Chương 2 tích phân bội lê hoài nhân

VI TÍCH PHÂN A2 Chương TÍCH PHÂN BỘI CBGD Lê Hoài Nhân Ngày 26 tháng năm 2015 CBGD Lê Hồi Nhân () Chương TÍCH PHÂN BỘI Ngày 26 tháng năm 2015 / 115 Mục lục Tích phân hai lớp Định nghĩa Cách tính tổng qt Tích phân hình chữ nhật Tích phân hình thang loại Tích phân hình thang loại Đổi biến tổng quát Tích phân tọa độ cực Tích phân ba lớp Định nghĩa Cách tính tổng quát Đổi biến tổng quát Tích phân tọa độ trụ Tích phân tọa độ cầu CBGD Lê Hồi Nhân () Chương TÍCH PHÂN BỘI Ngày 26 tháng năm 2015 / 115 Định nghĩa Cho hàm số z = f (x, y ) xác định miền D CBGD Lê Hoài Nhân () Chương TÍCH PHÂN BỘI Ngày 26 tháng năm 2015 / 115 Định nghĩa Phân hoạch miền D thành n miền con, diện tích miền ∆Si với i = 1, 2, , n CBGD Lê Hoài Nhân () Chương TÍCH PHÂN BỘI Ngày 26 tháng năm 2015 / 115 Định nghĩa Trên miền ∆Si ta chọn tùy ý điểm Mi (xi , yi ) lập tổng n In = f (xi , yi )∆Si i =1 CBGD Lê Hoài Nhân () Chương TÍCH PHÂN BỘI Ngày 26 tháng năm 2015 / 115 Định nghĩa Trên miền ∆Si ta chọn tùy ý điểm Mi (xi , yi ) lập tổng n In = f (xi , yi )∆Si i =1 CBGD Lê Hoài Nhân () Chương TÍCH PHÂN BỘI Ngày 26 tháng năm 2015 / 115 Định nghĩa Cho n → ∞ cho max ∆Si → CBGD Lê Hồi Nhân () Chương TÍCH PHÂN BỘI Ngày 26 tháng năm 2015 / 115 Định nghĩa Cho n → ∞ cho max ∆Si → Nếu lim In = I tồn hữu hạn, không phụ n→∞ thuộc vào cách chia miền D cách chọn Mi thì: CBGD Lê Hồi Nhân () Chương TÍCH PHÂN BỘI Ngày 26 tháng năm 2015 / 115 Định nghĩa Cho n → ∞ cho max ∆Si → Nếu lim In = I tồn hữu hạn, không phụ n→∞ thuộc vào cách chia miền D cách chọn Mi thì: Ta nói hàm f khả tích D I tích phân f D CBGD Lê Hoài Nhân () Chương TÍCH PHÂN BỘI Ngày 26 tháng năm 2015 / 115 Định nghĩa Cho n → ∞ cho max ∆Si → Nếu lim In = I tồn hữu hạn, không phụ n→∞ thuộc vào cách chia miền D cách chọn Mi thì: Ta nói hàm f khả tích D I tích phân f D Ký hiệu: I = f (x, y )dA = D CBGD Lê Hoài Nhân () Chương TÍCH PHÂN BỘI f (x, y )dxdy D Ngày 26 tháng năm 2015 / 115 Bài tập Tích phân tọa độ trụ II z I = x + y dxdydz V miền giới hạn mặt V x + y = 2x, y = 0, z = z = (x − y )dxdydz V miền giới hạn mặt I = V x + y = 2z z = I = z x + y dxdydz V miền giới hạn mặt V y = 3x − x , z = z = dxdydz V miền cho I = V ≤ x ≤ 1, ≤ y ≤ CBGD Lê Hoài Nhân () √ − x 2, ≤ z ≤ − (x + y ) Chương TÍCH PHÂN BỘI Ngày 26 tháng năm 2015 106 / 115 Bài tập Tích phân tọa độ trụ III z dxdydz V miền cho I = V 10 √ −1 ≤ x ≤ 1, ≤ y ≤ − x , x + y ≤ z ≤ 1 I = dxdydz V miền cho x2 + y2 V 0≤x ≤ 11 − y , ≤ y ≤ 3, ≤ z ≤ zdxdydz V miền cho I = V ≤ x ≤ 1, ≤ y ≤ 12 − (x + y ) √ − x 2, ≤ z ≤ − x − y sin(x + y )dxdydz V miền cho I = V ≤ x ≤ 1, ≤ y ≤ CBGD Lê Hoài Nhân () √ − x , ≤ z ≤ Chương TÍCH PHÂN BỘI Ngày 26 tháng năm 2015 107 / 115 Bài tập Tích phân tọa độ trụ IV 13 14 15 16 17 18 I = x + y dxdydz V miền cho V √ √ −1 ≤ x ≤ 1, − − x ≤ y ≤ − x , x + y ≤ z ≤ − (x + y ) Tính thể tích vật thể bị chặn mặt nón x + y = z , bị chặn mặt phẳng xy xung quanh mặt trụ x + y = 2ax Tính thể tích vật thể bị chặn mặt paraboloid tròn xoay x + y = az, bị chặn mặt phẳng xy xung quanh mặt trụ x + y = 2ax Tính thể tích vật thể bị chặn mặt cong z = a − x + y , bị chặn mặt phẳng xy xung quanh mặt trụ x + y = ax Tính thể tích vật thể bị chặn mặt phẳng 2z = + x, bị chặn mặt phẳng xy xung quanh mặt trụ x + y = 2x Tính thể tích vật thể giới hạn paraboloid z = x + y mặt phẳng z = x CBGD Lê Hồi Nhân () Chương TÍCH PHÂN BỘI Ngày 26 tháng năm 2015 108 / 115 Bài tập Tích phân tọa độ trụ V 19 20 21 22 23 24 Tính thể tích vật thể bị chặn mặt cầu x + y + z = 25, bị chặn mặt phẳng z = x + y + Tính thể tích vật thể bị chặn mặt z = mặt cầu đơn vị x + y + z = 3(x + y ), bị chặn Tính thể tích vật thể bị chặn mặt hypeboloid z = a2 + x + y , bị chặn mặt nón z = 2(x + y ) Tính thể tích vật thể bị chặn mặt phẳng xy , nằm phía mặt cầu x + y + z = bên mặt trụ x + y = Tính thể tích vật thể nằm hai mặt trụ x + y = x + y = 4, bị chặn mặt ellipsoid x + y + 4z = 36 bị chặn mặt phẳng xy Tính thể tích vật thể bị chặn paraboloid z = x + y , bị chặn paraboloid z = x + y + xung quanh mặt trụ x + y = CBGD Lê Hồi Nhân () Chương TÍCH PHÂN BỘI Ngày 26 tháng năm 2015 109 / 115 Bài tập Tích phân tọa độ trụ VI 25 26 27 28 29 30 Tính thể tích vật thể cắt từ "bức tường dày" ≤ x + y ≤ mặt nón z = ± x + y Tính thể tích vật thể nằm bên mặt cầu x + y + z = bên mặt trụ x + y = Tính thể tích vật thể giới hạn mặt x + y = 1, z = y + z = Tính thể tích vật thể giới hạn mặt x + y = 4, z = x + y + z = Tính thể tích vật thể giới hạn mặt paraboloid z = − x − y bị chặn mặt paraboloid z = 4x + 4y Tính thể tích vật thể bị chặn mặt paraboloid z = − x − y , bị chặn mặt phẳng z = nằm bên mặt trụ x + y = CBGD Lê Hồi Nhân () Chương TÍCH PHÂN BỘI Ngày 26 tháng năm 2015 110 / 115 Bài tập Tích phân tọa độ trụ VII 31 32 33 Tính thể tích vật thể cắt từ hình trụ x + y ≤ mặt cầu x + y + z = Tính thể tích vật thể bị chặn mặt cầu x + y + z = bị chặn mặt paraboloid z = x + y Cho vật thể V bị chặn mặt paraboloid z = − (x + y ) bị chặn mặt phẳng xy Tính thể tích V Tính khối lượng V biết mật độ khối lượng điểm khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng xy Tính khối lượng V biết mật độ khối lượng điểm bình phương khoảng cách từ điểm đến gốc tọa độ CBGD Lê Hồi Nhân () Chương TÍCH PHÂN BỘI Ngày 26 tháng năm 2015 111 / 115 Tích phân tọa độ cầu Tọa độ cầu điểm M không gian gồm (r , θ, ϕ) với r = OM, CBGD Lê Hoài Nhân () Chương TÍCH PHÂN BỘI Ngày 26 tháng năm 2015 112 / 115 Tích phân tọa độ cầu Tọa độ cầu điểm M không gian gồm (r , θ, ϕ) với − → −−→ r = OM, θ = (Oz, OM), CBGD Lê Hoài Nhân () Chương TÍCH PHÂN BỘI Ngày 26 tháng năm 2015 112 / 115 Tích phân tọa độ cầu Tọa độ cầu điểm M không gian gồm (r , θ, ϕ) với − → −−→ −→ −−→ r = OM, θ = (Oz, OM), ϕ = (Ox, OM ), M hình chiếu M mặt phẳng Oxy CBGD Lê Hoài Nhân () Chương TÍCH PHÂN BỘI Ngày 26 tháng năm 2015 112 / 115 Tích phân tọa độ cầu Tọa độ cầu điểm M không gian gồm (r , θ, ϕ) với − → −−→ −→ −−→ r = OM, θ = (Oz, OM), ϕ = (Ox, OM ), M hình chiếu M mặt phẳng Oxy Liên hệ tọa độ Oxyz tọa độ cầu   x = r cos ϕ sin θ y = r sin ϕ sin θ  z = r cos θ CBGD Lê Hoài Nhân () Chương TÍCH PHÂN BỘI Ngày 26 tháng năm 2015 112 / 115 Tích phân tọa độ cầu Tọa độ cầu điểm M không gian gồm (r , θ, ϕ) với − → −−→ −→ −−→ r = OM, θ = (Oz, OM), ϕ = (Ox, OM ), M hình chiếu M mặt phẳng Oxy Liên hệ tọa độ Oxyz tọa độ cầu   x = r cos ϕ sin θ y = r sin ϕ sin θ  z = r cos θ Phép biến đổi có Jacobian: J = r sin θ CBGD Lê Hồi Nhân () Chương TÍCH PHÂN BỘI Ngày 26 tháng năm 2015 112 / 115 Tích phân tọa độ cầu Tọa độ cầu điểm M không gian gồm (r , θ, ϕ) với − → −−→ −→ −−→ r = OM, θ = (Oz, OM), ϕ = (Ox, OM ), M hình chiếu M mặt phẳng Oxy Liên hệ tọa độ Oxyz tọa độ cầu   x = r cos ϕ sin θ y = r sin ϕ sin θ  z = r cos θ Phép biến đổi có Jacobian: J = r sin θ Công thức đổi biến f (x, y , z)dxdydz V = f (r cos ϕ sin θ, r sin ϕ sin θ, r cos θ).r sin θdϕdθdr V CBGD Lê Hồi Nhân () Chương TÍCH PHÂN BỘI Ngày 26 tháng năm 2015 112 / 115 Tích phân tọa độ cầu Tính tích phân I = zdxdydz với V miền giới hạn mặt cầu V x + y + z = mặt nón z = nón) x + y (phần phía mặt (x + y + z )dxdydz với V miền giới hạn Tính tích phân I = V hai mặt cầu x + y + z = a2 x + y + z = b (a < b), phần nằm phía mặt phẳng Oxy Tính tích phân I = x + y + z dxdydz với V V miền hình cầu x + y + z ≤ z miền hình cầu x + y + z ≤ x miền hình cầu x + y + z ≤ y CBGD Lê Hồi Nhân () Chương TÍCH PHÂN BỘI Ngày 26 tháng năm 2015 113 / 115 Bài tập Tích phân tọa độ cầu I Bằng cách đổi biến sang tọa độ cầu, tính tích phân sau dxdydz V miền giới hạn mặt x + y = 2az I = V x + y = z , phần chứa điểm (0, 0, a) dxdydz V miền cho ≤ x ≤ 1, I = V 0≤y ≤ √ − x 2, x2 + y2 ≤ z ≤ − (x + y ) (x + y + z )dxdydz V miền cho I = V 0≤x ≤ − y , ≤ y ≤ 2, CBGD Lê Hoài Nhân () x2 + y2 ≤ z ≤ Chương TÍCH PHÂN BỘI − x − y Ngày 26 tháng năm 2015 114 / 115 Bài tập Tích phân tọa độ cầu II z I = x + y + z dxdydz V miền cho V 0≤x ≤ − y , ≤ y ≤ 3, ≤ z ≤ − (x + y ) dxdydz V miền cho I = x + y2 + z2 V √ ≤ x ≤ 1, ≤ y ≤ − x , ≤ z ≤ − x − y CBGD Lê Hoài Nhân () Chương TÍCH PHÂN BỘI Ngày 26 tháng năm 2015 115 / 115 ... thức (2. 2) ta I = CBGD Lê Hoài Nhân () 11 + = Chương TÍCH PHÂN BỘI Ngày 26 tháng năm 20 15 23 / 115 Tích phân hình thang loại CBGD Lê Hồi Nhân () Chương TÍCH PHÂN BỘI Ngày 26 tháng năm 20 15 24 /... (x) CBGD Lê Hồi Nhân () Chương TÍCH PHÂN BỘI Ngày 26 tháng năm 20 15 19 / 115 Tích phân hình thang loại CBGD Lê Hồi Nhân () Chương TÍCH PHÂN BỘI Ngày 26 tháng năm 20 15 20 / 115 Tích phân hình... Hồi Nhân () Chương TÍCH PHÂN BỘI Ngày 26 tháng năm 20 15 22 / 115 Tích phân hình thang loại Tính I = y = (x + xy )dxdy với D miền giới hạn đường y = x √D x CBGD Lê Hoài Nhân () Chương TÍCH PHÂN BỘI