Môn HQC : Giai tích 1. Mã so : MI 1110 Kiem tra giua kỳ h¾ so 0.3 : Tn lu¾n, 45 phút, chung toàn khóa, vào tuan HQc thú 9, 10. Thi cuoi kỳ h¾ so 0.7: Tn lu¾n, 90 phút. Chương 1 HÀM M®T BIEN SO 1.11.5. Dãy so, hàm so, giái han và liên tnc 1. Tìm t¾p xác đ%nh cna hàm so a. y = √4 lg(tan x) b. y = arcsin 2x √x sin πx d. y = arccos (sin x) 2. Tìm mien giá tr% cna hàm so a. y = lg (1 − 2 cos x) b. y = arcsin .lg x Σ 3. Tìm f (x) biet a. f .x + 1 Σ = x2 + 1 b. f . x Σ = x2 4. Tìm hàm ngưoc cna hàm so a. y = 2x + 3 b. y = 1−x 5. Xét tính chan le cna hàm so c. y = 1 (ex + e−x) a. f (x) = ax + a−x(
ĐE CƯƠNG BÀI T¾P GIAI TÍCH I - K58 Mơn HQC : Giai tích Mã so : MI 1110 Kiem tra giua kỳ h¾ so 0.3 : Tn lu¾n, 45 phút, chung tồn khóa, vào tuan HQ c thú 9, 10 Thi cuoi kỳ h¾ so 0.7: Tn lu¾n, 90 phút Chương HÀM M®T BIEN SO 1.1-1.5 Dãy so, hàm so, giái han liên tnc Tìm t¾p xác đ%nh cna hàm so √ a y = lg(tan x) b y = arcsin c y = 2x 1+ x d y = arccos (sin x) √ x sin πx Tìm mien giá tr% cna hàm so a y = lg (1 − cos x) Tìm f (x) biet Σ a f x +x = x2 + x b f Tìm hàm ngưoc cna hàm so a y = 2x + Σ x b y = arcsin lg b y = Xét tính chan le cna hàm 1−x 1+ xso Σ x 1+ x = x2 c y = (ex + e−x) √ a f (x) = a + a (a > 0) b f (x) = ln x + + x2 Σ (x) = sin x + cos x x −x c f Chúng minh rang bat kỳ hàm so f (x) xác đ%nh m®t khoang đoi xúng (−a, a), (a > 0) đeu bieu dien đưoc nhat dưói dang tong cna m®t hàm so chan vói m®t hàm so le Xét tính tuan hồn tìm chu kỳ cna hàm so sau (neu có) a f (x) = A cos λx + B sin λx b f (x) = sinx2 c f (x) = sin x + sin 2x + sin 3x d f (x) = cos2x 1.6-1.7 Giái han hàm so Tìm giói han a lim 100 x −2x+1 x→ x50−2x+ 1 b lim x→a (xn−an)−nan−1(x−a) (x−a)2 Tìm giói han √ √ x+ x+ x √ x+ lim a x→+∞ √3 b lim x3 √ √ li m c x→ m cos x− cos x2 sin x m d li x→ m x2 Σ −1−x − 1+αxx1n 1+βx √ √ Σ sin x + − sin x li b m 1−cos x cos 2x x→+∞ d lim cos 3x lim sin x−a x→a √ a √ x−sin c lim x→ x→+∞√ − √ 1+βx n x 1+αx 10 Tìm giói han a + ,n∈N x→ 11 Tìm giói han Σ 1−cos x √ x−1 − x2 x+1 x→∞ 2+ x lim (ln [sinx)] (ln (x x→∞ a lim lim + (cos x)1x b √ x→0 n+1 √n + 1)) sin d lim n ( x − x) , x > c x→∞ − 12 Khi x → 0+ c¾p VCB sau có tương đương khơng? √ √ α(x) = x + x β(x) = esin x − cos x 1.8 Hàm so liên tnc 13 Tìm a đe hàm so liên tuc tai x = a f (x) = 1−cos x x2 neu x ƒ= b g(x) = a neu x=0 ax + bx + vói a cos x ≥ x0 + b sin x vói x < 14 Điem x = điem gián đoan loai cna hàm so a y = 1−2co b y = tx sinx1 ex +1 1.9 Đao hàm vi phân 15 Tìm đao hàm cna hàm so c y = eax−ebx x , (a ƒ= b) x < 1 − x (1 − x)(2 − x) ≤ x ≤ f (x) = x−2 x > 16 Vói đieu ki¾n