tiểu luận chương 1 hàm nhiều biến

Sinh viên thực hiên:Lê Thị Ngọc Anh 42.01.105.005 Trần Bảo Toàn 42.01.105.107 Nguyễn Thị Kiều Oanh 42.01.105.088 Chu Thị Lương 42.01.105.065 MỤC LỤC Lời mở đầu 2 2 PHẦN I: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 5 I. Định nghĩa hàm nhiều biến. 5 II. Một số khái niệm 5 III. Đồ thị, đường và mặt đẳng trị. 6 1. Đồ thị 6 2. Tập đẳng trị 7 PHẦN II: GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 7 I. Giới hạn 7 1. Giới hạn của hàm số tại một điểm 7 2. Giới hạn lặp 9 3. Quan hệ giữa giới hạn theo tập hợp các biến và các giới hạn lặp 10 4. Hướng dẫn làm bài tập. 11 II. Hàm số liên tục 12 1. Hàm số liên tục tại một điểm 12 2. Hàm số liên tục đều 12 3. Hàm số liên tục theo từng biến 13 4. Hướng dẫn bài tập 14 PHẦN III: ĐẠO HÀM 14 I. Đạo hàm riêng cấp 1 14 1. Định nghĩa: 15 2. Các ví dụ minh họa: 16 II. Đạo hàm riêng cấp cao: 18 1. Tìm hiểu về đạo hàm riêng cấp cao: 18 2. Các ví dụ minh họa cho đạo hàm riêng cấp cao: 19 Phần IV. KHẢ VI VÀ VI PHÂN 21 I. Định nghĩa hàm khả vi và vi phân 21 1. Hàm khả vi 21 2. Vi phân 22 II. Điều kiện cần và đủ khả vi 22 1. Điều kiện cần khả vi 22 2. Điều kiện đủ khả vi 23 3. Các ví dụ 24 III. Tính gần đúng 25 IV. Vi phân cấp cao 26 V. Tính chất của vi phân 27 Phần V. ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN CỦA HÀM HỢP 27 I. Định nghĩa đạo hàm riêng 27 II. Đạo hàm riêng của hàm hợp 29 III. Vi phân của hàm hợp 30 IV. Đạo hàm riêng và vi phân cấp cao của hàm hợp 31 1. Đạo hàm cấp 2 của hàm hợp 31 2. Vi phân cấp 2 của hàm hợp 32 Phần VI: HÀM ẨN, ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN CỦA HÀM ẨN 33 I. Hàm ẩn và đạo hàm riêng của nó 33 1. Hàm ẩn và đạo hàm riêng của nó: 33 2. Định lý: 33 II. Trường hợp hàm ẩn nhiều biến 34 III. Định lý về hàm ẩn 35 IV. Hệ các hàm ẩn và vi phân của chúng: 36 V. Các ví dụ minh họa 37 PHẦN VII: CÔNG THỨC TAYLOR 39 Bài tiểu luận về “Củng cố kiến thức cơ bản về hàm nhiều biến ” sẽ đưa ra cho chúng ta thấy được những khái niệm cũng như những tính chất, định lí cơ bản của Hàm nhiều biến. Bên cạnh đó cũng thông qua những ví dụ cũng như các bài tập củng cố để ta nắm bắt rõ và chuyên sâu hơn về hàm nhiều biến. Thông qua bài tiểu luận này chúng ta sẽ thấy được rằng : Toán học nằm trong sự trừu tượng và cái ích của toán học nằm trong sự cụ thể. Qua đó ta sẽ hiểu rõ hai mặt đó của toán học nhằm rèn luyện được những khả năng rèn luyện của sinh viên. Phần 1: Chúng ta sẽ tìm hiểu và biết được những khái niệm cơ bản của hàm nhiều biến, ta sẽ thấy được giữa hàm một biến và hàm nhiều biến có nhiều sự khác biệt rất căn bản song song đó giữa hàm hai biến và hàm nhiều hơn hai biến không khác nhau về nguyên tắc. Phần 2: Ta sẽ biết được giới hạn và liên tục của hàm nhiều biến cũng như biết được các hàm hữu tỉ liên tục tại những điểm mà chúng ta xác định cũng như hợp của hai hàm liên tục là một hàm liên tục. Phần 3: Ta sẽ tìm hiểu về đạo hàm của hàm nhiều biến thông qua một số định lý

