CHƯƠNG 2: HÀM NHIỀU BIẾN SỐ

CHƯƠNG 2: HÀM NHIỀU BIẾN SỐ

Chương 2. Hàm nhiều biến số 2.1. Các khái niệm cơ bản: 2.1.1. Định nghĩa hàm nhiều biến số: * Định nghĩa: u= f(M). x 1 ; x 2 ; ; x n ; D; { } )n,1i(Rx:)x; .;x;x(RD in21 n == )x ;;x;x(f)M(fu)x ;;x;x(M RD:f n21n21 == { } )x; ;x;x(fy:R)y;x; .;x;x(R n21 1n n21f == + VÝ dô : { } 22 22 22 2 yx1)y;x(f)y;x( R1yx:)y;x(D:f)2 yx)y;x(fz)y;x( RR:f)1 −−= →≤+= +== →   2.1.2. Giới hạn của dãy điểm trong R n * Định nghĩa: Dãy điểm {M p (x 1p; x 2p ; .;x np ) } trong R n gọi là dần tới M o ( x 1 ; x 2 ; ; x n ) khi Ký hiệu: +p )n,1i(xxLim 0)xx(Lim)M;M(dLim iip p n 1i 2 iip p op p == == + = ++ = + + op p op MMLim p;MM 2.2. Giíi h¹n cña hµm 2 biÕn sè. 2.2.1. Giíi h¹n lÆp cña hµm 2 biÕn sè.  §Þnh nghÜa: 2 R)y;x(M;D);y,x(fz ooof ∈= ).()y;x(flimLim)y,x(flimLim ).()y;x(flimLim)y,x(flimLim oooo oooo yyxxyyxx xxyyxxyy 22 12       =       = →→→→ →→→→  VÝ dô: TÝnh c¸c giíi h¹n lÆp sau: 11 11 0 22 22 00 0 22 22 00 == + − = −=−= + − = →→→ →→→ )(Lim yx yx limLimJ )(Lim yx yx limLimI xyx yxy Mở rộng: giới hạn lặp của hàm n biến số: Cho hàm số u = f(x 1 ; x 2 ; . ; x n ) có tập xác định D f ; M o ( x 1o ; x 2o ; .; x no ). Cố định x j khác x jo , ta tính giới hạn lặp của hàm n -1 biến x 1 ; x 2 ; ; x j - 1 ; x j+1 ; ; x n : )x()x; .;x;x(flim .limlim .limLim jn xxxxxxxxxx nonojjojjoo = ++ 21 11112211 )x(Lim j xx joj 2.2.2. Giíi h¹n cña hµm 2 biÕn sè  §Þnh nghÜa: Hµm z= f(x;y) x¸c ®Þnh trong V(M o ) cã thÓ trõ M o (x o; y o ). ε<−⇒δ<∀>δ∃>ε∀⇔ == → → → L)M(f)M;M(dM:; )L)M(fLim(L)y;x(fLim o MM yy xx o o o 00 VÝ dô 1: 0 00 00 22 2222 22 0 0 =⇒ ≠∀≤ + ≤−⇒ ≠∀≤ + ≤ + + = → → I );()y;x(y yx xy y );()y;x(yy yx x yx xy yx xy LimI y x VÝ dô 2: T×m 22 0 0 yx xy Lim y x + → → Kh«ng tån t¹i giíi h¹n trªn 2.3. Tính liên tục của hàm 2 biến số: Định nghĩa: hàm số u =f(M) xđ trong D f ; f(M) liên tục tại M o nếu Khi đó điểm M o là điểm liên tục của f(M). Hàm không liên tục tại M o thì M o được gọi là điểm gián đoạn của hàm số. fo DM ).()M(f)M(fLim o MM o 32= )y;x(f)yy;xx(f)y;x(f ).()y;x(fLim).( oooo oo y x 00 0 0 42032 ++= = [...]... Hàm f liên tục D Tính chất liên tục của hàm nhiều biến Hàm liên tục đều trên D: > 0 , > 0 : M , M' D d(M , M' ) < f (M ) f (M' ) < Ví dụ: Xét tính liên tục tcủa hàm xy ( x; y ) ( 0;0) 2 2 f ( x; y ) = x + y 0 ( x; y ) = ( 0;0 ) t>0 Chỉ cần xét tại (0,0): 1 2 ( x + y 2 )t 1 ( x; y ) ( 0;0 ) 2t Lim f ( x; y ) = 0 khi t > 1 f ( x; y ) x 0 y0 Lim f ( x; y ) 0 khi t 1 x 0 y0 Nên hàm. .. Mo(xo; yo), hàm số z =f(x;y) có các đạo hàm riêng fxy; fyx và các đhr đó liên tục tại Mo thì fxy(xo; yo) = fyx(xo; yo) b) Vi phân cấp cao Định nghĩa: d2f = d(df) = d(fx dx + fy dy) d3f = d(d2f) dnf = d(dn-1f) Khi fxy; fyx liên tục thì 2 d f = dx + dy f x y 2 Tương tự: n d f = dx + dy f x y n Ví dụ: Tính d4f với f(x;y)= sin(xy) ( 2 8 ) 2.5 Cực trị của hàm nhiều biến số: 2.5.1 Cực... Mo là điểm cực trị của hàm: A< 