Chương 1 hàm nhiều biến lê hoài nhân

Đạo hàm riêng của f theo biến x tại điểm x0, y0 là... Bài tập Đạo hàm riêng IVTừ bài tập 32 - 37 tính các đạo hàm riêng của hàm số với biến tương ứngcủa hàm số đó... Bài tập Gradient và

VI TÍCH PHÂN A2

Chương 1 Phép tính vi phân hàm nhiều biến

1 Bộ môn Toán học Khoa Khoa học tự nhiên

Ngày 3 tháng 8 năm 2015

Đạo hàm riêng

Định nghĩa 1.1

Cho hàm số f (x, y) xác định tại (x0, y0) và lân cận

Đạo hàm riêng của f theo biến x tại điểm (x0, y0) là

Bài tập Đạo hàm riêng I

x + y

x2+ y2

Bài tập Đạo hàm riêng II

Bài tập Đạo hàm riêng III

Bài tập Đạo hàm riêng IV

Từ bài tập 32 - 37 tính các đạo hàm riêng của hàm số với biến tương ứngcủa hàm số đó

Ý nghĩa hình học của đạo hàm riêng

Nếu C1 là giao tuyến của S và mặt phẳng y = y0 thì vector

Ý nghĩa hình học của đạo hàm riêng

Nếu C2 là giao tuyến của S và mặt phẳng x = x0 thì vector

−

→

Tiếp diện và pháp tuyến

Tiếp diện và pháp tuyến

Bài tập ý nghĩa hình học, tiếp diện và pháp tuyến I

1 Mặt phẳng x = 1 cắt paraboloid z = x2+ y2 theo giao tuyến là mộtparabola Hãy tìm độ dốc của tiếp tuyến của parabola đó tại điểm(1, 2, 5)

của mặt cong trên tại điểm (2, −1) và nằm trong mặt phẳng

Độ dốc của tiếp tuyến bất kỳ

Gradient và Đạo hàm theo hướng

D− →

uf (x0, y0) = f0

x(x0, y0).v + f0

y(x0, y0).w = −→u ∇f (x0, y0)

Gradient và Đạo hàm theo hướng

Ví dụ 1.2

hướng của vector −→i −−→

Gradient và Đạo hàm theo hướng

Hàm số f (x, y) tăng nhanh nhất theo hướng của vector ∇f (x0, y0).Hàm số f (x, y) giảm nhanh nhất theo hướng của vector −∇f (x0, y0).Bất kỳ vector −→u vuông góc với ∇f (x0, y0) 6= 0 thì đạo hàm theohướng đó đều bằng 0

Ví dụ 1.3

1 (Ví dụ 31 trang 25) Nhiệt độ tại M(x, y ) trên là ToC với

T (x, y) = x2.e− y Theo hướng nào thì tại điểm (2, 1) nhiệt độ tăngnhanh nhất? Hãy tìm tốc độ tăng của T theo hướng đó

phẳng được cho bởi hàm số T (x, y ) = x2− 2y2 Từ điểm (2, −1),một con kiến nên di chuyển theo hướng nào để đi đến nơi có nhiệt

độ mát nhất?

điểm P(3, 2) có giá trị 0?

Bài tập Gradient và Đạo hàm theo hướng I

Trong các bài tập 1 - 6, tìm Gradient của hàm số tại điểm được cho Sau

đó, vẽ vector gradient và đường mức của hàm số tại điểm đó trên cùngmột đồ thị

Bài tập Gradient và Đạo hàm theo hướng II

2 , P0(1, 1), −→u = 3−→i − 2−→j

15 f (x, y, z) = xy + z + zx, P0(1, −1, 2), −→u = 3−→i + 6−→j − 2−→k

16 f (x, y, z) = x2+ 2y2− 2y2, P0(1, 1, 1), −→u = −→i + −→j + −→k

17 g(x, y, z) = 3excos(yz), P0(0, 0, 0), −→u = 2−→i + −→j − 2−→k

Bài tập Gradient và Đạo hàm theo hướng III

18 h(x, y, z) = cos(xy) + eyz + ln(zx), P0



1, 0,12

,



23 h(x, y, z) = ln(xy) + ln(yz) + ln(zx) P0(1, 1, 1)