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM Bài tiểu luận: CỦNG CỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN HÀM NHIỀU BIẾN Giáo viên hướng dẫn: Thầy Nguyễn Lê Anh Sinh viên thực hiên: Lê Thị Ngọc Anh 42.01.105.005 Trần Bảo Toàn 42.01.105.107 Nguyễn Thị Kiều Oanh 42.01.105.088 Chu Thị Lương 42.01.105.065 MỤC LỤC Lời mở đầu .2 PHẦN I: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN .5 I Định nghĩa hàm nhiều biến II Một số khái niệm III Đồ thị, đường mặt đẳng trị Đồ thị Tập đẳng trị .7 PHẦN II: GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC I Giới hạn Giới hạn hàm số điểm Giới hạn lặp .9 Quan hệ giới hạn theo tập hợp biến giới hạn lặp 10 Hướng dẫn làm tập 11 II Hàm số liên tục 12 Hàm số liên tục điểm 12 Hàm số liên tục .12 Hàm số liên tục theo biến .13 Hướng dẫn tập 14 PHẦN III: ĐẠO HÀM 14 I Đạo hàm riêng cấp 14 Định nghĩa: 15 Các ví dụ minh họa: 16 II Đạo hàm riêng cấp cao: 18 Tìm hiểu đạo hàm riêng cấp cao: .18 Các ví dụ minh họa cho đạo hàm riêng cấp cao: 19 Phần IV KHẢ VI VÀ VI PHÂN 21 I Định nghĩa hàm khả vi vi phân 21 Hàm khả vi 21 Trang Vi phân 22 II Điều kiện cần đủ khả vi .22 Điều kiện cần khả vi .22 Điều kiện đủ khả vi .23 Các ví dụ .24 III Tính gần .25 IV Vi phân cấp cao .26 V Tính chất vi phân .27 Phần V ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN CỦA HÀM HỢP 27 I Định nghĩa đạo hàm riêng .27 II Đạo hàm riêng hàm hợp 29 III Vi phân hàm hợp 30 IV Đạo hàm riêng vi phân cấp cao hàm hợp 31 Đạo hàm cấp hàm hợp 31 Vi phân cấp hàm hợp 32 Phần VI: HÀM ẨN, ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN CỦA HÀM ẨN .33 I Hàm ẩn đạo hàm riêng .33 Hàm ẩn đạo hàm riêng nó: 33 Định lý: 33 II Trường hợp hàm ẩn nhiều biến 34 III Định lý hàm ẩn 35 IV Hệ hàm ẩn vi phân chúng: 36 V Các ví dụ minh họa 37 PHẦN VII: CÔNG THỨC TAYLOR 39 Trang Lời mở đầu Bài tiểu luận “Củng cố kiến thức hàm nhiều biến ” đưa cho thấy khái niệm tính chất, định lí Hàm nhiều biến Bên cạnh thơng qua ví dụ tập củng cố để ta nắm bắt rõ chuyên sâu hàm nhiều biến Thông qua tiểu luận thấy : Toán học nằm trừu tượng ích tốn học nằm cụ thể Qua ta hiểu rõ hai mặt tốn học nhằm rèn luyện khả rèn luyện sinh viên Phần 1: Chúng ta tìm hiểu biết khái niệm hàm nhiều biến, ta thấy hàm biến hàm nhiều biến có nhiều khác biệt song song hàm hai biến hàm nhiều hai biến không khác nguyên tắc Phần 2: Ta biết giới hạn liên tục