Hàm nhiều biến sốBách khóa

Chương 3: Hàm nhiều biến số Trần Minh Toàn (1) Viện Toán ứng dụng Tin học, ĐHBK Hà Nội Hà Nội, tháng năm 2012 (1) Email: toantm24@gmail.com Trần Minh Toàn (SAMI-HUST) Giải tích I Hà Nội, 1/36 tháng năm 2012 / 36 Các khái niệm Nội dung Các khái niệm Giới hạn liên tục Đạo hàm vi phân Cực trị hàm hai biến số Trần Minh Toàn (SAMI-HUST) Giải tích I Hà Nội, 2/36 tháng năm 2012 / 36 Các khái niệm Các khái niệm Định nghĩa Định nghĩa 1.1 Xét tập hợp {︀ }︀ 𝐷 ⊆ R𝑛 ; 𝐷 = 𝑥 = (𝑥1 , 𝑥2 , , 𝑥𝑛 ) |𝑥𝑖 ∈ R, 𝑖 = 1, 𝑛 ̸= ∅ tập hợp 𝐸 ⊆ R Ánh xạ 𝑓 : 𝐷 → 𝐸 xác định 𝑥 ∈ 𝐷 ↦−→ 𝑢 = 𝑓 (𝑥) = 𝑓 (𝑥1 , 𝑥2 , , 𝑥𝑛 ) ∈ 𝐸 gọi hàm số 𝑛 biến số độc lập 𝑥1 , 𝑥2 , , 𝑥𝑛 xác định tập hợp 𝐷 Tập hợp 𝐷 gọi miền xác định hàm số 𝑓 , tập 𝑓 (𝐷) gọi miền giá trị hàm số 𝑓 Trong trường hợp 𝑛 = hay 𝑛 = ta thường ký hiệu 𝑧 = 𝑓 (𝑥, 𝑦) hay 𝑢 = 𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧) tương ứng Ở ta xét hàm số hai biến độc lập, số biến > suy tương tự Trần Minh Toàn (SAMI-HUST) Giải tích I Hà Nội, 3/36 tháng năm 2012 / 36 Các khái niệm Các khái niệm Định nghĩa Ví dụ Tìm miền xác định hàm tính giá trị hàm điểm 𝑃 : √ 𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 𝑓 (𝑥, 𝑦) = , 𝑃 (−2; 10.5) 𝑥2 − Giải: 𝐷 = {(𝑥, 𝑦)|𝑥 + 2𝑦 − ≥ 0, 𝑥 ̸= ±1} ; 𝑓 (𝑃 ) = (︀ )︀ 𝑧 = 𝑓 (𝑥, 𝑦) = (𝑥 + 𝑦) ln 𝑦 + 2𝑥 , 𝑃 (2, 3) Giải: {︀ }︀ (︀ )︀ 𝐷 = (𝑥, 𝑦)|𝑦 + 2𝑥 > ; 𝑓 (𝑃 ) = 𝑓 (2, 3) = (2 + 3) ln 32 + 2.2 = ln 13 Trần Minh Toàn (SAMI-HUST) Giải tích I Hà Nội, 4/36 tháng năm 2012 / 36 Các khái niệm Các khái niệm Định nghĩa Ví dụ Tìm miền xác định hàm tính giá trị hàm điểm 𝑃 : √ 𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 𝑓 (𝑥, 𝑦) = , 𝑃 (−2; 10.5) 𝑥2 − Giải: 𝐷 = {(𝑥, 𝑦)|𝑥 + 2𝑦 − ≥ 0, 𝑥 ̸= ±1} ; 𝑓 (𝑃 ) = (︀ )︀ 𝑧 = 𝑓 (𝑥, 𝑦) = (𝑥 + 𝑦) ln 𝑦 + 2𝑥 , 𝑃 (2, 3) Giải: {︀ }︀ (︀ )︀ 𝐷 = (𝑥, 𝑦)|𝑦 + 2𝑥 > ; 𝑓 (𝑃 ) = 𝑓 (2, 3) = (2 + 3) ln 32 + 2.2 = ln 13 Trần Minh Toàn (SAMI-HUST) Giải tích I Hà Nội, 4/36 tháng năm 2012 / 36 Giới hạn liên tục Nội dung Các khái niệm Giới hạn liên tục Đạo hàm vi phân Cực trị hàm hai biến số Trần Minh Toàn (SAMI-HUST) Giải