1. Trang chủ
  2. » Giáo Dục - Đào Tạo

Chương 3. HÀM NHIỀU BIẾN

5 579 4
Tài liệu đã được kiểm tra trùng lặp

Đang tải... (xem toàn văn)

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 5
Dung lượng 180,5 KB

Nội dung

Không gian n chiều: Một bộ gồm n số thực được sắp xếp thứ tự, ký hiệu (x1, x2,… xn) (xi Î R, i = 1,.. n) được gọi là một điểm n - chiều. Tập hợp các điểm n - chiều được ký hiệu là Rn. Rn = {x = (x1, x2,… xn): xi Î R, i = 1,.. n} Trong đó xi là toạ độ thứ i của điểm x. Khoảng cách 2 điểm: x = (x1,x2,… xn), y = (y1,y2,… yn) Î Rn:

Trang 1

Chương 3 HÀM NHIỀU BIẾN

x 1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN

Không gian n chiều: Một bộ gồm n số thực được sắp xếp thứ tự, ký hiệu (x1, x2,… xn) (xi Î R,

i = 1, n) được gọi là một điểm n - chiều Tập hợp các điểm n - chiều được ký hiệu là Rn

Rn = {x = (x1, x2,… xn): xi Î R, i = 1, n}

Trong đó xi là toạ độ thứ i của điểm x

Khoảng cách 2 điểm: x = (x1,x2,… xn), y = (y1,y2,… yn) Î Rn:

Một số tính chất của d:

a) d(x,y) ³ 0; d(x,y) = 0 ó xi = yi, "I ó x = y

b) d(x,y) = d(y,x)

c) d(x,y) £ d(x,z) + d (z,y)

Lân cận: Cho x0ÎRn và số r > 0 Tập S(x0, r) = {x Î Rn: d(x,x0) < r} được gọi là một lân cận của x0

Điểm trong: Điểm x0ÎRn được gọi là điểm trong của D Ì Rn nếu D chứa một lân cận của x0

Điểm biên: Điểm x0 Î Rn được gọi là điểm biên của D Ì Rn nếu mọi lân cận của x0 đều chứa ít nhất các điểm x, y: x Î D, y Ï D Tập hợp mọi điểm biên của D được gọi là biên của D

Tập đóng: Nếu biên của D thuộc D.

Tập mở: Nếu biên của D không thuộc D.

Hàm 2 biến: D Ì R2, một ánh xạ f: D ® R, được gọi là hàm số 2 biến Ký hiệu:

• D: miền xác định

• f(D) = {zÎD: z = f(x,y), "(x,y) Î D} gọi là miền giá trị

Ví dụ: Tìm miền xác định:

z = 2x – 3y +5

z = ln(x + y -1)

Hàm n biến: D Ì Rn, một ánh xạ f: D ® R được gọi là hàm số n biến Ký hiệu:

x2 GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ

Giới hạn hàm số: Cho hàm f(x,y) xác định tại lân cận M0(x0,y0), có thể không xác định tại M0 Số thực L được gọi là giới hạn của f khi M(x,y) tiến đến M0(x0,y0), nếu:

"e > 0, d$$ > 0: d(M,M0) < d$ => |f(M) – L| < e

• Khái niệm vô hạn cũng được định nghĩa tương tự như đối với hàm số một biến

n

i

i

i y x y

x d

1

2

) (

) , (

2 2

z  

) ,

, ( )

,

, ( : x1 x2 x n z f x1 x2 x n

f  

2 0 2

0

0 ) (x - x ) (y - y ) M

d(M,  

L M

f

M

® ( )

lim

0

L y x f y x y

® ( , )

lim

) , ( ) , ( 0 0

L y

x f y

®

lim 0

Trang 2

• Các định lý về giới hạn của tổng, tích, thương đối với hàm số một biến cũng đúng cho hàm số nhiều biến

Ví dụ:

Liên tục của hàm: f được gọi là liên tục tại (x0,y0) nếu

Định lý: Nếu f(x,y) liên tục trên một tập đóng và bị chặn trên D Ì R2 thì:

