Giải và biện luận phương trình, bất phương trình bằng phương pháp hàm số

Tư giải toán Hàm Số Vận Dụng – Vận Dụng Cao Nguyễn Thành Trung Contents  DẠNG 1: Cho đồ thị hàm số y = f ( x ) ( xác định số nghiệm phương trình ) f t ( x ) = k  DẠNG 2: Cho bảng biến thiên f  ( x ) tìm tham số m để bất phương trình g ( x , m )  có nghiệm thuộc D  DẠNG 3: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị f ( x ) xác định tham số m để g ( x , m )  13  DẠNG 4: Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị f  ( x ) xác định tham số m để g ( x , m )  36  DẠNG 5: Cho đồ thị hàm số y = f ( x ) xác định tham số để phương trình có nghiệm 41 Theo bất đẳng thức Bunyakovsky 48  DẠNG 6: Cho đồ thị hàm số y = f  ( x ) xác định số nghiệm hàm số g ( x ) = f ( x ) + g ( x ) 51  DẠNG : Biện luận tham số m bất phương trình phương trình cách đưa hàm số đặc trưng 53 Tư giải toán vận dụng- vận dụng cao hàm số Nguyễn Thành Trung ( )  DẠNG 1: Cho đồ thị hàm số y = f ( x ) xác định số nghiệm phương trình f t ( x ) = k Ví dụ Cho hàm số f ( x ) liên tục y = f ( x ) hình bên có đồ thị Đặt g ( x ) = f  f ( x ) xác định số nghiệm phương trình g ( x ) = A B C D  Lời giải  Chọn đáp án A Ta có  g ( x ) =  f f ( x )  = f  ( x ) f   f ( x )     x = −1   f ( x) = x = g ( x ) =    f ( x ) = ( 1)  f   f ( x )  =   f ( x ) = ( ) ( ) Phương trình ( 1) có nghiệm đường thẳng y = cắt đồ thị hàm số f ( x ) điểm phân biệt Phương trình ( ) có nghiệm đường thẳng y = cắt đồ thị hàm số f ( x ) điểm phân biệt Tư giải toán Hàm Số Vận Dụng – Vận Dụng Cao Nguyễn Thành Trung Suy g ( x ) = có nghiệm Ví dụ Cho hàm số f ( x ) liên tục có đồ thị y = f ( x ) hình bên Số nghiệm ( ( )) = thực phương trình f + f e x A B C D  Lời giải  Chọn đáp án B Ta có Theo đồ thị ( f + f (e x ))  + f ( e x ) = −1 =1   + f ( e x ) = a , (  a  3)  e x = + f e x = −1  f e x = −3   x x=0  e = b  −1 ( loaïi ) ( ) ( ) ( ) ( ) + f ex = a  f ex  e x = c  −1 ( loaïi )  = a − 2, (  a −  1)   e x = d  ( loaïi )  x = ln t  x  e = t  Vậy phương trình cho có nghiệm phân biệt Ví dụ Tư giải toán vận dụng- vận dụng cao hàm số Nguyễn Thành Trung Cho hàm số f ( x ) liên tục có đồ thị y = f ( x ) hình bên Phương trình ( ) f − f ( x ) = có bao tất nghiệm phân biệt A C B D Thi Thử THPT Quốc Gia Trường Yên Lạc Vĩnh Phúc Lần  Lời giải  Chọn đáp án B Theo đồ thị  x = a ( −2  a  −1)  − f ( x) = a  f ( x) = − a (1)     f (2 − f ( x)) =   − f ( x) = b   f ( x) = − b (2) f ( x) =   x = b (0  b  1)  x = c (1  c  2)  − f ( x) = c  f ( x) = − c (3) Nghiệm phương trình ( 1) ; ( ) ; ( ) giao điểm đường thẳng y = − a; y = − b; y = − c với đồ thị hàm số f ( x ) • a  (−2; −1)  − a  (3; 4) suy phương trình ( 1) có nghiệm phân biệt • b  (0;1)  − b  (1; 2) suy phương trình ( ) có nghiệm