0: Hàm đạt cực đại tại Mo A > 0: Hàm đạt cực tiểu tại Mo * Nếu B2 AC > 0 thì Mo không phải là cực trị của f * Nếu B2 AC = 0 thì chưa có kết luận gì Ví dụ: Tìm cực trị của hàm z= f(x;y) = x3 + 3xy2 30 x 18y Giải: * Các điểm tới hạn: M1(3;1); M2 (1;3); M3(- 1; -3); M4(-3; -1) * B2 AC = 36(y2 x2) Khi đó (B2 AC)(M1) = - 36.8 < 0 và A =18 > 0 nên hàm đạt cực tiểu tại M1:... tương ứng ta thu được: N1 (5/2; 4/5; 3/5); N2 (-5/2; -4/5; -3/5) d2L =2t(dx2 + dy2) Khi đó * d2L(N1) >0 nên hàm đạt cực tiểu có điều kiện tại M1(4/5; 3/5) và fmin = 1 * d2L(N1) < 0 nên hàm đạt cực đại có điều kiện tại M2(4/5; - 3/5) và fmax = 11 2.5.3 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm nhiều biến trong miền đóng và bị chặn: * Tìm cực trị của f(x;y)/ int(D) * Tính giá trị của f(x;y) trên biên D So... 3 2.4.2 Vi phân toàn phần: a) Định nghĩa: Số gia toàn phần: z = f(x;y) xđ trên D f ( x o ; y o ) = f ( x o + x; y o + y ) f ( x o ; y o ) Nếu f ( x o ; y o ) = A.x + B.y + .x + .y ( 2.5) Thì f được gọi là khả vi tại Mo(xo; ;yo) và biểu thức df = A.x + B.y gọi là vi phân toàn phần của f tại Mo Hàm f(x;y) khả vi trên D: b) Điều kiện cần để hàm khả vi: Hàm khả vi thì liên tục Nếu f(x;y) khả vi tại... số: 2.5.1 Cực trị không có điều kiện: a) Khái niệm: Hàm z=f(x;y) xác định trong D; Mo (xo; yo) thuộc D Hàm f đạt cực đại ( cực tiểu) tại Mo nếu tồn tại V(Mo): M V ( M o ) : f ( M ) f ( M o ) ( f ( M ) f ( M o ) ) Điểm tới hạn: b) Điều kiện cần để có cực trị:Nếu hàm f có cực trị tại Mo(xo; yo) thì fx(xo; yo) = fy(xo;yo) = 0 c) Điều kiện đủ: Giả sử hàm f(x;y) có các đhr đến cấp 2 liên tục trong V(Mo)... tục taị (0;0) khi t > 1 2.4 Đạo hàm và vi phân 2.4.1 Đạo hàm riêng Định nghĩa: u = f(x;y) xđ trên D; M(xo;yo) thuộc D f x ( x o ; y o ) = Lim xf ( x o ; y o ) = Lim f ( x o + x; y o ) f ( x o ; y o ) x 0 x 0 ' x x f x ( x o ; y o ) f y f (xo ; y o ) f ( x o ; y o + y ) f ( x o ; y o ) y ( x o ; y o ) = Lim = Lim y 0 y 0 y y ' f y ( x o ; y o ) 2.4.1 Đạo hàm riêng Chú ý: VD1 : f ( x;... -3); M4(-3; -1) * B2 AC = 36(y2 x2) Khi đó (B2 AC)(M1) = - 36.8 < 0 và A =18 > 0 nên hàm đạt cực tiểu tại M1: fmin = f(M1 ) = - 72 Tương tự ta cũng có hàm đạt cực đại tại M2: fmax = f(M2) = 72 Chú ý: 2.5.2 Cực trị có điều kiện: a) Khái niệm: Cực trị của hàm z =f(x;y) trên D với điều kiện g(x;y) = 0 (2.9) được gọi là cực trị có điều kiện * Điều kiện cần để có cực trị có điều kiện: Giả sử Mo(xo; yo) là... f df = x x + y y c) Điều kiện đủ: Hàm f(x;y) có các đhr ở lân cận của Mo và chúng liên tục tại Mo thì f(x;y) khả vi tại Mo f f và df = x + y ( 2.6 ) x y Công thức tính gần đúng: f ( x o + x; y o + y ) x ;y . Chương 2. Hàm nhiều biến số 2.1. Các khái niệm cơ bản: 2.1.1. Định nghĩa hàm nhiều biến số: * Định nghĩa: u= f(M). x 1 ;. LimI y x VÝ dô 2: T×m 22 0 0 yx xy Lim y x + → → Kh«ng tån t¹i giíi h¹n trªn 2.3. Tính liên tục của hàm 2 biến số: Định nghĩa: hàm số u =f(M) xđ trong