tích I Hà Nội, 5/36 tháng năm 2012 / 36 Giới hạn liên tục Giới hạn liên tục Giới hạn hàm nhiều biến Định nghĩa 2.1 Ta nói dãy điểm 𝑀𝑛 (𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 ) hội tụ đến điểm 𝑀0 (𝑥0 , 𝑦0 ) R2 ký hiệu 𝑀𝑛 → 𝑀0 lim 𝑥𝑛 = 𝑥0 lim 𝑦𝑛 = 𝑦0 𝑛→∞ 𝑛→∞ Định nghĩa 2.2 Hàm số 𝑓 (𝑥, 𝑦) có giới hạn 𝐿 (𝑥, 𝑦) → (𝑥0 , 𝑦0 ) ∀𝜀 > 0, ∃𝛿 > : < 𝜌 < 𝛿 =⇒ |𝑓 (𝑥, 𝑦) − 𝐿| < 𝜀, 𝜌 = √︀ (𝑥 − 𝑥0 )2 + (𝑦 − 𝑦0 )2 ; ∀𝑀𝑛 (𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 ) → 𝑀0 (𝑥0 , 𝑦0 ) =⇒ lim 𝑓 (𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 ) = 𝐿 𝑛→∞ Ký hiệu lim (𝑥,𝑦)→(𝑥0 ,𝑦0 ) Trần Minh Toàn (SAMI-HUST) Giải tích I 𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝑥→𝑥 lim 𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝐿 𝑦→𝑦0 Hà Nội, 6/36 tháng năm 2012 / 36 Giới hạn liên tục Giới hạn liên tục Giới hạn hàm nhiều biến Định nghĩa 2.1 Ta nói dãy điểm 𝑀𝑛 (𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 ) hội tụ đến điểm 𝑀0 (𝑥0 , 𝑦0 ) R2 ký hiệu 𝑀𝑛 → 𝑀0 lim 𝑥𝑛 = 𝑥0 lim 𝑦𝑛 = 𝑦0 𝑛→∞ 𝑛→∞ Định nghĩa 2.2 Hàm số 𝑓 (𝑥, 𝑦) có giới hạn 𝐿 (𝑥, 𝑦) → (𝑥0 , 𝑦0 ) ∀𝜀 > 0, ∃𝛿 > : < 𝜌 < 𝛿 =⇒ |𝑓 (𝑥, 𝑦) − 𝐿| < 𝜀, 𝜌 = √︀ (𝑥 − 𝑥0 )2 + (𝑦 − 𝑦0 )2 ; ∀𝑀𝑛 (𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 ) → 𝑀0 (𝑥0 , 𝑦0 ) =⇒ lim 𝑓 (𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 ) = 𝐿 𝑛→∞ Ký hiệu lim (𝑥,𝑦)→(𝑥0 ,𝑦0 ) Trần Minh Toàn (SAMI-HUST) Giải tích I 𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝑥→𝑥 lim 𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝐿 𝑦→𝑦0 Hà Nội, 6/36 tháng năm 2012 / 36 Giới hạn liên tục Giới hạn liên tục Giới hạn hàm nhiều biến Ví dụ Xác định lim 𝑓 (𝑥, 𝑦) với 𝑓 (𝑥, 𝑦) = (𝑥,𝑦)→(0,0) 2𝑥𝑦 + 𝑦2 𝑥2 Giải: Chú ý (0, 0) ∈ / 𝐷 √︀ √︀ 𝜀 Với < 𝜀 < (𝑥, 𝑦) cho < 𝜌 = (𝑥 − 0)2 + (𝑦 − 0)2 = 𝑥2 + 𝑦 < ta có |𝑓 (𝑥, 𝑦) − 0| = Vậy lim |𝑥| 𝑦 < |𝑥| < 2𝜌 < 𝜀 𝑥2 + 𝑦 𝑓 (𝑥, 𝑦) = (𝑥,𝑦)→(0,0) Trần Minh Toàn (SAMI-HUST) Giải tích I Hà Nội, 7/36 tháng năm 2012 / 36 Giới hạn liên tục Giới hạn liên tục Giới hạn hàm nhiều biến Ví dụ ⎧ 2 ⎨ 𝑥 − 2𝑦 , (𝑥, 𝑦) ̸= (0, 0) Cho hàm 