phân biệt • c  (1; 2)  − b  (0;1) suy nên phương trình ( ) có nghiệm phân biệt Kết luận: Có tất nghiệm phân biêt  DẠNG 2: Cho bảng biến thiên f  ( x ) tìm tham số m để bất phương trình g ( x , m )  có nghiệm thuộc D Ví dụ Tư giải tốn Hàm Số Vận Dụng – Vận Dụng Cao Nguyễn Thành Trung Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm Bảng biến thiên hàm số y = f  ( x ) hình −1 x 3 f ( x) Tìm m để bất phương trình m + x  f ( x ) + x nghiệm với x ( 0; ) A m  f (0) B m  f (0) C m  f (3) D m  f (1) −  Lời giải  Chọn đáp án A 1 Ta có m + x2  f ( x ) + x3  m  f ( x ) + x3 − x 3 Đặt g ( x ) = f ( x ) + x − x Ta có g ( x ) = f  ( x ) + x2 − 2x = f  ( x ) − −x2 + 2x ( g ( x ) =  f  ( x ) = − x + x ) f  ( x )  x  ( 0; ) Theo bảng biến thiên g ( x )  0, x  ( 0; ) −x2 + 2x = − ( x − 1)  1,x  ( 0; ) nên Từ ta có bảng biến thiên g( x) : x g ( x ) + g ( 3) g ( x) g (0) Bất phương trình m  f ( x ) + x − x nghiệm với x ( 0; )  m  g ( )  m  f (0) Ví dụ Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên sau: x f ( x) −1 − + − + + − Tư giải toán vận dụng- vận dụng cao hàm số Nguyễn Thành Trung f ( x) − ( − ) Bất phương trình x + f ( x )  m có nghiệm khoảng ( −1; ) C m  27 B m  15 A m  10 D m  15 Đề thi Duyên Hải Bắc Bộ năm 2019  Lời giải  Chọn đáp án B Yêu cầu toán  m  max g ( x )  −1; 2 ( ) Với g ( x ) = x + f ( x ) ( ) Ta có: g  ( x ) = x f ( x ) + x + f  ( x ) x   2  f ( x )   g  ( x )  0, x  ( −1; ) Với x  ( −1; )   f x  ( )   x2 +   Tại x = , g  ( ) = x   2  f ( x )   g  ( x )  0, x  ( 0; ) Với x  ( 0; )   f ( x)   x2 +   ( ) Ta có bảng biến thiên hàm số g ( x ) = x + f ( x ) khoảng ( −1; ) sau x g ( x ) g ( x) Suy max g ( x ) = 15  −1; 2 Kết luận: m  15 Ví dụ −1 − 2 + 15 Tư giải toán Hàm Số Vận Dụng – Vận Dụng Cao Nguyễn Thành Trung Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên sau: x f ( x) + − − Tìm m để bất phương trình m + 2sin x  f ( x ) nghiệm với x  ( 0; + ) B m  f (1) − 2sin1 A m  f ( ) C m  f ( ) D m  f (1) − 2sin1  Lời giải  Chọn đáp án C BPT m + 2sin x  f ( x )  m  f ( x ) − 2sin x Yêu cầu toán  m  g ( x ) ; g ( x ) = f ( x ) − 2sin x Ta có g ( x ) = f  ( x ) − 2cos x g ( x ) =  f  ( x ) = 2cos x Mà f  ( x )  2, x  ( 0; + ) 2cosx  2,x  ( 0; + ) nên g ( x )  0, x  ( 0; + )  f '( x) = g ( x ) =    x = Với g ( ) = f ( ) − 2sin = f ( ) 2 cos x = Từ ta có bảng biến thiên g( x) : x g ( x ) + + + g ( x) f (0) Bất phương trình m  f ( ) nghiệm với x  ( 0; + ) Ví dụ Tư giải tốn vận dụng- vận dụng cao hàm số Nguyễn Thành Trung Cho hàm số y = f ( x ) có f ( −2 ) = m + , f (1) = m − Hàm số y = f  ( x ) có bảng biến thiên 0 x + + f ( x) −2 − Tập hợp tất giá trị tham số m để bất phương trình 2x + f ( x) −  m có x+3 nghiệm x   −2;1  7 A  −5; −  2  B ( −;0 )   D  − ; +     C ( −2;7 )  Lời giải  Chọn đáp án D Yêu cầu tốn g ( x ) = Ta có g ( x ) = 2x + f ( x) −  m, x   −2; 1  g ( x )  m x+3 −  2; 1 f ( x) − 2 ( x + 3) Dựa vào bảng biến thiên hàm số y = f  ( x ) ta có f  ( x )  0, x  ( −2;1) − ( x + 3)  0, x  ( −2;1) Do g ( x )  0, x  ( −2;1) Bảng biến thiên hàm số y = h ( x ) khoảng  −2;1 x g ( x ) −2 + g ( −2 ) g ( x) g ( 1)  g ( x ) = g ( 1) −  2; 1 Suy g (1)  m  10 2m − m−2 3  m  −  m f ( 1) −  m  − m  2 4 Tư giải toán Hàm Số Vận Dụng – Vận Dụng Cao Nguyễn Thành Trung Ví dụ Cho hàm số y = f ( x ) liên tục có đồ thị hình vẽ Tập giá trị thực tham số m để phương trình f ( ) − x = m có nghiệm thuộc ) khoảng  − ;  A  −1;   ( C −1 ; f  ( ) B  −1; f ( 2)    D ( −1; 3 Đề thi thử THPT Quốc Gia Phan Bội Châu Nghệ An Lần năm 2019  Lời giải  Chọn đáp án D  4−x ) ( , t = = Đặt t = − x 2 4−x −x − x2 x − , t=0x=0 Bảng biến thiên t ( x ) t Suy t  t  ( 1;  Phương trình tương đương với f ( t ) = m ( 1) có nghiệm t  ( 1;  Nghiệm phương trình ( 1) giao đường thẳng y = m đồ thị hàm số y = f ( x ) với x  ( 1;  Theo đồ thị ta suy −1  m  Chọn D 11 Tư giải toán vận dụng- vận dụng cao hàm số Nguyễn Thành Trung Ví dụ Cho hàm số y = f ( x ) liên tục có đồ thị hình vẽ Số giá trị nguyên dương m để phương trình ( ) f x2 − 4x + + = m có nghiệm A B C D Vô số Trường chuyên đồng Sông Hồng Lần năm 2019  Lời giải  Chọn đáp án B ( ) ( ) f x2 − x + + = m  f x2 − 4x + = m −  f ( t ) = m − đồ thò Với t = x2 − 4x + = ( x − ) +   t  1; +  ) ⎯⎯⎯ → f ( t )  2; +  ) Nên để phương trình có nghiệm  m −   2; +  )  m −   m  Và m  12 +  m 1; 2; 3 Chọn đáp án B Tư giải toán vận dụng- vận dụng cao hàm số Nguyễn Thành Trung Ta có g  ( x ) = f ( x) − f ( x) ex x =  g ( x) =  f  ( x) = f ( x )   x =  x = a  ( −1;0 )  g ( x )   f ' ( x )  f ( x ) đồ thị hàm số f  ( x ) nằm đồ thị f ( x ) g ( x )   f ' ( x )  f ( x ) đồ thị hàm số f  ( x ) nằm đồ thị f ( x ) Theo đồ thị ta có bảng biến thiên x g ( x ) a + + − g ( 1) g ( x) Khi max g ( x ) = g ( 1) =  0;  m0 Ví dụ Cho hàm số f ( x ) liên tục Hàm số y = f  ( x ) có đồ thị hình vẽ Bất phương trình f ( 2sin x ) − 2sin x  m với x  ( 0;  ) B m  f (1) − C m  f ( ) − D m  f ( ) − A m  f ( 1) − Đề thi thử THPT Quốc Gia Chuyên Quang Trung Lần năm 2019  Lời giải  Chọn đáp án f ( 2sin x ) − 2sin x  m 40 (1) Tư giải toán Hàm Số Vận Dụng – Vận Dụng Cao Nguyễn Thành Trung ( ) Ta có: x  ( 0;  )  sin x  ( 0;1 Đặt 2sin x = t t  ( 0;  ta bất phương trình: f (t ) − t  m ( 1) ( 2) với x  ( 0;  ) ( ) với t  ( 0;  Xét g ( t ) = f ( t ) − t với t  ( 0;  g ( t ) = f  ( t ) − t Từ đồ thị hàm số y = f  ( x ) y = x Ta có bảng biến thiên x g ( t ) + − g ( 1) g (t ) Yêu cầu toán  m  max g = g ( 1) = f ( 1) − ( ;   DẠNG 5: Cho đồ thị hàm số y = f ( x ) xác định tham số để phương trình có