Hàm số một biến Toán ĐH

Chương 1: Hàm số biến số Trần Minh Toàn (1) Viện Toán ứng dụng Tin học, ĐHBK Hà Nội Hà Nội, tháng năm 2013 (1) Email: toantm24@gmail.com Trần Minh Toàn (SAMI-HUST) Chương 1: Hàm số biến số Hà Nội, 1/128 tháng năm 2013 / 128 Khái niệm hàm số biến số Nội dung Khái niệm hàm số biến số Dãy số Giới hạn hàm số Vô bé, vô lớn Hàm số liên tục Đạo hàm vi phân Các định lý hàm khả vi ứng dụng Hàm số đơn điệu tính chất Cực trị hàm số 10 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số Trần Minh Toàn (SAMI-HUST) Chương 1: Hàm số biến số Hà Nội, 2/128 tháng năm 2013 / 128 Khái niệm hàm số biến số Khái niệm hàm số biến số Các ký hiệu logic Mệnh đề toán học khẳng định toán học sai, mệnh đề vừa vừa sai Một mệnh đề thường ký hiệu chữ in hoa A, B, C, Giả sử có hai mệnh đề A B Ký hiệu A =⇒ B: từ mệnh đề A suy mệnh đề B, hay B điều kiện cần để có A A điều kiện đủ để có B A ⇐⇒ B: mệnh đề A tương đương với mệnh đề B, hay A điều kiện cần đủ để có B ngược lại Ký hiệu := (có nghĩa là, hay định nghĩa là) ∀x đọc với x, ∃y đọc tồn y, ∃y đọc không tồn y Trần Minh Toàn (SAMI-HUST) Chương 1: Hàm số biến số Hà Nội, 3/128 tháng năm 2013 / 128 Khái niệm hàm số biến số Khái niệm hàm số biến số Các ký hiệu logic Mệnh đề toán học khẳng định toán học sai, mệnh đề vừa vừa sai Một mệnh đề thường ký hiệu chữ in hoa A, B, C, Giả sử có hai mệnh đề A B Ký hiệu A =⇒ B: từ mệnh đề A suy mệnh đề B, hay B điều kiện cần để có A A điều kiện đủ để có B A ⇐⇒ B: mệnh đề A tương đương với mệnh đề B, hay A điều kiện cần đủ để có B ngược lại Ký hiệu := (có nghĩa là, hay định nghĩa là) ∀x đọc với x, ∃y đọc tồn y, ∃y đọc không tồn y Trần Minh Toàn (SAMI-HUST) Chương 1: Hàm số biến số Hà Nội, 3/128 tháng năm 2013 / 128 Khái niệm hàm số biến số Khái niệm hàm số biến số Các ký hiệu logic Mệnh đề toán học khẳng định toán học sai, mệnh đề vừa vừa sai Một mệnh đề thường ký hiệu chữ in hoa A, B, C, Giả sử có hai mệnh đề A B Ký hiệu A =⇒ B: từ mệnh đề A suy mệnh đề B, hay B điều kiện cần để có A A điều kiện đủ để có B A ⇐⇒ B: mệnh đề A tương đương với mệnh đề B, hay A điều kiện cần đủ để có B ngược lại Ký hiệu := (có nghĩa là, hay định nghĩa là) ∀x đọc với x, ∃y đọc tồn y, ∃y đọc không tồn y Trần Minh Toàn (SAMI-HUST) Chương 1: Hàm số biến số Hà Nội, 3/128 tháng năm 2013 / 128 Khái niệm hàm số biến số Khái niệm hàm số biến số Các ký hiệu logic Mệnh đề toán học khẳng định toán học sai, mệnh đề vừa vừa sai Một mệnh đề thường ký hiệu chữ in hoa A, B, C, Giả sử có hai mệnh đề A B Ký hiệu A =⇒ B: từ mệnh đề A suy mệnh đề B, hay B điều kiện cần để có A A điều kiện đủ để có B A ⇐⇒ B: mệnh đề A tương đương với mệnh đề B, hay A điều kiện cần đủ để có B ngược lại Ký hiệu := (có nghĩa là, hay định nghĩa là) ∀x đọc với x, ∃y đọc tồn y, ∃y đọc không tồn y Trần Minh Toàn (SAMI-HUST) Chương 1: Hàm số biến số Hà Nội, 3/128 tháng năm 2013 / 128 Khái niệm hàm số biến số Khái niệm hàm số biến số Các ký hiệu logic Mệnh đề toán học khẳng định toán học sai, mệnh đề vừa vừa sai Một mệnh đề thường ký hiệu chữ in hoa A, B, C, Giả sử có hai mệnh đề A B Ký hiệu A =⇒ B: từ mệnh đề A suy mệnh đề B, hay B điều kiện cần để có A A điều kiện đủ để có B A ⇐⇒ B: mệnh đề A tương đương với mệnh đề B, hay A điều kiện cần đủ để có B ngược lại Ký hiệu := (có nghĩa là, hay định nghĩa là) ∀x đọc với x, ∃y đọc tồn y, ∃y đọc không tồn y Trần Minh Toàn (SAMI-HUST) Chương 1: Hàm số biến số Hà Nội, 3/128 tháng năm 2013 / 128 Khái niệm hàm số biến số Khái niệm hàm số biến số Số thực, trị tuyệt đối số thực Số thực bao gồm tất số hữu tỷ vô tỷ, ký hiệu R Khoảng (a, b) := a < x < b; Đoạn [a, b] := a ≤ x ≤ b; Khoảng kín bên phải (a, b] := a < x ≤ b; Trần Minh Toàn (SAMI-HUST) Chương 1: Hàm số biến số Khoảng kín bên trái [a, b) := a ≤ x < b; Khoảng vô hạn R ≡ (−∞, +∞) := −∞ < x < +∞ Hà Nội, 4/128 tháng năm 2013 / 128 Khái niệm hàm số biến số Khái niệm hàm số biến số Số thực, trị tuyệt đối số thực Số thực bao gồm tất số hữu tỷ vô tỷ, ký hiệu R Khoảng (a, b) := a < x < b; Đoạn [a, b] := a ≤ x ≤ b; Khoảng kín bên phải (a, b] := a < x ≤ b; Trần Minh Toàn (SAMI-HUST) Chương 1: Hàm số biến số Khoảng kín bên trái [a, b) := a ≤ x < b; Khoảng vô hạn R ≡ (−∞, +∞) := −∞ < x < +∞ Hà Nội, 4/128 tháng năm 2013 / 128 Khái niệm hàm số biến số Khái niệm hàm số biến số Số thực, trị tuyệt đối số thực Số thực bao gồm tất số hữu tỷ vô tỷ, ký hiệu R Khoảng (a, b) := a < x < b; Đoạn [a, b] := a ≤ x ≤ b; Khoảng kín bên phải (a, b] := a < x ≤ b; Trần Minh Toàn (SAMI-HUST) Chương 1: Hàm số biến số Khoảng kín bên trái [a, b) := a ≤ x < b; Khoảng vô hạn R ≡ (−∞, +∞) := −∞ < x < +∞ Hà Nội, 4/128 tháng năm 2013 / 128 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số Nội dung Khái niệm hàm số biến số Dãy số Giới hạn hàm số Vô bé, vô lớn Hàm số liên tục Đạo hàm vi phân Các định lý hàm khả vi ứng dụng Hàm số đơn điệu tính chất Cực trị hàm số 10 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số Trần Minh Toàn (SAMI-HUST) Chương 1: Hàm số biến số Hà Nội, 120/128 tháng năm 2013 120 / 128 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số Khảo sát vẽ đồ thị hàm số Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y = f (x) Tìm miền xác định (MXĐ) hàm số Xét tính chẵn, lẻ, tuần hoàn (nếu có) Tìm giao điểm đường cong với trục tọa độ (nếu có) Tính y = f (x), cho f (x) = để tìm điểm dừng, f (x) = ∞ điểm f (x) không tồn thuộc MXĐ (điểm nghi ngờ) Lập bảng biến thiên để biết khoảng tăng, giảm, cực đại, cực tiểu hàm số Tính y = f (x), cho f (x) = 0, lập bảng biến thiên để biết khoảng lồi, lõm điểm uốn (nếu có) đồ thị Tìm đường tiệm cận (nếu có) Vẽ đường cong y = f (x) Trần Minh Toàn (SAMI-HUST) Chương 1: Hàm số biến số Hà Nội, 121/128 tháng năm 2013 121 / 128 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số Khảo sát vẽ đồ thị hàm số Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y = f (x) Tìm miền xác định (MXĐ) hàm số Xét tính chẵn, lẻ, tuần hoàn (nếu có) Tìm giao điểm đường cong với trục tọa độ (nếu có) Tính y = f (x), cho f (x) = để tìm điểm dừng, f (x) = ∞ điểm f (x) không tồn thuộc MXĐ (điểm nghi ngờ) Lập bảng biến thiên để biết khoảng tăng, giảm, cực đại, cực tiểu hàm số Tính y = f (x), cho f (x) = 0, lập bảng biến thiên để biết khoảng lồi, lõm điểm uốn (nếu có) đồ thị Tìm đường tiệm cận (nếu có) Vẽ đường cong y = f (x) Trần Minh Toàn (SAMI-HUST) Chương 1: Hàm số biến