hàm so xn x ƒ= f (x) sin (n ∈ Z) x = 0 x = a Liên tuc tai x = b Kha vi tai x = c Có đao hàm liên tuc tai x = 17 Chúng minh rang hàm so f (x) = |x − a|ϕ(x), ϕ(x) m®t hàm so liên tuc ϕ(a) ƒ= 0, không kha vi tai điem x = a 18 Tìm vi phân cna hàm so x x a y = 1a arctan , (a ƒ= 0) b y = arcsin , (a ƒ= 0) a a √ x−a c y = 21 ln x+ , (a ƒ= 0) d y = ln x + x2 + a a 19 Tìm a d d(x3 a x − 2x − x Σ b d d(x2 sin x Σ x c 20 Tính gan giá tr% cna bieu thúc a lg 11 b 2− 0.02 2+0.02 d(sin x) d(cos x) 21 Tìm đao hàm cap cao cna hàm so a y = x2 tính y(8) = 1−x , b y c y = x2e2x, tính y(10) 1+ x √ 1− x , tính y(100) d y = x2 sin x, tính y(50) 22 Tính đao hàm cap n cna hàm so a y = x x2−1 c y = √ x 1+ x b y = x2−3x+2 d y = eax sin(bx + c) 1.10 Các đ%nh lý ve hàm kha vi Nng dnng 23 Chúng minh rang phương trình xn + px + q = vói n ngun dương khơng the có q nghi¾m thnc neu n chan, khơng có q nghi¾m thnc neu n le 24 Giai thích tai cơng thúc Cauchy dang f (b)−f (a) g(b)−g(a) = f J (c ) g J (c ) không áp dung đưoc đoi vói hàm so f (x) = x2, g(x) = x3, −1 ≤ x ≤ 25.Chúng minh bat thúc a |sin x − sin y| ≤ |x − y| b a−b < ln < a−b, < b < a a a b 26 Tìm giói han √ √ √ a lim x+ x+ x− x x→+∞ x Σ c lim e f x→1 li m b lim x→ 1 exx −cos √ x→∞ 1− πxx2 lim tan− ln(2 b d x− − Σ ln x e sin x−x(1+x) lim x→ x3 Σ h lim − atan2xxsin − x) x x→0 i lim cos x)(1 − 2 tan π x tan x x→0 ln(1−x) g x→1 lim− [ x→+∞ exx+ (x+1) x→ 2π tan x − x] k lim (sin x) 27 Xác đ%nh a, b cho bieu thúc sau có giói han huu han x → x f (x) =sin1 − x − a x − b x x 28 Cho f m®t hàm so thnc kha vi [a, b] có đao hàm f JJ(x) (a, b) Chúng minh rang vói MQI x ∈ (a, b) có the tìm đưoc nhat m®t điem c ∈ (a, b) cho (x−a)(x−b) JJ f (b)−f (a) f (x) − f (a) − (x − a) = f (c) b−a 29 Khao sát tính đơn đi¾u cna hàm so a y = x3 + x b y = arctan x − x 30 Chúng minh bat thúc Σ a 2x arctan x ≥ ln + x2 vói b x − x2 ≤ ln(1 + x) ≤ x vói MQI MQI x∈R x≥0 31 Tìm cnc tr% cna hàm so 3x2+4x +4 x2+x+1 a y = b y = x − ln(1 + x) c y = √ (1 − x)(x − 2)2 d y = x + (x − 2) 3 1.11 Các lưac đo khao sát hàm so 32 Khao sát hàm so a y = 2−x2 √3 b y = x3 − x2 − x + a y √xx−22+1 = 1+ x 4+ x3 + c y = x = 2t t2 b t x=1− f − y=1− y = 3t − t3 g tr = a + b cos ϕ, (0 < a ≤ b) h r √ a , (a > cos = 0) 3ϕ Chương TÍCH PHÂN 2.1 Tích phân bat đ%nh Tính tích phân ∫ Σ√ √ a − x xdx x dx ∫ ∫x x1 + c.e xdx (x+2) (x+5) g ∫ d ∫ ∫ 1+sin x dx sin2 x ∫ √ x2x−5x+6 +2 dx ∫ √ d x −x2 + 3x − 2dx ∫ f ∫sinn−1x 2sin(n + 1)xdx h arcsin xdx ∫ e ∫ (x−2x 2+2x+5) dx g e cos 3xdx f b √ x2xdx +x+ c ∫ xdx (x2−1)3/2 dx (x+a)2(x+b)2 sin x sin(x + y)dxh Tính