hàm nhiều biến biết hàm hữu tỉ liên tục điểm mà xác định hợp hai hàm liên tục hàm liên tục Phần 3: Ta tìm hiểu đạo hàm hàm nhiều biến thông qua số định lý Phần 4: Sẽ tìm hiểu khả vi vi phân hàm nhiều biến, biết điều kiện cần khả vi vi phân thơng qua phép tính tính chất liên quan cần biết Không vậy, phần ta biết đạo hàm riêng vi phân hàm hợp Đạo hàm riêng vi phân hàm nhiều biến có khác so với hàm bình thường Phần 6: Sẽ nói hàm ẩn, đạo hàm riêng vi phân Ta biết hàm ẩn khác đạo hàm riêng vi phân so với hàm khác tập liên quan giúp ta hiểu rõ Phần 7: Nói cơng thức Taylor Trang Và tiểu luận , cố gắng đưa vào định lí hay số tập với nhiều cách giải tối ưu với phương pháp suy luận điển hình , cần cho việc rèn luyện tư Và người đọc không cần nhớ chi tiết mà cẩn hiểu xem đạt yêu cầu.Chúng hy vọng rằng, với tiểu luận “ Củng cố kiến thức hàm nhiều biến” cẩm nang tốt cho chưa hiểu sâu hàm nhiều biến người đam mê giải tích Đây lần đầu tập viết tiểu luận song khơng tránh khỏi sai sót ngồi ý muốn mong q thầy q độc giả thơng cảm Rất mong góp ý từ thầy cô độc giả, ghi nhận nhiệt tình tiểu luận sau tốt Tập thể thành viên nhóm làm tiểu luận “Củng cố kiến thức hàm nhiều biến” xin chân thành cảm ơn Trang PHẦN I: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN I Định nghĩa hàm nhiều biến Xét ví dụ: q trình tính tốn để xác định kiện Ta thường phải xác định nhiều thơng số Ví dụ 1: Thể tích hình trụ xác định Như xác định bán kính r chiều cao h ta tính thể tích hình trụ Ví dụ 2: Bài tốn lắc Một chất điểm khối lượng m, chuyển động theo đường tròn L mặt phẳng đứng, tác dụng trọng lực Phương trình chuyển động chất điểm là: ( l bán kính, s0 biên độ) bỏ qua sức cản Như ta xác định thơng số s 0, l ,t xác định vị trí chất điểm thời gian t: Định nghĩa: Giả sử D tập hợp n số thực Một hàm số thực f D biểu thức (quy tắc toán học) ứng phần tử D xác định giá trị thực Kí hiệu: xác định D Trong trường hợp hàm biến, ta dùng kí hiệu z=f(x,y) Tập hợp tất giá trị làm cho biểu thức f có nghĩa gọi miền xác định hàm số f, ký hiệu Df Nếu tương ứng cặp giá trị (x,y) với điểm M(x, y) mặt phẳng Oxy miền xác định hàm số tập hợp điểm mặt phẳng cho điểm hàm số xác định Vì vậy, miền xác định hàm số biến thường biểu diễn hình học Tập hợp giá trị w xác định hàm số f gọi miền giá trị hàm số II Một số khái niệm Khoảng cách Trang Giả sử , hai điểm Khoảng cách hai điểm lí hiệu d(M, N) Lân cận Cho M0 điểm thuộc Rn Lân cận (bán kính lân cận) tập hợp tất điểm M Rn cho Kí hiệu + Điểm (Interrior point) E tập hợp Rn Điểm M E gọi điểm E + Điểm biên (Boundary point) Điểm M gọi điểm biên E lân cận M có chứa điểm thuộc E điểm không thuộc E Tập hợp điểm biên gọi biên E kí hiệu + Tập mở Tập E gọi mở điểm điểm + Tập đóng Tập E gọi đóng chứa điểm biên + Tập bị chặn Tập E gọi bị chặn (giới nội) + Tập liên thông Tập E gọi liên thơng cặp điểm E ln có đường cong lien tục nối nằm hoàn toàn E III Đồ thị, đường mặt đẳng trị Đồ thị Đồ thị hàm số tập (thuộc không gian ) Tập đẳng trị Tập tất điểm (x, y) cho f(x, y) = const gọi tập đẳng trị (hoặc tập đồng mức) hàm f(x, y) Trang Ví dụ: Cho hàm số Tập hợp điểm (x, y) thỏa mãn điều kiện tập đẳng trị, mặt trụ trục Oz, bán kính PHẦN II: GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC I Giới hạn Giới hạn hàm số điểm Định nghĩa 1: Giả sử : , M0(x0,y0) điểm tụ tập Ta nói hàm có giới hạn M0 viết: cho thoả mãn ρ(M,M0) < δ Định nghĩa tương đương với định nghĩa sau Định nghĩa 2: Hàm có giới hạn M  M0 với dãy điểm M n(xn,yn) (khác M0) thuộc lân cận V điểm M0 dần đến M0 ta có: Khi ta viết: Hay Ta gọi giới hạn giới hạn kép giới hạn theo tập hợp biến  Nhận xét: Từ định nghĩa, rõ ràng giới hạn tồn Do đó, f(x,y) phần dần tới số L dù (x,y) dần đến (x0,y0) theo kiểu Trong khơng gian nhiều chiều, có nhiều kiểu để (x,y) dần đến (x0,y0) nên khó tồn giới hạn Chú ý: Khái niệm giới hạn vô hạn định nghĩa tương tự hàm biến số Chẳng hạn: (x,y)  (0,0)  Định lý: Cho Trang Khi ta có: 1) 2) 3) 4) Tất giới hạn xx0,yy0 Một số ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Tìm vơi Giải: Vì Nên Do đó: Ví dụ 2: tìm Giải: Nếu cho (x,y)→(0,0) theo phương đường thẳng y = kx2, ta có: Như khơng tồn giới hạn k thay đổi giới hạn đổi Giới hạn lặp Xét hàm số f(x,y) cố định giá trị , xem hàm f(x,y) hàm biến x Giả sử tồn giới hạn: Nếu tồn giới hạn: gọi giới hạn lặp xx0, yy0 viết: Hồn tồn tương tự ta có: Trang Ví dụ 1: Cho hàm số Hãy tìm Giải: y≠0 ta có  x≠0 ta có  Ta thấy hai giới hạn tồn Ví dụ 2: Tìm giới hạn lặp hàm số: (x,y) = (0,0) x≠0, ta có  ∀ y≠0, ta có  Ta thấy hai giới hnaj tồn không Quan hệ giới hạn theo tập hợp biến giới hạn lặp  Định lí: Cho hàm xác định tập hợp (x 0,y0) điểm tụ Giả sử tồn giới hạn Khi tồn giới hạn lặp hàm số (x 0,y0) giới hạn Chứng minh: Giả sử tồn giới hạn Ta chứng minh Đặt:  Bởi : Nên  ε ≥ 0,  δ > cho (x,y) thỏa Thì Ta có: cho Trang ... nhiều biến, ta thấy hàm biến hàm nhiều biến có nhiều khác biệt song song hàm hai biến hàm nhiều hai biến không khác nguyên tắc Phần 2: Ta biết giới hạn liên tục hàm nhiều biến biết hàm hữu tỉ liên... hợp 31 Đạo hàm cấp hàm hợp 31 Vi phân cấp hàm hợp 32 Phần VI: HÀM ẨN, ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN CỦA HÀM ẨN .33 I Hàm ẩn đạo hàm riêng .33 Hàm ẩn đạo hàm riêng nó:... 12 Hàm số liên tục .12 Hàm số liên tục theo biến .13 Hướng dẫn tập 14 PHẦN III: ĐẠO HÀM 14 I Đạo hàm riêng cấp 14 Định nghĩa: 15