TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC HUẾ, Số 50-2009 MỘT TƯƠNG TỰ CỦA ĐỊNH LÝ ABC CHO CÁC HÀM NHIỀU BIẾN Nguyễn Thị Phương Nhung Trường Đại học Vinh Tóm tắt.Trong bài báo này, bằng kỹ thuật Wronskian trên đa thức chúng tôi chứng được một kết quả tương tự của định lý abc cho các hàm nhiều biến. 1. Giới thiệu: Giả sử F là một trường đóng đại số có đặc số 0 và f (z) là một hàm khác hằng số với hệ số thuộc F . Ký hiệu r(f) là số các không điểm phân biệt của f. Định lý abc cho hàm một biến được phát biểu như sau: Định lý abc([3]). Giả sử a(z), b(z), c(z) là các đa thức trên F không đồng thời là hằng số sao cho a + b = c. Khi đó max {deg(a), deg(b), deg(c)} ≤ r(abc) − 1. Trong [2], Hu-Yang đã chứng minh một kết quả suy rộng của định lý trên, trong đó đẳng thức a + b = c được thay bởi f 0 + · · · + f n+1 = 0 Trong bài báo này, chúng tôi chứng minh được một kết quả tương tự của định lý abc cho các hà m nhiều biến. Giả sử f là một đa thức nhiều biến với hệ số trong F và f có sự phân tích: f = s i=1 p α i i , trong đó các đa thức p i là bất khả quy, phân biệt, và α i > 0 là các số nguyên. Định nghĩa N 0 (f) = deg( s i=1 p i ). Kết quả chính của bài báo là định lý sau đây: Định lý:Giả sử f 0 , , f n+1 là n + 2 đa thức nhiều biến trong vành F [x 1 , , x l ] không có không điểm chung sao cho f 0 , , f n độc lập tuyến tính. Giả sử rằng f 0 + · · · + f n+1 = 0. (1) 97 Khi đó max 0≤i≤n+1 deg f i ≤ n(n + 1) 2 (N 0 (f 0 · · · f n+1 ) − 1). 2. Chứng minh Định lý: Giả sử f là một hàm hữu tỉ nhiều biến, ta viết f dưới dạng: f = f 1 f 2 , trong đó f 1 , f 2 là các đa thức khác không và nguyên tố cùng nhau trong vành đa thức F [x 1 , , x l ]. Bậc của f, ký hiệu deg f , được định nghĩa bởi deg f 1 − deg f 2 . Giả sử p là một đa thức bất khả quy, ta viết f dưới dạng: f = p α g 1 g 2 , trong đó g 1 , g 2 là các đa thức sao cho p không là ước của tích g 1 g 2 . Khi đó, số nguyên α được gọi là bậc của f tại p và được ký hiệu bởi µ p f . Chúng ta có một số tính chất đơn giản của µ p f sau đây. Bổ đề 2.1.Giả sử f, g là hai đa thức và p ∈ F [x 1 , , x l ] là một đa thức bất khả quy, ta có: a) µ p f+g ≥ min(µ p f , µ p g ), b)µ p fg = µ a f + µ p g , c) µ p f g = µ p f − µ p g . Cho ∆ là một toán tử vi phân dạng ∆ = (µ 1 · · · µ m ) −1 ∂ µ 1 ∂x µ 1 1 · · · ∂ µ m ∂x µ m m , trong đó µ i ≥ 0 là các số nguyên. Ta ký hiệu hạng của ∆ bởi: ρ(∆) = m i=1 µ i . Bổ đề 2.2. Giả sử ϕ là một đa thức nhiều biến thỏa mãn ∆ϕ ≡ 0, p là một đa thức bất khả quy. Khi đó µ p ∆ϕ ≥ −ρ(∆) + µ p ϕ . Chứng minh: Giả sử µ p ϕ = m, khi đó tồn tại đa thức f sao cho ϕ = p m f. Ta có ∂ϕ ∂x i = p m−1 (p ∂f ∂x i + mf ∂p ∂x i ). 98 Từ đó ta có µ p ∂ϕ ∂x i ≥ m − 1. Do đó µ p ∂ϕ ∂x i ≥ −1 + µ p ϕ . Từ đó ta thu được µ p ∆ϕ ≥ −ρ(∆) + µ p ϕ . Cho ∆ 0 , , ∆ s sao cho ρ(∆ i ) ≤ i và các đa thức h 0 , , h s trong F[x 1 , , x l ], Wronskian suy rộng có dạng W [h 0 , , h s ] = det |∆ i h j | 0≤i,j≤s . (2) Một kết quả (xem [7, 8]) khẳng định rằng nếu các hàm h i độc lập tuyến tính trên F thì tồn tại Wronskian suy rộng (2) không triệt tiêu. Chứng minh định lý: Theo giả thiết f 0 , , f n độc lập tuyến tính, khi đó tồn tại một Wronskian suy rộng W của f 0 , , f n không triệt tiêu. Ta đặt P = W (f 0 , , f n ) f 0 f n , Q = f 0 f n+1 W (f 0 , , f n ) . Từ đó ta có f n+1 = P Q. (3) Trước hết, ta chứng minh rằng deg Q ≤ ρN 0 (f 0 · · · f n+1 ) trong đó ρ = n j=0 ρ(∆ j ). Giả sử rằng p là một ước của f 0 f 1 · · · f n+1 và p là một đa thức bất