Vi tích phân - Chương 3 : Hàm nhiều biến pps

1 C3. HÀM NHIỀU BIẾN ξ1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN Không gian n chiều: Một bộ gồm n số thực được sắp xếp thứ tự, ký hiệu (x 1 , x 2 ,… x n ) (x i ∈ R, i = 1, n) được gọi là một điểm n - chiều. Tập hợp các điểm n - chiều được ký hiệu là R n . R n = {x = (x 1 , x 2 ,… x n ): x i ∈ R, i = 1, n} Trong đó x i là toạ độ thứ i của điểm x. 2 C3. HÀM NHIỀU BIẾN Khoảng cách 2 điểm: x = (x 1 ,x 2 ,… x n ), y = (y 1 ,y 2 ,… y n ) ∈ R n : ∑ = −= n 1i 2 ii )yx()y,x(d Một số tính chất của d: a) d(x,y) ≥ 0; d(x,y) = 0  x i = y i , ∀I  x = y b) d(x,y) = d(y,x) c) d(x,y) ≤ d(x,z) + d (z,y) 3 C3. HÀM NHIỀU BIẾN Điểm biên: Điểm x 0 ∈ R n được gọi là điểm biên của D ⊂ R n nếu mọi lân cận của x 0 đều chứa ít nhất các điểm x, y: x ∈ D, y ∉ D. Tập hợp mọi điểm biên của D được gọi là biên của D. Lân cận: Cho x 0 ∈R n và số r > 0. Tập S(x 0 , r) = {x ∈ R n : d(x,x 0 ) < r} được gọi là một lân cận của x 0 . Điểm trong: Điểm x 0 ∈R n được gọi là điểm trong của D ⊂ R n nếu D chứa một lân cận của x 0 . Tập đóng: Nếu biên của D thuộc D. Tập mở: Nếu biên của D không thuộc D. 4 C3. HÀM NHIỀU BIẾN Hàm 2 biến: D ⊂ R 2 , một ánh xạ f: D → R, được gọi là hàm số 2 biến. Ký hiệu: )y,x(fz)y,x(:f = • D: miền xác định • f(D) = {z∈D: z = f(x,y), ∀(x,y) ∈ D} gọi là miền giá trị Ví dụ: Tìm miền xác định: z = 2x – 3y +5 z = ln(x + y -1) 22 yx1z −−= Hàm n biến: D ⊂ R n , một ánh xạ f: D → R được gọi là hàm số n biến. Ký hiệu: )x, x,x(fz)x, x,x(:f n21n21 = 5 C3. HÀM NHIỀU BIẾN ξ2. GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ Giới hạn hàm số: Cho hàm f(x,y) xác định tại lân cận M 0 (x 0 ,y 0 ), có thể không xác định tại M 0 . Số thực L được gọi là giới hạn của f khi M(x,y) tiến đến M 0 (x 0 ,y 0 ), nếu: ∀ε > 0, ∃δ > 0: d(M,M 0 ) < δ => |f(M) – L| < ε 2 0 2 00 )y-(y)x-(x)Md(M, += L)M(flim 0 MM = → L)y,x(flim )y,x()y,x( 00 = → L)y,x(flim 0 0 yy xx = → → 6 C3. HÀM NHIỀU BIẾN • Khái niệm vô hạn cũng được định nghĩa tương tự như đối với hàm số một biến. • Các định lý về giới hạn của tổng, tích, thương đối với hàm số một biến cũng đúng cho hàm số nhiều biến. Ví dụ: 22 )0,0()y,x( yx xy lim + → 22 22 )0,0()y,x( yx )yxsin( lim + + → 7 C3. HÀM NHIỀU BIẾN Liên tục của hàm: f được gọi là liên tục tại (x 0 ,y 0 ) nếu )y,x(f)y,x(flim 00 )y,x()y,x( 00 = → Định lý: Nếu f(x,y) liên tục trên một tập đóng và bị chặn trên D ⊂ R 2 thì: • Tồn tại số M: |f(x,y)| ≤ M • f đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên D Tương tự ta có thể định nghĩa giới hạn và sự liên tục của hàm số đối với hàm n biến (n≥3) 8 C3. HÀM NHIỀU BIẾN