24 f (x, y, z) = ln(x2+ y2− 1 + y + 6z) P0(1, 1, 0)

Bài tập Gradient và Đạo hàm theo hướng IV

25 Cho hàm số f (x, y) = x2− xy + y2 Tìm vector đơn vị −→u và giá trịcủa D− →

 lớn nhất

2 D − →uf−1

2,

3 2



= 1

Bài tập Gradient và Đạo hàm theo hướng V

x2+ y2 tại điểm(1, 1) bằng 0

f (x, y) = x2− 3xy + 4y2 tại điểm P(1, 2) có giá trị 14 Hãy giải thíchcâu trả lời của bạn

29 Tồn tại hay không vector −→u mà theo hướng đó tốc độ biến thiên củahàm nhiệt độ

T (x, y, z) = 2xy − yz,với nhiệt độ tính bằngoC và khoảng cách tính bằng feet, tại điểmP(1, −1, 1) là −3(oC /ft) Hãy giải thích câu trả lời của bạn

Bài tập Gradient và Đạo hàm theo hướng VI

30 Đạo hàm của hàm số f (x, y) tại điểm P0(1, 2) theo hướng −→i + −→j là

2√2, và theo hướng −2−→j là −3 Đạo hàm của hàm f theo hướng

−−→i − 2−→j nhận giá trị là bao nhiêu? Hãy giải thích câu trả lời củabạn

31 Hàm số đạo hàm của hàm f (x, y, z) tại điểm P đạt giá trị lớn nhấttheo hướng −→v = −→i + −→j −−→k và giá trị lớn nhất đó là 2√3

1 Tìm tọa độ của ∇f tại P Giải thích câu trả lời đó.

2 Đạo hàm của hàm f tại P theo hướng −→v = −→i + −→j bằng bao nhiêu? Tại sao?

Hàm ẩn

Định nghĩa 1.3 (17 trang 25)

Hàm số y = y(x) được gọi là hàm ẩn xác định bởi phương trình

F (x, y) = 0 nếu F (x, y(x)) = 0 với mọi x

Hàm số z = z(x, y) được gọi là hàm ẩn xác định bởi phương trình

F (x, y, z) = 0 nếu F (x, y, z(x, y)) = 0 với mọi (x, y)

Ví dụ 1.4 (32 trang 25)

Phương trình x3+ y3 = 1 xác định hàm ẩn y =√3

1 − x3.Phương trình x2+ y2+ z2= 1 xác định hai hàm ẩn

z = −p1 − x2− y2 và z = p1 − x2− y2

Đạo hàm hàm ẩn một biến

bởi phương trình F (x, y) = 0 Khi đó, y0

0 x

F0 y

biến xác định bởi phương trình F (x, y, z) = 0 Khi đó,

∂z

0 x

F0 z

0 y

F0 z

Ví dụ 1.5

ey /x+ sin y + y2= 1 tại điểm (2, 0)

x2+ y2+ z2 = 14 tại điểm (1, −2, 3)

Bài tập Đạo hàm của hàm ẩn hai biến

Đạo hàm riêng cấp cao

Đạo hàm riêng cấp cao

Cực trị

Cực trị

Để tìm cực trị của hàm số hai biến z = f (x, y) ta thực hiện các bước sau:

Bước 1 Tính các đạo hàm riêng của f (x, y)

Bước 2 Tìm điểm dừng và điểm kỳ dị của hàm f :

Điểm dừng: Giải hệ phương trình f 0

Bước 3 Xét tại các điểm dừng M và hàm số có đạo cấp 2:

Tính các đạo hàm riêng cấp 2, các hằng số A, B, C , ∆ với

A = f 00

xx (M),B = f 00

xy (M), C = f 00

yy (M) và ∆ = B 2 − AC Kết luận cực trị theo định lý 13 trang 31.