𝑓 (𝑥, 𝑦) = Xác định 𝑥2 + 𝑦 ⎩ 1, (𝑥, 𝑦) = (0, 0) Giải: Chú ý (0, 0) ∈ 𝐷 Ta có lim 𝑓 (𝑥, 𝑦) (𝑥,𝑦)→(0,0) 𝑓 (𝑥, 𝑦) → (𝑥, 𝑦) → (0, 0) dọc theo trục 𝑂𝑥; 𝑓 (𝑥, 𝑦) → −2 (𝑥, 𝑦) → (0, 0) dọc theo trục 𝑂𝑦; 𝑓 (𝑥, 𝑦) → Do đó, ̸ ∃ − 2𝑘2 (𝑥, 𝑦) → (0, 0) dọc theo đường thẳng 𝑦 = 𝑘𝑥 + 𝑘2 lim 𝑓 (𝑥, 𝑦) (𝑥,𝑦)→(0,0) Trần Minh Toàn (SAMI-HUST) Giải tích I Hà Nội, 8/36 tháng năm 2012 / 36 Cực trị hàm hai biến số Cực trị hàm hai biến số Cực trị địa phương Định nghĩa 4.1 Hàm số 𝑧 = 𝑓 (𝑥, 𝑦) có miền xác định D ⊂ R2 Ta nói hàm số 𝑓 (𝑥, 𝑦) đạt cực đại (cực tiểu) điểm (𝑥0 , 𝑦0 ) ∈ D √︀ ∀(𝑥, 𝑦) ∈ 𝛿 (𝑥0 , 𝑦0 ) := < 𝜌 = (𝑥 − 𝑥0 )2 + (𝑦 − 𝑦0 )2 < 𝛿 𝑓 (𝑥, 𝑦) < 𝑓 (𝑥0 , 𝑦0 ) (𝑓 (𝑥, 𝑦) > 𝑓 (𝑥0 , 𝑦0 )) Định lý 4.1 (Điều kiện cần) Nếu hàm số 𝑧 = 𝑓 (𝑥, 𝑦) khả vi điểm 𝑀0 (𝑥0 , 𝑦0 ) ∈ D mà hàm số đạt cực trị ′ 𝑓𝑥 (𝑥0 , 𝑦0 ) = 0; ′ 𝑓𝑦 (𝑥0 , 𝑦0 ) = (*) Các điểm thỏa mãn hệ (*) gọi điểm dừng điểm tới hạn Trần Minh Toàn (SAMI-HUST) Giải tích I Hà Nội, 28/36 tháng năm 2012 28 / 36 Cực trị hàm hai biến số Cực trị hàm hai biến số Cực trị địa phương Định lý 4.2 (Điều kiện đủ) Giả sử 𝑀0 (𝑥0 , 𝑦0 ) điểm dừng hàm số 𝑧 = 𝑓 (𝑥, 𝑦) hàm số có đạo hàm riêng đến cấp hai Ta gọi ⃒ ⃒ ⃒ 𝜕2𝑧 ⃒ 𝜕2𝑧 ⃒ 𝜕2𝑧 ⃒ ; 𝐶 = ; 𝐵 = 𝐴= ⃒ ⃒ ⃒ 𝜕𝑥2 𝑀0 𝜕𝑦 𝑀0 𝜕𝑥𝜕𝑦 𝑀0 Nếu ⎧ ⎪ ⎪> 0, hàm số không đạt cực trị 𝑀0 ⎪ ⎨= 0, chưa kết luận Δ = 𝐵 − 𝐴𝐶 ⎪ < 0, hàm số đạt cực trị 𝑀0 ⎪ ⎪ ⎩ cực đại 𝐴 < 0; cực tiểu 𝐴 > Trần Minh Toàn (SAMI-HUST) Giải tích I Hà Nội, 29/36 tháng năm 2012 29 / 36 Cực trị hàm hai biến số Cực trị hàm hai biến số Ví dụ (︁ 𝑥 𝑦 )︁ 𝑥𝑦 + (47 − 𝑥 − 𝑦) + Hàm số xác định ∀(𝑥, 𝑦) ∈ R Tính Tìm cực trị hàm số sau 𝑧 = 𝜕𝑧 47 𝜕𝑧 1 47 =− 𝑦− 𝑥+ ; =− 𝑦− 𝑥+ 𝜕𝑥 12 3 𝜕𝑦 12 {︃ 8𝑥 + 𝑦 = 188 𝜕𝑧 𝜕𝑧 Cho = 0, = =⇒ , thu điểm dừng 𝑀0 (21, 20) 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝑥 + 6𝑦 = 142 Tính 𝜕2𝑧 𝜕2𝑧 𝜕2𝑧 𝐴= =− ; 𝐶= =− ; 𝐵= =− 2 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑥𝜕𝑦 12 Ta có (︂ )︂2 (︂ )︂ (︂ )︂ 1 − − − = − < 144 Vậy hàm số đạt cực trị 𝑀0 Do 𝐴 = − < 0, hàm số đạt cực đại 𝑧max = 𝑧(21, 20) = 282 Δ = 𝐵 − 𝐴𝐶 = Trần Minh Toàn (SAMI-HUST) − 12 Giải tích I Hà Nội, 