Giai tich 1 HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ TÍCH PHÂN HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ

Mục lục 1 Chương 1 . Hàm số một biến số (13LT+13BT) 5 1 Sơ lược về các yếu tố Lôgic; các tập số: N, Z, , R . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2 Trị tuyệt đối và tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3 Định nghĩa hàm số, tập xác định, tập giá trị và các khái niệm: hàm chẵn, hàm lẻ, hàm tuầ 3.1 Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 4 Dãy số 10 4.1 Bài tập 11 5 Giới hạn hàm số 14 6 Vô cùng lớn, vô cùng bé 15 6.1 Vô cùng bé (VCB) 15 6.2 Vô cùng lớn (VCL) 16 6.3 Bài tập 16 7 Hàm số liên tục 18 7.1 Bài tập 20 8 Đạo hàm và vi phân 22 8.1 Bài tập 24 9 Các định lý về hàm khả vi và ứng dụng 28 9.1 Các định lý về hàm khả vi 28 9.2 Qui tắc L’Hospital 28 10 Các lược đồ khảo sát hàm số 33 10.1 Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số y = f (x) 33 10.2 Khảo sát và vẽ đường cong cho dưới dạng tham số 34 10.3 Khảo sát và vẽ đường cong trong hệ toạ độ cực 35 10.4 Bài tập 35 Chương 2 . Phép tính tích phân một biến số 37 1 Tích phân bất định 37 2 MỤC LỤC 1.1 Nguyên hàm của hàm số 37 1.2 Các phương pháp tính tích phân bất định 39 1.3 Tích phân hàm phân thức hữu tỷ 43 1.4 Tích phân hàm lượng giác 45 1.5 Tích phân các biểu thức vô tỷ 47 2 Tích phân xác định 49 2.1 Định nghĩa tích phân xác định 49 2.2 Các tiêu chuẩn khả tích 49 2.3 Các tính chất của tích phân xác định 50 2.4 Tích phân với cận trên thay đổi (hàm tích phân) 51 2.5 Các phương pháp tính tích phân xác định 51 2.6 Hệ thống bài tập 52 3 Các ứng dụng của tích phân xác định 59 3.1 Tính diện tích hình phằng 59 3.2 Tính độ dài đường cong phẳng 62 3.3 Tính thể tích vật thể 63 3.4 Tính diện tích mặt tròn xoay 65 4 Tích phân suy rộng 67 4.1 Tích phân suy rộng với cận vô hạn 67 4.2 Tích phân suy rộng của hàm số không bị chặn 69 4.3 Tích phân suy rộng hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ 70 4.4 Các tiêu chuẩn hội tụ 71 4.5 Bài tập 72 Chương 3 . Hàm số nhiều biến số 79 1 Giới hạn của hàm số nhiều biến số 79 1.1 Giới hạn của hàm số nhiều biến số 79 1.2 Tính liên tục của hàm số nhiều biến số 80 1.3 Bài tập 80 2 Đạo hàm và vi phân 81 2.1 Đạo hàm riêng 81 2.2 Vi phân toàn phần 82 2.3 Đạo hàm của hàm số hợp 82 2.4 Đạo hàm và vi phân cấp cao 83 2.5 Đạo hàm theo hướng Gradient 84 2.6 Hàm ẩn Đạo hàm của hàm số ẩn 85 2.7 Bài tập 85 3 Cực trị của hàm số nhiều biến số 92 3.1 Cực trị tự do 92

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG & TIN HỌC BÙI XUÂN DIỆU Bài Giảng G IẢI TÍCH I (lưu hành nội bộ) HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ - TÍCH PHÂN - HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ Tóm tắt lý thuyết, Các ví dụ, Bài tập lời giải Hà Nội- 2009 MỤC LỤC Mục lục Chương Hàm số biến số (13LT+13BT) Sơ lược yếu tố Lôgic; tập số: N, Z, ,R Trị tuyệt đối tính chất Định nghĩa hàm số, tập xác định, tập giá trị khái niệm: hàm chẵn, hàm lẻ, hàm tuầ 3.1 Bài tập Dãy số .10 4.1 Bài tập 11 Giới hạn hàm số 14 Vô lớn, vô bé 15 6.1 