• Tồn tại số M: |f(x,y)| ≤ M

• f đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên D

Tương tự ta có thể định nghĩa giới hạn và sự liên tục của hàm số đối với hàm n biến (n≥3)

Định nghĩa: cho hàm z = f(x,y) xác định trong miền D, M0(x0,y0) Î D Nếu cho y = y0 là hằng

số, hàm số một biến f(x,y0) có đạo hàm tại x = x0, được gọi là đạo hàm riêng của f đối với x tại

M0 Ký hiệu:

Đặt Dxf = f(x0 + Dx, y0)-f(x0,y0): Số gia riêng của f tại M0

Tương tự ta cũng có định nghĩa đạo hàm riêng của f theo biến y

Tương tự ta cũng có đạo hàm riêng đối với hàm n biến số (n³3)

Ví dụ: Tính các đạo hàm riêng:

Đạo hàm riêng cấp cao: Cho hàm số f(x,y) Các đạo hàm riêng f’x, f’y được gọi là những đạo

hàm riêng cấp 1 Các đạo hàm riêng của đạo hàm riêng cấp 1 nếu tồn tại được gọi là đạo hàm riêng cấp 2

Tương tự, ta có định nghĩa đạo hàm riêng cấp 3,…

2 2

2 2 )

0

,

0

(

)

,

(

) sin(

lim

y x

y x

y

y x

xy

) , ( ) , (

) , ( ) , ( 0 0 f x y f x y

y x y

®

) , ( z ), , ( f , ) ,

x y

x x y

x

f x

x

f

x

D

®

D 0

'

x lim f

y

f

y

D

®

D 0

'

y lim f

4 2 3

4 5x y 2y x

y

x

u 

) , (

'' 2

2

y x f x

f x

f

xxx

x y

f x

f

yyx

) , (

'' 2

y x f y x

f y

f





) , (

'' 2

y x f y y

f y

f





Trang 3

Định lý (Schwarz): Nếu trong lân cận nào đó của M0 hàm số f(x,y) tồn tại các đạo hàm riêng

và liên tục tại M0 thì fxy = fyx tại M0

Định lý này cũng đúng cho các đạo hàm riêng cấp cao hơn của n biến số (n³3)

Đạo hàm của hàm hợp: Nếu hàm z = f(u,v) là các hàm số khả vi của u,v và các hàm số u =

u(x,y), v = v(x,y) có các đạo hàm riêng ux, uy, vx, vy thì tồn tại các đạo hàm riêng:

Ví dụ: Tính z = eucosv, u = xy, v = x/y

x4 ĐẠO HÀM HÀM ẨN

Định nghĩa hàm số ẩn 1 biến: Cho phương trình

F(x,y) = 0

Nếu tồn tại hàm y = f(x) sao cho F(x,f(x)) = 0, "x Î (A,B) thì f được gọi là hàm số ẩn từ phương trình F(x,y) = 0

Ví dụ: xy – ex + ey = 0

Đạo hàm của hàm số ẩn 1 biến:

Ví dụ: Tính y’ nếu:

F(x,y) = x3 + y3 – 3axy = 0

F(x,y) = xy – ex + ey = 0

Định nghĩa hàm số ẩn 2 biến: Cho phương trình F(x,y,z) = 0 Nếu tồn tại hàm số hai biến z =

f(x,y) sao cho F(x,y,z) = 0, với mọi x, y thuộc miền xác định của f, thì f gọi là hàm ẩn từ phương trình F(x,y,z

Đạo hàm của hàm số ẩn 2 biến:

Ví dụ: tính zx, zy nếu xyz = cos(x+y+z)

Cực trị tự do:

Định nghĩa: Hàm số f(x,y) đạt cực đại (cực tiểu) tại điểm M0(x0,y0) nếu tồn tại một lân cận D của M0 sao cho f(M) £ f(M0), "M Î D (f(M) ³ f(M0), "M Î D) F(M0) gọi chung là cực trị

Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số z = x2 + y2

Điều kiện cần để có cực trị:

