tiểu luận chương 1 hàm nhiều biến

Sinh viên thực hiên:Lê Thị Ngọc Anh 42.01.105.005 Trần Bảo Toàn 42.01.105.107 Nguyễn Thị Kiều Oanh 42.01.105.088 Chu Thị Lương 42.01.105.065 MỤC LỤC Lời mở đầu 2 2 PHẦN I: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 5 I. Định nghĩa hàm nhiều biến. 5 II. Một số khái niệm 5 III. Đồ thị, đường và mặt đẳng trị. 6 1. Đồ thị 6 2. Tập đẳng trị 7 PHẦN II: GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 7 I. Giới hạn 7 1. Giới hạn của hàm số tại một điểm 7 2. Giới hạn lặp 9 3. Quan hệ giữa giới hạn theo tập hợp các biến và các giới hạn lặp 10 4. Hướng dẫn làm bài tập. 11 II. Hàm số liên tục 12 1. Hàm số liên tục tại một điểm 12 2. Hàm số liên tục đều 12 3. Hàm số liên tục theo từng biến 13 4. Hướng dẫn bài tập 14 PHẦN III: ĐẠO HÀM 14 I. Đạo hàm riêng cấp 1 14 1. Định nghĩa: 15 2. Các ví dụ minh họa: 16 II. Đạo hàm riêng cấp cao: 18 1. Tìm hiểu về đạo hàm riêng cấp cao: 18 2. Các ví dụ minh họa cho đạo hàm riêng cấp cao: 19 Phần IV. KHẢ VI VÀ VI PHÂN 21 I. Định nghĩa hàm khả vi và vi phân 21 1. Hàm khả vi 21 2. Vi phân 22 II. Điều kiện cần và đủ khả vi 22 1. Điều kiện cần khả vi 22 2. Điều kiện đủ khả vi 23 3. Các ví dụ 24 III. Tính gần đúng 25 IV. Vi phân cấp cao 26 V. Tính chất của vi phân 27 Phần V. ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN CỦA HÀM HỢP 27 I. Định nghĩa đạo hàm riêng 27 II. Đạo hàm riêng của hàm hợp 29 III. Vi phân của hàm hợp 30 IV. Đạo hàm riêng và vi phân cấp cao của hàm hợp 31 1. Đạo hàm cấp 2 của hàm hợp 31 2. Vi phân cấp 2 của hàm hợp 32 Phần VI: HÀM ẨN, ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN CỦA HÀM ẨN 33 I. Hàm ẩn và đạo hàm riêng của nó 33 1. Hàm ẩn và đạo hàm riêng của nó: 33 2. Định lý: 33 II. Trường hợp hàm ẩn nhiều biến 34 III. Định lý về hàm ẩn 35 IV. Hệ các hàm ẩn và vi phân của chúng: 36 V. Các ví dụ minh họa 37 PHẦN VII: CÔNG THỨC TAYLOR 39 Bài tiểu luận về “Củng cố kiến thức cơ bản về hàm nhiều biến ” sẽ đưa ra cho chúng ta thấy được những khái niệm cũng như những tính chất, định lí cơ bản của Hàm nhiều biến. Bên cạnh đó cũng thông qua những ví dụ cũng như các bài tập củng cố để ta nắm bắt rõ và chuyên sâu hơn về hàm nhiều biến. Thông qua bài tiểu luận này chúng ta sẽ thấy được rằng : Toán học nằm trong sự trừu tượng và cái ích của toán học nằm trong sự cụ thể. Qua đó ta sẽ hiểu rõ hai mặt đó của toán học nhằm rèn luyện được những khả năng rèn luyện của sinh viên. Phần 1: Chúng ta sẽ tìm hiểu và biết được những khái niệm cơ bản của hàm nhiều biến, ta sẽ thấy được giữa hàm một biến và hàm nhiều biến có nhiều sự khác biệt rất căn bản song song đó giữa hàm hai biến và hàm nhiều hơn hai biến không khác nhau về nguyên tắc. Phần 2: Ta sẽ biết được giới hạn và liên tục của hàm nhiều biến cũng như biết được các hàm hữu tỉ liên tục tại những điểm mà chúng ta xác định cũng như hợp của hai hàm liên tục là một hàm liên tục. Phần 3: Ta sẽ tìm hiểu về đạo hàm của hàm nhiều biến thông qua một số định lý