Vô bé (VCB) .15 6.2 Vô lớn (VCL) 16 6.3 Bài tập 16 Hàm số liên tục 18 7.1 Bài tập 20 Đạo hàm vi phân 22 8.1 Bài tập 24 Các định lý hàm khả vi ứng dụng 28 9.1 Các định lý hàm khả vi 28 9.2 Qui tắc L’Hospital 28 10 Các lược đồ khảo sát hàm số 33 10.1 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y = f (x) 33 10.2 Khảo sát vẽ đường cong cho dạng tham số 34 10.3 Khảo sát vẽ đường cong hệ toạ độ cực 35 10.4 Bài tập 35 Chương Phép tính tích phân biến số 37 Tích phân bất định 37 MỤC LỤC 1.1 Nguyên hàm hàm số .37 1.2 Các phương pháp tính tích phân bất định 39 1.3 Tích phân hàm phân thức hữu tỷ .43 1.4 Tích phân hàm lượng giác 45 1.5 Tích phân biểu thức vô tỷ 47 Tích phân xác định 49 2.1 Định nghĩa tích phân xác định 49 2.2 Các tiêu chuẩn khả tích 49 2.3 Các tính chất tích phân xác định 50 2.4 Tích phân với cận thay đổi (hàm tích phân) .51 2.5 Các phương pháp tính tích phân xác định .51 2.6 Hệ thống tập .52 Các ứng dụng tích phân xác định .59 3.1 Tính diện tích hình phằng 59 3.2 Tính độ dài đường cong phẳng .62 3.3 Tính thể tích vật thể 63 3.4 Tính diện tích mặt tròn xoay 65 Tích phân suy rộng 67 4.1 Tích phân suy rộng với cận vô hạn 67 4.2 Tích phân suy rộng hàm số khơng bị chặn .69 4.3 Tích phân suy rộng hội tụ tuyệt đối bán hội tụ 70 4.4 Các tiêu chuẩn hội tụ 71 4.5 Bài tập 72 Chương Hàm số nhiều biến số 79 Giới hạn hàm số nhiều biến số 79 1.1 Giới hạn hàm số nhiều biến số 79 1.2 Tính liên tục hàm số nhiều biến số 80 1.3 Bài tập 80 Đạo hàm vi phân 81 2.1 Đạo hàm riêng 81 2.2 Vi phân toàn phần 82 2.3 Đạo hàm hàm số hợp 82 2.4 Đạo hàm vi phân cấp cao 83 2.5 Đạo hàm theo hướng - Gradient 84 2.6 Hàm ẩn - Đạo hàm hàm số ẩn 85 2.7 Bài tập 85 Cực trị hàm số nhiều biến số 92 3.1 Cực trị tự .92 MỤC LỤC 3.2 3.3 Cực trị có điều kiện 94 Giá trị lớn - Giá trị nhỏ .97 MỤC LỤC CHƯƠNG HÀM §1 SƠ LƯỢC SỐ MỘT BIẾN SỐ L ÔGIC ; N, Z, , R VỀ CÁC YẾU TỐ (13LT+13BT) CÁC TẬP SỐ : Phần Lôgic không dạy trực tiếp (phần Đại số dạy) mà nhắc lại phép suy luận thông qua giảng nội dung khác thấy cần thiết Giới thiệu tập số; cần nói rõ tập rộng Z chưa lấp đầy trục số tập R lấp đầy trục số chứa tất giới hạn dãy số hội tụ, ta có bao hàm thức N⊂Z⊂ ⊂ R §2 TRỊ TUYỆT ĐỐI VÀ TÍNH CHẤT Nhắc lại định nghĩa nêu tính chất sau • |x| ≥ 0, |x| = ⇐⇒ x = 0, |x + y| ≤ |x| + |y|; • |x − y| ≥ ||x| − |y|| , |x| ≥ A ⇐⇒ x ≥ A x ≤ − A • |x| ≤ B ⇐⇒ −B ≤ x ≤ B Chương Hàm số biến số (13LT+13BT) §3 ĐỊNH NGHĨA HÀM SỐ, TẬP XÁC ĐỊNH, TẬP GIÁ TRỊ VÀ CÁC KHÁI NIỆM: HÀM CHẴN, HÀM LẺ, HÀM TUẦN HOÀN, HÀM HỢP, HÀM NGƯỢC Định nghĩa hàm số: Nhắc lại định nghĩa phổ thông Chú ý viết dạng ánh xạ f : X → R tập xác định rõ X biểu thức f (dưới dạng biểu thức giải tích) chưa rõ, khơng tìm biểu thức Còn hàm số cho dạng biểu thức giải tích cần phải xác định rõ miền xác định hàm số Trong chương trình tập trung vào cách cho hàm số dạng hay nhiều biểu thức giải tích Một số hàm Dirichlet, dấu, phần ngun nêu dạng ví dụ hay thể qua phần dạy khác Tập giá trị hàm số: Hàm số đơn điệu Hàm số bị chặn (chặn trên, chặn dưới, bị chặn) Hàm chẵn, hàm lẻ (tính chất đồ thị kết f (x) = hàm