Cực trị

Để tìm cực trị của hàm số hai biến z = f (x, y) ta thực hiện các bước sau:

Bước 2 Tìm điểm dừng và điểm kỳ dị của hàm f :

Điểm dừng: Giải hệ phương trình f 0

Bước 3 Xét tại các điểm dừng M và hàm số có đạo cấp 2:

Tính các đạo hàm riêng cấp 2, các hằng số A, B, C , ∆ với

A = f 00

xx (M),B = f 00

xy (M), C = f 00

yy (M) và ∆ = B 2 − AC Kết luận cực trị theo định lý 13 trang 31.

Cực trị

Để tìm cực trị của hàm số hai biến z = f (x, y) ta thực hiện các bước sau:Bước 1 Tính các đạo hàm riêng của f (x, y)

Điểm dừng: Giải hệ phương trình f 0

Bước 3 Xét tại các điểm dừng M và hàm số có đạo cấp 2:

Tính các đạo hàm riêng cấp 2, các hằng số A, B, C , ∆ với

A = f 00

xx (M),B = f 00

xy (M), C = f 00

yy (M) và ∆ = B 2 − AC Kết luận cực trị theo định lý 13 trang 31.

Cực trị

Để tìm cực trị của hàm số hai biến z = f (x, y) ta thực hiện các bước sau:Bước 1 Tính các đạo hàm riêng của f (x, y)

Bước 2 Tìm điểm dừng và điểm kỳ dị của hàm f :

Điểm dừng: Giải hệ phương trình f 0

Tính các đạo hàm riêng cấp 2, các hằng số A, B, C , ∆ với

Cực trị

Để tìm cực trị của hàm số hai biến z = f (x, y) ta thực hiện các bước sau:Bước 1 Tính các đạo hàm riêng của f (x, y)

Bước 2 Tìm điểm dừng và điểm kỳ dị của hàm f :

Điểm dừng: Giải hệ phương trình f 0

Tính các đạo hàm riêng cấp 2, các hằng số A, B, C , ∆ với

Cực trị

Để tìm cực trị của hàm số hai biến z = f (x, y) ta thực hiện các bước sau:Bước 1 Tính các đạo hàm riêng của f (x, y)

Bước 2 Tìm điểm dừng và điểm kỳ dị của hàm f :

Điểm dừng: Giải hệ phương trình f 0

Tính các đạo hàm riêng cấp 2, các hằng số A, B, C , ∆ với

Cực trị

Để tìm cực trị của hàm số hai biến z = f (x, y) ta thực hiện các bước sau:Bước 1 Tính các đạo hàm riêng của f (x, y)

Bước 2 Tìm điểm dừng và điểm kỳ dị của hàm f :

Điểm dừng: Giải hệ phương trình f 0

Tính các đạo hàm riêng cấp 2, các hằng số A, B, C , ∆ với

Cực trị

Để tìm cực trị của hàm số hai biến z = f (x, y) ta thực hiện các bước sau:Bước 1 Tính các đạo hàm riêng của f (x, y)

Bước 2 Tìm điểm dừng và điểm kỳ dị của hàm f :

Điểm dừng: Giải hệ phương trình f 0

Bước 3 Xét tại các điểm dừng M và hàm số có đạo cấp 2:

Tính các đạo hàm riêng cấp 2, các hằng số A, B, C , ∆ với

Cực trị

Để tìm cực trị của hàm số hai biến z = f (x, y) ta thực hiện các bước sau:Bước 1 Tính các đạo hàm riêng của f (x, y)

Bước 2 Tìm điểm dừng và điểm kỳ dị của hàm f :

