BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|1 THI ONLINE - ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM ĐỂ TÍNH GIỚI HẠN HÀM SỐ *Biên soạn: Thầy Đặng Thành Nam Video giảng lời giải chi tiết có Vted (https://www.vted.vn/) Thời gian làm bài: 180 phút (khơng kể thời gian giao đề) Họ, tên thí sinh: Trường: Câu [Q507857833] Tính giới hạn lim x ln x x→0 Câu [Q762342473] Tính giới hạn lim Câu [Q107610488] Tính giới hạn lim Câu [Q033274706] Tính giới hạn lim Câu [Q633762773] Tính giới hạn lim Câu [Q486474067] Tính giới hạn lim + e − x x→0 x x x→1 ( x→0 ( − ) x − ln x 1 − ) sin x x x→0 x (cos √x) + x − ln x − x→1 sin (1 − x) Câu [Q743614236] Tính giới hạn lim Câu [Q173434746] Tính giới hạn lim (x x→1 e x ) cos x − − x x→0 x Câu [Q616100977] Tính giới hạn lim πx − 1) tan( arcsin x x→0 Câu 10 [Q294720232] Tính giới hạn lim Câu 11 [Q129091233] Tính giới hạn lim x + 2x (1 − 3x) x→0 cot x x − arctan x x→0 x Câu 12 [Q914151433] Tính giới hạn lim x − ln(1 + x) x→0 x Câu 13 [Q035670300] Tính giới hạn lim Câu 14 [Q235742322] Tính giới hạn lim Câu 15 [Q082224328] Tính giới hạn lim Câu 16 [Q153337561] Tính giới hạn lim Câu 17 [Q213503530] Tính giới hạn lim x − ( x→3 − ) x − ln(x − 2) (2019 x→+∞ x + 2020x ) ( x→+∞ x→ π − arctan x) (sin x) π tan x (cos x) e 2x cot x − + ax + bx = x→0 x ln(1 + 3x) + ax + bx e x sin x − x x→0 x→1 = x→0 x x (2 − x) tan( πx ) Câu 22 [Q773005739] Tính giới hạn lim x→0 Câu 23 [Q556333609] Tính giới hạn lim x→0 Câu 24 [Q838622220] Tính giới hạn lim x→+∞ x( Câu 25 [Q632075037] Tính giới hạn lim x→+∞ (sin Câu 26 [Q140309207] Tính giới hạn lim n→+∞ (cos Câu 27 [Q117170377] Tính giới hạn lim ln x x→0 Câu 19 [Q031633336] Tìm a, b ∈ R để lim Câu 21 [Q738331315] Tính giới hạn lim Câu 18 [Q773073333] Tìm a, b ∈ R để lim Câu 20 [Q083097353] Tính giới hạn lim x + x ln(e x −1) (ln(x + e)) x x π − arctan ) x + x + cos x √n x x ) n ) ln(1 + tan 3x) − 3x x→0 e −2x − + tan(−2x) BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|1 BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|2 Câu 28 [Q863670303] Tính giới hạn lim x→0 Câu 29 [Q626423637] Tính giới hạn lim x→0 (5x + e −5x ) sin 5x ln(1 + sin x) x − Câu 30 [Q696777579] Tính giới hạn lim x→0 Câu 31 [Q997686686] Tính giới hạn lim x→0 Câu 32 [Q786800833] Tính giới hạn lim cot x x ( ) sin x − √1 + 2x x Câu 33 [Q076927463] Tìm a, b ∈ R để lim 3x −4sin x arcsin x + ax + bx e x + sin x − + ax + bx x→0 x Câu 35 [Q464607094] Tính giới hạn lim Câu 36 [Q313333737] Tính giới hạn lim Câu 37 [Q757380980] Tính giới hạn lim e x = x tan x→1 x sin x sin x − x(1 + x) x→0 πx − ln(1 − x) e x − cos x x→∞ 1 − √1 − Câu 39 [Q277576790] Tính giới hạn lim 2 (1 − a tan x) x→0 Câu 38 [Q659078758] Tính giới hạn lim = x→0 x Câu 34 [Q736007335] Tìm a, b ∈ R để lim 3 2 cos(√2x ) ln(1 − 2x ) x ln(1+2x) x→0 e ax − e x −ax x→0 ln(1 + x) − cos ax Câu 40 [Q386763466] Tính giới hạn