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HCM

Bài tiểu luận:

CỦNG CỐ KIẾN THỨC

CƠ BẢN HÀM NHIỀU BIẾN

Giáo viên hướng dẫn: Thầy Nguyễn Lê Anh Sinh viên thực hiên: Lê Thị Ngọc Anh 42.01.105.005

Trần Bảo Toàn 42.01.105.107 Nguyễn Thị Kiều Oanh 42.01.105.088

Chu Thị Lương 42.01.105.065

MỤC LỤC

Lời mở đầu 2

2

PHẦN I: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 5

I Định nghĩa hàm nhiều biến 5

II Một số khái niệm 5

III Đồ thị, đường và mặt đẳng trị 6

1 Đồ thị 6

2 Tập đẳng trị 7

PHẦN II: GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC 7

I Giới hạn 7

1 Giới hạn của hàm số tại một điểm 7

2 Giới hạn lặp 9

3 Quan hệ giữa giới hạn theo tập hợp các biến và các giới hạn lặp 10

4 Hướng dẫn làm bài tập 11

II Hàm số liên tục 12

1 Hàm số liên tục tại một điểm 12

2 Hàm số liên tục đều 12

3 Hàm số liên tục theo từng biến 13

4 Hướng dẫn bài tập 14

PHẦN III: ĐẠO HÀM 14

I Đạo hàm riêng cấp 1 14

1 Định nghĩa: 15

2 Các ví dụ minh họa: 16

II Đạo hàm riêng cấp cao: 18

1 Tìm hiểu về đạo hàm riêng cấp cao: 18

2 Các ví dụ minh họa cho đạo hàm riêng cấp cao: 19

Phần IV KHẢ VI VÀ VI PHÂN 21

I Định nghĩa hàm khả vi và vi phân 21

1 Hàm khả vi 21

2 Vi phân 22

II Điều kiện cần và đủ khả vi 22

1 Điều kiện cần khả vi 22

2 Điều kiện đủ khả vi 23

3 Các ví dụ 24

III Tính gần đúng 25

IV Vi phân cấp cao 26

V Tính chất của vi phân 27

Phần V ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN CỦA HÀM HỢP 27

I Định nghĩa đạo hàm riêng 27

II Đạo hàm riêng của hàm hợp 29

III Vi phân của hàm hợp 30

IV Đạo hàm riêng và vi phân cấp cao của hàm hợp 31

1 Đạo hàm cấp 2 của hàm hợp 31

2 Vi phân cấp 2 của hàm hợp 32

Phần VI: HÀM ẨN, ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN CỦA HÀM ẨN 33

I Hàm ẩn và đạo hàm riêng của nó 33

1 Hàm ẩn và đạo hàm riêng của nó: 33

2 Định lý: 33

II Trường hợp hàm ẩn nhiều biến 34

III Định lý về hàm ẩn 35

IV Hệ các hàm ẩn và vi phân của chúng: 36

V Các ví dụ minh họa 37

PHẦN VII: CÔNG THỨC TAYLOR 39

Lời mở đầu

thông qua những ví dụ cũng như các bài tập củng cố để ta nắm bắt rõ và chuyên sâu hơn về hàm nhiều biến Thông qua bài tiểu luận này chúng ta sẽ thấy được rằng : Toán học nằm trong sự trừu tượng và cái ích của toán học nằm trong sự cụ thể Qua

đó ta sẽ hiểu rõ hai mặt đó của toán học nhằm rèn luyện được những khả năng rèn luyện của sinh viên