Điểm dừng: Giải hệ phương trình f 0

Bước 3 Xét tại các điểm dừng M và hàm số có đạo cấp 2:

Tính các đạo hàm riêng cấp 2, các hằng số A, B, C , ∆ với

Cực trị

Để tìm cực trị của hàm số hai biến z = f (x, y) ta thực hiện các bước sau:Bước 1 Tính các đạo hàm riêng của f (x, y)

Bước 2 Tìm điểm dừng và điểm kỳ dị của hàm f :

Điểm dừng: Giải hệ phương trình f 0

Bước 3 Xét tại các điểm dừng M và hàm số có đạo cấp 2:

Tính các đạo hàm riêng cấp 2, các hằng số A, B, C , ∆ với

A = f 00

xx (M),B = f 00

xy (M), C = f 00

yy (M) và ∆ = B 2 − AC Kết luận cực trị theo định lý 13 trang 31.

Cực trị

Để tìm cực trị của hàm số hai biến z = f (x, y) ta thực hiện các bước sau:Bước 1 Tính các đạo hàm riêng của f (x, y)

Bước 2 Tìm điểm dừng và điểm kỳ dị của hàm f :

Điểm dừng: Giải hệ phương trình f 0

Bước 3 Xét tại các điểm dừng M và hàm số có đạo cấp 2:

Tính các đạo hàm riêng cấp 2, các hằng số A, B, C , ∆ với

A = f 00

xx (M),B = f 00

xy (M), C = f 00

yy (M) và ∆ = B 2 − AC Kết luận cực trị theo định lý 13 trang 31.

Cực trị có điều kiện

Cực trị có điều kiện

Cho mặt cong S có phương trình z = f (x, y), C là đường cong thuộc

S Biết rằng hình chiếu của C trên mặt phẳng Oxy có phương trình

là ϕ(x, y) = 0 Hãy tìm các điểm cực trị của đường cong C

Tung độ của các điểm cực trị của C được gọi là cực trị của hàm số

z = f (x, y) với điều kiện ϕ(x, y) = 0

Tìm cực trị có điều kiện bằng cách nào?

Cực trị có điều kiện

Cho mặt cong S có phương trình z = f (x, y), C là đường cong thuộc

S Biết rằng hình chiếu của C trên mặt phẳng Oxy có phương trình

là ϕ(x, y) = 0 Hãy tìm các điểm cực trị của đường cong C

Tung độ của các điểm cực trị của C được gọi là cực trị của hàm số

z = f (x, y) với điều kiện ϕ(x, y) = 0

Tìm cực trị có điều kiện bằng cách nào?

Cực trị có điều kiện

Cho mặt cong S có phương trình z = f (x, y), C là đường cong thuộc

S Biết rằng hình chiếu của C trên mặt phẳng Oxy có phương trình

là ϕ(x, y) = 0 Hãy tìm các điểm cực trị của đường cong C

Tung độ của các điểm cực trị của C được gọi là cực trị của hàm số

z = f (x, y) với điều kiện ϕ(x, y) = 0

Tìm cực trị có điều kiện bằng cách nào?

Cực trị có điều kiện

Cho mặt cong S có phương trình z = f (x, y), C là đường cong thuộc

S Biết rằng hình chiếu của C trên mặt phẳng Oxy có phương trình

là ϕ(x, y) = 0 Hãy tìm các điểm cực trị của đường cong C

Tung độ của các điểm cực trị của C được gọi là cực trị của hàm số

z = f (x, y) với điều kiện ϕ(x, y) = 0

Tìm cực trị có điều kiện bằng cách nào?

Phương pháp thế.

Cực trị có điều kiện

Cho mặt cong S có phương trình z = f (x, y), C là đường cong thuộc

S Biết rằng hình chiếu của C trên mặt phẳng Oxy có phương trình

là ϕ(x, y) = 0 Hãy tìm các điểm cực trị của đường cong C

Tung độ của các điểm cực trị của C được gọi là cực trị của hàm số

z = f (x, y) với điều kiện ϕ(x, y) = 0

Tìm cực trị có điều kiện bằng cách nào?