lim x→0 Câu 41 [Q455949706] Tính giới hạn lim x→+∞ x sin x π − arctan x Câu 42 [Q983637930] Tính giới hạn lim Câu 43 [Q739245747] Tính giới hạn lim Câu 44 [Q172795155] Tính giới hạn lim Câu 45 [Q780798799] Tính giới hạn lim Câu 46 [Q777775869] Tính giới hạn lim Câu 47 [Q336335677] Tính giới hạn lim Câu 48 [Q737683866] Tính giới hạn lim Câu 49 [Q996036793] Tính giới hạn lim Câu 50 [Q779776356] Tính giới hạn lim ln x x→0 ln(1 + x ) + ln(sin x) x x→+∞ m a (a > 1; m ∈ N) x (cot x − x→0 x→ x→ ) x π (x tan x − π cos x tan 2x tan( π x→1 − − x) ln x ln(1 − x) x→+∞ ( x→+∞ (2 π x arctan x) x x + x) x→0 π ) ( − x sin 2x 2x ) Câu 51 [Q375063009] Tính giới hạn lim x→0 Câu 52 [Q677907735] Tính giới hạn lim x→1 ( tan x x )x ln(1 − x) − cot πx HƯỚNG DẪN Câu Có lim x→0 + x ln x = lim ln x x→0 + x = lim x x→0 + − x = lim x→0 + (−x) = BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|2 BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|3 Câu Có lim − x e x→0 t = limt→∞ x e t = limt→∞ Câu 2te = (t = → ∞; x → 0) x limx→1 ( x − x−1 Câu Có lim 1 ( x→0 − x Có = limx→1 (x−1) ln x sin x−x ) = limx→0 sin x ln x+x x ln x−x+1 ) = limx→1 ln x Câu + ln y = lim Có Do lim x→0 x→0 y = e + − x x = limx→1 x cos x−1 sin (1−x) Câu Có lim (x ⇒ ln y = cos √x = lim + sin √x x→0 + e 1−x ) sin(1−x) lim x (e Câu x = −1 = − 2 cos √x − 1) tan( πx Có x−ln x−1 (1−x) = limx→1 1− x−ln x−1 (1−x) = limx→1 2 x −1 ) = limx→1 cot( (e cos x − − x x→0 2 x √x πx 2x = limx→1 x cos x − e x = lim x→0 cos x − e x 3x sin x) − (e x = π − ) sin x − sin x cos x+cos x−x sin x x = + = limx→1 ( x→1 x ln(cos √x) x limx→1 x x Câu x−ln x−1 ln x+1− = limx→1 − sin √x √x x→0 ln x = limx→0 sin x+x cos x y = (cos √x) = lim + −1 ln(cos √x) x→0 ln x+(x−1) = limx→0 x sin x lim t 2 − π 1 x = limx→1 −2(1−x) = − π x 2 = πx ( ) sin x) − sin x + e x cos x) = lim 6x x→0 −2e x sin x sin x = lim −e = lim 6x x→0 x x x→0 = − 3 Câu Có lim arcsin x x→0 x+2x √1−x2 = limx→0 1+4x = −3 Câu 10 Có lim Câu 11 Có lim (1 − 3x) x→0 x ln(1−3x) = e limx→0 cot x ln(1−3x) 1+x = limx→0 3x 1− x−ln(1+x) x→0 x = limx→0 x − limx→0 = e tan x = limx→0 2 3(1+x ) = 1+x = limx→0 2x = 2(1+x) = e −3 ln(x − 2) + (x − 2) = lim x→3 ln(x − 2) x ) = lim x − (x − 2) ln(x − 2) − x + − cos 1 lim ( = e 1−3x 1− x−arctan x x→0 Câu 12 Có lim x→3 cot x limx→0 x→3 (x − 3) ln(x − 2) Câu 13 − x−2 ln(x − 2) + (x − 3) x−2 ln(x − 2) = lim x→3 ln(x − 2) + x→3 x−2 x−2 x−2 = lim x−3 + = (x−2) 2 Câu 14 Có y = (2019 x x + 2020x ) x ln(2019 lim ln y = x→+∞ x ⇒ ln y = + 2020x ) 2019 = lim x→+∞ 2019 x 2019 lim x→+∞ lim x→+∞ + 4040 x x + 2020x x 2019 ln 2019 + 4040 ln 2019 = Vì 2019 ln 2019 = ln 2019 + 4040x ln 2019 + 4040x x 2019 ln 2019 + 4040 = x lim x→+∞ x x x lim x→+∞ ln(2019 +2020x ) = ln 2019 ⇒ lim x→+∞ y = e ln 2019 = 2019 2019 ln 2019 BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|3 BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|4 