BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|1 THI ONLINE - ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN *Biên soạn: Thầy Đặng Thành Nam Video giảng lời giải chi tiết có Vted (https://www.vted.vn/) Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Họ, tên thí sinh: Trường: Câu [Q677533473] Tính đạo hàm hàm số f (x) = √3x + điểm x = định nghĩa Câu [Q166454064] Tính đạo hàm hàm số f (x) = 10 điểm x = định nghĩa Câu [Q962031090] Tính đạo hàm hàm số f (x) = log x khoảng (0; +∞) định nghĩa Câu [Q064825562] Tính đạo hàm hàm số f (x) = arcsin x khoảng (−1; 1) định nghĩa Câu [Q487612604] Tính đạo hàm hàm số f (x) = arctan x định nghĩa Câu [Q777000920] Tính đạo hàm hàm số f (x) = arccos x khoảng (−1; 1) định nghĩa Câu [Q236095333] Tính đạo hàm hàm số f (x) = arccotx định nghĩa Câu [Q628886800] Tính đạo hàm hàm số f (x) = (3 + cos x) Câu [Q076574763] Tính đạo hàm hàm số f (x) = (1 + x ) x sin x sin x Câu 10 [Q006728145] Tính đạo hàm hàm số f (x) = log x (x x Câu 11 [Q624684691] Tính đạo hàm hàm số f (x) = √a 2 − 1) − x a (x − (x x√1 − x ) arcsin x + (a > 0) a 2 Câu 13 [Q383396778] Tính đạo hàm hàm số f (x) = x arcsin Câu 12 [Q613584533] Tính đạo hàm hàm số f (x) = + πx − πx + 1) arctan x − Câu 14 [Q880860184] Tính đạo hàm hàm số f (x) = (arctan x) Câu 15 [Q888362478] Tính đạo hàm hàm số f (x) = (arccos(2x − x 12 x − − 2 x Câu 16 [Q336839783] Tính đạo hàm hàm số f (x) = (2019 ⎧ )) 10 x + 2020x ) x x sin Câu 17 [Q570596687] Chứng minh hàm số f (x) = ⎨ ,x ≠ x ⎩ có đạo hàm x ∈ R 0, x = Câu 18 [Q466509467] Chứng minh hàm số f (x) có đạo hàm điểm x hàm số f (x) liên tục điểm x Ngược lại hàm số f (x) liên tục điểm x hàm số f (x) chưa có đạo hàm điểm x Câu 19 [Q693463033] Hàm số f (x) = |x − 2| sin (3x + 1) có đạo hàm x ∈ R hay khơng? Tính đạo hàm hàm số điểm hàm số có đạo hàm Câu 20 [Q680909698] Tính đạo hàm hàm số f (x) = |x| + |x − 2| 0 0 Câu 21 [Q337667352] Cho hàm số f (x) = { x ∣ ∣ cos π ∣ x ∣ ,x ≠ Chứng minh hàm số có đạo hàm điểm 0, x = x = 0; hàm số khơng có đạo hàm điểm x = 2021 Câu 22 [Q657527649] Cho f ′ (0) = 1, tính lim f (x) − f (2019x) x→0 x Câu 23 [Q379393339] Tìm (a; b) để hàm số f (x) = { x ,x ⩽ có đạo hàm x ∈ R ax + b, x > Câu 24 [Q573688000] Chứng minh hàm số f (x) = x ⎧ ⎪ Câu 25 [Q536832279] Cho hàm số f (x) = ⎨ ⎩ ⎪ − x x x đồng biến khoảng (0; +∞) (2 + sin );x ≠ x Chứng minh rằng: 2; x = a) Hàm số có đạo hàm x ∈ R b) Không tồn số thực ε > cho f ′ (x) > 0, ∀x ∈ (−ε; 0) f ′ (x) < 0, ∀x ∈ (0; ε) BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|1 BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|2 1; x ⩽ Câu 26 [Q343565448] Cho hàm số f (x) = { a x (a > 0) a + x ;x > Chứng minh hàm số khơng có đạo hàm điểm x = Câu 27 [Q747565503] Tính đạo hàm hàm số f (x) = arctan √ − x + x Câu 28 [Q623797600] Tính đạo hàm hàm số f (x) = sin(ln x) cos(ln x) − ln x − x Câu 29 [Q276337623] Tính đạo hàm hàm số f (x) = arccos( + x Câu 30 [Q333606335] Cho hàm số f (x) − f (kx) limx→0 ,0 < k < 2 ) Giả sử f : (−a; a) → R, a > f liên tục x = giới hạn tồn hữu hạn Chứng minh hàm số có đạo hàm x = x 2x Câu 31 [Q083252520] Tính đạo hàm hàm số f (x) = arcsin + x Câu 32 [Q807018326] Tính đạo hàm hàm số f (x) = (tan x) Câu 33 [Q069399305] Tính đạo hàm hàm số f (x) = √(2x Câu 34 [Q749209437] Cho hàm số ⎧ f (x) = ⎨ ⎩ (e 3x x 2 − 6x + 1) √−5x + − 1) sin ;x ≠ 3x Chứng minh hàm số liên tục 0; x = đạo hàm điểm x = Câu 35 [Q970307374] f (x) = (x Tính − 6x)arccot2x − arctan 2x − e − hàm x 2 ln(1 + 4x ) − + ( R thỏa mãn hàm số + 2√3) x √3 Câu 36 [Q081393698] Cho f (x) có đạo hàm f (1) ≤ đạo ′ f (x) + f (x) < 1, ∀x ∈ R f (0) = Chứng minh tìm hàm để đẳng thức xảy ra? e Câu 37 [Q517868015] Cho hàm sốf (x) có đạo hàm R thỏa mãn ′ f (x) ≤ f ′ (x + ) , ∀x ∈ R, ∀n ∈ N ∗ n Chứng minh f ′ (x) hàm đơn điệu R 2x + ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ; x ≠ −2 Câu 38 [Q033703707] Tính đạo hàm hàm số f (x) = ⎨ e ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ x + + 0; x = −2 Câu 39 [Q190722219] Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm ∀x ∈ R, ∀h > Chứng minh y = f (x) hàm số ⎧ ⎪ Câu 40 [Q036937796] Cho hàm số f (x) = ⎨ e R thỏa mãn |f (x + h) − f (x − h)| ≤ h với − x ;x ≠ Chứng minh hàm số có đạo hàm điểm x = ⎩ ⎪ 0; x = Câu 41 [Q673667333] Tính đạo hàm hàm số f (x) = |x − 1| |x − 2| |x − 2020| HƯỚNG DẪN Câu Có f (x) − f (2) lim √3x + − = lim x − x→2 3x + − = lim x − x→2 x→2 (x − 2) (√3x + = lim x→2 Vậy f ′ = √3x + 2 + 2√3x + + 4) + 2√3x + + (2) = BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|2 BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|3 Câu Có lim Câu Với x lim x→x0 lim x0 ln 10 lim x ln 10 −1 ′ = ln 10 ⇒ f (0) = ln 10 x ln 10 x−x0 log(1 + lim x0 ) x−x0 x→x0 x0 x0 ′ x0 ln 10 ′ ⇒ f (x) = x0 ln 10 x ln 10 ta có x→x0 x − x0 ) ⇒ f (x0 ) = arcsin x − arcsin x0 = lim x x0 x − x0 = ∈ (−1; 1) f (x) − f (x0 ) e = ln 10 limx→0 = x→x0 ) x0 Câu Với x x→x0 x0 x−x0 x→x0 −1 x = lim x − x0 x−x0 ln(1 + = x ln 10 log( log x − log x0 = lim e = limx→0 x có ∈ (0; +∞) x − x0 10 −1 = limx→0 x−0 f (x) − f (x0 ) x→x0 x f (x)−f (0) x→0 y − y0 = lim y→y0 x − x0 (y = arcsin x; y0 = arcsin x0 ) sin y − sin y0 y−y0 y − y0 = lim y→y0 cos( ) sin( Câu Với x f (x) − f (x0 ) ) cos( √1 − x y+y0 ) ′ ⇒ f (x) = √1 − x √1 − x 2 ta có arctan x − arctan x0 = lim x→x0 x − x0 ⇒ f (x0 ) = √1 − sin y ∈ R sin( y−y0 ′ = ) = cos y0 lim y→y0 y−y0 = lim = x→x0 y+y0 y→y0 y − y0 = lim y→y0 y − y0 = lim x − x0 y − y0 = lim y→y0 sin(y−y0 ) tan y − tan y0 (y = arctan x; y0 = arctan x0 ) cos y cos y0 sin(y − y0 ) cos y.cos y0 = cos y0 = 1 + x + tan y0 Câu Với x lim ∈ (−1; 1) f (x) − f (x0 ) x→x0 ⇒ f (x) = + x ta có x→x0 x − x0 + x ′ ⇒ f (x0 ) = arccos x − arccos x0 = lim ′ = y − y0 = lim y→y0 x − x0 (y = arccos x; y0 = arccos x0 ) cos y − cos y0 y−y0 y − y0 = lim y→y0 y+y0 −2 sin( ) sin( = − ′ ′ sin( √1 − x − sin x 3+cos x ) (3 + cos x) f (x) ) ⇒ f (x) (x) = Câu 12 Có f ′ Câu 13 Có f ′ (1.√a (x) = (x) = 2 2 sin x − sin x 3+cos x 2x 1+x 2 ) (1 + x ) ln(x −1) − 1) = − x √1 − x = cos x ln(1 + x ) + sin x sin x ′ ⇒ f (x) = ln x x + x ln x− x −1 ln(x −1) ln x −2x 2 2√a −x [2x arcsin x + (x 2x 1+x ′ ′ = cos x ln(3 + cos x) + sin x f (x) 2x Câu 11 f ) ⇒ f (x) = − √1 − x x 2 f (x) 2 y+y0 ′ (x) = (cos x ln(1 + x ) + sin x (x sin( ′ (x) = (cos x ln(3 + cos x) + sin x Câu 10 Có f (x) = log ) ⇒ f (x0 ) = − √1 − cos y0 Câu Có ln f (x) = sin x ln(1 + x Do f ) y−y0 ′ = − Câu Có ln f (x) = sin x ln(3 + cos x) ⇒ Do f y→y0 = − sin y0 −1 = lim y−y0 (2x arctan x + (x − ) + ) + 1) a 2 √1−( √1−x2 1+x 2 a a ) ] + ) − πx (√ − x − 2 2√a −x 2 a −x −x = x 2 + + x a 2 2√a −x −x √1−x2 = x arctan x − = √a ) − πx πx 2 − x = x arcsin x − πx BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|3 BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|4 Do f ′ ′ f (x) (x) = (− x x 