Phần 1: Chúng ta sẽ tìm hiểu và biết được những khái niệm cơ bản của hàmnhiều biến, ta sẽ thấy được giữa hàm một biến và hàm nhiều biến có nhiều sự khácbiệt rất căn bản song song đó giữa hàm hai biến và hàm nhiều hơn hai biến khôngkhác nhau về nguyên tắc

Phần 2: Ta sẽ biết được giới hạn và liên tục của hàm nhiều biến cũng như biếtđược các hàm hữu tỉ liên tục tại những điểm mà chúng ta xác định cũng như hợp củahai hàm liên tục là một hàm liên tục

Phần 3: Ta sẽ tìm hiểu về đạo hàm của hàm nhiều biến thông qua một số địnhlý

Phần 4: Sẽ tìm hiểu về khả vi và vi phân của hàm nhiều biến, biết được điềukiện cần của khả vi và vi phân cũng như thông qua các phép tính và các tính chất liênquan cần biết

Không những vậy, phần 5 ta sẽ biết được thế nào là đạo hàm riêng và vi phâncủa hàm hợp Đạo hàm riêng và vi phân của hàm nhiều biến thì có gì khác so với hàmbình thường

Phần 6: Sẽ nói về hàm ẩn, đạo hàm riêng và vi phân của nó Ta sẽ biết đượchàm ẩn ra sao cũng như nó khác gì về đạo hàm riêng và vi phân so với hàm khác vànhững bài tập liên quan giúp ta hiểu rõ hơn

Phần 7: Nói về công thức Taylor.

Và trong tiểu luận , chúng ta cố gắng đưa vào những định lí hay cũng như một

số bài tập cơ bản với nhiều cách giải tối ưu với những phương pháp suy luận rất điểnhình , rất cần cho việc rèn luyện tư duy Và người đọc không cần nhớ chi tiết mà chỉcẩn hiểu là đã xem là đạt yêu cầu.Chúng tôi hy vọng rằng, với bài tiểu luận về “ Củng

cố kiến thức về hàm nhiều biến” này sẽ là cẩm nang tốt cho những ai chưa hiểu sâu

về hàm nhiều biến cũng như là những người đam mê giải tích

Đây cũng là những lần đầu tập viết tiểu luận song không tránh khỏi những saisót ngoài ý muốn mong các quý thầy cô cũng như quý độc giả thông cảm Rất mongnhững sự góp ý từ thầy cô và độc giả, chúng tôi sẽ ghi nhận nhiệt tình để cho nhữngbài tiểu luận sau tốt hơn

Tập thể thành viên nhóm làm bài tiểu luận “Củng cố kiến thức về hàm nhiềubiến” xin chân thành cảm ơn

PHẦN I: CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

I Định nghĩa hàm nhiều biến.

Xét các ví dụ: trong quá trình tính toán để xác định một dữ kiện nào đó Ta thườngphải xác định rất nhiều thông số

Ví dụ 1: Thể tích của hình trụ được xác định bởi V =π r2h

Như vậy khi xác định được bán kính r và chiều cao h thì ta tính được thể tích củahình trụ V (r , h)→ V =f (r , h)

Ví dụ 2: Bài toán về con lắc

Một chất điểm khối lượng m, chuyển động theo một đường tròn L trong mặt phẳngđứng, dưới tác dụng của trọng lực Phương trình chuyển động của chất điểm là:

s=s0sin ¿ ( l là bán kính, s0 là biên độ) nếu bỏ qua sức cản

Như vậy khi ta xác định được thông số s0, l ,t thì sẽ xác định được vị trí của chấtđiểm tại thời gian t: s=f (s0, l ,t )

Định nghĩa: Giả sử D là tập hợp của n số thực (x1, x2,… , x n) Một hàm số thực

f trên D là một biểu thức (quy tắc toán học) ứng mỗi phần tử của D xác định một giá

x1, x2, … x n xác định trên D

Trong trường hợp hàm 2 biến, ta dùng kí hiệu z=f(x,y)