ξ3. ĐẠO HÀM RIÊNG Định nghĩa: cho hàm z = f(x,y) xác định trong miền D, M 0 (x 0 ,y 0 ) ∈ D. Nếu cho y = y 0 là hằng số, hàm số một biến f(x,y 0 ) có đạo hàm tại x = x 0 , được gọi là đạo hàm riêng của f đối với x tại M 0 . Ký hiệu: )y,x( x z ),y,x( x f ,)y,x(f 000000 ' x ∂ ∂ ∂ ∂ Đặt ∆ x f = f(x 0 + ∆x, y 0 )-f(x 0 ,y 0 ): Số gia riêng của f tại M 0 . x f limf x 0x ' x ∆ ∆ = →∆ 9 C3. HÀM NHIỀU BIẾN Tương tự ta cũng có định nghĩa đạo hàm riêng của f theo biến y. y f limf y 0y ' y ∆ ∆ = →∆ Tương tự ta cũng có đạo hàm riêng đối với hàm n biến số (n≥3). Ví dụ: Tính các đạo hàm riêng: 4234 y2yx5xz +−= y xu = 10 C3. HÀM NHIỀU BIẾN Đạo hàm riêng cấp cao: Cho hàm số f(x,y). Các đạo hàm riêng f’x, f’y được gọi là những đạo hàm riêng cấp 1. Các đạo hàm riêng của đạo hàm riêng cấp 1 nếu tồn tại được gọi là đạo hàm riêng cấp 2. )y,x(f x f x f x '' xx 2 2 = ∂ ∂ =       ∂ ∂ ∂ ∂ )y,x(f xy f x f y '' yx 2 = ∂∂ ∂ =       ∂ ∂ ∂ ∂ )y,x(f yx f y f x '' xy 2 = ∂∂ ∂ =       ∂ ∂ ∂ ∂ )y,x(f yy f y f y '' yy 2 = ∂∂ ∂ =       ∂ ∂ ∂ ∂ Tương tự, ta có định nghĩa đạo hàm riêng cấp 3,… [...]... đạo hàm riêng: ∂z ∂f ∂u ∂f ∂v = + ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x ∂z ∂f ∂u ∂f ∂v = + ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y Ví d : Tính z = eucosv, u = xy, v = x/y 12 C3 HÀM NHIỀU BIẾN 3 ĐẠO HÀM HÀM ẨN Định nghĩa hàm số ẩn 1 biến: Cho phương trình F(x,y) = 0 Nếu tồn tại hàm y = f(x) sao cho F(x,f(x)) = 0, ∀x ∈ (A,B) thì f được gọi là hàm số ẩn từ phương trình F(x,y) = 0 Ví d : xy – ex + ey = 0 13 C3 HÀM NHIỀU BIẾN Đạo hàm của hàm số ẩn 1 biến: ...C3 HÀM NHIỀU BIẾN Định lý (Schwarz ): Nếu trong lân cận nào đó của M0 hàm số f(x,y) tồn tại các đạo hàm riêng và liên tục tại M0 thì fxy = fyx tại M0 Định lý này cũng đúng cho các đạo hàm riêng cấp cao hơn của n biến số (n 3) 11 C3 HÀM NHIỀU BIẾN Đạo hàm của hàm hợp: Nếu hàm z = f(u,v) là các hàm số khả vi của u,v và các hàm số u = u(x,y), v = v(x,y) có các đạo hàm riêng ux, uy, vx,... ẩn 1 biến: Fx y' = − Fy Ví d : Tính y’ nếu: F(x,y) = x3 + y3 – 3axy = 0 F(x,y) = xy – ex + ey = 0 14 C3 HÀM NHIỀU BIẾN Định nghĩa hàm số ẩn 2 biến: Cho phương trình F(x,y,z) = 0 Nếu tồn tại hàm số hai biến z = f(x,y) sao cho F(x,y,z) = 0, với mọi x, y thuộc miền xác định của f, thì f gọi là hàm ẩn từ phương trình F(x,y,z) = 0 Đạo hàm của hàm số ẩn 2 biến: Fy ∂z ∂z Fx =− =− ∂y Fz ∂x Fz Ví d : tính zx,... d : Tìm cực trị có điều kiện của hàm s : f = 6 – 4x – 3y với điều kiện x2 + y2 = 1 21 C3 HÀM NHIỀU BIẾN Mở rộng hàm n biến: Xét hàm số f(x1,x2,…xn) với điều kiện g(x1,x2,…xn) = c Hàm Lagrange: L = f + λ(c-g) Xét tại điểm dừng