Chương 1 hàm nhiều biến lê hoài nhân

VI TÍCH PHÂN A2 Chương Phép tính vi phân hàm nhiều biến CBGD Lê Hoài Nhân 1 Bộ môn Toán học Khoa Khoa học tự nhiên Ngày tháng năm 2015 lhnhan@ctu.edu.vn (CNS) Chương Phép tính vi phân hàm nhiều biến Ngày tháng năm 2015 / 47 Mục lục Đạo hàm riêng Định nghĩa cách tính Ý nghĩa hình học Gradient Đạo hàm theo hướng Đạo hàm hàm ẩn Đạo hàm riêng cấp cao Cực trị Cực trị có điều kiện Giá trị nhỏ giá trị lớn lhnhan@ctu.edu.vn (CNS) Chương Phép tính vi phân hàm nhiều biến Ngày tháng năm 2015 / 47 Đạo hàm riêng Định nghĩa 1.1 Cho hàm số f (x, y ) xác định (x0 , y0 ) lân cận Đạo hàm riêng f theo biến x điểm (x0 , y0 ) ∂f f (x0 + ∆x, y0 ) − f (x0 , y0 ) (x0 , y0 ) = fx (x0 , y0 ) = lim ∆x→0 ∂x ∆x Đạo hàm riêng f theo biến y điểm (x0 , y0 ) f (x0 , y0 + ∆y ) − f (x0 , y0 ) ∂f (x0 , y0 ) = fy (x0 , y0 ) = lim ∆y →0 ∂y ∆y lhnhan@ctu.edu.vn (CNS) Chương Phép tính vi phân hàm nhiều biến Ngày tháng năm 2015 / 47 Đạo hàm riêng ∂f ta xem f (x, y ) hàm biến x (y tham số) ∂x ∂f ta xem f (x, y ) hàm biến y (x tham số) Khi tính ∂y Khi tính Ví dụ 1.1 (Tính đạo hàm riêng) Tính zx zy z = x y + x y + y Tính đạo hàm riêng hàm số: z = e xy cos(x + y ) điểm (0, π) Cho hàm số u = Chứng minh: x + y2 + z2 x.ux + y uy + z.uz = −2u lhnhan@ctu.edu.vn (CNS) Chương Phép tính vi phân hàm nhiều biến Ngày tháng năm 2015 / 47 Bài tập Đạo hàm riêng I ∂f ∂f ∂x ∂y f (x, y ) = 2x − 3y − Từ tập - 22 tính 10 f (x, y ) = x − xy + y f (x, y ) = (x − 1)(y + 2) f (x, y ) = 5xy − 7x − y + 3x − 6y + f (x, y ) = (xy − 1)2 f (x, y ) = (2x − 3y )3 f (x, y ) = x2 + y2 y 23 f (x, y ) = x + f (x, y ) = x +y x f (x, y ) = x + y2 lhnhan@ctu.edu.vn (CNS) Chương Phép tính vi phân hàm nhiều biến Ngày tháng năm 2015 / 47 Bài tập Đạo hàm riêng II x +y xy − 11 f (x, y ) = 12 f (x, y ) = arctan 13 f (x, y ) = e x+y +1 14 f (x, y ) = e −x sin(x + y ) 15 f (x, y ) = ln(x + y ) 16 f (x, y ) = e ey ln y 17 18 19 y x f (x, y ) = sin2 (x − 3y ) f (x, y ) = cos2 (3x − y ) f (x, y ) = x y 20 f (x, y ) = logy x 21 f (x, y ) = y g (t)dt, với g (t) hàm số liên tục x lhnhan@ctu.edu.vn (CNS) Chương Phép tính vi phân hàm nhiều biến Ngày tháng năm 2015 / 47 Bài tập Đạo hàm riêng III ∞ 22 f (x, y ) = n=0 (xy )n với |xy | < Từ tập 23 - 32 tính fx , fy fz 23 24 25 f (x, y , z) = + xy − 2z f (x, y , z) = xy + yz + zx f (x, y , z) = x − y2 + z2 26 f (x, y , z) = (x + y + z )− 27 f (x, y , z) = arcsin(xyz) 28 f (x, y , z) = ln(x + 2y + 3z) 29 f (x, y , z) = yz ln(xy ) 30 f (x, y , z) = e −(x 31 f (x, y , z) = e −xyz lhnhan@ctu.edu.vn (CNS) +y +z ) Chương Phép tính vi phân hàm nhiều biến Ngày tháng năm 2015 / 47 Bài tập Đạo hàm