Nếu f(x0,y0) là cực trị của f và f có đạo hàm riêng tại (x0,y0) thì: f’x(x0,y0) = 0, f’y(x0,y0) = 0

Điều kiện đủ của cực trị: Cho hàm số z = f(x,y) Tại những điểm thỏa zx = zy 0, ta gọi định thức Hessian:

y

x

F

F

y'

z

x

F

F

x

z

z

y

F

F y

z

xy xx z z

z z

H 

x

v v

f x

u

u

f

x

z

y

v v

f y

u u

f y

z

Trang 4

• Nếu |H1|>0, |H2|>0: z đạt cực tiểu

Nếu |H1|<0, |H2|>0: z đạt cực đại

Ví dụ: tìm cực trị hàm số z = x2 + y2 + 4x – 2y + 8,

z = x3 + y3

Điều kiện đủ của cực trị: Cho hàm số y = f(x1,x2…xn) Tại những điểm thỏa fx1 = fx1 = … fx1 =

0, giả sử tại đó tồn tại các đạo hàm riêng cấp 2, đặt

Ta có định thức Hessian:

• Nếu |H1|>0, |H2|>0,… |Hn|>0 : z đạt cực tiểu

Nếu |H1|<0, |H2|>0,… (-1)n|Hn|>0 : z đạt cực đại

Ví dụ: Tìm cực trị hàm số y = x3 + y2 + 2z2 -3x - 2y – 4z

Cực trị có điều kiện:

Định nghĩa: Cực trị của hàm số z = f(x,y) với điều kiện g(x,y) = c gọi là cực trị có điều kiện.

Định lý: Nếu M0(x0,y0) là cực trị có điều kiện trên

Đặt hàm Lagrange: L(x,y,l) = f(x,y) + l(c-g(x,y)) với g’x,g’y không đồng thời bằng 0 thì:

l là nhân tử Lagrange, điểm M0(x0,y0) của hệ trên gọi là điểm dừng

Ví dụ: Tìm điểm dừng của z(x,y), với điều kiện x + y = 1.

Mở rộng hàm n biến: Hàm số f(x1,x2,…xn) với điều kiện g(x1,x2,…xn) = c Hàm Lagrange L =

f + l(c-g)

Điều kiện đủ để có cực trị có điều kiện:

Định lý: Nếu f, g có đạo hàm riêng cấp hai liên tục tại điểm dừng M0, xét định thức Hessian

đóng:

yy yx

xy xx

z z H z

nn n

n

n n

n

f f

f

f f

f

f f

f H f

f

f f H f H

,

,

2 1

2 22

21

1 12

11

22 21

12 11 2 11

0 )

, (

0

y x g c

L

g f

L

g f

L

y y

y

x x

x

l

l

2 2

z  

0

0

0 0

2 2

2

1 1

1

g c

L

g f

L

g f

L

g f

L

n n

n

xy xx x

y x

L L g

L L g

g g H

0

Trang 5

• Nếu |H|>0: f đạt cực đại có điều kiện

• Nếu |H|<0: f đạt cực đại có điều kiện

Ví dụ: Tìm cực trị có điều kiện của hàm số:

f = 6 – 4x – 3y với điều kiện x2 + y2 = 1

Mở rộng hàm n biến: Xét hàm số f(x1,x2,…xn) với điều kiện g(x1,x2,…xn) = c Hàm Lagrange:

L = f + l(c-g) Xét tại điểm dừng M0(x0,y0), ta xét định thức Hessian đóng:

• Nếu |H2|<0, |H3|<0,… |Hn|<0 : z đạt cực tiểu

Nếu |H2|>0, |H3|<0,… (-1)n|Hn|>0 : z đạt cực đại

Ví dụ: Tìm cực trị hàm số u = x – 2y + 2z

với điều kiện x2 + y2 + z2 = 1

nn n

n n

n n n

L L

L g

L L

L g

L L

L g

g g

g H

0

2 1

2 22

21 2

1 12

11 1

2 1

Ngày đăng: 27/08/2013, 13:41

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w