ x ≤ − 4y    V = ∫∫ x ydxdy = D =− 32 ∫ 3 − 4y ∫ ydy ∫ x 3dx = ∫ y(3 − 4y ) dy 243 (3 − 4y ) d(3 − 4y ) = − (3 − 4y )5 = 160 160 14) Tìm diện tích mặt cong a) Phần mặt trụ nằm miền hình chữ nhật có đỉnh z + y2 = ; (0, 2),(0,0) (4,0),(4,2) Lời giải: ,với S = ∫∫ + z′x2 + z′y2 dxdy z = − y2 ⇒ D −y z′y = − y2 với D S = 3∫∫ D − y2 D dxdy 9−y b) = 12∫ D = { ≤ y ≤ 2,0 ≤ x ≤ 4} dxdy S = ∫∫ + z′x2 + z′y2 dxdy = 3∫∫ dy y = 12arcsin = 12arcsin 30 − y2 Phần mặt cong nằm mặt trụ z = xy ; x + y2 = Lời giải: với { D D Đặt với  x = r cos ϕ   y = r sin ϕ S = ∫∫ D c) 0 ≤ r ≤  0 ≤ ϕ ≤ 2π J=r 2π + y + x dxdy = 2π ∫ r + r dr = 2 } D = x + y2 ≤ S = ∫∫ + z′x2 + z ′y2 dxdy = ∫∫ + y + x dxdy ( 1+ r Phần mặt pararaboloid ) 31 = 2π(2 − 1) nằm miền góc phần 2x = z + y2 tám thứ giới hạn mặt ; x = y2 x = Lời giải: Phần mặt pararaboloid tính diện tích chiếu xuống yOz miền 2x = z + y Đặt { } với  y = r cos ϕ  z = rsin ϕ D = y2 + z ≤ 2,0 ≤ z ≤ y (Đó 1/8 hình trịn π S = ∫∫ + y + z dzdy = ∫ dϕ ∫ D d) 0 ≤ r ≤   π 0 ≤ ϕ ≤  chiếu { y2 + z2 ≤ 2} 0 J=r xuống yOz y=z x = y2 π r + r dr = Phần mặt ( ) 1+ r ) = (3 − 1) π 12 mặt trụ x + y2 + z2 = a x + y = ax Lời giải: Do tính đối xứng mặt qua x + y2 + z2 = a với S = ∫∫ + z′x2 + z′y2 dxdy D đối xứng qua trục Ox z=0 z = a − x − y2 { } D = x + y ≤ ax Đặt với  x = r cos ϕ   y = r sin ϕ S = 4a ∫∫ D 0 ≤ r ≤ a cos ϕ   π 0 ≤ ϕ ≤ dxdy a − x − y2 π a cos ϕ 0 = 4a ∫ dϕ ∫ J=r π rdr a2 − r2 = 4a ∫ (1 − sin ϕ)dϕ = 2a (π − 2) 15) Tìm diện tích phần hữu hạn mặt paraboloid y = x + z2 bị cắt mặt phẳng y = 25 Lời giải: phần hữu hạn mặt paraboloid bị cắt mặt phẳng y = x + z2 chiếu xuống zOx { x + z2 ≤ 25} Do tính đối xứng mặt nên S = ∫∫ + y′x2 + y′z2dxdz D với { } D = x + z ≤ 25, x ≥ 0, z ≥ y = 25 Đặt với z = r cos ϕ   x = r sin ϕ S = ∫∫ D J=r 0 ≤ r ≤   π 0 ≤ ϕ ≤ π ( π + 4x + 4z dxdz = ∫ dϕ∫ r + 4r dr = 0 2 + 4r 16) Dùng toạ độ cực tính diện tích đồ thị hàm ) 35 phía hình trịn x − y2 đơn vị Lời giải: Do tính đối xứng mặt nên z = x − y2 S = ∫∫ + z′x2 + z′y2 dxdy D với Đặt { }  x = r