nghiệm Ví dụ 41 Tư giải toán vận dụng- vận dụng cao hàm số Nguyễn Thành Trung Cho hàm số y = f ( x ) liên tục Và có đồ thị hình vẽ Có giá trị nguyên tham số m để phương trình   f  f ( cos x )  = m có nghiệm x   ;     2  ? A B C D  Lời giải  Chọn đáp án C   Đặt t = cos x với x   ;    t  ( −1;  2  Quan sát đồ thị ( −1; ) hàm số nghịch biến nên = f (0)  f (t )  f ( −1) = Đặt u = f (cos x)  u  0; ) u cầu tốn tương đương với tìm m để phương trình f ( u ) = m có nghiệm 0; )  f ( u )  m  max f ( u )  0; ) 0; ) Quan sát đồ thị f ( u ) = −2; max f ( u ) =  −2  m  m  0; ) 0; ) Nên m{−2; −1;0;1} , có giá trị m Ví dụ Số giá trị tham số m khơng vượt q để phương trình m2 − f x − = có nghiệm phân biệt ( ) A B C D  Lời giải  Chọn đáp án B Đặt t =  x  Phương trình có dạng 42 Tư giải toán Hàm Số Vận Dụng – Vận Dụng Cao Nguyễn Thành Trung f (t ) − m2 − m2 − =  f (t ) = ,(t  0) 8 Nghiệm phương trình phụ thuộc vào số giao điểm đường thẳng y = số y = f ( t ) m2 − đồ thị hàm Quan sát đồ thị hàm số y = f ( x ) ta có phương trình có nghiệm phân biệt dương  −1  m2 −   −7  m2   −3  m  m   m {−2; −1;0;1; 2} Vậy có giá trị m Ví dụ Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị hình vẽ Có giá trị ngun tham số m thuộc đoạn 0 ;  cho bất phương trình f x + f x −m f x − f x −m f x ( ) ( ) − 16.2 ( ) ( ) − ( ) + 16  có nghiệm x ( −1; 1) ? A B C D Đề thi thử THPT Quốc Gia Sở Bắc Ninh 07-05-2019  Lời giải 43 Tư giải toán vận dụng- vận dụng cao hàm số Nguyễn Thành Trung  Chọn đáp án A f ( x)+ f ( x)−m f x − f x −m f x − 16.2 ( ) ( ) − ( ) + 16  Ta có: f x f x − f x −m f x − f x −m f x  ( ).2 ( ) ( ) − 16.2 ( ) ( ) − ( ) + 16  ( ) ( ) f x f x − f x −m f x − f x −m  ( ) ( ) ( ) − − 16 ( ) ( ) −  ( )( ) f x f x − f x −m  ( ) − 16 ( ) ( ) −  f x f x Theo đồ thị x ( −1; 1)  −2  f ( x )   4−2  ( )  42  ( ) − 16  x  ( −1;1) f x − f x −m Do ( ) ( ) −   f ( x ) − f ( x ) − m  có nghiệm x ( −1; 1)  f ( x ) − f ( x )  m có nghiệm x ( −1; 1) Xét g  f ( x ) = f ( x ) − f ( x ) Đặt t = f ( x ) với t  ( −2; ) , g ( t ) = t − t có đồ thị hình vẽ Theo đồ thị g ( t )  m  m  max g ( t ) = m  0;    m  ( −2; ) Ví dụ Hình vẽ bên đồ thị hàm số f ( x ) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e Hỏi có m nguyên để phương trình ( ) f x = m có ba nghiệm phân biệt? A B C D Đề thi thử THPT Quốc Gia Sở Bắc Ninh 07-05-2019  Lời giải 44 Tư giải toán Hàm Số Vận Dụng – Vận Dụng Cao Nguyễn Thành Trung  Chọn đáp án C ( ) Từ đồ thị hàm số (C ) : y = f ( x ) ta suy đồ thị hàm số (C ' ) : y = f x gồm phần • Phần 1: Giữ nguyên phần đồ thị ( C ) miền x  , (kí hiệu phần đồ thị (C1 ) ),Bỏ phần đồ thị ( C ) bên trái trục Oy • Phần 2: Đối xứng phần qua Oy Theo đồ thị ( C ' ) ta có: ( ) Phương trình f x = m có ba nghiệm phân biệt  −3  m  