riêng IV Từ tập 32 - 37 tính đạo hàm riêng hàm số với biến tương ứng hàm số 32 f (t, α) = cos(2πt − α) 2u v 33 g (u, v ) = v e 34 h(ρ, φ, θ) = ρ sin φ cos θ 35 36 37 g (r , θ, z) = r (1 − cos θ) − z V δv W (P, V , δ, v , g ) = PV + 2g hq km + cm + A(c, h, k, m, q) = q lhnhan@ctu.edu.vn (CNS) Chương Phép tính vi phân hàm nhiều biến Ngày tháng năm 2015 / 47 Ý nghĩa hình học đạo hàm riêng Nếu C1 giao tuyến S mặt phẳng y = y0 vector − → u1 = (1, 0, fx ) phương tiếp tuyến C1 (x0 , y0 , z0 ) lhnhan@ctu.edu.vn (CNS) Chương Phép tính vi phân hàm nhiều biến Ngày tháng năm 2015 / 47 Ý nghĩa hình học đạo hàm riêng Nếu C2 giao tuyến S mặt phẳng x = x0 vector − → u2 = (0, 1, fy ) phương tiếp tuyến C2 (x0 , y0 , z0 ) lhnhan@ctu.edu.vn (CNS) Chương Phép tính vi phân hàm nhiều biến Ngày tháng năm 2015 10 / 47 Phương pháp nhân tử Lagrange Ví dụ 3.2 Tìm cực trị hàm số z = − 4x − 3y với điều kiện x + y = z = x + y với điều kiện 17x + 12xy + 8y − 100 = z = x y với điều kiện x + y = lhnhan@ctu.edu.vn (CNS) Chương Phép tính vi phân hàm nhiều biến Ngày tháng năm 2015 40 / 47 Cực trị có điều kiện Tìm cực trị hàm số z = 5x − 3y với điều kiện x + y = 136 z = xy với x + 2y = z = xy với x + y = 10 z = 49 − x − y với x + 3y = 10 z = x y với x + y = z = x + y với xy = 54 y > z = x + y với xy = z = x + (y − 2)2 với x − y = lhnhan@ctu.edu.vn (CNS) Chương Phép tính vi phân hàm nhiều biến Ngày tháng năm 2015 41 / 47 Giá trị nhỏ giá trị lớn lhnhan@ctu.edu.vn (CNS) Chương Phép tính vi phân hàm nhiều biến Ngày tháng năm 2015 42 / 47 Giá trị nhỏ giá trị lớn Định lý Weierstrass Hàm số n biến f (.) liên tục tập đóng bị chặn D ⊂ Rn f đạt giá trị lớn giá trị nhỏ D Cho miền D ⊂ R2 tập đóng, bị chặn với biên đường cong ϕ(x, y ) = f (x, y ) hàm số liên tục D Giá trị lớn giá trị nhỏ f D đạt tại: Cực trị tự thuộc phần D Cực trị có điều kiện ϕ(x, y ) = Các điểm đầu mút ∂D lhnhan@ctu.edu.vn (CNS) Chương Phép tính vi phân hàm nhiều biến Ngày tháng năm 2015 43 / 47 Giá trị nhỏ giá trị lớn Định lý Weierstrass Hàm số n biến f (.) liên tục tập đóng bị chặn D ⊂ Rn f đạt giá trị lớn giá trị nhỏ D Cho miền D ⊂ R2 tập đóng, bị chặn với biên đường cong ϕ(x, y ) = f (x, y ) hàm số liên tục D Giá trị lớn giá trị nhỏ f D đạt tại: Cực trị tự thuộc phần D Cực trị có điều kiện ϕ(x, y ) = Các điểm đầu mút ∂D lhnhan@ctu.edu.vn (CNS) Chương Phép tính vi phân hàm nhiều biến Ngày tháng năm 2015 43 / 47 Giá trị nhỏ giá trị lớn Định lý Weierstrass Hàm số n biến f (.) liên tục tập đóng bị chặn D ⊂ Rn f đạt giá trị lớn giá trị nhỏ D Cho miền D ⊂ R2 tập đóng, bị chặn với biên đường cong ϕ(x, y ) = f (x, y ) hàm số liên tục D Giá trị lớn giá trị