Tập hợp tất cả các giá trị x1, x2, … x n làm cho biểu thức f có nghĩa được gọi là miềnxác định của hàm số f, ký hiệu Df

Nếu tương ứng cặp giá trị (x,y) với 1 điểm M(x, y) trong mặt phẳng Oxy thì miềnxác định của hàm số chính là tập hợp các điểm trong mặt phẳng sao cho tại nhữngđiểm đó hàm số được xác định Vì vậy, miền xác định của hàm số 2 biến thườngđược biểu diễn hình học

Tập hợp các giá trị w được xác định bởi hàm số f được gọi là miền giá trị của hàmsố

II Một số khái niệm

Giả sử M (x1, x2, … , x n), N ( y1, y2, … y n) là hai điểm trong R n Khoảng cách giữa haiđiểm ấy lí hiệu là d(M, N)

Cho M0 là một điểm thuộc Rn Lân cận (bán kính ε hoặc ε −¿ lân cận) là tập hợp tất

cả những điểm M của Rn sao cho d(M , M0)<ε Kí hiệu B(M0, ε)

+ Điểm trong (Interrior point)

E là một tập hợp trong Rn Điểm M ϵ E được gọi là điểm trong của E nếu

∃r>0: B ( M ,r )⊂ E

+ Điểm biên (Boundary point)

Điểm M được gọi là điểm biên của E nếu mỗi lân cận của M đều có chứa điểmthuộc E và điểm không thuộc E Tập hợp các điểm biên được gọi là biên của E kíhiệu δ

1 Giới hạn của hàm số tại một điểm

Định nghĩa 1: Giả sử D ⊂R và f: D → R , M 0 (x 0 ,y 0 ) là điểm tụ của tập D Ta nói rằnghàm f (x , y ) có giới hạn l tại M0 và viết:

Định nghĩa trên tương đương với định nghĩa sau

Định nghĩa 2: Hàm z=f (M ) có giới hạn l khi M  M0 nếu với mọi dãy điểm

Mn(xn,yn) (khác M0) thuộc lân cận V của điểm M0 dần đến M0 ta đều có:

Từ định nghĩa, rõ ràng giới hạn tồn tại là duy nhất Do đó, f(x,y) phần dần tới cùng

Chú ý: Khái niệm giới hạn vô hạn cũng được định nghĩa tương tự như đối với hàm

f ( x , y )= 2 x4k x2

x4+k2x4=

2 k 1+k2

Như vậy không tồn tại giới hạn limx →0

Ta thấy hai giới hạn tồn tại và bằng nhau

Ví dụ 2: Tìm giới hạn lặp của hàm số: f ( x , y )= x+ ycosy

 lim

x →0 lim

y→ 0 f (x , y )=1

2

∀ y≠0, ta có limx→ o f ( x , y )=cosy

 limy → 0limx→ 0 f (x , y )=lim y → 0 cosy=1

Ta thấy hai giới hnaj này tồn tại và không bằng nhau

3 Quan hệ giữa giới hạn theo tập hợp các biến và các giới hạn lặp

 Định lí: Cho hàm z=f (x , y ) xác định trên tập hợp D và (x 0 ,y 0 ) là điểm tụ của D

tồn tại giới hạn của hàm theo tập hợp các biến.

 Dễ thấy limy → 0limx→ 0 f (x , y )=lim y → 00=0 và limx →0limy→ 0 f (x , y )=lim x →00=0

4 Hướng dẫn làm bài tập

Tìm giới hạn của hàm hai biến f(x,y) khi (x,y)(a,b)

- Bằng kinh nghiệm, dự đoán giới hạn là L

-Với ε > 0, xuất phát từ bất đẳng thức |f (x , y )−L|<ε, ta biến đổi tương đương hoặctìm điều kiện đủ (dạng ⟺ hoặc ⟸) để đi đến bất đẳng thức √(x−a)2

hạn của f(x, y) khi (x, y) → (0, 0) Trái lại thì không có giới hạn.

