Chương 2 tích phân bội lê hoài nhân

Tích phân trên hình thang loại 1Tích phân trên hình thang loại 2 Đổi biến tổng quát Tích phân trong tọa độ cực 2 Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích p

Trang 1

VI TÍCH PHÂN A2

Chương 2 TÍCH PHÂN BỘI

CBGD Lê Hoài Nhân

Ngày 26 tháng 7 năm 2015

CBGD Lê Hoài Nhân () Chương 2 TÍCH PHÂN BỘI Ngày 26 tháng 7 năm 2015 1 / 115

Trang 2

Tích phân trên hình thang loại 1

Đổi biến tổng quát

Tích phân trong tọa độ cực

2 Tích phân ba lớp

Định nghĩa

Cách tính tổng quát

Tích phân trong tọa độ trụ

Tích phân trong tọa độ cầu

Trang 3

Định nghĩa

Cho hàm số z = f (x, y) xácđịnh trên miền D

Trang 5

Định nghĩa

Trên mỗi miền con ∆Si ta chọntùy ý điểm Mi(xi, yi) và lậptổng

In=

nXi=1

f (xi, yi)∆Si

Trang 6

Định nghĩa

Trên mỗi miền con ∆Si ta chọntùy ý điểm Mi(xi, yi) và lậptổng

Trang 7

Định nghĩa

Trang 8

Định nghĩa

lim

thuộc vào cách chia miền D và cách chọn

Mi thì:

Trang 9

Định nghĩa

lim

Mi thì:

Ta nói hàm f khả tích trên D và I làtích phân của f trên D

Trang 10

Định nghĩa

lim

Mi thì:

Ta nói hàm f khả tích trên D và I làtích phân của f trên D

Trang 12

Thể tích vật thể

Cho vật thể có dạng hình trụ, với mặt đáy phía dưới có phương trình

z = z1(x, y ), mặt đáy phía trên có phương trình z = z2(x, y ) và D là hìnhchiếu của vật thể trên mặt phẳng Oxy Khi đó thể tích của vật thể đượctính theo tích phân hai lớp

Trang 13

Diện tích mawjt cong

Cho mặt cong S có phương trình z = z(x, y) xác định trên miền D (hìnhchiếu của S trên mặt phẳng Oxy) Diện tích mặt S là

Trang 16

Cách tính tích phân hai lớp

Biểu diễn hình học miền D Xác định rõ phương trình các đường cong

và tọa độ các đỉnh của ∂D trên hình vẽ đó

Nhận định rõ miền D là hình thang loại 1, loại 2 hay hình chữ nhật.Xác định các chặn của biến x và y Lưu ý: Có ít nhất một biến số cócác chặn là hằng số

x ≤ y ≤ x + 1 2y 2

≤ x ≤ 2y 2

+ 1 ←− Tất cả các cận đều chứa biến!!!

Áp dụng công thức tương ứng với hình dạng của miền D Tính cáctích phân thu được từ phải sang trái

Trang 17

x ≤ y ≤ x + 1 2y 2

≤ x ≤ 2y 2

Trang 18

≤ x ≤ 2y 2

Trang 19

x ≤ y ≤ x + 1 2y 2

≤ x ≤ 2y 2

Trang 20

Tích phân trên hình chữ nhật

Hình chữ nhật giới hạn bởi cácđường thẳng x = a, x = b, y = c

và y = d

Trang 21

và y = d

Một điểm M(x, y) ∈ D có tínhchất:

Trang 22

và y = d

Một điểm M(x, y) ∈ D có tínhchất: a ≤ x ≤ b và c ≤ y ≤ d

Trang 23

và y = d

Một điểm M(x, y) ∈ D có tínhchất: a ≤ x ≤ b và c ≤ y ≤ d

Trang 24

Tính I =

Z Z

D

(4 − x − y)dxdy với D là miền 0 ≤ x ≤ 1, 1 ≤ y ≤ 2

Trang 27

Tính I =Z Z

D

xln ydxdy với D là miền 0 ≤ x ≤ 4, 1 ≤ y ≤ e

Trang 28

Tính I =Z Z

D

xln ydxdy với D là miền 0 ≤ x ≤ 4, 1 ≤ y ≤ e

Nhận xét rằng miền lấy tích phân là hình chữ nhật và hàm lấy tíchphân có dạng tích của hai hàm một biến