20(x−1)(arccos(2x−x )) 2−2x (x) = 10(arccos(2x − x )) − = √1−(2x−x2 ) ′ Câu 16 Có ln f (x) = ′ arctan x ) (arctan x) (1+x ).arctan x √1−(2x−x2 ) Do f 1+x = ln(arctan x) + x x (x) = (ln(arctan x) + Câu 15 Có f ′ f (x) Câu 14 Có ln f (x) = x ln(arctan x) ⇒ ln(2019 x ln(2019 Câu 17 Với x ≠ ⇒ f Tại điểm x = có lim ′ x x + 2020x ) + (x) = 2x sin x ln(2019 ln 2019+4040x x x 2 cos sin x x + 2020x ) + x 2019 x ln 2019+4040x x 2019 +2020x x 2019 +2020x = limx→0 x−0 x 2019 + x − x = − f (x) x f (x)−f (0) x→0 f (x) + 2020x ) ⇒ ) (2019 = 2x sin x + 2020x ) − cos x −0 = limx→0 x sin x−0 x x x x ′ = ⇒ f (0) = Ta có điều phải chứng minh Câu 18 Với f ′ (x0 ) = limx→x f (x)−f (x0 ) f (x)−f (x0 ) f (x) = (f (x) − f (x0 )) + f (x0 ) = Suy limx→x0 f (x) = limx→x0 [ điểm x ta có biến đổi: x−x0 (x − x0 ) + f (x0 ) x−x0 f (x)−f (x0 ) x−x0 ′ (x − x0 ) + f (x0 )] = f (x0 ).0 + f (x0 ) = f (x0 ) Do f (x) liên tục Điều ngược lại ta cần lấy phản ví dụ: Xét hàm số ′ f (0 + liên tục điểm f (x) = |x| ′ ) = ≠ f (0 − hàm số khơng có đạo hàm điểm x = x = ) = −1 Câu 19 Với x > ⇒ f (x) = (x − 2)sin (3x + 1) ⇒ f (x) = sin (3x + 1) + 6(x − 2) sin(3x + 1) cos(3x + 1) Với x < ⇒ f (x) = −(x − 2)sin (3x + 1) ⇒ f (x) = −sin (3x + 1) − 6(x − 2) sin(3x + 1) cos(3x + 1) ′ ′ Xét x = có lim lim f (x)−f (2) x→2 − x−2 + (x−2)sin (3x+1)−0 = limx→2+ x−2 2 f (x)−f (2) x→2 2 ′ = sin ⇒ f (2 x−2 + ) = sin −(x−2)sin (3x+1)−0 = lim x→2 ′ = −sin ⇒ f (2 − x−2 − ) = −sin Vậy hàm số khơng có đạo hàm x = Câu 21 Có lim Vì ≤ ∣∣x ∣∣cos f (x)−f (0) x→0 π x x−0 x ∣ ∣cos = limx→0 π ∣ ∣∣ ∣ = |x| ∣ ∣cos x π x ∣ ∣−0 x−0 π = limx→0 x ∣ ∣cos π ∣ ∣ ≤ |x| → ⇒ limx→0 x ∣ ∣cos x x ′ ∣ = ⇒ f (0) = ∣ ∣ ∣ = Vậy hàm số có có đạo hàm điểm x = 0; Tại điểm lại ta kiểm tra đạo hàm phải đạo hàm trái: f (x) − f ( lim x→ + x − 2021 x→ + Do f ′ = 2021π 2021π ( 2021 lim x→ sin( 2021 x 2021 ∣ lim ) 2021πx ∣ = 2021 + ) = π 2021 − − + π x ) π ∣ ∣cos x − x ∣ ∣ x = lim x→ 2021 + ( 2021 ∣ ∣ π x→ x Tương tự có f lim ′ ( + 2021 2021 − ) = −π ∣ ∣ sin( 2021π sin( 2021πx = 2021π − 2021π 2021π π x ) − − − π π x π x ) ∣ ∣ 2x 2021π ) = π x Do hàm số khơng có đạo hàm điểm x = 2021 BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|4 BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|5 f (x) − f (2019x) lim x x→0 Câu 22 