Báo cáo nghiên cứu khoa học: "Một tương tự của định lý Maso" doc

57 Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXV, số 1A-2006 Một tơng tự của định lý mason Nguyễn Thành Quang (a) Cao Trờng (b) , Phan Viết Bắc (c) Tóm tắt. Trong bài báo này bằng cách sử dụng đạo hàm của đa thức và kỹ thuật Wronskian, chúng tôi đa ra một tơng tự của định lý Mason trên phơng trình Borel của các đa thức phức. 1. Giới thiệu Các đa thức f 0 , f 1 , , f n+1 , (n 2) đợc gọi là thoả mãn phơng trình Borel nếu f 0 + f 1 + + f n+1 = 0. Đây là dạng tổng quát của các phơng trình Diophant. Gần đây, ngời ta thờng nghiên cứu sự tơng tự của lý thuyết Nevanlinna và xấp xỉ Diophant. Sự tơng tự của lý thuyết Nevanlinna và xấp xỉ Diophant không chỉ thể hiện ở kết quả mà còn ở phơng pháp chứng minh. Chỉ cần một từ điển thích hợp, ngời ta có thể phiên dịch các kết quả của lý thuyết Nevanlinna thành các kết quả số học. Chính nhờ một từ điển nh vậy mà Vojta đã chứng minh đợc nhiều kết quả đặc sắc trong số học (xem [6]). Một trờng hợp đặc biệt của phơng trình Borel, đó là phơng trình abc : a + b = c, cùng với giả thuyết abc . Sự tơng tự của giả thuyết abc trên trờng hàm đã đợc xây dựng trong công trình của Mason (xem [4]), sau đó đợc mở rộng trên phơng trình Borel trong các công trình của Volch, Brownawell, Masser, Wang [1], [2]. Gần đây, giả thuyết abc trên trờng cơ sở không Acsimet đã đợc xây dựng và chứng minh bởi Hu - Yang [2]. Giả sử F là một trờng đóng đại số, có đặc số 0 và giả sử f(z) là đa thức với hệ tử trong trờng F. Kí hiệu f n 1 là số nghiệm phân biệt của đa thức f(z) . Năm 1983, R.C. Mason đã chứng minh định lý rất đẹp sau đây về các đa thức Định lý Mason. (xem [4]) Giả sử a(t), b(t), c(t) là các đa thức với hệ số trong F, không đồng thời là hằng số, nguyên tố cùng nhau sao cho a + b = c. Khi đó max {deg(a), deg(b), deg(c)} ( ) 1 1 abc n , trong đó a, b, c là viết gọn của a(t), b(t), c(t). Chú ý rằng, từ định lý Mason ta suy ra đợc Định lý Fermat trên đa thức. Trong bài báo này, chúng tôi tiếp tục tìm một kết quả tơng tự của định lý Mason. Nhận bài ngày 01/8/2005. Sửa chữa xong 28/11/2005 58 N. T. Quang C. Trờng P. V. Bắc, Một tơng tự của định lý Mason, tr. 57-63 2. Định nghĩa. Cho u 1 , u 2 , , u m là các phần tử của không gian vectơ trên trờng F và I là một tập con thực sự khác rỗng của M = {1, 2, , m}. Ta gọi I là tập con cực tiểu của M nếu các phần tử u i , i I phụ thuộc tuyến tính và với mọi tập con thực sự I của I, các phần tử u i , i I đều độc lập tuyến tính trên F. 3. Bổ đề. (xem [1]) Giả sử = m i i u 1 = 0 và không có tổng con thực sự khác rỗng nào triệt tiêu. Hơn nữa, tồn tại tập con thực sự khác rỗng các phần tử nào đó phụ thuộc tuyến tính. Khi đó, chúng ta có thể tìm đợc một số nguyên l 2, và một phân hoạch M = I 1 I 2 I l thành các tập con khác rỗng rời nhau I 1 , I 2 , , I l và các tập khác rỗng J 1 , , J l - 1 sao cho J 1 I 1 , J 2 I 1 I 2 , , J l - 1 I 1 I 2 I l - 1 và I 1 , I 2 J 1 , , I l J l - 1 là các tập cực tiểu của M. Giả sử 0 )( )( )( = xg xf x là một hàm hữu tỉ, trong đó f(c), g(x) là các đa thức khác không và nguyên tố cùng nhau. Bậc của (x), kí hiệu là deg (x) đợc định nghĩa bởi deg f(x) deg g(x). Từ tính chất của đa thức, ta có 4. Mệnh đề. Nếu 1 và 2 là các hàm hữu tỉ trên trờng F, khi đó i) deg( 1 2 ) = deg 1 + deg 2 . ii) deg (1/ 1 ) = - deg 1 . iii) deg( 1 + 2 ) max {deg 1 , deg 2 }. 5. Định nghĩa. Cho (x) 0 là một hàm hữu tỉ trên trờng F. Với mọi F, ta viết (x) = (x - a) m )( )( 1 1 xg xf , (m Z), ở đây f 1 (x), g 1 (x) là các đa thức nguyên tố cùng nhau, không chứa nhân tử dạng (x- ) k và f 1 (x)g 1 (x) 0. Ta gọi m là cấp của tại và kí hiệu ord ( ). Từ định nghĩa này ta nhận đợc i) ord ( 1 2 ) = ord ( 1 ) + ord ( 2 ), ii) ord 1 1 = - ord ( 1 ), iii) ord 2 1 = ord ( 1 ) - ord ( 2 ). 6. Mệnh đề. Cho (x) 0 là một hàm hữu tỉ trên F và giả sử (k) là đạo hàm cấp k của (x) sao cho (k) 0. Khi đó, ta có bất đẳng thức: kord k )( . 59 Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXV, số 1A-2006 Chứng minh. Đặt )( )( )()( xg xf xx m = , ở đây f(x), g(x) là các đa thức trên F, nguyên tố cùng nhau với f(x)g(x) 0. Khi đó, ta có . )( )(')()()())(' )()( ( )()(' 2 1 xg xgxfxxgxfxxfm xx m + = Vì ord (g(x)) = 0, nên ta có ord ( ) m - 1. Do đó ord ' = ord ( ) ord ( ) - 1. Vì vậy, ta nhận đợc ord )( k = ord )1( )( ''' k k = = ord ' + ord '' + + ord )1( )( k k - k. 7. Mệnh đề. Gọi 1 , 2 là hai hàm hữu tỉ trong F và a F. Khi đó ta có bất đẳng thức ord ( 1 + 2 ) min { ord ( 1 ), ord ( 2 )}. Chứng minh. Đặt ord ( 1 ) = m 1 và ord ( 2 ) = m 2 . Ta có )( )( )()( 1 1 1 1 xg xf xx m = ; )( )( )()( 2 2 2 2 xg xf xx m = , ở đây f 1 , f 2 , g 1 , g 2 là các đa thức trên trờng F và f 1 (x)f 2 (x)g 1 (x)g 2 (x) 0. Đặt m = min{m 1 , m 2 }. Ta đợc =+ )()( 2 1 xx [ ] )()( )()()()()()( )( 22 1221 21 xgxf xgxfxxgxfx x mmmm m + . Vì f 2 ( )g 2 ( ) 0 nên ta có ord ( 1 + 2 ) m = min { ord ( 1 ), ord ( 2 )}. 8. Định lý. Giả sử f 0 , f 1 , , f n+ 1 , ) 2 ( n là các đa thức với hệ số trong F, không đồng thời là hằng số, nguyên tố cùng nhau, sao cho f 0 + f 1 + + f n+ 1 = 0. Giả sử thêm rằng các đa thức f 0 , f 1 , , f n phụ thuộc tuyến tính. Khi đó, nếu 0 Ii i f với mọi tập con thực sự I của {0, , n+1} thì { } + = + 1 0 10 . 1 degmax n i i i ni n f nnf 60 N. T. Quang C. Trờng P. V. Bắc, Một tơng tự của định lý Mason, tr. 57-63 Chứng minh. Theo bổ đề trên, ta có thể tìm đợc một số nguyên dơng l 2 sao cho có một phân hoạch {0, 1, , n+1} = I 1 I l và các tập con J 1 I 1 , J 2 I 1 I 2 , , J l-1 I 1 I 2 I l -1 sao cho I 1 , I 2 J 1 , , I l J l -1 là các tập cực tiểu. Đặt n i = #I i ta có 2 1 += = nn l i i . Không làm mất tính tổng quát chúng ta giả sử rằng 0, 1, , n 1 1 I 1 ; n 1 , n 1 + 1, , n 1 + n 2 1, I 2 ; . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n + 2 n l , , n + 1 I l . Vì I 1 là tập cực tiểu nên có một hệ thức tuyến tính tơng ứng 0 f 0 + 1 f 1 + + 1 1 n 1 1 n f . Đạo hàm đến cấp n 1 - 2 ta có 0 f 0 + 1 f 1 + + 1 1 n 1 1 n f = 0. 0 ' 1 1 1 11 1 1 10 0 0 0 1 1 1 1 =++ + n n n n f f f f f f f f f .0 1 1 )2( 1 11 1 )2( 1 10 0 )2( 0 0 1 1 1 1 1 1 1 =+++ n n n n n n n f f f f f f f f f Tơng tự nh vậy do I j I j 1 là các tập cực tiểu nên tồn tại các hệ thức tuyến tính tơng ứng của các hàm thuộc tập I j I j 1 . Đạo hàm mỗi phơng trình này đến cấp n j - 1. Do đó, ta sẽ thu đợc = l j j n 1 1 = n + 1 phơng trình. Ta có thể viết các phơng trình đó dới dạng 0 10 )( 1 = jj jj j nm JIi i i m i i f f f . Gọi là ma trận cấp (n+1)ì(n+2) lập bởi các hệ số i m i i f f j )( của f i . Giả sử i là định thức của ma trận nhận đợc từ bằng cách xoá cột tơng ứng với f i của . Khi đó ta có 61 Đại học Vinh Tạp chí khoa học, tập XXXV, số 1A-2006 f i j = ij f j i , 0 i, j n+1 và ij = 1. (1) Giả sử I = {i 1 , , i k } là một tập con của {0, , n+1}. Kí hiệu ( ) k k k k k k i i i i i i i i i i f f f f f f f f I )()1( 1 1 1 1 1 1 1 = . Vì 0 I 1 nên 0 = a 0 (I) (I 2 ) (I l ), ở đây a 0 là hằng số khác không và I nhận đợc từ I 1 bằng cách xoá cột tơng ứng với f 0 . Vì các phần tử của I và I j , (2 j l) độc lập tuyến tính nên (I) 0 và (I j ) 0. Vì vậy 0 0, kết hợp với (1), ta suy ra i 0. Từ (1), ta đặt k f f f n n n = == = + + + 1 1 10 1 1 01 0 0 . Vì vậy f 0 = k 0 , do đó suy ra ( ) ( ) ( ) 00 degdegdeg += kf . (2) Bây giờ ta chứng minh ( ) + = 1 0 1 deg n i i f nntk . Thật vậy, giả sử a là một nghiệm của k(t) thì a là một nghiệm của đa thức f i nào đó (vì k(t) là một phân thức có tử thức là tích của các f i ). Do f 0 , f 1 , , f n+1 nguyên tố cùng nhau, nên tồn tại i 0 sao cho ( ) 0 0 af i . Ta có ( ) ( ) 0 0 0 i i i tf tk = . Nếu gọi { 0 , 2 , , n } = {0, 1, , n+1}\{i 0 } thì 0 i bằng tổng các số hạng có dạng n n n ff ff j j 0 1 0 )( )( , ở đây 0 0 , 2 , , n n+1; 1 j 1 , , j n n, là hằng số khác 0. Vì vậy, từ định nghĩa 5 và mệnh đề 6 suy ra ( ) ++ = = + 0 10 )( )( ( )( 1ordord ord 0 1 0 0 ) 1 0 af nk j a j a j j a k n n n n n n n f f f f ff ff . Do đó, từ mệnh đề 7, ta có 62 N. T. Quang C. Trờng P. V. Bắc, Một tơng tự của định lý Mason, tr. 57-63 ( ) = + 0 10 1ord 0 af nk ia k n . Vì vậy, từ nhận xét trong định nghĩa 5, ta suy ra ( ) ( ) = + 0 10 1ord af nk a k ntk . Bất đẳng thức trên đúng với mọi a là nghiệm của k(t). Theo định nghĩa bậc của hàm hữu tỉ, suy ra ( ) + = 1 0 1 deg n i i f nntk . (3) Bây giờ ta chứng minh deg 0 - n. Thật vậy, 0 bằng tổng các số hạng có dạng . 1 1 1 )()( n n n jj i j i j ff ff Đối với mỗi số hạng này thì ( ) ( ) .1 1 deg deg deg )( )( )( )( 1 1 1 1 1 1 n f f f f ff ff n n n n n n j i j j i j jj i j i j =++ ++ = Do đó deg 0 - n. (4) Từ (2), (3) và (4) ta có ( ) . 1 deg 1 0 0 n f nnf n i i + = Tơng tự đối với f 1 , , f n+1 ta có ( ){ } . 1 degmax 1 0 10 n f nnf n i i i ni + = + Định lý 8 đã đợc chứng minh . 63 §¹i häc Vinh T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXV, sè 1A-2006 Tµi liÖu tham kh¶o [1] W. D. Brownawell and D. W. Masser, Vanishing sums in function fieds, Math. Proc. Comb. Phil. Soc., 100 (1986), 427- 434. [2] P. C. Hu and C. C. Yang, The “ abc ” conjecture over function fields, Proc. Japan Acad., 76, Ser. A (2000), 99-128. [3] S. Lang, Old and new conjectured Diophantine inequalities, Bull. Amer. Math. Soc., 23, (1990), 37-75. [4] R. C. Mason, Diophantine equation over function fields, London Math. Soc. Lecture Note Ser., Vol. 96, Cambridge Univ. Press. Cambridge (1984). [5] Nguyen Thanh Quang, Phan Duc Tuan, Siu-Yeung’s lemma in the p-adic case, Vietnam Journal of Math., 32: 2, (2004), 227-234. [6] P. Vojta, Mordel’s Conjecture over functions, Invent. Math. 98, (1998), 115- 138. SUMMARY An analog of mason’s theorem In this paper, by using the derivative of polynomials and the Wronskian technique, we give an analog of Mason’s theorem on the Borel equation for the complex polynomials. (a) Khoa to¸n, Tr−êng §¹i häc Vinh (b) Cao häc 11, Khoa To¸n, Tr−êng §¹i häc Vinh (c) Cao häc 12, khoa To¸n, Tr−êng §¹i häc Vinh. 64 §¹i häc Vinh T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXV, sè 1A-2006 65 §¹i häc Vinh T¹p chÝ khoa häc, tËp XXXV, sè 1A-2006 66 Ng« §×nh Quèc, TÝnh ω - x¸c ®Þnh cña c¸c mÇm hµm , tr. 64-70 [...]...Đại học Vinh 67 Tạp chí khoa học, tập XXXV, số 1A-2006 Ngô Đình Quốc, 68 Tính - xác định của các mầm h m , tr 64-70 Đại học Vinh 69 Tạp chí khoa học, tập XXXV, số 1A-2006 Ngô Đình Quốc, 70 Tính - xác định của các mầm h m , tr 64-70 . là viết gọn của a(t), b(t), c(t). Chú ý rằng, từ định lý Mason ta suy ra đợc Định lý Fermat trên đa thức. Trong bài báo này, chúng tôi tiếp tục tìm một kết quả tơng tự của định lý Mason. . = 0. Đây là dạng tổng quát của các phơng trình Diophant. Gần đây, ngời ta thờng nghiên cứu sự tơng tự của lý thuyết Nevanlinna và xấp xỉ Diophant. Sự tơng tự của lý thuyết Nevanlinna và xấp. chí khoa học, tập XXXV, số 1A-2006 Một tơng tự của định lý mason Nguyễn Thành Quang (a) Cao Trờng (b) , Phan Viết Bắc (c) Tóm tắt. Trong bài báo này bằng cách sử dụng đạo hàm của