Trang 29

Bài tập Tích phân trên hình chữ nhật I

Từ bài tập 1 - 10, tính các tích phân trên miền D được cho

Trang 30

Bài tập Tích phân trên hình chữ nhật II

Trang 31

Bài tập Tích phân trên hình chữ nhật III

12 Tính thể tích của miền bị chặn phía trên bởi paraboloid

z = 16 − x2

− y2

, phía dưới bởi hình vuông D : 0 ≤ x ≤ 2; 0 ≤ y ≤ 2

13 Tính thể tích của miền bị chặn phía trên bởi mặt phẳng

z = 2 − x − y, phía dưới bởi hình vuông D : 0 ≤ x ≤ 1; 0 ≤ y ≤ 1

14 Tính thể tích của miền bị chặn phía trên bởi mặt phẳng z = y

2, phíadưới bởi hình chữ nhật D : 0 ≤ x ≤ 4; 0 ≤ y ≤ 2

15 Tính thể tích của miền bị chặn phía trên bởi mặt cong

z = 2 sin x cos y, phía dưới bởi hình chữ nhật

Trang 32

Hình thang loại 1 là hình thangcong giới hạn bởi các đường:

Trang 33

Trang 34

Trang 35

Nếu điểm M(x, y) ∈ D thì

a ≤ x ≤ b

ϕ1(x) ≤ y ≤ ϕ2(x) .Công thức tích phân lặp

Trang 36

Trang 37

Trang 38

Trang 39

I = 22

3 .

Trang 40

Trang 41

Trang 42

Trang 43

I = 365

Trang 44

Trang 45

Trang 46

Trang 47

Trang 48

Hình thang loại 2 là hình thangcong giới hạn bởi các đường:

Trang 49

Nếu điểm M(x, y) ∈ D thì(x, y ) thỏa

Trang 50

Nếu điểm M(x, y) ∈ D thì(x, y ) thỏa

Trang 51

Trang 52

Trang 53

Hãy tính tích phân kép sau:

Trang 54

Trang 55

Viết lại miền D dưới dạng bất đẳng thức

Biểu diễn hình học miền D

Trang 56

Xác định cận của tích phân theo hình thang loại 2

Trang 57

Xác định cận của tích phân theo hình thang loại 2

Tính tích phân và trình bày bài giải

Trang 58

Trang 59

x = 0, x = 2, y = 0 và y = 4 − x2

Trang 60

x = 0, x = 2, y = 0 và y = 4 − x2

Trang 61

x = 0, x = 2, y = 0 và y = 4 − x2.Suy ra D: 0 ≤ y ≤ 4 và

0 ≤ x ≤√4 − y

Trang 62

x = 0, x = 2, y = 0 và y = 4 − x2.Suy ra D: 0 ≤ y ≤ 4 và

Trang 63

Trang 64

Trang 65

Trang 66

Tích phân trên miền bất kỳ

Trang 67

Tích phân trên miền bất kỳ

Trang 68

Bài tập Tích phân trên hình thang I

Trong các bài tập 1 - 8, hãy biểu diễn hình học của các miền lấy tích phân

Trang 69

Bài tập Tích phân trên hình thang II

Trong các bài tập 9 - 18, biểu diễn tích phân

Trang 70

Bài tập Tích phân trên hình thang III

Trong các bài tập 19 - 24, hãy biểu diễn hình học miền lấy tích phân củacác tích phân lặp sau đây Sau đó, tính giá trị của chúng

Trang 71

Bài tập Tích phân trên hình thang IV

Trong các bài tập 25 - 28, tính tích phân của hàm f trên miền được cho

Trang 72

Bài tập Tích phân trên hình thang V

28 f (s, t) = esln t trên miền nằm trong góc phần tư thứ nhất của mặtphẳng st và nằm phía trên đường cong s = ln t với từ t = 1 đến t = 2Mỗi bài tập 29 - 32 là một tích phân trên hệ tọa độ Descartes Hãy biểudiễn hình học miền lấy tích phân và tính giá trị của các tích phân đó

3 cos tdudt trên mặt phẳng tu

Trang 73

Bài tập Tích phân trên hình thang VI

34 Tìm thể tích của vật thể được giới hạn phía trên bởi mặt trụ z = x2

và giới hạn phía dưới bởi hình phẳng được giới hạn bởi parabol

y = 2 − x2 và đường thẳng y = x trong mặt phẳng xy

35 Tìm thể tích của vật thể mà mặt đáy của nó là miền phẳng thuộcmặt phẳng xy, bị chặn bởi các đường y = 4 − x2 và đường thẳng

y = 3x; phía trên của vật thể là mặt phẳng z = x + 4

36 Tìm thể tích của vật thể bị chặn bởi góc phần tám thứ nhất của mặtphẳng tọa độ, mặt trụ x2

+ y2

= 4 và mặt phẳng z + y = 3

Trang 74

Bài tập Tích phân trên hình thang VII

37 Tìm thể tích của vật thể bị chặn bởi góc phần tám thứ nhất của mặtphẳng tọa độ, mặt phẳng x = 3 và mặt trụ parabol z = 4 − y2