số Hà Nội, 121/128 tháng năm 2013 121 / 128 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số Khảo sát vẽ đồ thị hàm số Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y = f (x) Tìm miền xác định (MXĐ) hàm số Xét tính chẵn, lẻ, tuần hoàn (nếu có) Tìm giao điểm đường cong với trục tọa độ (nếu có) Tính y = f (x), cho f (x) = để tìm điểm dừng, f (x) = ∞ điểm f (x) không tồn thuộc MXĐ (điểm nghi ngờ) Lập bảng biến thiên để biết khoảng tăng, giảm, cực đại, cực tiểu hàm số Tính y = f (x), cho f (x) = 0, lập bảng biến thiên để biết khoảng lồi, lõm điểm uốn (nếu có) đồ thị Tìm đường tiệm cận (nếu có) Vẽ đường cong y = f (x) Trần Minh Toàn (SAMI-HUST) Chương 1: Hàm số biến số Hà Nội, 121/128 tháng năm 2013 121 / 128 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số Khảo sát vẽ đồ thị hàm số Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y = f (x) Tìm miền xác định (MXĐ) hàm số Xét tính chẵn, lẻ, tuần hoàn (nếu có) Tìm giao điểm đường cong với trục tọa độ (nếu có) Tính y = f (x), cho f (x) = để tìm điểm dừng, f (x) = ∞ điểm f (x) không tồn thuộc MXĐ (điểm nghi ngờ) Lập bảng biến thiên để biết khoảng tăng, giảm, cực đại, cực tiểu hàm số Tính y = f (x), cho f (x) = 0, lập bảng biến thiên để biết khoảng lồi, lõm điểm uốn (nếu có) đồ thị Tìm đường tiệm cận (nếu có) Vẽ đường cong y = f (x) Trần Minh Toàn (SAMI-HUST) Chương 1: Hàm số biến số Hà Nội, 121/128 tháng năm 2013 121 / 128 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số Khảo sát vẽ đồ thị hàm số Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y = f (x) Tìm miền xác định (MXĐ) hàm số Xét tính chẵn, lẻ, tuần hoàn (nếu có) Tìm giao điểm đường cong với trục tọa độ (nếu có) Tính y = f (x), cho f (x) = để tìm điểm dừng, f (x) = ∞ điểm f (x) không tồn thuộc MXĐ (điểm nghi ngờ) Lập bảng biến thiên để biết khoảng tăng, giảm, cực đại, cực tiểu hàm số Tính y = f (x), cho f (x) = 0, lập bảng biến thiên để biết khoảng lồi, lõm điểm uốn (nếu có) đồ thị Tìm đường tiệm cận (nếu có) Vẽ đường cong y = f (x) Trần Minh Toàn (SAMI-HUST) Chương 1: Hàm số biến số Hà Nội, 121/128 tháng năm 2013 121 / 128 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số Khảo sát vẽ đồ thị hàm số Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y = f (x) Tìm miền xác định (MXĐ) hàm số Xét tính chẵn, lẻ, tuần hoàn (nếu có) Tìm giao điểm đường cong với trục tọa độ (nếu có) Tính y = f (x), cho f (x) = để tìm điểm dừng, f (x) = ∞ điểm f (x) không tồn thuộc MXĐ (điểm nghi ngờ) Lập bảng biến thiên để biết khoảng tăng, giảm, cực đại, cực tiểu hàm số Tính y = f (x), cho f (x) = 0, lập bảng biến thiên để biết khoảng lồi, lõm điểm uốn (nếu có) đồ thị Tìm đường tiệm cận (nếu có) Vẽ đường cong y = f (x) Trần Minh Toàn (SAMI-HUST) Chương 1: Hàm số biến số Hà Nội, 121/128 tháng năm 2013 121 / 128 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số Khảo sát vẽ đồ thị hàm số Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y = f (x) Tìm miền xác định (MXĐ) hàm số Xét tính chẵn, lẻ, tuần hoàn (nếu có) Tìm giao điểm đường cong với trục tọa độ (nếu có) Tính y = f (x), cho f (x) = để tìm điểm dừng, f (x) = ∞ điểm f (x) không tồn thuộc MXĐ (điểm nghi ngờ) Lập