M0(x0,y0), ta xét định thức Hessian đóng: 0 g1 g2 gn g1 L11 L12 L1n H = g2 L21 L22 L2n gn Ln1 Ln2 Lnn • Nếu |H2|0 : z đạt cực tiểu • Nếu |H1|0,… (-1 )n|Hn|>0 : z đạt cực đại Ví d : Tìm cực trị hàm số y = x3 + y2 + 2z2 -3 x - 2y – 4z 18 C3 HÀM NHIỀU BIẾN Cực trị có điều kiện: Định nghĩa: Cực trị của hàm số z = f(x,y) với... f’y(x0,y0) = 0 16 C3 HÀM NHIỀU BIẾN Điều kiện đủ của cực tr : Cho hàm số z = f(x,y) Tại những điểm thỏa zx = zy 0, ta gọi định thức Hessian: H= z xx z xy z yx z yy z xx z xy Đặt: H1 = z xx, H2 = z yx z yy • Nếu |H1|>0, |H2|> 0: z đạt cực tiểu • Nếu |H1| 0: z đạt cực đại Ví d : tìm cực trị hàm số z = x2 + y2 + 4x – 2y + 8, z = x3 + y3 17 C3 HÀM NHIỀU BIẾN Điều kiện đủ của cực tr : Cho hàm số y = f(x1,x2…xn)... kiện Định l : Nếu M0(x0,y0) là cực trị có điều kiện trên Đặt hàm Lagrange: L(x,y,λ) = f(x,y) + λ(c-g(x,y)) với g’x,g’y không đồng thời bằng 0 th : L x = fx − λgx = 0  L y = fy − λgy = 0  Lλ = c − g( x, y ) = 0 λ là nhân tử Lagrange, điểm M0(x0,y0) của hệ trên gọi là điểm dừng 19 C3 HÀM NHIỀU BIẾN Ví d : Tìm điểm dừng của z(x,y), với điều kiện x + y = 1 2 2 z = 1− x − y Mở rộng hàm n biến: Hàm số f(x1,x2,…xn)... C3 HÀM NHIỀU BIẾN ξ4 CỰC TRỊ Cực trị tự do: Định nghĩa: Hàm số f(x,y) đạt cực đại (cực tiểu) tại điểm M0(x0,y0) nếu tồn tại một lân cận ∆ của M0 sao cho f(M) ≤ f(M0), ∀M ∈ ∆ (f(M) ≥ f(M0), ∀M ∈ ∆) F(M0) gọi chung là cực trị Ví d : Tìm cực trị của hàm số z = x2 + y2 Điều kiện cần để có cực tr : Nếu f(x0,y0) là cực trị của f và f có đạo hàm riêng tại (x0,y0) th : f’x(x0,y0) = 0, f’y(x0,y0) = 0 16 C3 HÀM... g(x1,x2,…xn) = c Hàm Lagrange L = f + λ(c-g) L1 = f1 − λg1 = 0 L = f − λg = 0 2  2 2   L = f − λg = 0 n  n n Lλ = c − g = 0  20 C3 HÀM NHIỀU BIẾN Điều kiện đủ để có cực trị có điều kiện: Định l : Nếu f, g có đạo hàm riêng cấp hai liên tục tại điểm dừng M0, xét định thức Hessian đóng: 0 gx g y H = gx L xx L xy gy L yx L yy • Nếu |H|> 0: f đạt cực đại có điều kiện • Nếu |H|< 0: f đạt cực đại... 0 g1 g2 gn g1 L11 L12 L1n H = g2 L21 L22 L2n gn Ln1 Ln2 Lnn • Nếu |H2| . 14 C3. HÀM NHIỀU BIẾN Đạo hàm của hàm số ẩn 1 biến: y x F F 'y −= Ví d : Tính y’ nếu: F(x,y) = x 3 + y 3 – 3axy = 0 F(x,y) = xy – e x + e y = 0 15 C3. HÀM NHIỀU BIẾN Định nghĩa hàm. đạo hàm riêng cấp cao hơn của n biến số (n 3) 12 C3. HÀM NHIỀU BIẾN Đạo hàm của hàm hợp: Nếu hàm z = f(u,v) là các hàm số khả vi của u,v và các hàm số u = u(x,y), v = v(x,y) có các đạo hàm. miền xác định: z = 2x – 3y +5 z = ln(x + y -1 ) 22 yx1z −−= Hàm n biến: D ⊂ R n , một ánh xạ f: D → R được gọi là hàm số n biến. Ký hiệu: )x, x,x(fz)x, x,x(:f n21n21 = 5 C3. HÀM NHIỀU BIẾN ξ2.