cos ϕ   y = r sin ϕ D = x + y2 ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ S = 4∫∫ D π với π + 4x + 4y dxdy = ∫ dϕ∫ r + 4r dr = 0 2 0 ≤ r ≤   π ≤ ϕ ≤  ( + 4r ) J=r 31 17) Mật độ điểm microchip hình vng cạnh cm , r khoảng cách theo cm từ điểm đến tâm chip (45 + r )g / cm Khối lượng chip bao nhiêu? Lời giải: khơng làm giảm tính tổng qt đặt tâm chip gốc tọa độ,nên điểm M(x, y) ta có ,Vậy với ( ) 1  D =  − ≤ x, y ≤  2  m = ∫∫ 45 + x + y dxdy r = x + y2 D 2 2 x 541  m = ∫∫ (45 + x + y )dxdy = ∫ dx ∫ (45 + x + y )dy = ∫  + ÷ ÷dx 24  D 0 0 2 2 18) Miếng vàng mỹ nghệ xác định (theo cm) có mật ≤ x ≤ 2, ≤ y ≤ 2π độ khối lượng Nếu vàng bán với giá ρ(x, y) = x sin 4y + (g / cm ) triệu VND/g, lượng vàng miếng vàng trị giá bao nhiêu? Lời giải: với m = ∫∫ ρ(x, y)dxdy D = { ≤ x ≤ 2, ≤ y ≤ 2π} D 2π 0 m = ∫∫ (x sin 4y + 3)dxdy = ∫ dx ∫ (x sin 4y + 3)dy = π∫ (x + 6)dx 2 D 19) Tính tích phân 2 a) ; I = ∫ dx ∫ dy ∫ cos [ π(x + y + z) ] dz Lời giải: I = ∫ dx ∫ dy ∫ cos [ π(x + y + z) ] dz 2 1 = − ∫ dx ∫ sin [ π(x + y) ] dy − ∫ dx ∫ sin [ π(x + y) ] dy π0 π0 1 2 = − ∫ dx ∫ sin [ π(x + y) ] dy = ∫ cos [ πx ] dx + ∫ cos [ πx ] dx π0 π π = π ∫ cos [ πx ] dx = 0 b) I = ∫∫∫ x cos z dxdydz V ; V = { (x, y, z) : z = 0,z = π, x = 0, y = 0, x + y = 1} Lời giải: 1− x I = ∫∫∫ x cos z dxdydz = ∫ x dx V ∫ c) π 0 1− x dy ∫ cos z dz = ∫ x dx ∫ π sin z dy = I = ∫∫∫ x y zdxdydz V  x2 z  V = (x, y,z) : +y+ ≤ 1   ... ))dxdy D D π 2/ 2 0 = ∫ dϕ =− 2? ? ( ∫ π 2 /2 0 r − r dr − ∫ dϕ 2/ 2 2 1− r ) − ∫ r dr π 2? ? π π (2 − 2) π = − − = 6 g) ≤ z ≤ − x − y, ≤ y ≤ 1, ≤ 2x + y, x + y ≤ Lời giải: với D = { ≤ y ≤ 1, ≤ 2x + y,... = ∫∫ D ydxdy + x + y2 J=r 0 ≤ r ≤   π 0 ≤ ϕ ≤ π 2 r dr 0 + r2 = ∫ sin ϕdϕ∫ =∫ r 2dr r = + r2 2 4+r 2 − 2? ?? dr + r2 ( ) r  =  + r − 2ln r + + r  = 2 − 2ln(1 + 2) ? ?2 0 8) Tính diện tích... y2 = ; (0, 2) ,(0,0) (4,0),(4 ,2) Lời giải: ,với S = ∫∫ + z′x2 + z′y2 dxdy z = − y2 ⇒ D −y z′y = − y2 với D S = 3∫∫ D − y2 D dxdy 9−y b) = 12? ?? D = { ≤ y ≤ 2, 0 ≤ x ≤ 4} dxdy S = ∫∫ + z′x2 + z′y2