38 Tìm thể tích của vật thể được cắt từ góc phần tám thứ nhất của hệtọa độ Oxyz bởi mặt z = 4 − x2

Trang 75

Bài tập Tích phân trên hình thang VIII

42 Tìm thể tích vật thể biết rằng nó bị chặn phía trước và phía sau bởi

x = ±π3; hai bên bởi mặt trụ y = ±cos x1 ; phía trên bởi mặt trụ

z = 1 + y2 và phía dưới là mặt phẳng Oxy

43 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường x = 4y − y2 và

Trang 76

Đổi biến trong tích phân hai lớp

Trang 77

Giả sử, hệ phương trình

x = x(u, v)

y = y(u, v)xác định một phép biến đổi 1 - 1 từ D0 vào D;

Trang 78

x = x(u, v)

y = y(u, v)xác định một phép biến đổi 1 - 1 từ D0 vào D; x, y là những hàm cóđạo hàm riêng liên tục trên D0

Trang 79

x = x(u, v)

y = y(u, v)xác định một phép biến đổi 1 - 1 từ D0 vào D; x, y là những hàm cóđạo hàm riêng liên tục trên D0 và

J = ∂(x, y )

∂(u, v ) =

x0

u x0 v

y0

u y0 v

6= 0

Khi đó, ta có công thức đổi biến tổng quát

f (x(u, v), y(u, v))|J|dudv

Trang 80

Trang 81

Trang 82

Hệ tọa độ cực

Trang 83

Hệ tọa độ cực gồm: điểm O chotrước được gọi là "cực" và tia OPđược gọi là "trục cực"

Trang 84

Hệ tọa độ cực gồm: điểm O chotrước được gọi là "cực" và tia OPđược gọi là "trục cực"

Tọa độ cực của điểm M thuộc mặtphẳng gồm hai yếu tố: bán kínhvector r = OM và góc cực

ϕ= (OP,−−→OM).

Trang 85

Cho trước hệ trục Oxy, chọn hệ tọa

độ cực (O, Ox) thì điểm M(x, y) cótọa độ cực M(r, ϕ) với

Trang 86

Cho trước hệ trục Oxy, chọn hệ tọa

độ cực (O, Ox) thì điểm M(x, y) cótọa độ cực M(r, ϕ) với

Trang 87

Đường cong trong tọa độ cực

Đường cong trong tọa độ cực được cho bởi phương trình

F (r, ϕ) = 0 hay r = r(ϕ)

Trang 88

Đường cong trong tọa độ cực được cho bởi phương trình

F (r, ϕ) = 0 hay r = r(ϕ)

Hình minh họa của đường cong r = ϕ cos ϕ

Trang 89

Tia (Ot) hợp với tia Ox một góc ϕ0 có phương trìnhϕ= ϕ0 = const với

r ≥ 0

Trang 90

Tia (Ot) hợp với tia Ox một góc ϕ0 có phương trìnhϕ= ϕ0 = const với

r ≥ 0

Trang 91

Phương trình của đường tròn tâm O bán kính a: r = a với 0 ≤ ϕ ≤ 2π

Trang 92

Phương trình của đường tròn tâm O bán kính a: r = a với 0 ≤ ϕ ≤ 2π

Trang 93

Phương trình đường tròn tâm I (a, 0), bán kính a: r = 2a cos ϕ với

−π2 ≤ϕ≤ π2.

Trang 94

Phương trình đường tròn tâm I (a, 0), bán kính a: r = 2a cos ϕ với

−π2 ≤ϕ≤ π2.

Trang 95

Phương trình đường tròn tâm I (0, b), bán kính b: r = 2b sin ϕvới

0 ≤ ϕ ≤ π

Trang 96

Phương trình đường tròn tâm I (0, b), bán kính b: r = 2b sin ϕvới

0 ≤ ϕ ≤ π

Trang 97

Trang 98

Cách xác định cận của tích phân trong tọa độ cực I

các biên của nó theo tọa độ Oxy Chuyển các phương trình này vềtọa độ cực

2 Tìm cận của r Vẽ tia L từ cực xuyên qua miền D theo chiều tăngcủa r Đánh dấu giá trị của r mà tại đó L lần lượt đi vào và đi ra khỏimiền D Đây chính là cận dưới và cận trên của r Thông thường, cáccận này phụ thuộc vào góc ϕ được tạo bởi L và chiều dương của trụcx

3 Tìm cận của ϕ.Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của ϕ mà

nó bao lấy miền D Đây là các cận của ϕ

CBGD Lê Hoài Nhân () Chương TÍCH PHÂN BỘI Ngày 26 tháng năm 20 15 42 / 115

CBGD Lê Hoài Nhân () Chương TÍCH PHÂN BỘI Ngày 26 tháng năm 20 15 47 / 115... bán kính a: r = 2a cos ϕ với

−π2 ≤ϕ≤ π2< /sub>.

CBGD Lê Hồi Nhân () Chương TÍCH PHÂN BỘI Ngày 26 tháng năm 20 15 47 / 115

Định dạng
Số trang	212
Dung lượng	5,63 MB