Vì m nên m−2; −1;0 Vậy có giá trị nguyên m thỏa mãn u cầu tốn Ví dụ Cho hàm số f ( x ) = ax3 + bx + cx + d có đồ thị hình vẽ, gọi S tập hợp giá trị m (m ) cho ( x −1) m3 f ( 2x −1) − mf ( x ) + f ( x ) −1  0, x  Số phần tử tập S là? A B C D Đề thi thử THPT Quốc Gia Chuyên Quang Trung Lần  Lời giải 45 Tư giải toán vận dụng- vận dụng cao hàm số Nguyễn Thành Trung  Chọn đáp án A  Hướng giải 1   f (1) = a=    f ( −1) = b = 1    f ( x ) = x3 + Từ đồ thị hàm số ta suy  f  ( ) =   2  c = f =   ( ) d =  m =  Theo đề f (1) =  m − m =  m =   m = −1 Với m = , ta có: ( x − 1) ( f ( x ) − 1) = ( x − 1)   x + − 1  2 = 1 ( x − 1) ( x3 − 1) = ( x − 1) ( x − x + 1)  x  2 (thoả mãn) Với m = 1, ta có: ( x − 1)  f ( x − 1) − f ( x ) + f ( x ) − 1  1 = ( x − 1)  ( x − 1) + − 1  2 = ( x − 1) ( x3 − 12 x + x − − 1) = ( x − 1) ( x3 − x + x − 1) = ( x − 1) ( x − x + 1)  x  (thoả mãn)  ( x − 1) − + x    Với m = −1 , ta có: ( x − 1)  − f ( x − 1) + f ( x ) + f ( x ) − 1 = ( x − 1)  − x  (Loại) x  ( x − 1) ( − x3 + x − 3x )    Vậy m = m =  Hướng giải Để ( x − 1) m3 f ( x − 1) − mf ( x ) + f ( x ) − 1  0, x  m3 f ( x − 1) − mf ( x ) + f ( x ) − 1 nhận x = nghiệm bội lẻ qua x = (  m=0 m3 f ( x − 1) − mf ( x ) + f ( x ) − 1 đổi dấu từ − sang + ) Khi đó: m3 − m =    m = 1 + Thử lại, ta thấy với m = thỏa 46 Tư giải toán Hàm Số Vận Dụng – Vận Dụng Cao Nguyễn Thành Trung + Với m = 1, ta có: m3 f ( x − 1) − mf ( x ) + f ( x ) − 1 = f ( x − 1) − hàm số bậc ba có hệ số bậc cao dương Ta có: lim  f ( x − 1) − 1 = +, lim  f ( x − 1) − 1 = − nên qua x = hàm số đổi dấu x →+ x →− từ − sang + thỏa mãn + Với m = −1 , ta có: m3 f ( x − 1) − mf ( x ) + f ( x ) − 1 = − f ( x − 1) + f ( x ) − hàm số bậc ba có hệ số bậc cao âm Ta có: lim  f ( x − 1) − 1 = −, lim  f ( x − 1) − 1 = + nên qua x = hàm số đổi dấu x →+ x →− từ + sang − không thỏa mãn Ví dụ 10 Cho hàm số y = f ( x ) liên tục , có đồ thị hàm số hình vẽ Có giá trị nguyên dương tham số m để bất phương trình (2025 − m) f ( x) + f ( x) −  x + 10 − x nghiệm với x[0; 5] A 2019 B 2020 C 2021 D 2022  Lời giải  Chọn đáp án B 47 Tư giải toán vận dụng- vận dụng cao hàm số Nguyễn Thành Trung Để bất phương trình có nghiệm với x  0; 5 ta cần có  2025 − m  max  0;      f ( x) + f ( x − 2) −  3x + 10 − x Theo bất đẳng thức Bunyakovsky 3x + 10 − x = x + − x  (3 + 2)( x + − x) = dấu “ = ” xảy x = Nhìn đồ thị ta thấy f ( x )  dấu “ = ” xảy x = 3; x = 1; x = Suy x + 10 − x f ( x) + f ( x) −  f ( x) + f ( x) −   m  2020 Ví dụ 11 Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị f  ( x ) hình vẽ Xét hàm số g ( x ) = f ( x ) + x − x − 3m − với m số thực Để g ( x )  x [− 5; 5] điều kiện m A m  f ( 5) C m  f (0) − B m  f ( 5) D m  f ( − 5) −  Lời giải  Chọn đáp án A Để g( x)   g( x) = f ( x) + x3 − x − 3m −   3m  f ( x) + x3 − x − Với h( x) = f ( x) + x3 − x − Yêu cầu toán  2m  max h ( x ) − ;  5  Xét hàm số h( x) = f ( x) + x3 − x − ; h( x) = f ( x) + 6x2 − h( − 5) = f ( − 5) + 6.5 − =  h( 5) = f ( 5) + 6.5 − =   h(0) = f (0) + − = suy h ( x ) đồng biến  − 5;       h (1) = f (1) + 6.1 −   h( −1) = f ( −1) + 6.1 −   x h ( x ) 48 − 5 + Tư giải toán Hàm Số Vận Dụng – Vận Dụng Cao Nguyễn Thành Trung h ( x) Suy h ( x )  h ( ) = f ( )  max f ( x ) = f ( ) − ;    Ví dụ 12 Cho  a −  b −  a hàm số f ( x) có đạo hàm 0; +  ) Biết y = g( x) = f ( x + 1)2 ( ) đồ thị hàm số y = f ( x ) hình vẽ Khẳng định sau với x  [ a − 1; b − 1] A g( x)  f ( b − 1) m C g( x)  f ( b − 1) m B g( x)  f ( a − 1) n D −10  g( x)   Lời giải  Chọn đáp án A Ta có x [ a − 1; b − 1]  ( x + 1)2 [a; b] theo đồ thị có ( ) m  f ( x + 1)2  n  1   n f ( x + 1) m ( ) Với  a −  b −  a theo đồ thị hàm số f ( x ) đồng biến [ a − 1; b − 1] f ( a − 1)  f ( x)  f ( b − 1)  g( x) = ( f ( x) f ( x + 1) )  f ( b − 1) m Ví dụ 13 49 Tư giải toán vận dụng- vận dụng cao hàm số Nguyễn Thành Trung Gọi A tập hợp tất giá trị nguyên m tham số m để phương trình f sin x = f   2 ( ) có 12 nghiệm phân biệt thuộc đoạn  − ; 2  Tính tổng tất phần tử A A C B D  Lời giải  Chọn đáp án B Đặt t = 2sin x với x   − ; 2  t = 2cos x  t =  2cos x =  x = + k ( k     3     ) x   − ; 2   x  − ; ; Bảng biến thiên x − t − −   2 + − 0 3 2 + t −2 −2 Từ đó, ta suy bảng biến thiên u = 2sin x x − u − +   − +  − 2 + 3 2 − u 0 Với u = ta có nghiệm phân biệt x   − ; 2  Với u = ta có nghiệm phân biệt x   − ; 2  Với  u  ta có nghiệm phân biệt x   − ; 2  m Yêu cầu toán  f ( u ) = f   có nghiệm phân biệt khoảng ( 0; ) 2 50 Tư giải toán Hàm Số Vận Dụng – Vận Dụng Cao Nguyễn Thành Trung  m 0 2  0  m  m 27  −  f 0  16 2 m  m   2 Vậy A = 1; 2 Tổng tất phần tử A  DẠNG 6: Cho đồ thị hàm số y = f  ( x ) xác định số nghiệm hàm số g ( x ) = f ( x ) + g ( x ) Ví dụ Cho hàm số đa thức y = f ( x ) có f (1) = 2018 có đồ thị y = f  ( x ) hình vẽ Xét hàm số g ( x ) = f ( x ) − x3 + 3x − 2019 Phương trình g ( x ) + = có tất nghiệm dương A B C D  Lời giải  Chọn đáp án ( ) Ta có g ( x ) = f  ( x ) − 3x2 + = f  ( x ) − 3x2 − ; g ( x ) =  f  ( x ) = 3x2 − có nghiệm hồnh độ giao điểm hàm số y = f  ( x ) ( P ) : y = 3x2 − Theo đồ thị ta có đồ thị hàm số g ( x )  đồ thị f  ( x ) nằm đồ thị ( P ) ngược lại g ( x )  đồ thị f ( x ) nằm đồ thị ( P )  Từ đồ thị ta có : g ( 1) = Hàm số f ( x ) nghịch biến ( 0; 1) suy 51 Tư giải toán vận dụng- vận dụng cao hàm số Nguyễn Thành Trung f ( )  f (1) = 2018  g ( ) = f ( ) − 2019  f (1) − 2019 = 2018 − 2019 = −1 Phương trình g ( x ) + =  g ( x ) = −2 giao điểm đồ thị hàm số g ( x ) đường thẳng y = −2 Bảng biến thiên : x g ( x ) −1 − − + 1 