Xét phương trình f(x, y) = k.

 Nếu tồn tại duy nhất một giá trị của k để phương trình có nghiệm trong lân cận

đủ bé của (0, 0), thì giá trị k đó chính là giới hạn của f(x, y) khi (x, y) → (0, 0)

 Nếu tồn tại ít nhất hai giá trị của k để phương trình có nghiệm thì không tồn tạigiới hạn của f(x, y) khi (x, y) → (0, 0)

Chú ý bằng phép đổi biến x' = x – a, y' = y – b, khi đó việc tìm giới hạn của f(x,

y) khi (x, y) → (a, b) tương đương với tìm giới hạn của g(x', y') khi (x', y') → (0, 0)

II Hàm số liên tục

1 Hàm số liên tục tại một điểm

Định nghĩa 1: hàm số f(x,y) gọi là liên tục tại M0 (x 0 ,y 0 )  D f nếu ∀ ε > 0,

∃ δ>0 sao cho ∀ M∈ Df mà ρ(M,M 0 )< δ thì:

|f (M )−f ( M0)|<ε

Định nghĩa 2: Hàm số f(x,y) gọi là liên tục tại M0 D nếu:

f ( x , y )={|xy|

3 2

Vậy hàm số liên tục tại (0,0)

5 Hàm số liên tục đều

Định nghĩa: Hàm số f(M) được gọi là liên tục đều trên miền D nếu: ∀ε>0,

∃δ>0 sao cho với mọi cặp điểm M1,M2 ∈ D mà ρ(M1,M2) < δ ta đều có:

|f(M1)−f (M2)|<ε

6 Hàm số liên tục theo từng biến

Định nghĩa: Cho hàm z = f(x,y) xác định trên tập D

Ta nói rằng hàm z = f(x,y) liên tục theo biến x tại điểm M0(x0,y0) ∈ D nếu hàm một

biến f(x,y 0 ) liên tục tại điểm x0, tức là:

lim

x→ x0f(x , y0)=f (x0, y0)

Ta nói rằng hàm z = f(x,y) liên tục theo biến y tại điểm M0(x0,y0) ∈ D nếu hàm một

biến f(x 0 ,y) liên tục tại điểm y0, tức là

lim

y → y0f (x0, y)=f (x0, y0)

Nếu hàm z = f(x,y) liên tục theo biến x và y tại điểm M0 , ta nói rằng nó liên tục theotừng biến tại M0

Định lý: Nếu hàm z = f(x,y) liên tục tại M 0 ∈ D (liên tục theo tập hợp các

Sự liên tục của hàm hai biến

Hàm f(x, y) liên tục tại điểm (a, b) nếu các kiểm tra sau đều đúng:

a) Hàm f xác định tại (a, b), tức là tồn tại f(a, b)

b) Có giới hạn: f(x, y) → L khi (x, y) → (a, b)

c) Giới hạn đó trùng với giá trị của hàm tại (a, b), tức là L = f(a, b)

Các hàm sơ cấp liên tục trong miền xác định của nó

giá trị của hàm tại (0, 0), do đó hàm liên tục tại (0,0)

Kết luận: Hàm đã cho liên tục trên toàn mặt phẳng

PHẦN III: ĐẠO HÀM

I Đạo hàm riêng cấp 1

-Cho z = f(x;y) là hàm theo hai biến số độc lập x;y Cố định biến số y (cho y là hằng số)

-Có một hàm số theo biến x.Ta xét sự thay đổi Giả sử hàm số z = f(x;y) (y là hằng

số ) có đạp hàm theo biến số x, thì giá trị đạo hàm này là:

lim

∆ x→ 0

f ( x +∆ x ; y )−f (x ; y )