30/36 tháng năm 2012 30 / 36 Cực trị hàm hai biến số Cực trị hàm hai biến số Ví dụ (︁ 𝑥 𝑦 )︁ 𝑥𝑦 + (47 − 𝑥 − 𝑦) + Hàm số xác định ∀(𝑥, 𝑦) ∈ R Tính Tìm cực trị hàm số sau 𝑧 = 𝜕𝑧 47 𝜕𝑧 1 47 =− 𝑦− 𝑥+ ; =− 𝑦− 𝑥+ 𝜕𝑥 12 3 𝜕𝑦 12 {︃ 8𝑥 + 𝑦 = 188 𝜕𝑧 𝜕𝑧 Cho = 0, = =⇒ , thu điểm dừng 𝑀0 (21, 20) 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝑥 + 6𝑦 = 142 Tính 𝜕2𝑧 𝜕2𝑧 𝜕2𝑧 𝐴= =− ; 𝐶= =− ; 𝐵= =− 2 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑥𝜕𝑦 12 Ta có Trần Minh Toàn (SAMI-HUST) (︂ )︂2 (︂ )︂ (︂ )︂ 1 − − − = − < 144 Vậy hàm số đạt cực trị 𝑀0 Do 𝐴 = − < 0, hàm số đạt cực đại 𝑧max = 𝑧(21, 20) = 282 Δ = 𝐵 − 𝐴𝐶 = − 12 Giải tích I Hà Nội, 30/36 tháng năm 2012 30 / 36 Cực trị hàm hai biến số Cực trị hàm hai biến số Ví dụ (︁ 𝑥 𝑦 )︁ 𝑥𝑦 + (47 − 𝑥 − 𝑦) + Hàm số xác định ∀(𝑥, 𝑦) ∈ R Tính Tìm cực trị hàm số sau 𝑧 = 𝜕𝑧 47 𝜕𝑧 1 47 =− 𝑦− 𝑥+ ; =− 𝑦− 𝑥+ 𝜕𝑥 12 3 𝜕𝑦 12 {︃ 8𝑥 + 𝑦 = 188 𝜕𝑧 𝜕𝑧 Cho = 0, = =⇒ , thu điểm dừng 𝑀0 (21, 20) 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝑥 + 6𝑦 = 142 Tính 𝜕2𝑧 𝜕2𝑧 𝜕2𝑧 𝐴= =− ; 𝐶= =− ; 𝐵= =− 2 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑥𝜕𝑦 12 Ta có Trần Minh Toàn (SAMI-HUST) (︂ )︂2 (︂ )︂ (︂ )︂ 1 − − − = − < 144 Vậy hàm số đạt cực trị 𝑀0 Do 𝐴 = − < 0, hàm số đạt cực đại 𝑧max = 𝑧(21, 20) = 282 Δ = 𝐵 − 𝐴𝐶 = − 12 Giải tích I Hà Nội, 30/36 tháng năm 2012 30 / 36 Cực trị hàm hai biến số Cực trị hàm hai biến số Ví dụ (︁ 𝑥 𝑦 )︁ 𝑥𝑦 + (47 − 𝑥 − 𝑦) + Hàm số xác định ∀(𝑥, 𝑦) ∈ R Tính Tìm cực trị hàm số sau 𝑧 = 𝜕𝑧 47 𝜕𝑧 1 47 =− 𝑦− 𝑥+ ; =− 𝑦− 𝑥+ 𝜕𝑥 12 3 𝜕𝑦 12 {︃ 8𝑥 + 𝑦 = 188 𝜕𝑧 𝜕𝑧 Cho = 0, = =⇒ , thu điểm dừng 𝑀0 (21, 20) 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝑥 + 6𝑦 = 142 Tính 𝜕2𝑧 𝜕2𝑧 𝜕2𝑧 𝐴= =− ; 𝐶= =− ; 𝐵= =− 2 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑥𝜕𝑦 12 Ta có Trần Minh Toàn (SAMI-HUST) (︂ )︂2 (︂ )︂ (︂ )︂ 1 − − − = − < 144 Vậy hàm số đạt cực trị 𝑀0 Do 𝐴 = − < 0, hàm số đạt cực đại 𝑧max = 𝑧(21, 20) = 282 Δ = 𝐵 − 𝐴𝐶 = − 12 Giải tích I Hà Nội, 30/36 tháng năm 2012 30 / 36 Cực trị hàm hai biến số Cực trị hàm hai biến số Cực trị có điều kiện Bài