Câu 15 Có y = ( ln( π ln x − arctan x) π −arctan x) ⇒ ln y = ln x 1+x π ln( lim ln y = x→+∞ lim π − arctan x) = x→+∞ x = x→+∞ ln x −arctan x lim Vì − 1+x lim x→+∞ π arctan x − x 1−x 2 (1+x ) = lim − x = x→+∞ = −1 ⇒ x→+∞ 1+x lim + x lim y = e −1 x→+∞ cos x lim ln(sin x) Câu 16 Có lim x→ (sin x) π lim tan x = e x→ tan x ln(sin x) π lim = e x→ π sin x π x→ cot x = e − sin lim = e x (− sin x cos x) π x→ = 2 − sin x Câu 17 Có lim (cos x) = e Câu 18 Theo giả thiết có: = lim cot x x→0 limx→0 cot x ln(cos x) Suy = lim x x→0 Khi đó: = lim 2x −1+ax+bx x e 2x −1−2x+bx x→0 x = limx→0 ( 2 e = limx→0 ( e x; = limx→0 x→0 e = e e 2x 2x −1 2x −1+ax+bx x = e tan x cos −1−2x limx→0 (− sin x cos x) = e + b) = b + limx→0 = e x + a + bx) = a + limx→0 x x limx→0 cos x limx→0 ln(cos x) 2x e 2x −1−2x x −1 2x = a + ⇒ a = −2 = b + ⇒ b = −2 Vậy a = −2; b = −2 Câu 19 Có lim ln(1+3x)+ax+bx x = 0; limx→0 x→0 ln(1+3x)+ax+bx = limx→0 x Khi đó: lim x x Vậy a = −3; b = Suy ra: = ln(1+3x) = limx→0 ( ln(1+3x)−3x+bx x→0 x 2 ln(1+3x) + a + bx) = a + limx→0 x ln(1+3x)−3x = ⇔ b + limx→0 x x = ⇔ b − = a + ⇔ a = −3 = ⇔ b = Câu limx→0 20 e x sin x−x x (e x sin x+e = limx→0 Câu 21 Có y = (2 − x) x cos x)−1 tan( ) x sin x+e x cos x)+(e = limx→0 2x πx (e πx ⇒ ln y = tan( x cos x−e x sin x) = limx→0 e ) ln(2 − x) = ln(2−x) cot( πx x cos x = ) −1 Do lim ln y = limx→1 x→1 ln(2−x) cot( πx 2−x = limx→1 ) = −π π ⇒ limx→1 y = e π sin πx 2 Câu 22 Có lim x→0 + x ln(e x −1) = e lim lim ln x x→0 + ln(e x −1) x x→0 + = e e e x x −1 e = e lim x→0 + x −1 x e x = e Câu 23 Có lim Câu x→0 (ln(x + e)) (x+e) ln(x+e) ln(ln(x+e)) x = e limx→0 x = e limx→0 = ee 24 Có (x+1) − π limx→+∞ x ( π − arctan x x+1 ) = limx→+∞ −arctan x+1 1+( = limx→+∞ x+1 ) x 25 ln(sin limx→+∞ (sin x + cos x ) = e = Có x limx→+∞ x ln(sin 2 2x +2x+1 − x x = limx→+∞ − x Câu x x x +cos x ) limx→+∞ = e x +cos x sin ) limx→+∞ x cos x x x sin +cos − = e + x x cos limx→+∞ x = e sin x x BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|4 −sin +cos x x = e BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|5 Câu 26 Có x x limn→+∞ (cos x ) √n n ) = e x limn→+∞ n ln(cos √n limn→+∞ ) limn→+∞ √ n = e x sin x ln(cos = e √n limn→+∞ − n sin √n n x −x 2 √n = e = e − x 2 √n Câu 27 Có lim ln(1+tan 3x)−3x x→0 e −2x cos −1+tan(−2x) 3x 1+tan 3x = limx→0 −2e −2x −6x cos ln(5x+e Câu 28 Có lim x→0 Câu 29 Có lim x→0 (5x + e −5x ) sin = e 5x limx→0 sin −5x = − − (−2x) 5−5e ) = e 5x −5x 5x+e limx→0 −5x 10 sin 5x cos 5x = e 1−e limx→0 −5x = e sin 5x 5e limx→0 −5x 10 cos 5x = e2 cos x ln(1+4 sin x) 1+4 sin x = limx→0 x −1 x = ln ln ln(1+2x) Câu 32 Có lim x ln(1+2x) x→0 3x −4sin x ln(1+2x) 2x = limx→0 3 3−4x( sin x x 2x = limx→0 sin x 3−4x( x = ) 3−4.0.1 ) = 3 Câu 35 Có −2a tan x ln(1−a.tan lim (1 − a tan x) lim x sin x = e cos x 1−atan lim x sin x x→0 x) = e x −2a sin x lim sin x+x cos x x→0 = e x→0 cos x(1−atan x)(sin x+x