khả quy. Từ giả thiết này ta suy ra tồn tại một chỉ số ν, 0 ≤ ν ≤ n + 1 sao cho p không là ước của f ν . Từ giả thiết f 0 + · · · + f n + f n+1 = 0 ta có µ p f 0 ···f n+1 W (f 0 , ,f n ) = µ p f 0 ···f ν−1 f ν+1 ···f n+1 W (f 0 , ,f ν−1 ,f ν+1 , ,f n+1 ) = n+1 j=0 µ p f j − µ p W (f 0 , ,f ν−1 ,f ν+1 , ,f n+1 ) trong đó W (f 0 , , f ν−1 , f ν+1 , , f n+1 ) là một tổng của các hạng tử δ∆ 0 f α 0 ∆ 1 f α 1 · · · ∆ n f α n , 99 α i ∈ {0, n + 1}\{ν}, δ = ±1. Từ các Bổ đề 2.1, 2.2 chúng ta có µ p ∆ 0 f α 0 ∆ 1 f α 1 ···∆ n f α n ≥ n j=0 µ p f α j − n j=0 ρ(∆ j ) = µ p n j=0 f α j − ρ. Theo Bổ đề 2.1 ta có µ p W (f 0 , ,f ν−1 ,f ν+1 , f n+1 ) ≥ µ p n j=0 f α j − ρ. Do đó µ p f 0 ···f n+1 W (f 0 , ,f n ) ≤ ρ. Theo định nghĩa bậc của hàm hữu tỉ, ta có: deg Q ≤ ρN 0 (f 0 · · · f n+1 ). (4) Tiếp theo, chúng ta sẽ chứng minh rằng deg P ≤ −ρ. Ta có định thức P là tổng của các hạng tử sau δ ∆ 0 f β 0 ∆ 1 f β 1 ∆ 2 f β 2 ∆ n f β n f β 0 f β 1 f β 2 f β n . Với mỗi hạng tử ta có deg ∆ 0 f β O ∆ 1 f β 1 ∆ 2 f β 2 ∆ n f β n f β 0 f β 1 f β 2 f β n = deg ∆ 0 f β O f β 0 + deg ∆ 1 f β 1 f β 1 + · · · + deg ∆ n f β n f β n ≤ −ρ(∆ 0 ) − ρ(∆ 1 ) − · · · − ρ(∆ n ) = −ρ. Do đó deg P ≤ −ρ. (5) Từ (3), (4), (5) chúng ta có deg f n+1 = deg P + deg Q ≤ ρ (N 0 (f 0 · · · f n+1 ) − 1) . 100 Từ ρ(∆ i ) ≤ i, ta có ρ ≤ 1 + 2 + · · · + n = n(n+1) 2 . Do đó deg f n+1 ≤ n(n + 1) 2 (N 0 (f 0 · · · f n+1 ) − 1). Tuơng tự đối với các đa thức f 0 , f 1 , , f n , ta có max 0≤i≤n+1 deg f i ≤ n(n + 1) 2 (N 0 (f 0 · · · f n+1 ) − 1). Định lý được chứng minh. Tài liệu tham khảo TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Browkin, J. and Brzezinski, J., Some remarks on the abc conjecture, Mathe- matics of Computation, 62, (1994), 931-939. [2] P.C. Hu and C.C.Yang, Notes on a generalized abc-conjecture over function fields, Ann. Math. Blaise Pascal 8 (2001), No. 1, 61-71. [3] Lang, S., Old and new conjectured Diophantine inequalities, Bull. Amer. Math. Soc. 23 (1990), 3775. [4] Leonid N. Vaserstein and Ethel R. Wheland, Vanishing polynomial sums, Com- munications in Algebra, 31, No. 2, (2003), 751-772. [5] Mason, R. C., Equations over function fields, Lecture Notes in Math. 1068 (1984), 149-157, Springer. [6] Mason, R.C., Diophantine equations over function fields, London Math. Soc. Lec-ture Note Ser. 96, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1984. [7] K. F. Roth, Rational approximation to algebraic numbers, Mathematika 2, (1955), 1-20. [8] T. Schneider, Einfuhrung in die tranzsendenten Zahlen, Berlin, (1957), 15-16. [9] H.N. Shapiro and G.H. Sparer, Extension of a Theorem of Mason, Comm. Pure and Appl. Math., 47 (1994), 711-718. AN ANALOG TO ABC-THEOREM FOR FUNCTIONS OF SEVERAL VARIABLES Nguyen Thi Phuong Nhung Department of Mathematics,Vinh University SUMMARY In this paper we prove an analog to abc theorem for functions of several variables. 101 . thức chúng tôi chứng được một kết quả tương tự của định lý abc cho các hàm nhiều biến. 1. Giới thiệu: Giả sử F là một trường đóng đại số có đặc số 0 và f (z) là một hàm khác hằng số với hệ số. TẠP CHÍ KHOA HỌC ĐẠI HỌC HUẾ, Số 50-2009 MỘT TƯƠNG TỰ CỦA ĐỊNH LÝ ABC CHO CÁC HÀM NHIỀU BIẾN Nguyễn Thị Phương Nhung Trường Đại học Vinh Tóm tắt.Trong bài báo này, bằng kỹ thuật. không điểm phân biệt của f. Định lý abc cho hàm một biến được phát biểu như sau: Định lý abc( [3]). Giả sử a(z), b(z), c(z) là các đa thức trên F không đồng thời là hằng số sao cho a + b = c. Khi