Phương pháp thế.

Phương pháp nhân tử Lagrange

Phương pháp thế

Để giải bài toán cực trị có điều kiện của hàm số hai biến ta thực hiện cácbước:

lại, giả sử ta thu được y = y(x) Tìm điều kiện cho x

Bước 2 Thay y = y(x) vào hàm số z = f (x, y) ta được hàm số

g(x) = f (x, y(x)) = z

Bước 3 Tìm cực trị của hàm g(x) với x thỏa điều kiện ở bước 1.Bước 4 Suy ra cực trị của hàm z = f (x, y) với điều kiện ϕ(x, y) = 0tương ứng với cực trị của hàm g(x) ở bước 3

Bước 4 Suy ra cực trị của hàm z = f (x, y) với điều kiện ϕ(x, y) = 0tương ứng với cực trị của hàm g(x) ở bước 3.

Phương pháp thế

Ví dụ 3.1

Tìm cực trị của các hàm số

2 z = x2+ y2 với điều kiện x

Phương pháp nhân tử Lagrange

Bước 1.Lập hàm Lagrage: F (x, y, λ) = f (x, y) +λϕ(x, y )

Bước 2 Tìm các điểm dừng M của hàm F (x, y, λ)

Bước 3 Tính các đạo hàm riêng của ϕ và đạo hàm cấp hai của F

Phương pháp nhân tử Lagrange

Bước 1 Lập hàm Lagrage: F (x, y, λ) = f (x, y) +λϕ(x, y )

Bước 3 Tính các đạo hàm riêng của ϕ và đạo hàm cấp hai của F

Phương pháp nhân tử Lagrange

Bước 1 Lập hàm Lagrage: F (x, y, λ) = f (x, y) +λϕ(x, y )

Bước 2 Tìm các điểm dừng M của hàm F (x, y, λ)

Phương pháp nhân tử Lagrange

Bước 1 Lập hàm Lagrage: F (x, y, λ) = f (x, y) +λϕ(x, y )

Bước 2 Tìm các điểm dừng M của hàm F (x, y, λ)

Bước 3 Tính các đạo hàm riêng của ϕ và đạo hàm cấp hai của F

Phương pháp nhân tử Lagrange

Bước 1 Lập hàm Lagrage: F (x, y, λ) = f (x, y) +λϕ(x, y )

Bước 2 Tìm các điểm dừng M của hàm F (x, y, λ)

Bước 3 Tính các đạo hàm riêng của ϕ và đạo hàm cấp hai của F

Phương pháp nhân tử Lagrange

Bước 1 Lập hàm Lagrage: F (x, y, λ) = f (x, y) +λϕ(x, y )

Bước 2 Tìm các điểm dừng M của hàm F (x, y, λ)

Bước 3 Tính các đạo hàm riêng của ϕ và đạo hàm cấp hai của F

Phương pháp nhân tử Lagrange

Bước 1 Lập hàm Lagrage: F (x, y, λ) = f (x, y) +λϕ(x, y )

Bước 2 Tìm các điểm dừng M của hàm F (x, y, λ)

Bước 3 Tính các đạo hàm riêng của ϕ và đạo hàm cấp hai của F

Phương pháp nhân tử Lagrange

Bước 1 Lập hàm Lagrage: F (x, y, λ) = f (x, y) +λϕ(x, y )

Bước 2 Tìm các điểm dừng M của hàm F (x, y, λ)

Bước 3 Tính các đạo hàm riêng của ϕ và đạo hàm cấp hai của F

Phương pháp nhân tử Lagrange

Bước 1 Lập hàm Lagrage: F (x, y, λ) = f (x, y) +λϕ(x, y )