cos x) x→0 sin x −2a lim x x→0 cos = e Câu 38 Có lim e x −cos x→∞ 1−√1− Câu 39 Có lim e x→0 ax −e x(1−atan x)( sin x x +cos x) 1−√1−t = limx→0 ae ax +ae = e −2a.1 = e 1.1.2 t e −cos t = limt→0 −ax ln(1+x) t x x e +sin t = limt→0 = ∞ (t = t x −a → 0; x → ∞) √1−t2 −ax = 2a 1+x Câu 40 Có lim 1−cos ax x→0 x sin x = limx→0 a sin ax a = limx→0 sin x+x cos x cos ax = cos x+(cos x−x sin x) a 2 −2 Câu 41 Có lim π−2 arctan x x→+∞ ln(1+ x 1+x = limx→+∞ 2 ) x 2x +2x = limx→+∞ −1 = 2 x +1 1+ x Câu 42 Có lim Câu 43 Có lim ln x x→0 + ln(sin x) x x→+∞ = lim a + = lim cos x x x→0 + = cos x sin x m = limx→+∞ x sin x x x→0 mx a x m−1 ln a m(m−1)x = limx→+∞ m−2 x m! = = limx→+∞ a ln a x a ln m = a Câu 44 Có lim (cot x − x cot x − ) = lim x x→0 x = lim x sin x x→0 −x sin x = lim sin x + x cos x Câu x→0 = x + sin x = + 1.1 cos x 45 limx→ π (x tan x − π cos x ) = limx→ π ( Có 2x sin x−π cos x sin x + x cos x x→0 −x = lim x→0 (cos x − x sin x) − cos x x cos x − sin x = lim x→0 2(sin x+x cos x) ) = limx→ π = limx→ π −2 sin x (−1 − x sin x cos x) = −1 − 1.0 = −1 −1 Câu 46 Có lim x→ tan 2x tan( π tan( π − x) = limx→ π π −x) cot 2x cos π ( −x) = limx→ π −2 sin Câu 47 = 2x Có −1 lim x→1 − ln x ln(1 − x) = lim ln(1−x) x→1 − 2 = lim 1−x x→1 − − ln x ln = lim xln x x→1 − 1−x x ln x+x.2 ln x = lim x→1 − −1 x = x π(1+x ln( Câu 48 Có lim x→+∞ ( π x arctan x) = e Câu limx→+∞ x ln( arctan x) limx→+∞ x + x) x ln(2 = e limx→+∞ x x arctan x) limx→+∞ π − = e x ) arctan x x = e − π Có +x) = e π = e 49 limx→+∞ (2 π limx→+∞ x ln 2+1 x +x = e limx→+∞ 2 x x ln ln limx→+∞ ln 2+1 = e 1+ x ln = e ln = BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|5 BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|6 Câu 50 Có: 1 lim ( x→0 2x − sin 2x − x sin 2x ) = lim 2x x→0 2x 2 − cos 2x = lim x→0 sin 2x 4x sin 2x + 4x cos 2x sin 2x = lim x→0 (sin 2x + 2x cos 2x) + (2x cos 2x − 2x = lim x→0 + 2x sin 2x sin 2x) 1 = cos 2x − 4x = + 1.2 − x cos Câu 51 Có lim ln( x→0 ( tan x x )x = e limx→0 tan x x x ) 2 −tan x x x limx→0 tan x = e x 2x = e limx→0 ( x sin 2x − 2x ) Câu 52 Có lim ln(1−x) x→1 − cot πx = lim 1−x x→1 − −π sin 2 = lim sin πx x→1 − π(1−x) = lim x→1 − ( sin π(1−x) π(1−x) = √e (kq_cau_50) −1 ) π(1 − x) = 1.0 = πx BIÊN SOẠN: THẦY ĐẶNG THÀNH NAM – DUY NHẤT TẠI VTED.VN|6 ... hạn lim Câu 45 [Q780798799] Tính giới hạn lim Câu 46 [Q777775869] Tính giới hạn lim Câu 47 [Q336335677] Tính giới hạn lim Câu 48 [Q737683866] Tính giới hạn lim Câu 49 [Q996036793] Tính giới hạn. .. [Q386763466] Tính giới hạn lim x→0 Câu 41 [Q455949706] Tính giới hạn lim x→+∞ x sin x π − arctan x Câu 42 [Q983637930] Tính giới hạn lim Câu 43 [Q739245747] Tính giới hạn lim Câu 44 [Q172795155] Tính giới. .. = (2019 x x + 2020x ) x ln (2019 lim ln y = x→+∞ x ⇒ ln y = + 2020x ) 2019 = lim x→+∞ 2019 x 2019 lim x→+∞ lim x→+∞ + 4040 x x + 2020x x 2019 ln 2019 + 4040 ln 2019 = Vì 2019 ln 2019 = ln 2019