nhỏ f D đạt tại: Cực trị tự thuộc phần D Cực trị có điều kiện ϕ(x, y ) = Các điểm đầu mút ∂D lhnhan@ctu.edu.vn (CNS) Chương Phép tính vi phân hàm nhiều biến Ngày tháng năm 2015 43 / 47 Giá trị nhỏ giá trị lớn Để tìm giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số miền D đóng bị chặn ta thực qua bước sau đây: Bước Biểu diễn hình học miền D Tìm điểm đầu mút Pk ∂D (nếu có) Nên biểu diễn tất điểm tìm bước 1, bước bước hình vẽ Bước Tìm điểm dừng điểm kỳ dị Mi hàm f thuộc phần D Bước Tìm điểm dừng Nj hàm f ∂D với điều kiện ϕ(x, y ) = Nếu ∂D đường cong trơn khúc ta tìm điểm dừng đoạn trơn Bước Tính giá trị: f (Mi ), f (Nj ), f (Pk ) Bước Kết luận Giá trị lớn nhất: max f = max{f (Mi ), f (Nj ), f (Pk )} D i ,j,k Giá trị nhỏ nhất: f = min{f (Mi ), f (Nj ), f (Pk )} D lhnhan@ctu.edu.vn (CNS) i ,j,k Chương Phép tính vi phân hàm nhiều biến Ngày tháng năm 2015 44 / 47 Giá trị nhỏ giá trị lớn Để tìm giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số miền D đóng bị chặn ta thực qua bước sau đây: Bước Biểu diễn hình học miền D Tìm điểm đầu mút Pk ∂D (nếu có) Nên biểu diễn tất điểm tìm bước 1, bước bước hình vẽ Bước Tìm điểm dừng điểm kỳ dị Mi hàm f thuộc phần D Bước Tìm điểm dừng Nj hàm f ∂D với điều kiện ϕ(x, y ) = Nếu ∂D đường cong trơn khúc ta tìm điểm dừng đoạn trơn Bước Tính giá trị: f (Mi ), f (Nj ), f (Pk ) Bước Kết luận Giá trị lớn nhất: max f = max{f (Mi ), f (Nj ), f (Pk )} D i ,j,k Giá trị nhỏ nhất: f = min{f (Mi ), f (Nj ), f (Pk )} D lhnhan@ctu.edu.vn (CNS) i ,j,k Chương Phép tính vi phân hàm nhiều biến Ngày tháng năm 2015 44 / 47 Giá trị nhỏ giá trị lớn Để tìm giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số miền D đóng bị chặn ta thực qua bước sau đây: Bước Biểu diễn hình học miền D Tìm điểm đầu mút Pk ∂D (nếu có) Nên biểu diễn tất điểm tìm bước 1, bước bước hình vẽ Bước Tìm điểm dừng điểm kỳ dị Mi hàm f thuộc phần D Bước Tìm điểm dừng Nj hàm f ∂D với điều kiện ϕ(x, y ) = Nếu ∂D đường cong trơn khúc ta tìm điểm dừng đoạn trơn Bước Tính giá trị: f (Mi ), f (Nj ), f (Pk ) Bước Kết luận Giá trị lớn nhất: max f = max{f (Mi ), f (Nj ), f (Pk )} D i ,j,k Giá trị nhỏ nhất: f = min{f (Mi ), f (Nj ), f (Pk )} D lhnhan@ctu.edu.vn (CNS) i ,j,k Chương Phép tính vi phân hàm nhiều biến Ngày tháng năm 2015 44 / 47 Giá trị nhỏ giá trị lớn Để tìm giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số miền D đóng bị chặn ta thực qua bước sau đây: Bước Biểu diễn hình học miền D Tìm điểm đầu mút Pk ∂D (nếu có) Nên biểu diễn tất điểm tìm bước 1, bước bước hình vẽ Bước Tìm điểm dừng điểm kỳ dị Mi hàm f thuộc phần D Bước Tìm điểm dừng Nj hàm f ∂D với điều kiện ϕ(x, y ) = Nếu ∂D đường cong trơn khúc ta tìm điểm dừng đoạn trơn Bước Tính giá trị: f (Mi ), f (Nj ), f (Pk ) Bước Kết luận Giá trị lớn nhất: max f = max{f (Mi ), f (Nj ), f (Pk )} D i ,j,k Giá trị nhỏ nhất: f = min{f (Mi ), f (Nj ), f (Pk )} D lhnhan@ctu.edu.vn (CNS) i ,j,k Chương Phép tính vi phân hàm nhiều biến Ngày tháng năm 2015 44 / 47 Giá trị nhỏ giá trị lớn Để tìm giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số miền D đóng bị chặn ta thực qua bước sau đây: Bước Biểu diễn hình học miền D Tìm điểm đầu mút Pk ∂D (nếu có) Nên biểu diễn tất điểm tìm bước 1, bước bước hình vẽ Bước Tìm điểm dừng điểm kỳ dị Mi hàm f thuộc phần D Bước Tìm điểm dừng Nj hàm f ∂D với điều kiện ϕ(x, y ) = Nếu ∂D đường cong trơn khúc ta tìm điểm dừng đoạn trơn Bước Tính giá trị: f (Mi ), f (Nj ), f (Pk ) Bước Kết luận Giá trị lớn nhất: max f = max{f (Mi ), f (Nj ), f (Pk )} D i ,j,k Giá trị nhỏ nhất: f = min{f (Mi ), f (Nj ), f (Pk )} D lhnhan@ctu.edu.vn (CNS) i ,j,k Chương Phép tính vi phân hàm nhiều biến Ngày tháng năm 2015 44 / 47 Giá trị nhỏ giá trị lớn Để tìm giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số miền D đóng bị chặn ta thực qua bước sau đây: Bước Biểu diễn hình học miền D Tìm điểm đầu mút Pk ∂D (nếu có) Nên biểu diễn tất điểm tìm bước 1, bước bước hình vẽ Bước Tìm điểm dừng điểm kỳ dị Mi hàm f thuộc phần D Bước Tìm điểm dừng Nj hàm f ∂D với điều kiện ϕ(x, y ) = Nếu ∂D đường cong trơn khúc ta tìm điểm dừng đoạn trơn Bước Tính giá trị: f (Mi ), f (Nj ), f (Pk ) Bước Kết luận Giá trị lớn nhất: max f = max{f (Mi ), f (Nj ), f (Pk )} D i ,j,k Giá trị nhỏ nhất: f = min{f (Mi ), f (Nj ), f (Pk )} D lhnhan@ctu.edu.vn (CNS) i ,j,k Chương Phép tính vi phân hàm nhiều biến Ngày tháng năm 2015 44 / 47 Giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số Ví dụ 4.1 Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số z = x + y − 12x + 16y miền x + y ≤ 25 f (x, y ) = x + y − xy + x + y miền x ≤ 0, y ≤ 0, x + y ≥ −3 f (x, y ) = x y e −(x+y ) miền x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ π π z = sin x + sin y + sin(x + y ) miền ≤ x ≤ , ≤ y ≤ 2 2 2 z = x + y miền (x − 1) + (y − 2) ≤ 2x + y ≥ lhnhan@ctu.edu.vn (CNS) Chương Phép tính vi phân hàm nhiều biến Ngày tháng năm 2015 45 / 47 Giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số I Trong tập - 9, tìm giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số miền z = 2xy miền x + y ≤ z = x − x + y miền ≤ x ≤ ≤ y ≤ z = xy − y miền −1 ≤ x ≤ ≤ y ≤ z = xy − x y miền ≤ x ≤ ≤ y ≤ z = xy (1 − x − y ) miền tam giác (0, 0), (1, 0) (0, 1) z = 2x + y − 4x − 4y + miền tam giác có cạnh x = 0, y = y = 2x z = x − xy + y + miền tam giác có cạnh x = 0, y = y = x z = x + y miền tam giác có cạnh x = 0, y = y + 2x = lhnhan@ctu.edu.vn (CNS) Chương Phép tính vi phân hàm nhiều biến Ngày tháng năm 2015 46 / 47 Giá trị nhỏ giá trị lớn hàm số II 10 z = (4x − x ) cos y miền ≤ x ≤ −π/4 ≤ y ≤ π/4 Nhiệt độ điểm đĩa x + y ≤ cho hàm số T (x, y ) = (x + y )e −x −y Hãy tìm nhiệt độ lớn nhỏ đĩa 11 Nhiệt độ điểm đĩa x + y ≤ cho hàm số T (x, y ) = x + 2y − x Hãy điểm nóng điểm lạnh đĩa lhnhan@ctu.edu.vn (CNS) Chương Phép tính vi phân hàm nhiều biến Ngày tháng năm 2015 47 / 47 [...]... y + 6z) 1 2 P0 (1, 1, 1) P0 (1, 1, 0) Chương 1 Phép tính vi phân hàm nhiều biến Ngày 3 tháng 8 năm 2 015 20 / 47 Bài tập Gradient và Đạo hàm theo hướng IV 25 → Cho hàm số f (x, y ) = x 2 − xy + y 2 Tìm vector đơn vị − u và giá trị → − của D u f (1, 1) biết rằng 1 2 3 26 − D→ u f (1, 1) lớn nhất → D−u f (1, 1) bé nhất − D→ u f (1, 1) = 0 Cho hàm số f (f , y ) = − D→ uf 1 3 − , 2 2 1 − D→ uf 2 − D→... ∂x∂y Chương 1 Phép tính vi phân hàm nhiều biến Ngày 3 tháng 8 năm 2 015 27 / 47 Đạo hàm riêng cấp cao Ví dụ 1. 8 (Bài tập 14 trang 44) Cho u = 1t e − x 2 +y 2 4t Chứng minh rằng: ∂2u ∂2u ∂u = + 2 ∂t ∂x 2 ∂y lhnhan@ctu.edu.vn (CNS) Chương 1 Phép tính vi phân hàm nhiều biến Ngày 3 tháng 8 năm 2 015 28 / 47 Cực trị lhnhan@ctu.edu.vn (CNS) Chương 1 Phép tính vi phân hàm nhiều biến Ngày 3 tháng 8 năm 2 015 29... lhnhan@ctu.edu.vn (CNS) Chương 1 Phép tính vi phân hàm nhiều biến Ngày 3 tháng 8 năm 2 015 15 / 47 Gradient và Đạo hàm theo hướng Ví dụ 1. 2 1 2 3 x tại điểm O(0, 0) theo Tính đạo hàm của hàm số f (x, y ) = 1+ y − → − → hướng của vector i − j Tính đạo hàm của hàm số z = x 2 + y 2 tại điểm (1, −2) theo hướng của vector tạo với chiều dương của trục Ox một góc 60o 1 1 1 Tính đạo hàm của hàm số f (x, y , z)... ) = arctan y ( 1, 2) (4, −2) Trong các bài tập 7 - 10 , tìm ∇f tại điểm được cho 7 8 f (x, y , z) = x 2 + y 2 − 2z 2 + z ln x f (x, y , z) = 2z 3 lhnhan@ctu.edu.vn (CNS) − 3(x 2 + y 2 )z (1, 1, 1) + arctan(xz) (1, 1, 1) Chương 1 Phép tính vi phân hàm nhiều biến Ngày 3 tháng 8 năm 2 015 18 / 47 Bài tập Gradient và Đạo hàm theo hướng II 1 ( 1, 2, −2) π 10 f (x, y , z) = e x+y cos z + (y + 1) arcsin x (0,... uf − D→ u f (1, 1) = 4 5 − D→ u f (1, 1) = −3 x −y → Tìm vector đơn vị − u và giá trị của x +y biết rằng 1 3 − , 2 2 1 3 − , 2 2 1 3 − , 2 2 lhnhan@ctu.edu.vn (CNS) 4 lớn nhất 4 − D→ uf bé nhất 5 − D→ uf 1 3 − , 2 2 1 3 − , 2 2 = −2 =1 =0 Chương 1 Phép tính vi phân hàm nhiều biến Ngày 3 tháng 8 năm 2 015 21 / 47 Bài tập Gradient và Đạo hàm theo hướng V 27 Theo hướng nào thì đạo hàm của hàm số f (x,... 