toán Tìm cực trị hàm số 𝑧 = 𝑓 (𝑥, 𝑦) với điều kiện 𝜙(𝑥, 𝑦) = Để giải toán này, ta sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange: Lập hàm 𝑢 = 𝑓 (𝑥, 𝑦) + 𝜆𝜙(𝑥, 𝑦), 𝜆 tham số chưa xác định Điều kiện cần cực trị có điều kiện ⎧ 𝜕𝑢 𝜕𝑓 𝜕𝜙 ⎪ = +𝜆 ⎪ ⎪ ⎨ 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑢 𝜕𝑓 𝜕𝜙 = + 𝜆 ⎪ 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑦 ⎪ ⎪ ⎩ 𝜙(𝑥, 𝑦) =0 =0 = Giải hệ ta điểm nghi ngờ 𝑀𝑜 (𝑥𝑜 , 𝑦𝑜 ) 𝜆𝑜 Trần Minh Toàn (SAMI-HUST) Giải tích I Hà Nội, 31/36 tháng năm 2012 31 / 36 Cực trị hàm hai biến số Cực trị hàm hai biến số Cực trị có điều kiện Bài toán Tìm cực trị hàm số 𝑧 = 𝑓 (𝑥, 𝑦) với điều kiện 𝜙(𝑥, 𝑦) = Để giải toán này, ta sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange: Lập hàm 𝑢 = 𝑓 (𝑥, 𝑦) + 𝜆𝜙(𝑥, 𝑦), 𝜆 tham số chưa xác định Điều kiện cần cực trị có điều kiện ⎧ 𝜕𝑢 𝜕𝑓 𝜕𝜙 ⎪ = +𝜆 ⎪ ⎪ ⎨ 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑢 𝜕𝑓 𝜕𝜙 = + 𝜆 ⎪ 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑦 ⎪ ⎪ ⎩ 𝜙(𝑥, 𝑦) =0 =0 = Giải hệ ta điểm nghi ngờ 𝑀𝑜 (𝑥𝑜 , 𝑦𝑜 ) 𝜆𝑜 Trần Minh Toàn (SAMI-HUST) Giải tích I Hà Nội, 31/36 tháng năm 2012 31 / 36 Cực trị hàm hai biến số Cực trị hàm hai biến số Cực trị có điều kiện Điều kiện đủ ⃒ ⃒ Nếu 𝑑2 𝑢⃒ (𝑀𝑜 ,𝜆𝑜 ) ⃒ ⃒ > hàm số đạt cực tiểu 𝑀𝑜 (𝑥𝑜 , 𝑦𝑜 ) 𝑑2 𝑢⃒ < hàm (𝑀𝑜 ,𝜆𝑜 ) số đạt cực đại 𝑀𝑜 (𝑥𝑜 , 𝑦𝑜 ) Chú ý 4.1 Khi tính 𝑑2 𝑢 gặp 𝑑𝑥 𝑑𝑦, chúng liên hệ ⃒ ⃒ 𝜕𝜙 ⃒ 𝜕𝜙 ⃒ ⃒ 𝑑𝑥 + ⃒ 𝑑𝑦 = 𝜕𝑥 𝑀𝑜 𝜕𝑦 𝑀𝑜 Trần Minh Toàn (SAMI-HUST) Giải tích I Hà Nội, 32/36 tháng năm 2012 32 / 36 Cực trị hàm hai biến số Cực trị hàm hai biến số Cực trị có điều kiện Ví dụ Tìm cực trị hàm 𝑧 = 𝑥𝑦 với điều kiện 2𝑥 + 3𝑦 − = Lập hàm nhân tử Lagrange Φ = 𝑥𝑦 + 𝜆(2𝑥 + 3𝑦 − 5) tính 𝜕Φ = 𝑦 + 2𝜆; 𝜕𝑥 𝜕Φ = 𝑥 + 3𝜆 𝜕𝑦 𝜕Φ = 𝑦 + 2𝜆 = 𝜕𝑥 𝜕Φ Tìm điểm dừng từ hệ = 𝑥 + 3𝜆 = Giải hệ ta ⎪ 𝜕𝑦 ⎪ ⎪ ⎩ 2𝑥 + 3𝑦 − = 5 𝜆=− ; 𝑥= ; 𝑦= 12 (︂ )︂ 5 , với 𝜆 = − Dễ dàng tính Kiểm tra điều kiện đủ 𝑀 12 ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ 𝑑2 Φ = 𝑑𝑥𝑑𝑦 (*) Trần Minh Toàn (SAMI-HUST) Giải tích I Hà Nội, 33/36 tháng năm 2012 33 / 36 Cực trị hàm hai biến số Cực trị hàm