∆ x

-Ta ký hiệu giới hạn trên là f x ,

(x ; y), trong đó biến x ở chỉ số dưới, ngầm chỉ rằngđạo hàm được lấy theo biến x khi cố định biến y Và gọi là đạo hàm riêng của hàm ftheo biến x

 Để chỉ ký hiệu đạo hàm riêng, ta dùng ký hiệu ∂thay cho ký hiệu d (vốn dùng

để ký hiệu đạo hàm thường – đạo hàm của hàm một biến)

 Để tính đạo hàm riêng theo biến x, ta chỉ việc xem các biến còn lại là các hằng

số và lấy đạo hàm như hàm số một biến số x

 Các quy tắc lấy đạo hàm thường vẫn đúng trong trường hợp lấy đạo hàm riêng

 Trong thực hành, để tính ∂ f ∂ x(x0; y0) dựa vào định nghĩa ta có hai cách:

Cách 1: Tìm ∂ y ∂ f = ¿∂ f

∂ y(x0; y0) (trong trường hợp hàm số ∂ y ∂ f xác định tại (x0; y0)

Cách 2: Theo định nghĩa , lặp hàm f(x ; y0)tìm d

dx f(x ; y0)∨x=x0 thì đây chính làgiá trị ∂ y ∂ f (x0; y0)

 Khi hàm số z=f(x;y) có các đạo hàm riêng theo các biến , vector có các thànhphần lần lượt là các đạo hàm riêng theo các biến của hàm f được gọi là vectorgradient , ký hiệu:

¿ tìm ∂ f ∂ x (0; 0); ∂ f

∂ y(0 ;0)

Giải:

Với hàm số f(x; y) này ta không thể tìm hàm đạo hàm riêng ∂ f ∂ x ; ∂ f

∂ y rồi suy ra giá trịđạo hàm riêng tại (0;0), vì hai hàm ∂ f ∂ x (x ; y )= y (x2−y2)

(x2+y2)2 ; ∂ f

∂ y ( x ; y )=

x (x2−y2)(x2+y2)2 chỉ xácđịnh với mọi (x; y) khác (0;0)

Do đó, ta phải dùng định nghĩa để tính giá trị ∂ f ∂ x (0; 0), ta có:

 Đối với hàm một biến, ta đã biết nếu hàm có đạo hàm thì số liên tục (tại điểmkhảo sát ) Đối với hàm nhiều biến , việc tồn tại các đạo hàm riêng chưa đảm bảo sựliên tục của hàm số.

II Đạo hàm riêng cấp cao:

1 Tìm hiểu về đạo hàm riêng cấp cao:

-Cho z= f(x;y) là hàm theo hai biến số độc lập x;y

-Các hàm đạo hàm riêng ∂ z ∂ x ; ∂ z

∂ y nói chung là những hàm số của các biến số x vàbiến số y Do đó, ta lại có thể tìm các đạo hàm riêng của chúng Vì vậy, hàm số z-f(x; y) có 4 đạo hàm riêng cấp 2 vì mỗi hàm số ∂ z ∂ x ; ∂ z

∂ y có thể lấy đạo hàm theo x vàtheo y

-Đạo hàm riêng cấp hai là đạo hàm riêng của đạo hàm riêng cấp một Giả sử xéthàm hai biến z = f(x; y) , ta có các đạo hàm cấp hai sau:

'' lấy đạo hàm hàm f liên tiếp hai lần theo biến y

Tới đây, lại có thể đạo hàm các đạo hàm cấp hai theo x cũng như theo y ta được cácđạo hàm riêng cấp ba Vậy là có 8 đạo hàm riêng cấp ba:

Tổng quát: Đạo hàm riêng cấp n là đạo hàm riêng cáp một của hàm đạo

hàm riêng cấp n -1 Đối với hàm nhiều hơn hai biến số, đạo hàm riêng cấp cấp cao được định nghĩa tương tự.

