Đang tải... (xem toàn văn)
Bài giảng Toán tài chính - Chương 3: Hàm nhiều biến cung cấp cho người học các kiến thức: Khái niệm hàm hai biến, tập xác định hàm hai biến, khái niệm hàm ba biến, đồ thị hàm một biến, hàm nhiều biến trong kinh tế,... Mời các bạn cùng tham khảo.
HÀM NHIỀU BIẾN CHƯƠNG KHÁI NIỆM HÀM HAI BIẾN Định nghĩa: Cho không gian: R2 = Ánh xạ: { (x , y ) : x , y Ỵ R f : D } va D Ì R2 ® R (x , y ) a z = f (x , y ) Được gọi hàm hai biến xác định tập hợp D Mỗi cặp (x,y)∈ tương ứng với số thực z x, y biến độc lập; z biến phụ thuộc KHÁI NIỆM HÀM HAI BIẾN Mỗi cặp (x,y)∈ tương ứng với số thực z x, y biến độc lập; z biến phụ thuộc Tập D miền xác định (domain) Miền giá trị (range) hàm f T f x, y x, y D TẬP XÁC ĐỊNH HÀM HAI BIẾN Khái niệm Tập xác định hàm số tập hợp tất cặp (x,y) cho giá trị biểu thức f(x,y) số thực Ví dụ Với D = ¡ f ( x, y ) x x xy Miền xác định hàm số không gian ¡ Ứng với cặp số ( x, y) (2, 1) D , ta có z f (2, 1) 23 (1)2 2.(1) Ứng với cặp số ( x, y) (3, 2) D, ta có z f (3,2) 33 22 3.2 29 Ví dụ Với hàm số sau, tìm f(3,2) miền xác định a) f x, y x y 1 x 1 b) f x, y x ln y x TẬP XÁC ĐỊNH HÀM HAI BIẾN A) Ta có: f 3, Tập xác định: 1 1 D x, y x y 0, x 1 b) Ta có: f 3, 3ln 22 3 Tập xác định: D x , y x y VÍ DỤ Tìm vẽ tập xác định hàm số sau: a ) f (x , y ) = y - x2 b ) f (x , y ) = ln (2x - y + 1) KHÁI NIỆM HÀM BA BIẾN Định nghĩa: Cho không gian: R3 = Ánh xạ: { (x , y , z ) : x , y , z Ỵ R f : D } va D Ì R3 ® R (x , y , z ) a u = f (x , y , z ) Được gọi hàm ba biến xác định tập hợp D Mỗi cặp (x,y,z)∈ tương ứng với số thực u x, y, z biến độc lập; u biến phụ thuộc Tập xác định hàm số tập hợp tất cặp (x,y,z) cho giá trị biểu thức f(x,y,z) số thực ĐỒ THỊ Định nghĩa Nếu f hàm hai biến với miền xác định D đồ thị f tập hợp tất điểm (x,y,z) cho z f x, y x, y D ĐỒ THỊ HÀM MỘT BIẾN ĐỒ THỊ HÀM NHIỀU BIẾN f x, y x y y VÍ DỤ 27 Hàm tổng chi phí: TC Q12 Q1Q2 Q22 Hàm lợi nhuận: TR TC 3Q12 5Q22 2Q1Q2 360Q1 570Q2 Q12 Q1Q2 Q22 4Q12 3Q1Q2 6Q22 360Q1 570Q2 Hệ pt tìm điểm dừng: Q 8Q1 3Q2 360 Q1 30 Q 3Q1 12Q2 570 Q2 40 VÍ DỤ 27 Ta có: Q Q 8 1 Q Q 3 Q Q 12 2 A 8 0; 8 12 3 87 Vậy lợi nhuận đạt cực đại Q1=30; Q2=40 VÍ DỤ 28 Cho hàm lợi nhuận công ty sản phẩm là: R C PQ wL rK lợi nhuận, R doanh thu, C chi phí, L lượng lao động, w tiền lương cho lao động, K tiền vốn, r lãi suất tiền vốn, P đơn giá bán sản phẩm Giả sử Q hàm sản xuất Cobb – Douglas dạng: Q L1/3 K 1/3 Ta tìm L, K để lợi nhuận đạt tối đa cho trường hợp w = 1, r = 0,02, P = VÍ DỤ 29 Cho biết hàm lợi nhuận doanh nghiệp sản xuất loại sản phẩm là: 2 2 Q 3Q 7Q 300Q2 1200Q3 4Q1Q3 20 Hãy tìm mức sản lượng Q1, Q2, Q3 để doanh nghiệp thu lợi nhuận tối đa Đáp số: Q1=400; Q2=50; Q3 =200 VÍ DỤ 30 Một hãng độc quyền sản xuất loại sản phẩm Cho biết hàm cầu hai loại sản phẩm sau: Q1 1300 p1 Q2 675 0,5 p2 Với hàm chi phí kết hợp là: 2 C Q 3Q1Q2 Q Hãy cho biết mức sản lượng Q1, Q2 giá bán tương ứng để doanh nghiệp thu lợi nhuận tối đa ĐÁP ÁN Ta có: Q1 250; p1 1050 Q2 100; p2 1150 VÍ DỤ 31 Một cơng ty độc quyền sản xuất loại sản phẩm hai sở với hàm chi phí tương ứng là: TC1 128 0, 2Q ; 2 TC2 156 0,1Q Q1, Q2 lượng sản xuất sở 1,2 Hàm cầu ngược sản phẩm cơng ty có dạng: P 600 0,1Q; Q Q1 Q2 600 A) Xác định lượng sản phẩm cần sx sở đề tối đa hóa lợi nhuận B) Tại mức sản lượng tối đa hóa lợi nhuận, tính độ co giãn cầu theo giá ĐÁP ÁN A) Q1=600; Q2=1200 B) Hệ số co giãn cầu theo giá: -13/6 VÍ DỤ 32 Một doanh nghiệp có hàm sản xuất: QK 0,5 0,5 L K 0; L Giả sử giá thuê đơn vị vốn 6$, giá thuê đơn vị lao động 4$ Giá bán sản phẩm 2$ Tìm mức sử dụng vốn lao động để lợi nhuận doanh nghiệp tối đa Đáp số: K=1/36; L=1/16 VÍ DỤ 33 Cho hàm lợi ích tiêu dùng loại hàng hóa: 0,4 U x, y x y 0,6 (x số đơn vị hàng hóa 1, y số đơn vị hàng hóa 2; x>0, y>0) Giả sử giá mặt hàng tương ứng 2USD, 3USD thu nhập dành cho người tiêu dùng 130USD Hãy xác định lượng cầu mặt hàng để người tiêu dùng thu lợi ích tối đa VÍ DỤ 34 Một trung tâm thương mại có doanh thu phụ thuộc vào thời lượng quảng cáo đài phát (x phút) đài truyền hình (y phút) Hàm doanh thu: 2 R x, y 320 x x xy y 540 y 2000 Chi phí cho phút quảng cáo đài phát triệu đồng, đài truyền hình triệu đồng Ngân sách chi cho quảng cáo B=180 triệu đồng a) Tìm x, y để cực đại doanh thu b) Nếu ngân sách chi cho quảng cáo tăng triệu đồng doanh thu cực đại tăng lên ? VÍ DỤ 35 Một doanh nghiệp có hàm sản xuất Q=40K0,75L0,25 Q_sản lượng; K_vốn; L_lao động Doanh nghiệp thuê đơn vị vốn 3$; đơn vị lao động 1$ Ngân sách chi cho yếu tố đầu vào B=160$ A) Với hàm sản xuất tăng quy mơ sản xuất hiệu thay đổi nào? Nếu K tăng lên 1%; L tăng lên 3% sản lượng tăng lên % mức (K,L)? VÍ DỤ 35 B) Xác định mức sử dụng vốn lao động để sản lượng tối đa Nếu tăng ngân sách chi cho yếu tố đầu vào 1$ sản lượng tối đa tăng lên đơn vị? C) Hàm số có tn theo quy luật lợi ích cận biên giảm dần hay không? D) Xác định hàm sản lượng cận biên theo vốn, theo lao động? ĐÁP ÁN A) Hiệu không đổi Sản lượng tăng 1,5% B) K=L=40; Qmax=1600 Tăng yếu tố đầu vào Qmax tăng khoảng 10 đơn vị C) Q tuân theo quy luật lợi ích cận biên giảm dần VÍ DỤ 36 Một doanh nghiệp có hàm sản xuất Q=K0,4L0,3 (Q: sản lượng, K: vốn L: lao động) A) Hãy đánh giá hiệu việc tăng quy mô sản xuất B) Giả sử thuê tư 4$, giá thuê lai động 3$ doanh nghiệp tiến hành sản xuất với ngân sách cố định 1050$ Hãy cho biết doanh nghiệp sử dụng đơn vị tư đơn vị lao động thu sản lượng tối đa Đáp án A) Hiệu theo quy mô B) Q(150;150) lớn ... f x, y x y ĐỒ THỊ HÀM NHIỀU BIẾN f x, y x x y ĐỒ THỊ HÀM NHIỀU BIẾN f x, y x 1 e x2 y HÀM NHIỀU BIẾN TRONG KINH TẾ a) Hàm sản xuất b) Hàm tổng chi phí, tổng doanh... tục hàm số: x2 y2 f x, y x y2 ĐẠO HÀM RIÊNG Cho hàm hai biến z=f(x,y) xác định tập D Xem y số ta hàm biến theo x Lấy đạo hàm hàm số ta đạo hàm riêng theo biến x Tương tự ta đạo hàm. .. y- f (x , y ) x0 f (x , y ) y0 Lấy đạo hàm riêng theo biến xem biến lại số tiến hành lấy đạo hàm hàm biến VÍ DỤ Cho hàm số z = x + 3xy - y Đạo hàm riêng theo x (xem y số) z 'x = 3x + 3y Đạo hàm