hai biến số Cực trị có điều kiện Ví dụ (tiếp) Lại 2𝑥 + 3𝑦 − = suy 2𝑑𝑥 = −3𝑑𝑦 hay 𝑑𝑦 = − 𝑑𝑥 Thay vào (*) ta có 𝑑2 Φ (𝑀, 𝜆) = − 𝑑𝑥2 < (︂ )︂ 5 25 Vậy hàm số đạt cực đại 𝑀 , 𝑧max = 24 Chú ý Trong ví dụ trên, điều kiện liên hệ 𝑥 𝑦 có dạng bậc nhất, nên ta dẫn tìm cực trị hàm biến số )︀ (︀ 𝑧= 5𝑥 − 2𝑥2 cách thay 𝑦 = (5 − 2𝑥) 3 Trần Minh Toàn (SAMI-HUST) Giải tích I Hà Nội, 34/36 tháng năm 2012 34 / 36 Cực trị hàm hai biến số Cực trị hàm hai biến số Trị LN, BN hàm số miền kín Để tìm trị lớn bé hàm số 𝑧 = 𝑓 (𝑥, 𝑦) miền kín D ⊂ R2 ta làm sau Tìm điểm nghi ngờ miền D (cực trị địa phương) Tìm điểm nghi ngờ biên Γ miền D (cực trị có điều kiện, điều kiện phương trình biên D) Tính giá trị điểm nghi ngờ D biên Γ, so sánh giá trị lớn nhất, bé Trần Minh Toàn (SAMI-HUST) Giải tích I Hà Nội, 35/36 tháng năm 2012 35 / 36 Cực trị hàm hai biến số Cực trị hàm hai biến số Trị LN, BN hàm số miền kín Để tìm trị lớn bé hàm số 𝑧 = 𝑓 (𝑥, 𝑦) miền kín D ⊂ R2 ta làm sau Tìm điểm nghi ngờ miền D (cực trị địa phương) Tìm điểm nghi ngờ biên Γ miền D (cực trị có điều kiện, điều kiện phương trình biên D) Tính giá trị điểm nghi ngờ D biên Γ, so sánh giá trị lớn nhất, bé Trần Minh Toàn (SAMI-HUST) Giải tích I Hà Nội, 35/36 tháng năm 2012 35 / 36 Cực trị hàm hai biến số Cực trị hàm hai biến số Trị LN, BN hàm số miền kín Để tìm trị lớn bé hàm số 𝑧 = 𝑓 (𝑥, 𝑦) miền kín D ⊂ R2 ta làm sau Tìm điểm nghi ngờ miền D (cực trị địa phương) Tìm điểm nghi ngờ biên Γ miền D (cực trị có điều kiện, điều kiện phương trình biên D) Tính giá trị điểm nghi ngờ D biên Γ, so sánh giá trị lớn nhất, bé Trần Minh Toàn (SAMI-HUST) Giải tích I Hà Nội, 35/36 tháng năm 2012 35 / 36 Cực trị hàm hai biến số Cực trị hàm hai biến số Trị LN, BN hàm số miền kín Ví dụ Trần Minh Toàn (SAMI-HUST) Giải tích I Hà Nội, 36/36 tháng năm 2012 36 / 36 [...]... đạo hàm riêng theo biến này thì biến kia xem là hằng số) Trần Minh Toàn (SAMI-HUST) Giải tích I Hà Nội, 19/36 tháng 1 năm 2012 19 / 36 Đạo hàm và vi phân Đạo hàm và vi phân Đạo hàm và vi phân cấp cao Chú ý 3.1 Trong các đạo hàm riêng cấp hai ta gặp các đạo hàm riêng 𝜕2𝑓 𝜕2𝑓 , , gọi là các đạo 𝜕𝑥𝜕𝑦 𝜕𝑦𝜕𝑥 hàm riêng hỗn hợp Người ta đã chứng minh được rằng: nếu hàm số 𝑧 = 𝑓 (𝑥, 𝑦) liên tục và có các đạo hàm. .. 