Ví dụ: ∂ n z

∂ x p ∂ y n− p là đạo hàm cấp n Ở đây, trước tiên lấy đạo hàm hàm số z liên tiếp p lần theo x, và sau đó n-p lần theo y

9 Các ví dụ minh họa cho đạo hàm riêng cấp cao:

Ví dụ 1: Tìm các đạo hàm riêng cấp 2 của hàm số : f(x; y) = e x cosy+x2y2

Ví dụ 3: Tìm các đạo hàm riêng cấp 2 tại điểm (0;0) của hàm số:

f ( x ; y )={xy(x2−y2)

x2+y2 ( x ; y )≠ (0 ; 0 )

0 ( x ; y )=(0 ;0)

Định lý Schwarz (việc lấy đạo hàm không phụ thuộc thứ tự lấy đạo hàm): Nếu

M 0

Khi đó, đại lượng A ∆ x + B ∆ y được gọi là vi phân toàn phần của hàm số f(x, y) tại

(x0, y0) ứng với các số gia ∆ x , ∆ y được kí hiệu df(x0, y0)

Biểu thức ∆ f(x0, y0)=A ∆ x+B ∆ y +α ∆ x +β ∆ y có thể viết dưới dạng:

∆ f(x , y )=A ∆ x+ B ∆ y +θρ với θ( ρ) là VCB bậc cao hơn ρ

b) Ta không thể dung định nghĩa để xét sự khả vi của hàm số z=sin x cos y như ở

ví dụ tổng quát, ta chỉ có thể áp dụng định nghĩa để xét sự khả vi cho những hàm sốdạng đa thức, còn các hàm số khác thì không thể dung định nghĩa để khảo sát sự khả

vi tại một điểm/ vì vậy, ta cần phải tìm một công cụ khác để giải quyết vấn đề này.c) Hàm số z=f (x , y ) được gọi là khả vi trên miền D nếu nó có khả vi tại mọi điểmthuộc D

 Định lý 2: Nếu f (x , y ) khả vi tại (x0, y0) thì nó có các đạo hàm riêng f ' x , f ' y

tại (x0, y0) và chúng tương ứng bằng A, B trong biểu thức

Cho f(x, y) xác định trong miền mở chứa điểm (x0, y0) và các đạo hàm riêng f ' x , f ' y

liên tục tại (x0, y0) thì hàm f(x, y) khả vi tại (x0, y0)

Với ∆ x , ∆ y đủ bé ta có:

∆ f(x0, y0)=f(x0+∆ x , y0+∆ y)−f (x0, y0)

¿[f(x0+∆ x , y0+∆ y)−f (x0, y0+∆ y )]+[f(x0, y0+∆ y)−f(x0, y0)]

Mỗi đại lượng trong các dấu móc vuông là các số gia riêng tương ứng theo biến x và

y, nên có thể sử dụng công thức Lagrange cho hàm một biến và ta được:

Với α , β →0 khi ∆ x , ∆ y → 0 Từ đó rút ra điều phải chứng minh.

Ví dụ 1: Cho hàm F ( x , y )={x 2 xy2+y2khi (x , y )≠ (0 ;0)

0 khi ( x , y )=(0 ;0)

Tính ∂ f ∂ x (0; 0) và ∂ y ∂ f (0 ; 0) Hàm cókhả vi tại (0; 0) hay không?

IV Vi phân cấp cao

 Định nghĩa: Cho hàm f = f(x, y) khi đó df(x, y) cũng là một hàm hai biến x, y

Vi phân (nếu có) của vi phân cấp một được gọi là vi phân cấp 2

Phần V ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN CỦA HÀM HỢP

I Định nghĩa đạo hàm riêng

Giả sử Z= f(x, y) là hàm số xác định và liên tục trong miền D, nếu giữ y không đổi,cho x một số gia Dx1 0 và khá bé thì hàm Z= f(x, y) có một số gia tương ứng gọi là sốgia riêng theo biến x của hàm tại M(x, y)