bảng biến thiên để biết khoảng tăng, giảm, cực đại, cực tiểu hàm số Tính y = f (x), cho f (x) = 0, lập bảng biến thiên để biết khoảng lồi, lõm điểm uốn (nếu có) đồ thị Tìm đường tiệm cận (nếu có) Vẽ đường cong y = f (x) Trần Minh Toàn (SAMI-HUST) Chương 1: Hàm số biến số Hà Nội, 121/128 tháng năm 2013 121 / 128 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số Khảo sát vẽ đồ thị hàm số Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y = f (x) Ví dụ 10.1 Đồ thị hàm số y = x + ln x2 − Trần Minh Toàn (SAMI-HUST) Chương 1: Hàm số biến số Hà Nội, 122/128 tháng năm 2013 122 / 128 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số Khảo sát vẽ đồ thị hàm số Khảo sát vẽ đồ thị đường cong cho dạng tham số Đường cong cho dạng tham số: x = x(t), y = y(t) , t ∈ [α, β] Tương tự trường hợp y = f (x), khác khảo sát gián tiếp y theo x thông qua biến trung gian t ý: y (t) d2 y y (t)x (t) − y (t)x (t) dy ; = = dx x (t) dx2 (x (t)) Trần Minh Toàn (SAMI-HUST) Chương 1: Hàm số biến số Hà Nội, 123/128 tháng năm 2013 123 / 128 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số Khảo sát vẽ đồ thị hàm số Khảo sát vẽ đồ thị đường cong cho dạng tham số Ví dụ 10.2 Đồ thị đường Astroid x /2 + y /2 = a /2 , (a > 0) có dạng tham số x = a cos3 t , ≤ t ≤ 2π y = a sin3 t Trần Minh Toàn (SAMI-HUST) 3 Chương 1: Hàm số biến số Hà Nội, 124/128 tháng năm 2013 124 / 128 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số Khảo sát vẽ đồ thị hàm số Khảo sát vẽ đồ thị đường cong hệ toạ độ cực Hệ toạ độ cực Trần Minh Toàn (SAMI-HUST) Chương 1: Hàm số biến số Hà Nội, 125/128 tháng năm 2013 125 / 128 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số Khảo sát vẽ đồ thị hàm số Khảo sát vẽ đồ thị đường cong hệ toạ độ cực Định nghĩa 10.1 Cho hàm số r = f (ϕ) Đồ thị hàm số gọi đường cong hệ toạ độ cực phương trình r = f (ϕ) gọi phương trình đường cong toạ độ cực Trần Minh Toàn (SAMI-HUST) Chương 1: Hàm số biến số Hà Nội, 126/128 tháng năm 2013 126 / 128 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số Khảo sát vẽ đồ thị hàm số Khảo sát vẽ đồ thị đường cong hệ toạ độ cực Ví dụ 10.3 Phương trình r = a, a > toạ độ cực phương trình đường tròn tâm O(0, 0), bán kính a Trần Minh Toàn (SAMI-HUST) Chương 1: Hàm số biến số Hà Nội, 127/128 tháng năm 2013 127 / 128 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số Khảo sát vẽ đồ thị hàm số Khảo sát vẽ đồ thị đường cong hệ toạ độ cực Ví dụ 10.4 Phương trình r = 2a cos ϕ, a > toạ độ cực phương trình đường tròn tâm (a, 0), bán kính a Trần Minh Toàn (SAMI-HUST) Chương 1: Hàm số biến số Hà Nội, 128/128 tháng năm 2013 128 / 128 [...]... hàm số một biến số Khái niệm hàm số một biến số Khái niệm hàm số Ví dụ 1.4 Đồ thị hàm f (x) = sin x Trần Minh Toàn (SAMI-HUST) Chương 1: Hàm số một biến số Hà Nội, 12/128 tháng 8 năm 2013 12 / 128 Khái niệm hàm số một biến số Khái niệm hàm số một biến số Hàm số hợp, hàm số ngược Định nghĩa 1.3 Giả sử y = f (u) là hàm số của biến số u, đồng thời u = g(x) là hàm số của biến số x Khi đó hàm số y = f (u)... của hàm y = tan x Chương 1: Hàm số một biến số Hà Nội, 18/128 tháng 8 năm 2013 18 / 128 Khái niệm hàm số một biến số Khái niệm hàm