15/36 tháng 1 năm 2012 15 / 36 Đạo hàm và vi phân Đạo hàm và vi phân Đạo hàm hàm hợp 1 Giả sử 𝑧 = 𝑓 (𝑥, 𝑦) khả vi theo các biến số trung gian 𝑥 và 𝑦 còn 𝑥 = 𝜙(𝑡), 𝑦 = 𝜓(𝑡) (𝑡 là biến độc lập), 𝜙, 𝜓 là những hàm khả vi thì 𝑑𝑧 𝜕𝑧 𝑑𝑥 𝜕𝑧 𝑑𝑦 = · + · 𝑑𝑡 𝜕𝑥 𝑑𝑡 𝜕𝑦 𝑑𝑡 2 Giả sử 𝑧 = 𝑓 (𝑢) khả vi theo biến số 𝑢; còn 𝑢 = 𝜙(𝑥, 𝑦) khả vi theo các biến số độc lập 𝑥, 𝑦 thì ta có các đạo hàm riêng được tính bởi ′ ′ 𝜕𝑧... 16/36 tháng 1 năm 2012 16 / 36 Đạo hàm và vi phân Đạo hàm và vi phân Đạo hàm hàm hợp 1 Giả sử 𝑧 = 𝑓 (𝑥, 𝑦) khả vi theo các biến số trung gian 𝑥 và 𝑦 còn 𝑥 = 𝜙(𝑡), 𝑦 = 𝜓(𝑡) (𝑡 là biến độc lập), 𝜙, 𝜓 là những hàm khả vi thì 𝑑𝑧 𝜕𝑧 𝑑𝑥 𝜕𝑧 𝑑𝑦 = · + · 𝑑𝑡 𝜕𝑥 𝑑𝑡 𝜕𝑦 𝑑𝑡 2 Giả sử 𝑧 = 𝑓 (𝑢) khả vi theo biến số 𝑢; còn 𝑢 = 𝜙(𝑥, 𝑦) khả vi theo các biến số độc lập 𝑥, 𝑦 thì ta có các đạo hàm riêng được tính bởi ′ ′ 𝜕𝑧... Toàn (SAMI-HUST) Giải tích I Hà Nội, 17/36 tháng 1 năm 2012 17 / 36 Đạo hàm và vi phân Đạo hàm và vi phân Đạo hàm hàm hợp Ví dụ 5 Trần Minh Toàn (SAMI-HUST) Giải tích I Hà Nội, 18/36 tháng 1 năm 2012 18 / 36 Đạo hàm và vi phân Đạo hàm và vi phân Đạo hàm và vi phân cấp cao Định nghĩa 3.3 Đạo hàm riêng của đạo hàm riêng cấp 1 gọi là đạo hàm riêng cấp 2 (︂ )︂ ′′ ′′ 𝜕 𝜕𝑓 𝜕2𝑓 = 𝑓𝑥𝑥 = 𝑧𝑥𝑥 = 2 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 (︂ )︂... ta cũng có đạo hàm riêng của hàm 𝑓 theo biến số 𝑦: ′ 𝜕𝑓 𝜕𝑧 = = 𝑓𝑦 = 𝐷𝑦 𝑓 𝜕𝑦 𝜕𝑦 Từ định nghĩa ta thấy: tính đạo hàm riêng có quy tắc giống như tính đạo hàm của hàm số một biến số, nghĩa là khi tính theo 𝑥 thì xem 𝑦 là hằng số, còn khi tính theo 𝑦 thì xem 𝑥 là hằng số Trần Minh Toàn (SAMI-HUST) Giải tích I Hà Nội, 12/36 tháng 1 năm 2012 12 / 36 Đạo hàm và vi phân Đạo hàm và vi phân Đạo hàm riêng Ví dụ... các biến số 𝑢 và 𝑣 còn 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑦), 𝑣 = 𝑣(𝑥, 𝑦) khả vi theo các biến số 𝑥, 𝑦 thì ′ ′ ′ ′ 𝜕𝑧 = 𝑓𝑢 𝑢 𝑥 + 𝑓𝑣 𝑣 𝑥 𝜕𝑥 ′ ′ ′ ′ 𝜕𝑧 = 𝑓𝑢 𝑢𝑦 + 𝑓𝑣 