0 (1, 1, 1) 1 1 1 6 + + 1= 0 (2, 3, 6) x y z 7 sin(x + y ) + sin(y + z) + sin(z + x) = 0 (π, π, π) 4 8 xe y y2 dy tại điểm được chỉ ra dx (1, 1) xe y + ye z + 2 ln x − 2 − 3 ln 2 = 0 lhnhan@ctu.edu.vn (CNS) (1, ln 2, ln 3) Chương 1 Phép tính vi phân hàm nhiều biến Ngày 3 tháng 8 năm 2 015 26 / 47 Đạo hàm riêng cấp cao Ví dụ 1. 6 Cho u = e x+y sin2 z Tính ∂4u ∂x∂y 2 ∂z Ví dụ 1. 7 Hãy tìm tất cả các hàm. .. tập 11 - 18 , tìm đạo hàm của hàm số tại P0 theo hướng − u được cho − → − → − → 11 f (x, y ) = 2xy − 3y 2 , P0 (5, 5), u =4 i +3 j − → − → − → 12 f (x, y ) = 2x 2 + y 2 , P0 ( 1, 1) , u =3 i −4 j − → − → x −y − → 13 g (x, y ) = , P0 (1, 1) , u = 12 i + 5 j xy + 2 √ − → − → y xy → 14 h(x, y ) = arctan + 3 arcsin , P0 (1, 1) , − u =3 i −2 j x 2 − → − → − → − → 15 f (x, y , z) = xy + z + zx, P0 (1, 1, 2),... =2 y = 1 Viết phương trình tiếp diện và pháp tuyến của mặt cong đó tại điểm (2, 1, −3) Cho hàm số f (x, y ) = x 2 + y 3 Hãy tìm độ dốc của tiếp tuyến của mặt cong trên tại điểm ( 1, 1) và nằm trong mặt phẳng 1 2 x = 1 y = 1 Viết phương trình tiếp diện và pháp tuyến của mặt cong đó tại điểm ( 1, 1, 2) lhnhan@ctu.edu.vn (CNS) Chương 1 Phép tính vi phân hàm nhiều biến Ngày 3 tháng 8 năm 2 015 13 / 47... cong e y /x + sin y + y 2 = 1 tại điểm (2, 0) Viết phương trình tiếp diện và pháp tuyến của mặt cầu x 2 + y 2 + z 2 = 14 tại điểm (1, −2, 3) lhnhan@ctu.edu.vn (CNS) Chương 1 Phép tính vi phân hàm nhiều biến Ngày 3 tháng 8 năm 2 015 25 / 47 Bài tập Đạo hàm của hàm ẩn hai biến Từ bài tập 1 - 4, hãy tìm 1 2 3 x 3 − 2y 2 + xy = 0 xy + y 2 − 3x − 3 = 0 x2 + xy + −7=0 ( 1, 1) (1, 2) + sin(xy ) + y − ln 2... phân hàm nhiều biến Ngày 3 tháng 8 năm 2 015 24 / 47 Đạo hàm hàm ẩn một biến 1 2 Đạo hàm của hàm ẩn một biến Giả sử hàm ẩn y = y (x) xác định F bởi phương trình F (x, y ) = 0 Khi đó, y (x) = − x Fy Đạo hàm của hàm ẩn hai biến Giả sử z = z(x, y ) là hàm ẩn hai biến xác định bởi phương trình F (x, y , z) = 0 Khi đó, Fy F ∂z ∂z =− x và =− ∂x Fz ∂y Fz Ví dụ 1. 5 1 2 Tìm phương trình tiếp tuyến và pháp tuyến ... (1, 1, 1) + arctan(xz) (1, 1, 1) Chương Phép tính vi phân hàm nhiều biến Ngày tháng năm 2 015 18 / 47 Bài tập Gradient Đạo hàm theo hướng II ( 1, 2, −2) π 10 f (x, y , z) = e x+y cos z + (y + 1) ... lhnhan@ctu.edu.vn (CNS) Chương Phép tính vi phân hàm nhiều biến Ngày tháng năm 2 015 10 / 47 Tiếp diện pháp tuyến lhnhan@ctu.edu.vn (CNS) Chương Phép tính vi phân hàm nhiều biến Ngày tháng năm 2 015 11 / 47 Tiếp... + y + = không xác định hàm ẩn lhnhan@ctu.edu.vn (CNS) Chương Phép tính vi phân hàm nhiều biến Ngày tháng năm 2 015 24 / 47 Đạo hàm hàm ẩn biến Đạo hàm hàm ẩn biến Giả sử hàm ẩn y = y (x) xác định