số một biến số Các hàm lượng giác ngược Hàm y = arccot x : (−∞, ∞) → [0, π] là hàm ngược của hàm y = cot x Trần Minh Toàn (SAMI-HUST) Chương 1: Hàm số một biến số Hà Nội, 19/128 tháng 8 năm 2013 19 / 128 Khái niệm hàm số một biến số Khái niệm hàm số một biến số Hàm số sơ... niệm hàm số một biến số Khái niệm hàm số Ví dụ 1.2 Đồ thị hàm f (x) = x2 Trần Minh Toàn (SAMI-HUST) Chương 1: Hàm số một biến số Hà Nội, 10/128 tháng 8 năm 2013 10 / 128 Khái niệm hàm số một biến số Khái niệm hàm số một biến số Khái niệm hàm số Ví dụ 1.3 Đồ thị hàm f (x) = 2x − 2−x Trần Minh Toàn (SAMI-HUST) Chương 1: Hàm số một biến số Hà Nội, 11/128 tháng 8 năm 2013 11 / 128 Khái niệm hàm số một biến. .. niệm hàm số một biến số Khái niệm hàm số một biến số Các hàm lượng giác ngược Hàm y = arccos x : [−1, 1] → [0, π] là hàm ngược của hàm y = cos x Trần Minh Toàn (SAMI-HUST) Chương 1: Hàm số một biến số Hà Nội, 17/128 tháng 8 năm 2013 17 / 128 Khái niệm hàm số một biến số Khái niệm hàm số một biến số Các hàm lượng giác ngược Hàm y = arctan x : π π (−∞, ∞) → − , 2 2 Trần Minh Toàn (SAMI-HUST) là hàm ngược... đại số Tuy nhiên cách đơn giản nhất để có thể hình dung một hàm số đó là thông qua việc vẽ đồ thị của nó Trần Minh Toàn (SAMI-HUST) Chương 1: Hàm số một biến số Hà Nội, 6/128 tháng 8 năm 2013 6 / 128 Khái niệm hàm số một biến số Khái niệm hàm số một biến số Khái niệm hàm số Trần Minh Toàn (SAMI-HUST) Chương 1: Hàm số một biến số Hà Nội, 7/128 tháng 8 năm 2013 7 / 128 Khái niệm hàm số một biến số Khái... biến số Khái niệm hàm số một biến số Hàm số hợp, hàm số ngược Ví dụ 1.6 Trần Minh Toàn (SAMI-HUST) Chương 1: Hàm số một biến số Hà Nội, 15/128 tháng 8 năm 2013 15 / 128 Khái niệm hàm số một biến số Khái niệm hàm số một biến số Các hàm lượng giác ngược Hàm y = arcsin x : π π [−1, 1] → − , 2 2 Trần Minh Toàn (SAMI-HUST) là hàm ngược của hàm y = sin x Chương 1: Hàm số một biến số Hà Nội, 16/128 tháng 8... 0) Hàm số tuần hoàn có đồ thị lặp lại sau mỗi chu kỳ T Trần Minh Toàn (SAMI-HUST) Chương 1: Hàm số một biến số Hà Nội, 8/128 tháng 8 năm 2013 8 / 128 Khái niệm hàm số một biến số Khái niệm hàm số một biến số Khái niệm hàm số Ví dụ 1.1 Đồ thị hàm f (x) = |x| = Trần Minh Toàn (SAMI-HUST) x, −x, x≥0 x 0, a = 1) ; loga x; (x > 0) các hàm lượng giác và các hàm lượng giác ngược Hàm số sơ cấp là những hàm được tạo nên từ các hàm sơ... cấp cơ bản bởi một số hữu hạn các phép toán số học (cộng, trừ, nhân, chia), phép lấy hàm hợp đối với các hàm số sơ cấp cơ bản và các hằng số Ví dụ 1.7 Các hàm số y = sin 2x + ln 1 + x2 + 5; y = 2−x + x2 + 1 là các hàm số sơ cấp Trần Minh Toàn (SAMI-HUST) Chương 1: Hàm số một biến số Hà Nội, 20/128 tháng 8 năm 2013 20 / 128 Khái niệm hàm số một biến số Khái niệm hàm số một biến số Hàm số sơ cấp Định... Chương 1: Hàm số một biến số Hà Nội, 5/128 tháng 8 năm 2013 5 / 128 Khái niệm hàm số một biến số Khái niệm hàm số một biến số Khái niệm hàm số Định nghĩa 1.2 Xét hai tập hợp số thực X và Y , (X = ∅) Ánh xạ f : X → Y là hàm số một biến xác định trên tập hợp X (x là biến số độc lập, y = f (x) là biến số phụ thuộc), nhận giá trị trên tập hợp Y Tập hợp X được gọi là miền xác định (MXĐ) của hàm số y = f