g ( x) + − y = −2 g ( −3 ) Kết luận : phương trình g ( x ) + = có nghiệm dương Ví dụ Cho hàm số y = f ( x ) liên tục có đồ thị hình vẽ bên Biết f  ( x )  với x  ( − ; − )  ( 2; +  ) Số nghiệm nguyên thuộc khoảng ( −10;10 ) bất ( ) phương trình  f ( x ) + x − 1 x2 − x −  A C B 10 D Đề thi thử THPT Quốc Gia Mơn Tốn Trường Lương Thế Vinh lần năm 2019  Lời giải  Chọn đáp án D 52 Tư giải toán Hàm Số Vận Dụng – Vận Dụng Cao Nguyễn Thành Trung ( ) Đặt g ( x ) =  f ( x ) + x − 1 x2 − x − hàm số liên tục  x2 − x − =  x2 − x − =  x = −2; x = g ( x) =      f ( x ) = − x +  f ( x ) + x − =  f ( x ) = − x + (1) Phương trình ( 1) phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số y = f ( x ) đường thẳng y = − x + Dựa vào đồ thị hàm số vẽ hình f ( x ) + x − =  x = − , x = − , x = x = Ta có bảng xét dấu −3 f ( x) + x − + | + −2 − + | + − − + | + g ( x) − + − + + − + − x x −x−6 ( − −1 | − | + − | − + )   f ( x ) + x − 1 x − x −   g ( x )   x  ( − 3; − )  ( − 1;0 )  ( 0; )  ( 3; + ) Kết hợp điều kiện x nguyên x  ( − 10;10 ) ta có x 1; 4; 5; 6;7 ; 8; 9  DẠNG : Biện luận tham số m bất phương trình phương trình cách đưa hàm số đặc trưng Ví dụ Cho hàm số f ( x ) = x + 3x − 4m Có giá trị nguyên tham số m để phương trình f ( ) f ( x ) + m = x − m có nghiệm thuộc đoạn 1;  ? B 16 A 15 D 18 C 17 Đề thi thử THPT Quốc Gia Mơn Tốn Trường Lương Thế Vinh lần năm 2019  Lời giải  Chọn đáp án D Đặt t = f ( x ) + m  t = f ( x ) + m  f ( x ) = t − m ( 1) Ta có f ( ) f ( x ) + m = x − m , suy f ( t ) = x − m ( ) Từ ( 1) ( ) ta có f ( x ) − f ( t ) = t − x3  f ( x ) + x3 = f (t ) + t  x + 4x = t + 4t Xét hàm số g ( u) = u5 + 4u3  g ( u) = 5u4 + 12u2  u   g ( u) đồng biến ( 3) Do ( )  g ( x ) = g ( t )  x = t Thay vào ( 1) ta f ( x ) = x3 − m  x5 + 2x3 = 3m ( ) Xét hàm số h ( x ) = x5 + x3 đoạn 1;  Ta có h ( x ) = 5x4 + 6x2  x  1;   h ( x ) đồng biến đoạn 1;  Vậy ta có h ( x ) = h (1) = max h ( x ) = h ( ) = 48 1;  1;  53 Tư giải toán vận dụng- vận dụng cao hàm số Nguyễn Thành Trung Phương trình cho có nghiệm thuộc 1;   Phương trình ( ) có nghiệm 1;   h ( x )  3m  max h ( x )   3m  48   m  16 Vậy có 16 giá trị nguyên m 1;  54 1;  ... tham số m để bất phương trình g ( x , m )  có nghiệm thuộc D Ví dụ Tư giải toán Hàm Số Vận Dụng – Vận Dụng Cao Nguyễn Thành Trung Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm Bảng biến thiên hàm số y... ) Phương trình ( 1) có nghiệm đường thẳng y = cắt đồ thị hàm số f ( x ) điểm phân biệt Phương trình ( ) có nghiệm đường thẳng y = cắt đồ thị hàm số f ( x ) điểm phân biệt Tư giải toán Hàm Số. ..Tư giải toán vận dụng- vận dụng cao hàm số Nguyễn Thành Trung ( )  DẠNG 1: Cho đồ thị hàm số y = f ( x ) xác định số nghiệm phương trình f t ( x ) = k Ví dụ Cho hàm số f ( x ) liên