tích phân ∫ a arctan xdx ∫ √ − sin 2xdx b ∫ L¾p cơng thúc truy hoi tính In ∫ ∫ a In = xnexdx b In = dx cosn x 2.2 Tích phân xác đ%nh Tính đao hàm y d ∫ t2 b a d e dt x √ d d y ∫ ∫ x d x y t2 e dt x3 c d x x2 √ dt 1+t4 Dùng đ%nh nghĩa cách tính tích phân xác đ%nh, tìm giói han Σ a li n→∞ +nα+ + n α m Σ β n b + Tính giói han n→∞ nlim 1 nα+2 + β + · · · +nα+ a lim x→0 tan x ∫ √ + n n 1+ +···+ ∫x √ Σ 1+ n (arctan t)2dt √ x2+1 x→+∞ Tính tích phân sau ∫e a |ln x| (x + 1) dx c 1/ 3π/ 2∫ b ∫e e arcsin d √x (x ln d x x) ∫3 dx 2+cos x ∫ b lim sin tdt , (α, β > 0) (n−1)β sin x ∫ √ tan tdt dx 1+ f sin2x cos2x dx x) (1+tan π/2 ∫ cosnx cos nxdx x Chúng minh rang neu f (x) liên tuc [0, 1] π/2 π/2 ∫ ∫π ∫π ∫ a f (sin f (cos x)dx b xf (sin x)dx π2f (sin x)dx = = x)dx Cho f (x), g(x) hai hàm so kha tích [a, b] Khi f 2(x), g2(x) f (x).g(x) kha tích [a, b] Chúng minh bat thúc (vói a < b) Σ Σ Σ ∫2 b ∫b g (x)dx f ∫b f (x)dx a (x)g(x)dx ≤ a a (Bat thúc Cauchy-Schwartz) 2.3 Tích phân suy r®ng 10 Xét dn h®i tu tính (trong trưòng hop h®i tu) tích phân sau +∞ ∫0 ∫ a xe dx b cos xdx x c 11 −∞ ∫ +∞ dx (x2+1)2 d ∫ −∞ dx √ x(1−x) Xét sn h®i tu cna tích phân sau ∫1 dx ∫1 √xdx a b tan x−x sin x 0 ∫ e −1 1√ xdx √ 1− x +∞ ∫ dx √ x+x3 +∞ ∫ c e d f +∞ ∫ ln(1+x)dx x x2dx −x x2+1 12 Neu +∞ ∫ Xét ví du f (x)dx h®i tu có suy đưoc f (x) → x → +∞ không? +∞ ∫ si Σ dx n x Cho hàm f (x) liên tuc [a, +∞) 13 lim f (x) = A ƒ= Hoi x→+∞ +∫∞ f (x)dx có h®i tu khơng 2.4 Úng dnng cua tích phân xác đ%nh 14 15 Tính di¾n tích hình phang giói han boi a Đưòng parabol y = x2 + đưòng thang x − y + = b Parabol b¾c ba y = x3 đưòng y = x, y = 2x, (x ≥ 0) c Đưòng tròn x2 + y2 = 2x parabol y2 = x, (y2 ≤ x) d Đưòng y2 = x2 − x4 Tính the tích cna v¾t the phan chung cna hai hình tru x2 + y2 ≤ a2 y2 + z2 ≤ a2, (a > 0) Tìm the tích v¾t the giói han boi m¾t paraboloit z = y2, cỏc mắt phang TQA đ x = 0, z = m¾t phang x = a (a ƒ= 0) 16 17 Tính the tích khoi tròn xoay tao nên quay hình giói han boi đưòng y = 2x − x2 y = a Quanh truc 0x m®t vòng 18 b Quanh truc 0y m®t vòng Tính đ® dài đưòng cong x a y = ln e +1 x bien thiên tù đen ex−1 Σ x= a cos t − ln tan t bien thiên tù π3 t đen π2 (a > 0) b 2 y = a sin t π y =di¾n sin x, m¾t ≤ x tròn ≤ quay quanh 0x đưòng sau 19.a.Tính tích xoay tao nêntruc quay b y = 1(1 − x)3, ≤ x ≤ quay quanh truc 0x Chương HÀM NHIEU BIEN SO 3.1 Hàm nhieu bien so Tìm mien xác đ%nh cna hàm so sau √ a z b z = (x2 + y2 − 1) (4 − x2 − y2) √ x2+y2− = √ d z = c z = arcsinx y −1 x sin y Tìm giói han neu có cna hàm so sau a f (x, y) = x2−y2 x2+y , (x → 0, y → 0) πx b f (x, y) = sin , 2x+ (x → ∞, y → ∞) y 3.2 Đao hàm vi phân Tính đao hàm riêng cna hàm so sau Σ √ 2 a z = ln x + x + y b z = y2 sin x y x2+y z = arctan c yz −y x e u = x , (x, y, z > 0) d z = xy2 , 1(x > 0) f u = e x +y2+z Khao sát sn liên tuc sn ton tai, liên tuc cna đao hàm riêng cna hàm so f (x, y)sau Σ x arctan y x ƒ= a.f (x, y) x = 0 x = (x, y) ƒ= (0, 0) x sin y y sin b f (x, y) = x 2+y2 x (x, y) = (0, 0) 0 Gia su z = yf (x2 − y2), o f hàm so kha vi Chúng minh rang đoi vói hàm so z h¾ thúc sau ln thoa mãn J xz x +y zJ= y z y Tìm dao hàm hàm so hop sau √ u2−2v2 a z = e , u = cos x, v = x2 + y2 Σ 2 b z = ln u + v , u = xy, vy = x c z = arcsin (x − y) , x = 3t, y = 4t3 Tìm vi phân tồn phan cna hàm so a z = sin(x2 + y2) y b z = ln tan x c zx+y= arctan d u = xy x−y Tính gan a A = (1, 02)2 + (0, 05)2 2z b B = ln √ 1, 03 + √4 0, 98 Σ −1 Tìm đao hàm cna hàm so an xác đ%nh boi phương trình sau a x3 y − y 3x = a4, tính y J c arctan x+y a 10 Cho u = b x + y + z = ez , tính zx J, zy J d x3 + y + z − 3xyz = 0, tính zx J, zy J = y , tính y’ x+z a , tính uxJ, uyJ biet rang z hàm so an cna x, y xác đ%nh y+ boi phương trình z zex = xex + yey 11 Tìm đao hàm cna hàm so an y(x), z(x) xác đ%nh boi h¾ x+y+z=0 x2 + y2 + z2 = √ 12 Phương trình z2 + x = y2 − z2, xác đ%nh hàm an z = z(x, y) minh rang Chúng x2 zx J + y zy J = z 13 Tính đao hàm riêng cap hai cna hàm so sau a z = (x2 + y )3 b z = x2 ln(x + y) c z = arctan y x 3.3 CNc tr% 14 Tính vi phân cap hai cna hàm so sau a z = xy2 − x2y b z = 2(x2+y 15 Tìm cnc tr% cna hàm so sau a z = x2 + xy + y2 + x − y + c z = x2 + y2 − e−(x 2+y2) b z = x + y − xey d z = 2x4 + y4 − x2 − 2y2 16 Tìm cn tr% có đieu ki¾n a z = + vói đieu ki¾n 2+ x y x = y a2 b z = xy vói đieu ki¾n x + y = 17 Tính giá tr% lón nhat bé nhat cna hàm so a z = x2y(4 − x − y) hình tam giác giói han boi đưòng thang x = 0, y = 6, x + y = b z = sin x + sin y + sin(x + y) hình chu nh¾t giói han boi đưòng thang x = 0, x = π , y2 = 0, y = π − ... 1 x − 1+ αxx1n 1+ βx √ √ Σ sin x + − sin x li b m 1 cos x cos 2x x→+∞ d lim cos 3x lim sin x−a x→a √ a √ x−sin c lim x→ x→+∞√ − √ 1+ βx n x 1+ αx 10 Tìm giói han a + ,n∈N x→ 11 Tìm giói han Σ 1 cos... = 1 x , b y c y = x2e2x, tính y (10 ) 1+ x √ 1 x , tính y (10 0) d y = x2 sin x, tính y(50) 22 Tính đao hàm cap n cna hàm so a y = x x2 1 c y = √ x 1+ x b y = x2−3x+2 d y = eax sin(bx + c) 1. 10... 2.3 Tích phân suy r®ng 10 Xét dn h®i tu tính (trong trưòng hop h®i tu) tích phân sau +∞ ∫0 ∫ a xe dx b cos xdx x c 11 −∞ ∫ +∞ dx (x2 +1) 2 d ∫ −∞ dx √ x (1 x) Xét sn h®i tu cna tích phân sau 1 dx