Bước 2 Tìm các điểm dừng M của hàm F (x, y, λ)

Bước 3 Tính các đạo hàm riêng của ϕ và đạo hàm cấp hai của F

Phương pháp nhân tử Lagrange

Bước 1 Lập hàm Lagrage: F (x, y, λ) = f (x, y) +λϕ(x, y )

Bước 2 Tìm các điểm dừng M của hàm F (x, y, λ)

Bước 3 Tính các đạo hàm riêng của ϕ và đạo hàm cấp hai của F

Phương pháp nhân tử Lagrange

Ví dụ 3.2

Tìm cực trị của hàm số

1 z = 6 − 4x − 3y với điều kiện x2+ y2 = 1

2 z = x2+ y2 với điều kiện 17x2+ 12xy + 8y2− 100 = 0

3 z = x2y với điều kiện x2+ y2= 3

Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất

Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất

Định lý Weierstrass Hàm số n biến f (.) liên tục trên một tập đóng

và bị chặn D ⊂ Rn thì f đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trênD

ϕ(x, y ) = 0 và f (x, y ) là hàm số liên tục trên D Giá trị lớn nhất vàgiá trị nhỏ nhất của f trên D có thể đạt tại:

Cực trị tự do thuộc phần trong của D.

Cực trị có điều kiện ϕ(x, y) = 0.

Các điểm đầu mút của ∂D.

Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất

Định lý Weierstrass Hàm số n biến f (.) liên tục trên một tập đóng

và bị chặn D ⊂ Rn thì f đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trênD

Cho miền D ⊂ R2 và tập đóng, bị chặn với biên là đường cong

ϕ(x, y ) = 0 và f (x, y ) là hàm số liên tục trên D Giá trị lớn nhất vàgiá trị nhỏ nhất của f trên D có thể đạt tại:

Cực trị tự do thuộc phần trong của D.

Cực trị có điều kiện ϕ(x, y) = 0.

Các điểm đầu mút của ∂D.

Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất

Định lý Weierstrass Hàm số n biến f (.) liên tục trên một tập đóng

và bị chặn D ⊂ Rn thì f đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trênD

Cho miền D ⊂ R2 và tập đóng, bị chặn với biên là đường cong

ϕ(x, y ) = 0 và f (x, y ) là hàm số liên tục trên D Giá trị lớn nhất vàgiá trị nhỏ nhất của f trên D có thể đạt tại:

Cực trị tự do thuộc phần trong của D.

Cực trị có điều kiện ϕ(x, y) = 0.

Các điểm đầu mút của ∂D.

Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất

Để tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số trên miền D đóng

bị chặn ta thực hiện qua các bước sau đây:

của ∂D (nếu có) Nên biểu diễn tất cả các điểm tìm được trên ở cảbước 1, bước 2 và bước 3 trên hình vẽ này

trong của D

ϕ(x, y ) = 0 Nếu ∂D là đường cong trơn từng khúc thì ta lần lượttìm các điểm dừng trên mỗi đoạn trơn của nó

Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất

Để tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số trên miền D đóng

bị chặn ta thực hiện qua các bước sau đây:

của ∂D (nếu có) Nên biểu diễn tất cả các điểm tìm được trên ở cảbước 1, bước 2 và bước 3 trên hình vẽ này

trong của D

ϕ(x, y ) = 0 Nếu ∂D là đường cong trơn từng khúc thì ta lần lượttìm các điểm dừng trên mỗi đoạn trơn của nó

Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất

Để tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số trên miền D đóng

bị chặn ta thực hiện qua các bước sau đây:

của ∂D (nếu có) Nên biểu diễn tất cả các điểm tìm được trên ở cảbước 1, bước 2 và bước 3 trên hình vẽ này

trong của D

ϕ(x, y ) = 0 Nếu ∂D là đường cong trơn từng khúc thì ta lần lượttìm các điểm dừng trên mỗi đoạn trơn của nó