𝑣𝑦 𝜕𝑦 Trần Minh Toàn (SAMI-HUST) Giải tích I Hà Nội, 16/36 tháng 1 năm 2012 16 / 36 Đạo hàm và vi phân Đạo hàm và vi phân Đạo hàm hàm hợp 1 Giả sử 𝑧 = 𝑓 (𝑥, 𝑦) khả vi theo các biến số trung gian 𝑥 và 𝑦 còn 𝑥 = 𝜙(𝑡), 𝑦 = 𝜓(𝑡) (𝑡 là biến độc lập), 𝜙, 𝜓 là những hàm. .. trị hàm hai biến số Trần Minh Toàn (SAMI-HUST) Giải tích I Hà Nội, 11/36 tháng 1 năm 2012 11 / 36 Đạo hàm và vi phân Đạo hàm và vi phân Đạo hàm riêng Định nghĩa 3.1 Cho hàm số 𝑧 = 𝑓 (𝑥, 𝑦) xác định và liên tục trên miền D Với (𝑥, 𝑦) ∈ D, giữ 𝑦 không đổi, cho 𝑥 số gia Δ𝑥 ta có điểm (𝑥 + Δ𝑥, 𝑦) ∈ D Nếu tồn tại lim Δ𝑥→0 𝑓 (𝑥 + Δ𝑥, 𝑦) − 𝑓 (𝑥, 𝑦) Δ𝑥 thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm riêng (cấp 1) của hàm. .. 𝑥 ; 𝜕𝑥 3 ′ ′ 𝜕𝑧 = 𝑓𝑢 𝑢 𝑦 𝜕𝑦 Giả sử 𝑧 = 𝑓 (𝑢, 𝑣) khả vi theo các biến số 𝑢 và 𝑣 còn 𝑢 = 𝑢(𝑥, 𝑦), 𝑣 = 𝑣(𝑥, 𝑦) khả vi theo các biến số 𝑥, 𝑦 thì ′ ′ ′ ′ 𝜕𝑧 = 𝑓𝑢 𝑢 𝑥 + 𝑓𝑣 𝑣 𝑥 𝜕𝑥 ′ ′ ′ ′ 𝜕𝑧 = 𝑓𝑢 𝑢𝑦 + 𝑓𝑣 𝑣𝑦 𝜕𝑦 Trần Minh Toàn (SAMI-HUST) Giải tích I Hà Nội, 16/36 tháng 1 năm 2012 16 / 36 Đạo hàm và vi phân Đạo hàm và vi phân Đạo hàm hàm hợp Ví dụ 4 ′ Cho 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 𝑒𝑦 + 3𝑥𝑦 4 , trong đó 𝑥 = sin... 𝑧𝑥𝑦 = 𝑧𝑦𝑥 = 𝜕𝑥𝜕𝑦 𝜕𝑦𝜕𝑥 Tương tự ta cũng có các đạo hàm riêng cấp ba, cấp bốn, Trong trường hợp này ta cũng có: chẳng hạn 𝜕3𝑧 𝜕3𝑧 𝜕3𝑧 = = 2 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑥𝜕𝑦𝜕𝑥 𝜕𝑦𝜕𝑥2 Trần Minh Toàn (SAMI-HUST) Giải tích I Hà Nội, 20/36 tháng 1 năm 2012 20 / 36 Đạo hàm và vi phân Đạo hàm và vi phân Đạo hàm và vi phân cấp cao Ví dụ 6 (︀ )︀ Tính các đạo hàm riêng cấp hai của hàm 𝑧(𝑥, 𝑦) = sin 𝑥2 + 𝑦 − 𝑥𝑦 Giải: ′ 𝑧𝑥 ′′ 𝑧𝑥𝑥 ′′... (𝑥,𝑦)→(0,0) Trần Minh Toàn (SAMI-HUST) Giải tích I Hà Nội, 8/36 tháng 1 năm 2012 8 / 36 Giới hạn và liên tục Giới hạn và liên tục Sự liên tục của hàm nhiều biến Định nghĩa 2.3 Hàm số 𝑓 (𝑥, 𝑦) gọi là liên tục tại điểm (𝑎, 𝑏) ∈ 𝐷 nếu lim 𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝑓 (𝑎, 𝑏) 𝑥→𝑎 𝑦→𝑏 Hàm số liên tục tại mọi điểm trong miền 𝐷 ⊂ R2 gọi là liên tục trên 𝐷 Ví dụ 3 √ 𝑥 + 2𝑦 + 1 Chứng minh rằng 𝑓 liên tục tại gốc toạ độ 𝑥−1 Giải: