Hàm nhiều biến và phương trình hàm

Ví dụ: Hàm chi phí của hai sản phẩm.. Một công ty sản xuất hai loại sản phẩm A và B... Tập hợp tất cả x,y,z trong không gian với toạ độ Oxyz thường tạo thành 1 mặt, gọi là biểu diễn của

Chương 1 HÀM NHIỀU BIẾN 3

1.1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM 3

1.1.1 KHÔNG GIAN Rn 3

1.1.2 HÀM NHIỀU BIẾN 3

1.1.3 TÍNH LIÊN TỤC HÀM HAI BIẾN 6

1.2 ĐẠO HÀM RIÊNG 7

1.2.1 ĐẠO HÀM RIÊNG 7

1.2.2 ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP CAO 7

1.3 VI PHÂN 8

1.3.1 VI PHÂN 8

1.3.2 VI PHÂN TOÀN PHẦN 8

1.3.3 VI PHÂN CẤP CAO 8

1.4 CỰC TRỊ TỰ DO 9

1.4.1 ĐỊNH NGHĨA 9

1.4.2 CÁCH TÌM CỰC TRỊ 9

1.5 CỰC TRỊ CÓ ĐIỀU KIỆN 11

1.6 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT 14

1.6.1 ĐỊNH NGHĨA 14

1.6.2 CÁCH TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT 14

Chương 2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 16

2.1 KHÁI NIỆM 16

2.2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 17

2.2.1 PHƯƠNG TRÌNH KHUYẾT 17

2.2.2 PHƯƠNG TRÌNH BIẾN SỐ PHÂN LY 19

2.2.3 PHƯƠNGTRÌNH TUYẾN TÍNH CẤP 1 21

2.2.4 PHƯƠNG TRÌNH BERNOULLI 22

2.3 MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH CÓ THỂ HẠ CẤP 24

Chương 1 HÀM NHIỀU BIẾN

1.1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM

Rn = {(x1, x2, …, xn)  xi∈R, 1≤ i ≤n}

Một điểm trong Rn gồm bộ n số thực xác định điểm đó

- Khoảng cách giữa 2 điểm M(x1, x2, …, xn), N(y1, y2, …, yn):

2 2

2 1

(x − y + x − y + + x n − y n

MN ≥ 0,∀ M, N ∈ Rn

- Giới hạn của dãy điểm :

Cho dãy điểm Mk ( n k

n

M n n

1sin,12

gọi là miền giá trị của hàm số f

Ví dụ: Hàm chi phí của hai sản phẩm.

Một công ty sản xuất hai loại sản phẩm A và B Hàm chi phí mỗi tuần của mỗi loại sản phẩm như sau:

Sản phẩm A: C x( ) =500 70+ x , x là số lượng sản phẩm A.

Biểu diễn hàm hai biến

Đặt z = f(x,y) Tập hợp tất cả (x,y,z) trong không gian với toạ độ Oxyz thường tạo thành 1 mặt, gọi là biểu diễn của hàm z = f(x,y)

Ví dụ : Cho hàm số z = f(x,y) = sin(x+y) có biểu diễn trên hệ trục Oxyz như sau:

1 O

y

x

hình 1

Hàm số z=ln(x y+ −1) được xác định khi x y+ − > 1 0 hay x y+ > 1, miền xác

định của nó là nửa mặt phẳng mở ở phía trên đường thẳng x y+ = 1 (hình 2).

1

1 O

D: miền xác định gồm (x1, x2, …, xn), U: miền giá trị của hàm

Giá trị của hàm u = f(x1, x2, …, xn) tại điểm M0( 0

1

x , …, 0

n

x ) được ký hiệu là f( 0

Định nghĩa giới hạn này gọi là giới hạn kép (hay giới hạn bội).

* Hàm hai biến còn có giới hạn lặp:

Hàm n biến f(x1, x2, …, xn) xác định trên tập D có giới hạn b tại điểm

x1, 2, , ) ∈ D, k = 1, 2, … có giới hạn

y x

→

→ không tồn tạiLấy 2 dãy Mn(

0.1lim

2 ++∞

211

1lim

n n

1.1.3 TÍNH LIÊN TỤC HÀM HAI BIẾN

Cho hàm số f x y( ), xác định trong miền D M x y0( 0, 0) là điểm thuộc D Ta nói rằng hàm số f x y( ), liên tục tại M0 nếu:

∆+

→

∆

),(),(

0Đạo hàm riêng của f theo biến y tại (x0, y0)

−

∆+

→

∆

),(),

(

0

Nhận xét: đạo hàm theo biến x thì coi y là hằng số và ngược lại.

Ví dụ :Tính các đạo hàm riêng của z x= 4−5x y3 2+2y4

i i

x x x f x x x x f

−

∆+

→

∆

), ,, ,(), ,, ,

(lim

0 0 0 1 0

0 0 0 1 0

1.2.2 ĐẠO HÀM RIÊNG CẤP CAO

Định lý: Nếu hàm số có các đạo hàm riêng các cấp liên tục thì đạo hàm riêng

không phụ thuộc vào thứ tự lấy đạo hàm

Ví dụ : Cho f = y2.lnx, tìm các đạo hàm riêng cấp 2

f

∂

∂

∂2dxdy + 2

dmf = k

y k m k k m

m m

k

y x

k

y x

Định lý : Giả sử rằng M x y0( 0, 0) là một điểm dừng của hàm số f x y( ), và hàm

số f x y( ), có đạo hàm riêng cấp 2 ở lân cận điểm M0

Vậy điểm dừng duy nhất là điểm (−2, 1).

Vì z xx = 2; z xy = 0; z yy = 2 nên B 2 − AC = − < 4 0, còn C= >2 0, vậy ham số đạt cực tiểu tại điểm (−2, 1) và 2 2 ( )

Phương trình này có hai nghiệm x= 0; x= 1.

Vậy ta có hai điểm dừng M0( )0,0 và M1( )1, 1

Vì z xx = 6 , x z xy = − 3, z yy = 6y nên:

Tại M0( )0,0 ta có B2 −AC= > 9 0, điểm M0 không là điểm cực trị

Tại M1( )1,1 ta có B2 −AC= − 9 36 = − < 27 0, C= >6 0, M1 là điểm cực tiểu, min 1 1 3 1

Bài toán tìm cực trị của hàm số z =f(x,y) với điều kiện ϕ (x, y) 0 = được gọi là

bài toán cực trị có điều kiện

Ví dụ : Tìm cực trị của hàm z f (x, y) 2x= = 2− +y2 xy 1− với điều kiện

2

x −2xy y 3+ =

* Xét bài toán cực trị của hàm số z=f(x,y) với điều kiện ϕ (x, y) 0 = Hàm số được

gọi là đạt cực tiểu có điều kiện tại M (x , y )0 0 0 nếu

2) Phương pháp nhân tử Lagrange

Điều kiện cần: Xét bài toán cực trị của hàm số z =f(x,y) với điều kiện ϕ (x, y) 0 =

Giả sử hàm số z đạt cực trị có điều kiện tại M0(x0,y0) và các hàm số f(x,y) và

Điều kiện đủ: Xét bài toán cực trị của hàm số z =f(x,y) với điều kiện ϕ (x, y) 0 =

.Giả sử M0(x0,y0) là điểm dừng ứng với λ ∈¡ ( tức là (x , y , )0 0 λ thỏa hệ (1)) và các hàm số f(x,y) và ϕ (x, y)có các đạo hàm riêng cấp 2 liên tục

Thì H được gọi là ma trận Hesse

* Nếu |H| < 0 thì hàm số đạt cực tiểu có điều kiện tại M0(x0,y0)

* Nếu |H| > 0 thì hàm số đạt cực đại có điều kiện tại M0(x0,y0)

* Nếu |H| = 0 thì ko có kết luận về cực đại, cực tiểu của hàm số tại M0(x0,y0)

Ví dụ :

Tìm cực trị của hàm f = xy với điều kiện x2 + y2 = 4

Giải: điều kiện ϕ(x, y) = 4 - x2 - y2

Ta có ϕ’x = -2x; ϕ’y = -2y

φ’’xx = -2λ; φ’’xy = 1 φ’’yy = -2λ

* x = y = 2, λ =

2 1

2

2

11

2

2

22220

H2 = |Hb| = 32 > 0

⇒ f đạt cực đại tại M1 ( 2, 2) với điều kiện ϕ(x, y ) = 0

* x = y = - 2, λ =

2 1

2

2

112

2

22220

H2 = |Hb| = 32 > 0

⇒ f đạt cực đại tại M2 (- 2, - 2) với điều kiện ϕ(x, y ) = 0

* x = 2, y = - 2, λ =

-2 1

2

11

2

2

22220

H2 = |Hb| = -32 < 0

⇒ f đạt cực tiểu tại M3 ( 2, - 2) với điều kiện ϕ(x, y ) = 0

* x = - 2, y = 2, λ =

-2 1

2

2

11

2

2

22220

H2 = |Hb| = -32 < 0

⇒ f đạt cực tiểu tại M4 (- 2, 2) với điều kiện ϕ(x, y ) = 0

Tìm cực trị của hàm f(x, y) = x + y với điều kiện

4

2

x

+9

2

y

= 1Xét hàm phụ Lagrange

2

y

)Điểm dừng là nghiệm của hệ sau:

2

y

= 1} nên hàm f đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên E Ở đây có 2 điểm dừng nên f đạt cực đại tại 1 điểm và đạt cực tiểu tại điểm còn lại.f(

9 = 13f(

9

− = - 13 < 13

Vậy f đạt cực đại tại M1(

13

4, 13

9) và đạt cực tiểu tại M2(

13

4

−, 13

9

−)

1.6 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT

1.6.1 ĐỊNH NGHĨA

Cho hàm số f(x,y) liên tục trong miền D đóng thì f(x,y) đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất rong miền đó

Xét z = f(x,y) xác định trên miền D đóng

Số M gọi là giá trị lớn nhất của z nếu ∀(x,y)∈D: f(x,y)≤M

Số m gọi là giá trị nhỏ nhất của z nếu ∀(x,y)∈D: f(x,y)≥m

1.6.2 CÁCH TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT

Muốn tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm f(x,y) trong miền D này, ta thực hiện các bước sau:

Tính giá trị của f tại các điểm dừng của f trong miền D

Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên biên của miền D

Ví dụ : Tìm GTLN, GTNN của z=−x2 +y2 +1 trên miền giới hạn bởi

Chương 2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Thì (2) là dạng giải được đối với đạo hàm cấp cao nhất

Nghiệm của phương trình vi phân là mọi hàm số thoả mãn phương trình ấy Giải một phương trình vi phân là tìm tất cả các nghiệm của nó Các nghiệm ấy có dạng :

y = f(x) hoặc ϕ(x, y) = 0 hoặc x = x(t), y = y(t)

Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp n phụ thuộc n tham số

y = y(x, c1, …, cn)

Định lí về sự tồn tại và duy nhất nghiệm

Cho hàm f(x, y, …, y(n-1)) xác định và liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục tại lân cận điểm (x0, y0, y0’, …, y0(n-1)) Khi đó tồn tại duy nhất một nghiệm y = y(x) của (2) xác định ở lân cận điểm x0 thoả mãn điều kiện

Tìm nghiệm thoả mãn y(0) = 1, y’(0) = 2

y(0) = c2 = 1, y’(0) = c1 = 2

1) Phương trình khuyết y : F(x, y’) = 0

a) Phương trình giải ra được đối với y’ có dạng y’ = f(x)

Chỉ việc lấy tích phân 2 vế, ta được

y = ∫ f )(x dx = F(x) + C

trong đó F(x) là một nguyên hàm của f(x)

b) Phương trình giải ra được đối với x có dạng x = f(y’)

t2 + C

y = 4t3 +

2

5

t2 – 3t + C2) Phương trình khuyết x : F(y, y’) = 0

a) Phương trình dạng y’ = f(y) ⇒

dx

dy

= f(y) ⇒ dx = f dy ( y)Lấy tích phân hai vế ta được x = F(y) + C, F(y) là một nguyên hàm của f(1y)Phương trình dạng y = f(y’)

c) Phương trình tham số hoá của F(y, y’) = 0 dưới dạng

141

b) Phương trình dạng y’ = f + + 

++

'''x b y c a

c by ax

Ta có phương trình vi phân có biến phân ly

+

c kz

c z

=++

0'''

0

c y b x a

c by ax

−

)(

')('

)(

)(

0 0

0 0

y y b x x a

y y b x x a

+

z b a

bz a

' '

+

z b a

bz a

'

''

x x

dx z

z b a

bz a f

x y

x

y

x

có 1 nghiệm duy nhất x0 = 3 và y0 = -2y’ =

3

2 )

3

(

−

+ +

−

x

y x

y’ = dx dy = (x – 3)

dx

dz

+ z(x – 3)

Trong đó p(x), q(x) là các hàm liên tục trên (a, b) nào đó

Ta có thể viết y' = f(x, y); trong đó f(x, y) = -p(x).y + q(x)

Nên ∂y f

∂

= -p(x) Theo định lý tồn tại duy nhất nghiệm thì ∀x0∈(a,b) và cho mọi

y0 tồn tại duy nhất y = y(x) sao cho y(x0) = y0.

* Để giải phương trình, trước tiên ta giải phương trình vi phân tuyến tính đẳng cấp tương ứng

Thay y’(x) và y(x) vào (1)

A’(x).eR(x) -p(x)A(x).eR(x) + p(x).A(x).eR(x) = q(x)

A’(x) = q(x)e-R(x)

A(x) = ∫q(x)e−R )(x dx + c

Nghiệm tổng quát của (1) là y(x) = (∫q x e−R )(x dx

) ( + c).eR(x)

Lưu ý: Nếu y1(x) là 1 nghiệm khác 0 của phương trình (2) thì

x

2

.yNgoài nghiệm y(x) = 0, ∀x ≠ 0, nghiệm còn lại của (2) là nghiệm của phương trình

Ta tìm nghiệm của (1) dạng: y(x) = A(x).x2

Lấy đạo hàm của y rồi thay vào (1):

A’(x).x2 = x3⇔ A’(x) = x

A(x) = ∫xdx =

2

1.x2 + cNghiệm tổng quát của (1) là

Và một nghiệm đặc biệt y(x) = 0, ∀x

f(y, p, p dy dp) = 0

Giải phương trình trên ta được p = p(y, c1)

Để tìm nghiệm của (3) ta giải phương trình vi phân cấp 1

2

1

= 6

1.x3 + c1.x + c2

= 4

1.x4 +31.x3 + c2

3

14