chẵn + hàm lẻ) Hàm tuần hoàn: Nêu qua định nghĩa, ví dụ hàm số lượng giác Trong phạm vi chương trình chủ yếu xem có số T ƒ= 0(T > 0) thỏa mãn f (x + T) = f (x) mà không sâu vào việc tìm chu kỳ (số T > bé nhất) Hàm hợp: định nghĩa ví dụ Hàm ngược: (a) Định nghĩa (b) Mối quan hệ đồ thị hai hàm (c) Định lý điều kiện đủ để tồn hàm ngược, (tăng hay giảm) (d) Trên sở định lý xây dựng hàm số lượng giác ngược vẽ đồ thị chúng Ở phổ thông học sinh biết y = a x , y = loga x hàm ngược Hàm số sơ cấp Định nghĩa hàm số, tập xác định, tập giá trị khái niệm: hàm chẵn, hàm lẻ, hàm tuần hoàn, hàm hợp, hàm ngược (a) Nêu hàm số sơ cấp bản: y = xα, y = ax , y = loga x, y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = cotg x y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arccotg x (b) Định nghĩa hàm số sơ cấp: Nêu ví dụ lớp hàm sơ cấp: đa thức, phân thức hữu tỷ, hyperbolic 3.1 Bài tập Bài tập 1.1 Tìm TXĐ hàm số a) y = lg(tan x) b) y = arcsin 1x+ √x sin c) y = πx d) y = arccos(2 sin x) Lời giải a TXĐ = {π/4 + kπ ≤ x ≤ π/2 + kπ, k ∈ Z} {−1/3 ≤ x ≤ 1} b TXĐ = π d TXĐ = {− c TXĐ = {x ≥ 0, x ƒ∈ Z} + kπ ≤ x≤ Bài tập 1.2 Tìm miền giá trị hàm số a y = lg(1 − cos x) π + kπ, k ∈ Z} x Σ b y = arcsin lg Lời giải a MGT = {−∞ ≤ y ≤ lg 3} b MGT = {−π/2 ≤ y ≤ π/2} Bài tập 1.3.1Tìm Σ f (x) biết a f x + = x2 + b f x x Σ = x2 1+x x2ĐS : f (x) = x2 − với |x| ≥ Lời giải a = b ĐS: f (x) x 1− x Σ2 ∀x ƒ= Bài tập 1.4 Tìm hàm ngược hàm số (trên miền mà hàm số có hàm ngược) 1− x a y = 2x + b y = (e + e−x) c y = x Lời giải a) ĐS : y = x− 1+x 1−x b) ĐS : y = y = 1+x Chương Hàm số biến số (13LT+13BT) c) Ta có yJ = miền: x −x (e e ) nên hàm số cho không đơn ánh Ta phải xét 2 − Trên miền x≥ 0, từ y = có song ánh: √ √ x (e + e−x)⇒ex = y ± y2 − 1⇒x = ln(y + y2 − 1) Ta [0, +∞) → [1, +∞) x ›→ y = (ex + e −x) ln(y + y2 − 1) ← y √ Vậy hàm ngược miền x ≥ y = ln(x + x2 − 1)√, x2 ≥ Trên miền x ≤ 0, tương tự ta có hàm ngược y = ln(x − x − 1), x ≤ Bài tập 1.5 Xét tính chẵn lẻ hàm số a f (x) = ax + a −x (a > 0) √ b f (x) = ln(x + − x2) c f (x) = sin x + cos x Lời giải a ĐS: hàm số cho hàm số chẵn b ĐS: hàm số cho hàm số lẻ c ĐS: hàm số cho không chẵn, không lẻ Bài tập 1.6 Chứng minh hàm số f (x) xác định khoảng đối xứng ( a, a) biểu diễn dạng tổng − hàm số chẵn hàm số lẻ Lời giải Với f (x) ta ln có 1 f (x) = [ f (x) + f (−x)] + [ f (x) − f (−x)] 2 s ˛¸ x s ˛ ¸ x g ( x) h (x ) g(x) hàm số chẵn, h(x) hàm số lẻ Bài tập 1.7 Xét tính tuần hồn chu kì hàm số sau (nếu có) a f (x) = A cos λx + B sin λx ... Chương Hàm số nhiều biến số 79 Giới hạn hàm số nhiều biến số 79 1. 1 Giới hạn hàm số nhiều biến số 79 1. 2 Tính liên tục hàm số nhiều biến số 80 1. 3 Bài tập 80 Đạo hàm vi phân. .. Phép tính tích phân biến số 37 Tích phân bất định 37 MỤC LỤC 1. 1 Nguyên hàm hàm số .37 1. 2 Các phương pháp tính tích phân bất định 39 1. 3 Tích phân hàm phân thức hữu... −x 1 n+ 1 = lim n (x − x n n→∞ = lim x n n→∞ ) 1 n +1 (x n→∞ = lim n2 n +1 x ), x > n(n +1) − 1) 1 x n +1 x n(n +1) 1 − n (n + 1) 1 = lim n→∞ n = ln x n +1 (n + 1) n x n +1 x n(n +1) − n(n + 1) 18