Có f (x) − f (0) = lim − 2019 Câu 24 Có y = x x Do ln f (x) = x +) Nếu x ≥ ⇒ ′ y x f (x) ln x ⇒ ′ = ln x + ⇒ y y f (x) x = x + ln x(ln x + 1) ≥ x 1 ′ x = (ln x + 1) x ′ x ln x = x x ( x + ln x (ln x + 1)) ′ (x) = −4x − 2x sin 2−x (2+sin = limx→0 x + (ln x + 1) x 2 ) + x − = (ln x + 2 ) 4−x + 4x ′ > ⇒ f (x) > Ta có điều phải chứng minh f (x)−f (0) Vì ≤ ∣∣x (2 + sin x−1 > ⇒ f (x) > x x−0 ′ x + (x ) ln x = x x + (ln x + 1) ln x = (ln x + x Câu 25 a) Với x ≠ ⇒ f x→0 ′ ′ (x) > 0, ∀x > Và lim ′ = f (0) − 2019f (0) = −2018 2019x − 2019x→0 ⇒ ln y = x ln x ⇒ +) Nếu < x < ⇒ Vậy f lim x − x x→0 f (2019x) − f (0) = lim x→0 x x→0 f (x) − f (0) f (2019x) − f (0) − lim x x + cos x )−2 = − limx→0 x (2 + sin x−0 )∣ ∣ ≤ |x| → ⇒ limx→0 x (2 + sin x x ′ ) = ⇒ f (0) = ) = Ta có điều phải chứng minh Câu 26 Có lim f (x)−f (0) x→0 − = lim x−0 1−1 x→0 − ′ = ⇒ f (0 x−0 − ) = ⎧ Và a f (x)−f (0) lim x→0 + x−0 = lim x→0 x x +a −1 x + = lim (ax x→0 a−1 + + a x ln a) = ⎨ ⎩ ln a; a > 1; a = ′ ⇒ f (0 + ′ ) > f (0 − ) +∞; < a < Do hàm số khơng có đạo hàm điểm x = ′ (√ Câu 27 Có f ′ 1−x 1+x − ) (x) = 1+(√ 1−x 1+x ) (x+1) = 1+ 2√ 1−x 1+x 1−x 1+x = − 2√1−x BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|5 BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|6 ′ f (x) = cos(ln x) cos(ln x) + sin(ln x) x Câu 28 = (cos x (ln x) − sin (ln x) + 1) = 9−x 9+x 2 (cos(2 ln x) + 1) = 36x = 9+x Câu 31 Có f 2x ( 1+x (x) = √1−( 2 (x +9)√36x 2 6x (x = (x 6 ) 2x = − 1+x ′ f (x) 3x cos = ln(tan x) + x f (x) 2 x(1+tan x) x = ln(tan x) + tan x tan x x ) (tan x) tan x 3x ≤ ∣ − 1) sin ∣(e ) x(1+tan x) (x) = (ln(tan x) + (x +1)(x −1) Câu 34 Có 6x √(x −1) √1−( Câu 32 Có ln f (x) = x ln(tan x) ⇒ ′ (x +9)√x −1) +1) − ) 2x 6x = ) ′ 1+x Do f x ) 9−x (ln x) ′ (x) = − √1−( ′ x ( Câu 29 Có f x 2cos x ′ − sin(ln x) + 3x ∣ ≤ ∣e3x − 1∣ → ⇒ lim f (x) = limx→0 (e − 1) sin ∣ ∣ ∣ x→0 3x = = f (0) Vì hàm số liên tục điểm x = (e f (x)−f (0) limx→0 3x −1).sin = limx→0 x−0 (e 3x x Giới hạn khơng tồn xét y n = 3(n2π+ π 3x = limx→0 xn = 3n2π → (n → ∞) ⇒ limn→∞ sin ) 3y −1) sin 3x 3x = limx→0 sin → (n → ∞) ⇒ limn→∞ sin = limn→∞ sin(n2π + n π 3x 3xn = limn→∞ sin(n2π) = ) = Vậy hàm số đạo hàm điểm x = Câu 35 ′ f (x) = (2x − 6)arccot2x + (x − 6x) Có −2 1+(2x) Câu 36 Xét g(x) = e x có (f (x) − 1) − 1+(2x) − ′ ′ 8x 1+4x g (x) = (f (x) + f (x) − 1) e x − 2x √3 + < 0, ∀x ∈ R + 2√3 = (2x − 6)arccot2x − hàm số nghịch biến R Suy g(1) ≤ g(0) haye (f (1) − 1) ≤ −1 ⇔ f (1) ≤ Đẳng thức xảy g(x)là hàm suy g(x) = e (f (x) − 1) = g(0) = −1 ⇒ f (x) = − e Thử lại ta có f (x) + f (x) = 1khơngthỏa mãn điều kiện đề Do khơng tồn hàm f thỏa mãn điều kiện toán Câu 37 Xét hàm số F (x) = f (x + ) − f (x)ta có F (x) = f (x + ) − f (x) ≥ 0nên F tăng e−1 e x −x ′ ′ n Suy với x Suy f (x f (x1 + n + n )−f (x1 ) n 1, x2 ∈ R, x1 > x2 f (x2 + > n ′ n ta có F (x ) − f (x1 ) > f (x2 + ′ n 1) > F (x2 ) ) − f (x2 ) hay )−f (x2 ) n Cho n → +∞ ta f ′ ′ (x1 ) > f (x2 ) tức f hàm đơn điệu tăng Bài tốn chứng minh hồn tồn ′ BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|6 2x √3 + 2√3 BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|7 ⎛ ⎞ ⎜e x + + 2⎟ + ⎝ Câu 38 Với x ≠ −2 ⇒ f ′ e x + (2x + 4) (x + 2) ⎠ (x) = ⎛ ⎜e ⎞ x + + ⎟ ⎝ ⎠ 2x+4 Tại điểm x = −2 có lim f (x)−f (−2) x→−2 = lim + x+2 e x→−2 x+2 +2 + x+2 = lim x→−2 + ′ = ⇒ f (−2 e x+2 + ) = +2 2x+4 lim f (x)−f (−2) x→−2 − x+2 = lim e x→−2 x+2 +2 = lim − x+2 x→−2 − ′ = ⇒ f (−2 e x+2 − ) = +2 Do hàm số khơng có đạo hàm điểm x = −2 Câu 39 Có |f (x + h) − f (x − h)| ≤ h Do theo định nghĩa giới hạn có lim f (x+h)−f (x) limh→0 (x+h)−x , ∀x ∈ R, ∀h > ⇔ f (x+h)−f (x−h) h→0 h f (x)−f (x−h) + limh→0 x−(x−h) ′ = ∣ ∣ f (x+h)−f (x−h) h ∣ ≤ h, ∀x ∈ R, ∀h > ∣ theo định nghĩa đạo hàm có ′ ′ = ⇔ f (x) + f (x) = ⇔ f (x) = Ta có điều phải chứng minh − Câu 40 Có lim f (x) − f (0) x→0 x − e = limx→0 x x t = limt→∞ e t = limt→∞ 2te t = 0 (t = ′ ) ⇒ f (0) = x BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|7 ... Chứng minh hàm số có đạo hàm x = x 2x Câu 31 [Q083252520] Tính đạo hàm hàm số f (x) = arcsin + x Câu 32 [Q807018326] Tính đạo hàm hàm số f (x) = (tan x) Câu 33 [Q069399305] Tính đạo hàm hàm số f (x)... – DUY NHẤT TẠI VTED. VN|2 1; x ⩽ Câu 26 [Q343565448] Cho hàm số f (x) = { a x (a > 0) a + x ;x > Chứng minh hàm số khơng có đạo hàm điểm x = Câu 27 [Q747565503] Tính đạo hàm hàm số f (x) = arctan... hàm số y = f (x) có đạo hàm ∀x ∈ R, ∀h > Chứng minh y = f (x) hàm số ⎧ ⎪ Câu 40 [Q036937796] Cho hàm số f (x) = ⎨ e R thỏa mãn |f (x + h) − f (x − h)| ≤ h với − x ;x ≠ Chứng minh hàm số có đạo